Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2892.
Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
14 mars 1695.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas²⁾.

A Paris le 14 Mars 1695.

Celleci Monsieur est pour vous donner avis qu'aussi-tost que j'ay receu vôtre lettre du 3^e mars je n'ay point manqué d'ecrire à Mr Bernoulli dont j'atens la reponse au premier jour. Ainsi vous pouvez conter que vous serez incessamment eclairci sur cette affaire.

J'aprens avec plaisir que vous faites imprimer un petit traité philosophique avec la description de vôtre nouvelle horloge³⁾ que j'ai beaucoup d'impatience de voir estimant infiniment tout ce qui vient de vous.

Mr Hartsoeker m'est venu aporter son livre qui est intitulé essay de dioptrique que je n'ai point encore lû, mais sur ce qu'il m'en a dit autre fois je ne suis point content de ses idées sur la phisique. A legard du livre de Mr de la Hire il contient plusieurs petits traitez. Ce qu'il y a de purement mathematique regarde les Epicycloides⁴⁾, il y maltraite fort Mr. Tchirnhaus quil reprend sur sa caustique

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 322.

2) La Lettre N^o. 2891 (voir la note 4 de cette lettre) et l'extrait suivant d'une lettre de de l'Hospital à Jean Bernoulli, datée du 10 juin 1695 nous font connaître du moins partiellement le contenu de cette lettre perdue: ‘Voici l'histoire de la chaire de mathematique d'holande. M. Hugens a qui j'ecrivis il y a deja longtems que s'il se presentoit quelque chaire de mathematique en holande il me feroit plaisir de m'en avertir et de vous la procurer’ [nous n'avons pas rencontré une phrase de cette portée dans les lettres de de l'Hospital à Huygens] ‘m'a écrit une lettre par laquelle il me prioit de savoir de vous si vous seriez toujours dans le mesme dessein, je luy fis réponse qu'il me falloit mander les appointemens de cette chaire et le lieu de la ville, afin que vous puissiez vous determiner plus facilem.t la dessus. Il me marqua qu'il y avoit 1200 ℔ d'appointement, monnoye d'holande qui valent 1440 ℔ de celle de france & que la ville étoit Groningues, mais qu'il me prioit instamment de ne vous point nommer la ville que vous n'eussiez donné parole positive de l'accepter. Sur cela je vous ecrivis la lettre que vous scavez, et aussitost que je receus vostre reponse, j'écrivis a M. Hugens que je vous trouvois ebranlé mais que vous désiriez scavoir si l'on souhaittoit en particulier vostre personne et la ville et les autres particularités que vous me marquiez dans vostre lettre. Sur cela je n'ay eu aucune reponse de M. Hugens quoique je luy aye encore écrit deux fois depuis’ [lettres que nous ne connaissons pas]. ‘Mais apparemment qu'il l'a fait servir à Mrs. les curateurs de l'académie de Groningue, qui vous ont fait ecrire la lettre dont vous me parlez’.

3) Comparez la Lettre N^o. 2889.

4) Voir la note 12 de la Lettre N^o. 2893.

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circulaire sans faire aucune mention des journaux de leipsic ou cela a deja été fait⁵⁾; de sorte qu'a vous parler franchement je trouve que cela vient un peu tard, d'ailleurs ses demonstrations sont à la maniere des anciens, ce qui les rend longues et ennuyeuses. J'ai resolu pendant mon voyage de la campagne un probleme de mechanique qui me paroit assez curieux, et qui peut estre fort utile, mais comme je l'ai envoyé il y a deja quelque temps à Mr Bernoulli pour etre mis dans les actes de Leipsic⁶⁾ je ne vous en dirai rien ici. Cela a donné occasion à Mr Bernoulli de proposer un probleme que voici.

Trouver dans un plan vertical la courbe ABC, telle que le poids B qui descend librement le long de cette courbe la presse en tous ses points avec la meme force centrifuge: ou ce qui revient au même trouver une courbe DE, telle que le poids B attaché au fil BE enveloppé autour de cette courbe et descendant par sa pesanteur tende toujours avec une egale force le fil BE⁷⁾. J'en ai trouvé sur le champ une solution, qui me donne pour la nature de la courbe ABC en nommant la coupée AF, x; et l'appliquée FB, y; cette equation axx==2y³-5ayy+4aay-a³⁸⁾. Je vous enverray, si vous le souhaitez la maniere dont je m'y suis pris.

5) Voir l'article de février 1690, cité dans la note 15 de la pièce N^o. 2626, dans lequel von Tschirnhaus reconnaît l'erreur commise sur laquelle on peut consulter la pièce N^o. 2626 et l'article de Jean Bernoulli qui parut dans les ‘Acta’ de janvier 1692 sous le titre: ‘Solutio Curvae Causticae per vulgarem Geometriam Cartesianam; aliaque, Auctore Johanne Bernoulli, Med. Cand.’.

