Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 714]

N^o 2893.
G.W. Leibniz à Christiaan Huygens.
1^er juillet 1695.

La minute se trouve à Hannover, Bibliothèque royale¹⁾.
Elle a été publiée par C.I. Gerhardt²⁾.
La lettre est la réponse au No. 2884.

21 Juin 1695.

Plusieurs distractions m'ont empeché de jouir de l'avantage que je tire de l'honneur de vostre commerce. J'ay appris de M. Bauval Banage³⁾ que vous aviés esté malade, mais j'espere que vous vous porterés bien presentement, ce que je souhaitte de tout mon coeur, sçachant combien nous importe vostre conservation, et combien il est important que nous ayons de nostre temps une personne dont le jugement puisse estre suivi seurement sur les matieres les plus profondes; et dont nous attendons encor de si importantes productions, qui sont déja en vostre pouvoir et pourroient estre donnés par parties, si vous vouliés vous humaniser comme vous avés fait dans les appendices de vostre excellent livre de la lumiere et de la pesanteur.

Un exemplaire du grand miroir⁴⁾ de Mr. Tschirnhaus est à Amsterdam, de sorte que vous en pourriés voir l'experience quand vous voudriés. Ce que vous dites, Monsieur, des miroirs concaves de verre, que quelcun fait à la Haye me paroist considerable. Il est difficile cependant pour l'ordinaire d'en faire avec de la feuille derriere. On fait des miroirs convexes de verre à Norenberg, qui ont une certaine composition derriere que tient lieu de feuille. J'ay oui dire à plusieurs qu'ils ont taché en vain de l'apprendre. Et autres fois Mons. Curtius resident du Roy Charles II a Franckfort⁵⁾ me dit d'avoir eu ordre de la Société Royale de s'en informer.

La seconde edition de Medicina Mentis de Mons de Tschirnhaus⁶⁾ a paru à

1) La lettre ne se trouve pas dans notre collection. Gerhardt considère comme probable qu'elle n'a pas été expédiée. La nouvelle prématurée de la mort de Huygens en a probablement été la cause.

2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 205, et Briefwechsel p. 757.

3) Henri Basnage de Beauval; voir la note 11 de la Lettre N^o. 2426.

4) Peut-être y a-t-il confusion avec le verre ardent dont il est question dans la note 6 de la Lettre N^o. 2877.

5) Probablement Johannes Jacobus Curtius, né à Reutlingen en 1621, jurisconsulte, connu par son grand savoir et recherché comme conseiller par plusieurs hauts personnages de son temps.

6) Voir la Lettre N^o. 2466, note 1.

[p. 715]

Leipzig. Il y corrige⁷⁾ ce que Monsieur Facio⁸⁾ et moy⁹⁾ avions remarqué sur sa premiere façon de donner les tangentes par les foyers; qu'il semble attribuer à une maniere d'errata. Il donne encor d'autres theoremes plus generaux, mais je n'ay point le loisir qu'il faudroit pour mediter la dessus. Il en faut laisser le soin à Mons. le Marquis de l'Hospital, qui a trouvé la regle la plus generale¹⁰⁾ qu'on puisse souhaitter là dessus autant que je m'en souviens.

Quant au denombrement des courbes de chaque degré Algebraique, il le donne autrement que dans sa premiere edition, mais je m'etonne qu'il le fait encor d'une maniere, qui me paroist insoutenable; comme si on pouvoit tousjours oster tous les termes d'y excepté un seul. Ainsi dans le 3^me degré selon luy, toutes les courbes se peuvent reduire à ces equations y³=x, y³=xx, y³=x+xx, y³=x+x³, y³=xx+x³, y³=x+xx+x³, mettant à part la varieté des coefficients et des signes. Je m'etonne en effect qu'ayant tant de penetration et de connoissance, il avance si aisement de telles propositions. Mons. le Marquis de l'Hospital me mande¹¹⁾, que Mons. de la Hire dans un livre sur les Epicycloides¹²⁾ dispute contre la demonstration de la Caustique que M. Tschirnhaus avoit donnée à l'Academie royale des Sciences¹³⁾; et repond au passage de sa Medicina Mentis¹⁴⁾, ou Mons.

7) Consultez, à ce sujet, la note 14 de la Lettre N^o. 2486.

