Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2801.
Christiaan Huygens au Marquis de l'Hospital.
9 avril 1693.

La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
La lettre est la réponse au No. 2787.
De l'Hospital y répondit par le No. 2805.

Sommaire:
Qu'il verra ce que j'ay fait imprimer.
Ce qu'il appelle manieres diff.
Leibnitz point reussi. Rien d'approchant. Sa solution apres 2 mois.
L'autre pour la courbe de M. de Beaune, il aura vu la vostre.
Vous n'avez rien dit sur mes soutangentes. Je seray bien aise de voir comment vous avez trouvè celle de M. de Beaune. la 2de constr. meilleure.
Leibnitz de la chaine, se vante mal a propos. j'ay de grands doutes s'il a trouvè la construction.
Nous n'avons encore pu avoir le traitè de Newton. Series. On resoudra ce qui tombe dans certaines sormules?
Methode de Roberval par le mouvement. Quadratrice.
Homme de la baguette teste parlante.
Ecluse du Duc de Roanes.
Voile de Bernouilli. Contraire a ce que son frere avoit dit²⁾.

A la Haye ce 9 Avril 1693.

Vous ne pouvez douter, Monsieur, que vostre quadrature generale de la Feuille de Mr. Descartes ne soit vraie, et qu'elle ne s'accorde avec ce que j'en avois trouvé³⁾. Il paroit que cette invention avoit quelque difficultè puis que Mr. Leibnitz n'a scu en venir à bout, car luy aiant ecrit la mesme chose qu'à vous⁴⁾, touchant la quadrature particuliere, il ne m'a fait response qu'apres deux mois⁵⁾ et d'avantage, contre ce qu'il a accoutumè, et en fin il m'envoie une Quadrature, qui n'a rien d'approchant de la veritable, ce qui m'a paru bien etrange. Comme cette ligne (dit il) est d'une nature simple, et que les coordonnees y sont homoeoptotes comme dans le cercle, j'ay aussi voulu tascher si j'en pourrois trouver

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, pag. 254.

2) Ainsi qu'il résulte d'une annotation que l'on rencontrera dans l'Appendice à la Lettre de Huygens à de l'Hospital du 5 novembre 1693, il s'agit ici d'une allusion à un article de Jean Bernoulli, paru dans le Journal des Sçavans du 28 avril 1692, sous le titre: ‘Solution du problème de la courbure que fait une voile enflée par le vent. Par Monsieur Bernoulli, frère du professeur à Bâle’. Dans cet article, Jean Bernoulli annonçait avoir trouvé que la courbure de la voile est celle de la chaînette, sans y apporter la distinction pour les différentes parties de la voile, mentionnée dans la note 33 de la Lettre N^o. 2693.

3) Voir la pièce N^o. 2782.

4) Voir la Lettre N^o. 2785 à Leibniz vers la fin et la Lettre N^o. 2777 à de l'Hospital à la page 351.

5) Voir la Lettre N^o. 2797 et consulter, pour ce qui va suivre, la petite figure de la page 429, reproduite par Huygens dans sa lettre.

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la quadrature, et j'en ay enfin trouvè cette construction generale: que le triligne ABCDA est à ⅔ ny-½ xx comme le quarrè de l'abscisse x ou AB est au quarrè de l'ordonnée y ou BC. Ce qui est faux⁶⁾. Je vois pourtant, pendant que j'ecris cecy, que s'il avoit mis ⅔ ny-½ xx-⅙n²y²/x²⁷⁾, il aurait dit vray, et qu'il pourra dire que le dernier terme a estè oubliè par megarde. Mais s'il n'y a pas eu d'erreur de son costè, comment n'a-t-il pas rencontrè la simple expression de ce triligne ½ xy-nyy/6x, ou bien nyy/6x pour le segment ADC, puis que je lui avois mandè que les segmens s'exprimoient par un seul terme? Il trouvera ce qui en est dans le journal de Mr. de Beauval⁸⁾, qui a paru le mois dernier, ou j'ay fait inserer cette quadrature, en adjoutant que vous l'aiez trouvée de mesme. J'y ay aussi fait mettre vostre construction pour la dimension de la Ligne Logarithmique et la miene pour la Chainette, avec les proprietez d'une certaine quadrature de l'hyperbole. Je scay que ces livrets de Mr. de Beauval sont d'abord envoiez à Paris, autrement j'enfermerois icy les feuillets que ces choses y occupent.

Je ne doute point, que vous n'aiez la mesme methode dont je me suis servi pour la dimension de la Feuille, mais je souhaiterois de scavoir si ce que vous appelez trois manieres differentes sont autant de differentes methodes. Voicy encore ce que m'escrit Mr. Leibnitz⁹⁾: Quant à la Courbe de Mr. de Beaune, dont la soutangentielle est yy-xy/a, je l'ay voulu considerer presentement, parce qu'elle est simple, et je trouve qu'elle depend de la Courbe des Logarithmes en telle façon que le Logarithme estant y, x sera la difference entre le logarithme et la subnumerale. J'appelle ici sousnumerale z, supposè que le nombre du Logarithme est le quotient d'a divisè par a-z. Cela est exprimè assez obscurement. Il devoit dire aa divisé par a-z, alors je trouve que sa construction s'accorderoit avec vostre seconde¹⁰⁾, et FA seroit sa subnumerale¹¹⁾, que je ne scay pas pourquoy il

6) Voir la note 6 de la Lettre N^o. 2797.

