Oeuvres complètes. Tome VIII. Correspondance 1676-1684

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N^o 2274.
E.W. von Tschirnhaus à Christiaan Huygens.
août¹⁾ 1682.

La copie²⁾ se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Illustrissime Vir

^a) Inter maximos fructus meae peregrinationis reputo quod in notitiam Tui admissus, tam generosam in Te ipso mentem offenderim, ac insuper melioribus studijs tam serio addictam, post habitis temporalibus delicijs ut existimem paucos (quamvis permulti jam in eo sint, ut sapientiam pro viribus augeant) Tui similes reperiri. Non equidem intermisissem, absens licet, per commercium interim literarum tam singulares in Te qualitates venerari, si judicassem me quicquam tanto viro dignum potuisse offerre, et in mente volvissem me eo destitutum, studia Tua publicò tam utilia interpellandi potius molestiam creaturum. Atverodesiderium contrahendi tunc praestantissimi Viri amicitiam has mihi suggessit cogitationes, nimirum tam sedulo naturae indagatori non posse non oblectamento esse si et alij inveniantur qui ad similia adspirent, et observando aliorum cognitionem nostra multo inferiorem, suave admodum esse proprias sic vires magis cognoscere. Quapropter tui venia commemorabo, quod abhinc duobus annis Parisijs discedens in reditu ad Patriam saepenumero reflexerim ad admirandos speculi caustici effectus³⁾, quod mihi ante abitum meum monstrare dignati estis. Id quod effecit ut varia mente agitaverim quomodo simile mihi pararem. Et quidem statim ac inter meos id mihi licuit, specula talia absque fusione metalli aut difficili politura ex solis vitris planis hac arte construxi. Non admodum difficile est ex ligno certa ratione, quam mechanico indicaveram, maximas sphaerae portiones fabricare. Concavae hujus



parti adglutinavi vitra plana rotunda aequalia ac magnitudine hujus circelli quae quidem facillime obtinentur.

Observavi autem tale speculum rite constructum et vestrum magnitudine adaequans, comburere quidem, sed illud ut similes effectus producat admodum magnum esse debere. Licet vero hac methodo ea enormis magnitudinis fabricari possint, me tamen hactenus haec ulterius exequendi occasio destituit. Cum ergo idem alia via tentarem, incidi in facilem admodum methodum specula talia effi-

1) Date de la réception, d'après la note a) de Chr. Huygens.

2) Elle est de la main de Christiaan Huygens.

a) R. 29 Aug. 1682.
Epistola ad Christ. Hugenium. [Chr. Huygens].

3) L'Académie des sciences s'est plusieurs fois occupée d'expériences faites avec le miroir ardent. Chr. Huygens en fait mention dans ses lettres à Oldenbourg, N^os. 1744 et 1754. Duhamel, dans son ‘Historia Academiae’, deuxième édition, page 144, rapporte des expériences pareilles faites le 8 mai 1675. Un nouveau miroir de trois pieds sept pouces de diamètre, construit par Villette de Lyon, donna lieu à de nouvelles expériences le 6 avril 1679 (Duhamel, p. 183). Ce sont probablement les effets de ce dernier miroir que von Tschirnhaus a eu l'occasion de voir, lors de son séjour à Paris.