8) Il s'agit de la pièce N^o. 2460 et de l'article d'avril 1689, cité dans la note 14 de la Lettre N^o. 2486.

9) Consultez la Lettre N^o. 2627, à la page 519. De plus, Leibniz était revenu sur le sujet en question dans un article qui parut dans le ‘Journal des Sçavans’ du 14 septembre 1693, sous le titre: ‘Deux Problemes construits par Mr. de Leibniz, en employant la regle generale de la composition des mouvements qu'il vient de publier’.

10) On peut consulter, sur cette règle, la lettre de de l'Hospital à Leibniz, du 15 juin 1693, publiée par Gerhardt pp. 241-245 du volume cité dans la note 8 de la Lettre N^o. 2893. Déjà, dans l'article cité dans la note précédente, Leibniz avait fait mention de cette méthode inédite, qui lui plaisait beaucoup, surtout parce qu'elle constituait une application simple et élégante de son nouveau calcul.

11) Dans sa lettre du 25 avril 1695; voir p. 277-281 du volume mentionné dans la note précédente.

12) Le ‘Traité des Epicycloides et de leur usage dans les Mécaniques’ se trouve inséré dans les Mémoires de l'Académie Royale des Sciences. Depuis 1666, jusqu'à 1699. Edition de Paris, Tome IX, p. 341. Voir les pages 458 et suivantes.

13) En 1682, consultez la Lettre N^o. 2324 à la page 463. Et voici ce que de la Hire rapporte dans son livre à propos de cette séance: ‘il’ [von Tschirnhaus] ‘nous voulut demontrer quelle etoit la grandeur de cette ligne courbe’ [la catacaustique du cercle pour le cas de rayons parallèles] ‘par rapport au diametre du quart de cercle dans lequel elle est decrite; mais....la methode dont il se servait pour sa demonstration etoit une espece d'evolution fort differente de celle dont mr. Hugens s'est servi dans son traité des pendules et qui ne nous sembloit point geometrique, n'ayant pas demontré quelques lemmes qui devoient preceder cette evolution.’

14) Voici le passage en question, que l'on trouve aux pages 75 et 76 de l'édition originale, celle de 1687, de la ‘Medecina mentis’. ‘Hinc infinitis novis inventis omnes matheseos particulares scientiae locupletantur....Dioptricam quod attinet, ut & Catoptricam, innumera quoque in iis nova oriuntur. Unum horum in Actis Eruditorum’, [ceux de novembre 1682, dans l'article cité dans la note 4 de la Lettre N^o. 2274] ‘quae Lipsiae eduntur, publicè exhibui specimen, cujus etiam demonstrationem viris ingeniosis privatim communicavi. Horum ego jam fontes genuinos aperio, ex quibus haec infinitis poterunt locupletari modis’.
‘Novi equidem quendam’ [de la Hire probablement] ‘de veritate primarii theorematis, nempe in quo ostendo, solis radios incidentes in curvam & inde reflexos suis intersectionibus curvas formare, rectis semper aequales, dubitasse, &, ut mihi relatum est, etiamnum dubitare; quia vero demonstrationes hae jam dudum fuêre probatae a D. Hugenio & D. Leibnitio, qui absque dubio inter primos nostri aevi mathematicos numerantur, parum his moveor: praestat pergere’
A propos de ce passage de la Hire remarque, qu' ‘il n'y a personne qui puisse douter que les courbes formées par les intersections des rayons du soleil réfléchis lors qu'ils tombent au dedans d'une courbe, ne soient egales à des lignes droites, non plus que toute autre sorte de courbes et le cercle même; mais la difficulté est de demontrer quelle est la grandeur de cette ligne droite’, ce qu'il prétend n'avoir pas été accompli par von Tschirnhaus.