6) L'article en question parut dans les ‘Acta’ de février 1695 sous le titre: ‘Illustris Marchionis Hospitalii solutio Problematis Physico-Mathematici ab erudito quodam Geometra propositi’. Dans cet article il s'agit du problème du pont-levis, c'est-à-dire de la détermination de la courbe sur laquelle un poids donné fait équilibre partout avec un pont-levis à l'extrémité duquel il est attaché par une corde passant sur une poulie.

7) Ce problème fut proposé publiquement aux géomètres par Jean Bernoulli dans une ‘Additio’ à l'article: ‘Excerpta ex Literis Illustris D. Marchionis Hospitalii ad Joh. Bernoulli, addenda ejus Solutioni problematis aequilibrii in Actis Eruditorum Lipsiensibus A. 1695. pag. 56. publicatae’, qui parut dans le Tome II des ‘Actorum Eruditorum quae Lipsiae publicantur Supplementa’. Lipsiae, Typis Johannis Georg I.A. M.DC.XCVI.
Dans cette ‘Additio’ Bernoulli fait remarquer l'affinité du problème avec celui de la courbe isochrone, tam Hugeniana quam Leibnitiana et il ajoute: ‘Problemati huic satisfaciunt plures variorum graduum curvae’.

8) Probablement de l'Hospital a voulu se borner au cas où la pression sur la courbe est non seulement constante mais de plus égale à la pesanteur même du poids. C'est d'ailleurs le seul cas auquel, comme dans la solution indiquée, le quotient différentiel dy/dx s'approche de zéro avec les valeurs croissantes de l'ordonnée y. Toutefois dans ce cas encore la solution est erronnée, de même qu'une autre solution communiquée par de l'Hospital à Leibniz dans une lettre du 25 août 1695 (voir le tome II de C.J. Gerhardt, Leibnizens Mathematische Schriften, à la page 281). Plus tard de l'Hospital publia une solution correcte du cas particulier mentionné dans les ‘Memoires de l'Academie Royale des Sciences’ de l'Année 1700, sous le titre: ‘Solution d'un problême physico-mathematique’.

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Jl y a quelques années que j'avois composé un traité⁹⁾ où j'explique tout ce qui regarde le calcul differentiel, et j'avois dessein d'y ajoûter plusieurs methodes pour l'inverse de ce calcul parmi les quelles etoit celle qui m'a donné la quadrature de la feüille de Descartes par rapport à son axe¹⁰⁾, j'avois dessein aussi de faire voir l'usage de ces deux calculs pour la resolution des questions ou la phisique et mechanique entrent. Mais ayant receu une lettre de Mr Leibnitz¹¹⁾ par laquelle il me marque qu'il a dessein de donner au public un traité de Scientia infiniti, je m'en abstiendrai n'etant pas juste de prevenir son travail, puisqu'il est l'autheur de ce calcul, et que d'ailleurs il s'en acquittera beaucoup mieux que moi. Je pourai cependant donner ce qui regarde le calcul differentiel parce que cela est achevé, et ne nuira point au livre de Mr Leibniz, et qu'au contraire cela poura servir à le faire entendre plus facilement. Il m'a meme prié fort honnettement de le faire¹²⁾, et dans la suitte, lorsque les ouvrages de Mrs. Leibniz et Neuton auront paru, je pourai peut-estre achever le mien, aussi bien le nombre des affaires que j'ai à present m'empesche d'avoir assez de loisir.

Je vous prie Monsieur de me conserver toujours l'honneur de vôtre amitié et d'être persuadé qu'on ne peut être plus parfaitement que je suis

vôtre treshumble tresobeissant serviteur Le M. de l'Hospital.

Si Mr Bernoulli accepte le parti que vous luy proposez comme je l'espere cet etablissement me paroissant solide, j'estime que ces Mrs. les Curateurs ne peuvent mieux faire. Car c'est un jeune homme qui a l'esprit fort penetrant et tout ce qu'il faut pour aller bien loin dans les mathematiques.

holande

A Monsieur

Monsieur Hugens de Zulichem Seigneur de Zeelhem int noordeinde naest de Crabte A la Haye.

9) L'ouvrage de 1696 cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 2580.

10) Comparez les Lettres Nos. 2838, à la page 566, N^o. 2842 et 2843.

11) Elle était datée du 16 août 1694, ainsi qu'il résulte de la réponse de de l'Hospital, imprimée p. 249-255 du Tome II de la publication de Gerhardt citée dans la note 8.

12) Dans une lettre datée du 27 décembre 1694. Consultez, au lieu cité, la réponse de de l'Hospital pp. 269-272.