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ciendi quae summas comburendi vires obtinere debent. Sed pestis quae tunc in vicinia grassabatur, impedimento fuit ad tale quid assequendum, dum interea hisce intentus essem se mihi modus obtulit, cujusvis generis et magnitudinis vitra sic expoliendi ut dubitem num praestantior exhiberi possit. Cum vero sic propositum meum continuo urgerem, tandem quod quaesiveram alia via obtinui. Construxi nempe speculum magnitudine excedens 48 pollices perfecte rotundum sine fusione et quod certe exiguo pretio et labore parari potest, licet multo adhuc majus esset, et quod tempore hiemali talia effecta in distantia septem quadrantum ulnae Lipsiensis exhibuit, quod nunquam speraveram. Interim artifex cui haec commiseram non ex voto aequalem undiquaque crassitiem huic speculo induxerat, ea etenim circa latera minuebantur; adeoque ipsa politura (quae etiam hic in singulari artificio consistit) non poterat tam perfecte exequi, circa exteriora quam interiora superficiei sphaericae. Alioqui sine dubio majores multo praestitisset effectus. Mandavi vero eidem artifici, ut hac hyeme speculum fabricaret quod et in majori distantia comburet, ut pote excedens 50 pollices, et spero me intuiturum insequenti aestate similes saltem si non majores vestri speculi effectus. Multum ergo circa specula caustica occupatus in hanc incidi speculationem.

Sit circuli quadrans BAC, ac omnes lineae AB repraesentent radios solis in hanc curvam AC incidentes, sint et radij reflexi omnes AD. Quaeritur quam curvam DDD &c. horum radiorum reflexorum indefinitae intersectiones describant. Inveni autem curvam DDD esse geometricam prout D. des Cartes vocat.

Deinde reperi quod data qualibet curva geometrica AAA, radij reflexi aut in unico concurrant puncto, uti fit in parabola, aut horum intersectiones curvas quoque geometricas efficient. Tandem quoque inveni generalem methodum data qualibet curva AAA, sive geometrica sive mechanica, quomodo curva hinc resultans DDD calculo determinari possit. Quantum hoc usum habeat inde manifestum erit, quod hac ratione, infinitae curvae in rectas mutari queant, et data quacunque curva geometrica hinc semper exhibeatur curva geometrica mensurabilis. Mirum hoc forte videbitur quod inter singularia solis effecta etiam hoc sit ut curvas in rectas transmutet: id quod tanto labore a mathematicis semper quaesitum fuit. Sed quod sol quaecunque ipsi opponatur superficies concava polita

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simile quid revera praestet constabit ex hoc generali theoremate, quod mathematicis credo haud ingratum erit.

Est autem tale. Sit curva quaecunque AAA, sive geometrica sive mechanica aut etiam libera manu ducta. Formetur hinc curva DDD &c, quam radij reflexi parallelis incidentibus radijs, ut dictum, constituant. Dico lineam incidentem (uti sunt omnes BA) et reflexam (uti omnes AD) semper aequales esse curvae portioni interceptae inter punctum tangentis D et punctum C ubi curvam alteram contingit. Atque ita per consequens curva tota DDC aequabitur lineae BA et DA. Et cum in circulo ut notum est, punctum D sit dimidium lineae AB, erit haec curva integra DDC aequalis radio AB una cum media parte ejusdem radij. Et ita data curva geometrica, curva ex reflexorum radiorum intersectionibus orta tam integra quam quoad omnes partes semper erit mensurabilis. Emblemata a multis excogitata in honorem Regis vestri, qui singularibus suis factis se toti mundo admirabilem praestat, allusione facta ad solem, quem sibi pro symbolo elegit, et hinc meo judicio ex data tam singulari proprietate solis, curvas in rectas transmutante, non inconcinne emblema formari posset. Sed ut in proposito progrediar inveni etiam circuli BAC esse ad spatium curvâ DDC et lineis BC, BD comprehensum ut 4 ad 3. Quodque haec curva DDC tunc admodum expedite per puncta possit designari⁴⁾. Sed haec