[p. 716]

Tschirnhaus avoit cité vostre approbation¹⁵⁾, et m'avoit même fait l'honneur de me nommer¹⁶⁾ avec vous. Mons. de la Hire dit que vostre exactitude estant connue vous ne vous seriés pas fié sans doute à de telles demonstrations. Je remarque que Mons. de Tschirnhaus a retranché ce passage, où il s'estoit rapporté à vostre jugement. Il affecte aussi partout d'eviter l'usage de mon calcul des differences, bien eloigné en cela de vous, Monsieur, qui aviés toutes les raisons de monde de vous tenir entierement à vos propres Methodes qui vous avoient servi à tant d'importantes decouvertes avant que j'avois commencé d'y avoir quelque entrée; et qui n'avés pas laissé de vous abaisser tout grand Maistre de l'art que vous estes, à employer

15) Comme on le voit, cette prétendue approbation se rapporterait au théorème mentionné dans la ‘Medicina mentis’ et qu'on retrouve dans la Lettre N^o. 2274, d'août 1682, à la page 381, comme aussi dans l'article de von Tschirnhaus mentionné dans la note 4 de cette même lettre. C'est de ce théorème que la rectification de la catacaustique du cercle se déduit immédiatement. Or, cette rectification est identique avec celle formulée à la dernière page du ‘Traité de la lumière’, publié en 1690, mais dont le manuscrit existait depuis 1678, et avait été vu par von Tschirnhaus, nommément la partie qui se rapportait à la catacaustique du cercle. C'était même sur ce fait que se fondaient les suspicions que Huygens exprimait contre von Tschirnhaus dans la pièce N^o. 2626. D'ailleurs il est bien probable qu'une ou plus d'une des démonstrations dont Huygens fait mention à la page citée du ‘Traité de la lumière’ menaient au théorème en question. Voir encore la Lettre N^o. 2670 et la pièce N^o. 2671.

16) Voir encore le passage cité dans la note 14. Dans sa lettre du 27 mai 1682 (publiée dans Gerhardt, ‘Leibnizens mathematische Schriften’, Bd. 4, p. 489,) von Tschirnhaus avait communiqué à Leibniz le théorème en question sans en donner la démonstration. Dans sa réponse (voir pp. 493 et 494 de la publication citée) Leibniz y suppléa de sa propre invention, et von Tschirnhaus, dans sa lettre du 27 juillet 1682 (voir p. 498), assura que cette démonstration ne différait par de la sienne.

[p. 717]

encor une nouvelle Methode¹⁷⁾ d'un de vos disciples, car vous ne devés pas ignorer que je pretends à l'honneur de l'estre, et que j'en ay fait profession publique plus d'une fois¹⁸⁾. Au lieu que je crois que Mr. de Tschirnhaus a profité un peu de mes meditations, et plus qu'il ne pense luy même. Il est vray que je m'imagine qu'il ne s'en est point apperçû, et c'est pour cela que je ne l'accuse point de peu de sincerité. Je ne laisse pas de trouver cette affectation un peu extraordinaire.

Vous aurés vû, Monsieur, les deux livres de Monsieur Bernard Nieuwentiit, Geometre Hollandois¹⁹⁾, qui me les a envoyés par un autre Mathematicien du pays qu'il cite dans son livre nommé M.J. Makreel²⁰⁾, qui a écrit sur le livre qu'il me l'envoye jussu autoris. Je m'imagine que ces Messieurs vous seront connus. Pour ce qui est des objections de Monsieur Nieuwentiit, j'y repondray dans les Actes de Leipzig²¹⁾. Premierement il me fait une objection sur un point qui m'est commun avec Messieurs Fermat, Barrow, Newton et tous les autres, qui ont raisonné sur les grandeurs infiniment petites. Car il dit que selon luy deux grandeurs sont egales, quand leur difference est rien, et non pas, quand elle est seulement infiniment petite. Mais pour employer cependant et justifier nos raisonnemens, il prend un plaisant tour. Il dit que ce qui ne scauroit devenir une quantité ordinaire, quand on multiplieroit par un nombre infini, doit estre appellé rien, et n'est pas une quantité. Et que pour cela, quoyque dx soit quelque chose, neantmoins le quarré dxdx ou le rectangle dxdy n'est rien; parce qu'un tel rectangle multiplié par un nombre infini ne devient une grandeur. Il est aisé de luy repondre que le rectangle doit estre multiplié par un nombre infini du second degrée puis qu'il est infiniment petit du second degré; c'est à dire par un nombre infini multiplié par

17) Comparez la pièce N^o. 2823 à la page 513, où Huygens professe d'avoir employé avec avantage le ‘calculus differentialis’ de Leibniz.

18) Voir la note 12 de la Lettre N^o. 1919.