4) Ces propriétés des lignes catacaustiques furent communiquées par von Tschirnhaus à l'Académie des sciences, examinées par Cassini, Mariotte et de la Hire, et publiées ensuite, sans nom d'auteur, dans un article du Journal des Sçavans du Lundy 8 juin, reproduit dans les Acta Eruditorum du mois de novembre 1682 sous le titre: Inventa nova exhibita Parisiis Societati Regiae Scientiarum a D.T. La construction de la catacaustique par points, annoncée ici et décrite dans l'article cité, est erronée, comme le remarquait déjà de la Hire (voir l'Eloge de Fontenelle). Von Tschirnhaus a dû le reconnaître plus tard. Sur le caractère des travaux mathématiques de von Tschirnhaus on peut consulter les pages 142 et suiv., Tome III, de l'ouvrage:
Vorlesungen über Geschichte der Mathematik von Moritz Cantor, Leipzig. Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1884-1898, 3 Vol. in-8^o.
La vraie construction était connue à Huygens depuis longtemps. On la trouve dans son Traité de la lumière, publié en 1690, qu'il avait lu devant l'Académie dans les séances du 13 mai 1679 jusqu'au 12 août 1679 (voir la Lettre N^o. 2192, note 3). Nous aurons l'occasion de revenir sur cette question, au sujet d'une lettre de Huygens à Leibniz du 10 octobre 1690.

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non tanti momenti sunt, cum facile jam infinita ejusmodi particularia reperire. Pergam igitur ad inventa quae generaliora sunt. Hisce jam mihi notis circa reflexionem, mentem converti ad refractionem, et observavi radios solis repraesentatos per omnes AB ita refringi per vitrum aqua repletum IK ut quoque harum intersectiones curvas designent CDE, FGH. Est autem valde curiosum et nescio an ab alijs observatum curvas hasce CDE et FGH naturales iridis colores exhibere, quae, si his supponatur aqua calida multum exhalans, ipsis oculis clarissime cernuntur, aut etiam pulvere radijs hisce insperso. Possem hic similia Theoremata at non minoris momenti ut antea circa reflexionem offerre, sed qui superiora novit, haec utique quoque in potestate habet eruendi. Cum autem ad similes curvas determinandas inprimis calculo tangentium opus sit, et dum in eis determinandis occupatus essem, occurrit mihi methodus tangentes ducendi generalis, tum ad curvas geometricas, tum ad mechanicas sese extendens, et adeo expedita ut existimem faciliorem non posse dari. Sit curva geometrica BDE⁵⁾, cujus natura, ut fieri solet, calculo expressa sit (BC supponatur ∞ x, CD ∞ y, AB ∞ t).

1. Termini aequationis ita disponantur ut potestas maxima y quae dari potest sola sit ab altera aequationis parte (e. gr. yy ∞ 2ax - xx) vel si ea desit ponantur omnes aequationis termini ∞ o (sic xy ∞ aa redigitur ad xy - aa ∞ o).

2. Fiat fractio cujus denominator hoc pacto constituatur. Omnibus terminis ubi cognitae (adhaerentes indeterminatis x et y) unius sunt dimensionis praefigatur unitas, ubi duarum dimensionum binarius ubi trium dimensionum, ternarius, atque ita porro⁶⁾.

3. Numerator vero, ita construatur. Omnibus terminis ubi x unius dimensionis praefigatur unitas, ubi duarum binarius, ubi trium ternarius; ablata vero ab omnibus hisce terminis x, unica dimensione; Eritque fractio ejusmodi aequalis t⁷⁾.

Jam eadem ratione hinc facile similes regulae eliciuntur, licet non tam simplices ad determinandas lineas AC, CF, DF, AD &c. Ex gr. ad determinandam lineam AC, fiat fractio ut antea per easdem leges, et numeratori adjungantur omnes termini ubi x unius dimensionis, praefixa unitate; ubi x duarum dimensionum praefixo binario, ubi trium ternario, atque sic porro, eritque fractio talis aequalis AC.

5) Voir la figure de la page suivante.

6) Pour bien comprendre cette règle il faut prendre en considération qu'elle suppose que les équations soient homogènes par rapport à x, y, a, b, etc. qui représentent des quantités de dimension linéaire. Cette supposition était d'ailleurs une conséquence nécessaire de la conception géométrique des équations, qui prévalait alors.

7) La lettre t ne désigne donc pas ici, comme il était de coutume, la sous-tangente, mais la ligne AB.

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Quantum jam attinet ad mechanicas, notandum me nullum discrimen videre inter eas quas Cartesius geometricas appellat et mechanicas, quas a geometria excludit, nisi quod in geometricis curvis x et y exprimantur per rectas lineas, et in mechanicis x et y curvarum portiones designent, quae cur a geometria ideo excludendae sint, nullo modo percipio. Atque sic ego concipio eandem curvam ex gr. yy ∞ 2ax - xx (a Cartesio geometricam dictam) semper mihi infinitas curvas designare et omnium harum infinitarum curvarum tangentem una



et eadem opera ope datae regulae determino; sit ex. gr. curva quaevis ABC (fig. 2) ejusque portio AB aequalis x et BE ∞ y. Eadem natura yy ∞ 2ax - xx mihi infinitas curvas repraesentat, prout loco ABC alia ac alia curva substituitur. Harum vero infinitarum tangentes sic determino. Est enim (juxta regulam modo exhibitam in fig. 1) linea AB ∞ 2ax / 2a - 2x sive ax / a - x et hinc AC juxta ea quae subjunxi ∞ 2ax - xx / a - x. Jam in fig. 2 fiat FB tangens curvam ABC ∞ 2ax - xx / a - x, linea ducta FE tanget curvam AEG, qualiscumque curva ABC etiam sit. Atque ita tanta universalitate et expedita admodum ratione infinitarum curvarum tangentes una et eadem opera exhibentur. Sed harum rerum plura aliquando communicare licebit⁸⁾. Possem hinc regulam deducere ad maxima et minima determinanda admodum simplicem⁹⁾; haec enim nihil aliud sunt quam speciales tangentium casus et per consequens determinari debent regula adhuc simpliciori quam est ea quae tangentes docet invenire. Possem innumeras hinc quadraturas magna dexteritate exhibere; sed ijs qui sciunt quod tangentes determinare et quadraturas exhibere unum et idem sit haec facile constabit. Quanquam methodum pro quadrandis curvis quantitatibus peculiarem etiam habeam, ubi nullatenus tangentes considerandae, et qua omnes possibiles quadraturae tam simplici ratione derivantur, ac hactenus nullibi simile quid observavi

8) Dans les Acta Eruditorum de décembre 1682 von Tschirnhaus publia l'article:
Nova Methodus tangentes curvarum expedite determinandi, par D.T.
On y trouve les méthodes exposées dans cette Lettre.

9) Von Tschirnhaus l'a publiée dans les Acta Eruditorum de mars 1683, sous le titre: Nova Methodus determinandi maxima et minima, Auctore D.T.

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ab alijs editum¹⁰⁾. Nec dubitabit Vir Nobilissimus (utpote harum tam gnarus ac ullum fere offendi) quod jactis similibus fundamentis, praeclara multa deducere possem. Sed hac vice hic sistam, enixe rogans ut haec qualiacunque specimina mearum inventionum aeque favorabiliter respicere velit, ac specimina methodi qua quotcunque intermedios terminos aequationum aufero, et hinc omnium aequationum radices universaliter determino¹¹⁾ (quae ante duos annos communicavi) dignatus est recipere: Quodque tibi certo persuadeat me ex integro esse

Illustrissimi Viri

ad quaevis officia praestanda humillimum servum Ehrenfried Walther de Tschirnhaus Eques Lusatiae Superioris.

10) Consultez, dans les Acta Eruditorum d'octobre 1683, l'article de von Tschirnhaus:
Methodus Datae figurae, rectis lineis & Curva Geometrica terminatae, aut Quadraturam, aut impossibilitatem ejusdem Quadraturae determinandi, auctore D.T.

11) La méthode fut exposée dans les Acta Eruditorum du mois de mai 1683, dans l'article:
Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione, par D.T.
Il va sans dire qu'elle ne conduit pas au résultat annoncé. Voir Cantor, Vorlesungen, III, p. 108.