19) Bernard Nieuwentijdt, né le 10 août 1654 à Westgrafdijk; il s'établit comme médecin à Purmerend, où il exerça en même temps les fonctions de membre du Conseil de la commune et de bourgmestre. De plus il donna des leçons de physique expérimentale et publia des ouvrages de philosophie, à tendance téléologique, ainsi que de mathématiques, parmi lesquels les deux suivants sont ceux dont parle Leibniz.
Bernhardi Nieuwentiit, Considerationes Circa Analyseos ad quantitates infinitè parvas applicatae Principia, & Calculi Differentialis Usum In resolvendis problematibus geometricis. Amstelaedami. Apud Joannem Wolters, Anno 1694. in-12^o.
Bernhardi Nieuwentiit Analysis Infinitorum, sen Curvilineorum Proprietates ex Polygonorum natura deductae. Amstelaedami, Apud Joannem Wolters, Anno 1695. in-12^o.
Nieuwentijdt mourut le 28 mai 1718.

20) Voir, sur Dirck Makreel, la Lettre N^o. 2485, note 3.

21) Voir l'article des ‘Acta’ de juillet 1695 intitulé: ‘G.G.L. Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentiit circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas’ avec le Supplément imprimé dans le cahier d'août: ‘Addenda ad Dn.G.G.L. Schediasma Proximo mensi Julio pag. 310 & seqq. insertum’.

[p. 718]

luy même. C'est cependant sur ce fondement, scavoir que dxdx, ou dxdy n'est rien, qu'il appuye ses pretendues demonstrations du calcul de Mons. Fermat (qu'il attribue a Mr. Barrow) comme si pour cela les termes où il y a dx ou dy restoient, et que les termes, où il y a ou dxdx ou dydy ou dxdy devoient estre rejettès, au lieu qu'on scait qu'il faut tousjours rejetter les termes qui sont incomparablement moindres que ceux qui restent, et que ceux qui ont dx devoient encore estre rejettès, si les ordinaires n'evanouissoient. Cependant c'est une chose estrange, qu'il veut que le costé, dx, soit une grandeur et son quarré dxdx ne soit rien. croit de même que les differences ulterieures, comme ddx ne sont rien du tout. Mais comme les x estant en progression geometrique, les x, dx, ddx, d³x, d⁴x etc. le sont aussi, comment peut on dire que les termes x et dx sont quelque chose, et que la 3^me proportionnelle ddx n'est rien. Je repondray dans les Actes de Leipzig d'une maniere que j'espere luy pouvoir satisfaire et comme ses objections sont proposées d'une maniere fort honneste, j'en useray de même. J'espere de trouver un jour le loisir d'expliquer distinctement mon calcul, pour prevenir certaines beveues semblables à celles que Mons. Nieuwentiit a faites en le voulant employer à dessein de monstrer qu'il est peu seur.

Monsieur Bournet gentilhomme Ecossois, parent de Mons. l'Eveque de Salisbury²²⁾ a vû icy ma machine Arithmetique²³⁾ entierement achevée, et des exemples que j'ay faits en sa presence, qui l'ont surpris; les produits peuvent aller à 12 figures, et le multiplicandus est de 8 figures. J'en fais faire encor d'autres exemplaires maintenant pendant que j'ay l'ouvrier à la main.

Je souhaitte fort de voir vostre traité philosophique, qu'on dit regarder des considerations particulieres sur la constitution des autres planetes ou mondes. Vous ne pouvés gueres entreprendre de sujet plus beau et plus digne de vous. Monsieur Mariotte me disoit que vous devriés estre un jour un des habitans de Saturne, puis qu'il vous a l'obligation de nous estre devenu mieux connu. Et s'il aime la gloire, il y doit estre sensible. Je ne desapprouverois pas ce changement de domicile pourveu que vous le fassiés bien tard. Serus in coelum redeas diuque Laetus intersis populo petenti²⁴⁾. Il sera bon que les meditations numeriques de feu M. de Marolles paroissent. Mais je souhaitte sur tout que vous nous fassiés part des vostres de temps en temps sur toutes sortes de matieres. Je seray bien aise d'apprendre vostre jugement de mon Code diplomatique²⁵⁾; il est vray qu'il n'y a rien de moy que la preface.

22) Voir la Lettre N^o. 2431, note 2.

23) Voir la Lettre N^o. 2884, note 16.

24) Horatius, Carminum, Lib. I, 2.

25) L'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 2797, note 7.