7) La page 1 du Livre J nous renseigne sur la manière dont cette expression a été obtenue par Huygens. Partant de la formule correcte ½xy-⅙ny²x^-1 pour l'aire ADCB, il trouve ½x^-1y³-⅙ny⁴x^-3 pour la valeur de l'expression qui doit remplacer le terme ⅔ny-½x² de la proportion indiquée par Leibniz. Ecrivant cette expression sous la forme , Huygens y remplace ensuite y³ par sa valeur xyn-x³, obtenue à l'aide de l'équation de la courbe et arrive ainsi facilement à l'expression mentionnée dans le texte.

8) Voir la pièce N^o. 2793.

9) Voir la Lettre N^o. 2797.

10) Voir la Lettre N^o. 2787 à la page 393. Huygens reproduit ici la figure de la page 392, se rapportant à cette construction.

11) En effet, posant dans la figure de de l'Hospital, mentionnée dans la note précédente, GA=a, AC=x, BC=y, AF=z, on a par construction: x=FC-z=EB-z=EF-z=y-z, et de même, d'après la propriété principale de la Logarithmique, ; équations identiques avec celles de la note 5 de la Lettre N^o. 2797.

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nomme ainsi, mais on peut douter s'il n'a pas formè cette construction sur vostre premiere, qui est depuis le mois de Sept. de l'année passée dans le Journal des Scavans¹²⁾.

Mons.^r Leibnitz est assurement tres habile, mais il a avec cela une envie immoderée de paroistre, comme cela se voit encore dans le 13^e Journal de la mesme annee¹³⁾ lorsqu'il parle de son Analyse des infinis; du Probleme des Loxodromies, que Jac. Gregorius avoit resolu longtemps devant luy dans ses Exercitations Geometriques¹⁴⁾: des loix Harmoniques des mouvements Planetaires, ou il a suivi l'invention de Mr. Newton, mais en y meslant ses pensees qui la gastent¹⁵⁾: de sa construction de la Chainette qu'il veut preferer à celle de Mr. Bernouilly¹⁶⁾, comme si ce n'estoit pas la mesme chose de reduire cette construction à la dimension de la ligne Parabolique, ou à la quadrature de l'hyperbole, ou à la description de la Logarithmique. Et encor suis je fort en doute pour des

12) Voir l'article cité dans la note 2 de la Lettre N^o. 2787.

13) Voir l'article de Leibniz qui parut dans le Journal des Scavans du Lundi 31 mars 1692 sous le titre: ‘De la chainette: ou solution d'un problême fameux proposé par Galilei, pour servir d'essai d'une nouvelle analise des infinis, avec son usage pour les logarithmes, & une application à l'avancement de la Navigation. Par Mr. de Leibniz’.

14) Consultez la Lettre N^o. 2709, note 12.

15) Consultez, dans les Lettres N^os. 2561, 2751, 2759, 2766, 2785, et 2797, les discussions entre Huygens et Leibniz au sujet des tourbillons Cartésiens.

16) Voici comment Leibniz s'exprime, dans l'article cité dans la note 13, sur les solutions diverses du problème de la chaînette mentionnées dans la note 1 de la pièce N^o. 2681: ‘De ceux qui ont employé d'autres methodes [que la nouvelle analyse des infinis], on ne connoit que Monsieur Huygens qui ait réussi. Il est vrai qu'il suppose la quadrature d'une certaine figure. Du reste en ce qui estoit commun aux solutions ou remarques sur cette ligne, il s'est trouvé un parfait accord, quoy qu'il n'y ait eu aucune communication entres les Auteurs des solutions; ce qui est une marque de la vérité, propre à persuader ceux qui ne peuvent ou ne veulent pas, examiner la chose à fonds.
Par la methode nouvelle le problême a reçu une parfaite solution, Mr. de Leibniz qui a esté le premier à résoudre ce problême, l'ayant réduit à la quadrature de l'hyperbole; ce que Mr. Bernoulli a fait aussi ensuite: mais la construction de Monsr. de Leibniz donne enfin le moyen, de marquer autant de points qu'on voudra de la ligne demandée, en supposant une seule proportion une fois pour toutes, & n'employant du reste aucune quadrature ni extension de courbe, mais les seules moyennes, ou troisièmes proportionelles. Et comme c'est tout ce qu'on peut souhaiter pour les problèmes transcendans, il sera bon de donner ici cette construction’.
Après quoi Leibniz fait suivre, sans y ajouter quelque chose de nouveau, sa solution du problème de la chaînette avec la description de ses propriétés, telle qu'on la rencontre dans les Acta de Juin 1691, et, en abrégé, dans la Lettre N^o. 2688.

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raisons que je pourrois alleguer¹⁷⁾ s'il n'a pas tirè sa construction de celle de Mr. Bernoully. Mais je vous prie de ne tesmoigner rien de cecy.

Vous m'obligerez fort, en me communiquant la maniere dont vous estes parvenu à la construction de cette Courbe de Mr. de Beaune, où je m'attens de voir quelque chose de fort beau.

Vous ne m'avez rien respondu touchant les 2 soutangentes¹⁸⁾ que je vous avois proposées; est ce que vous trouvez l'invention de leur courbes trop aisée ou trop difficile?

La methode des Tangentes de M. de Roberval, estoit fondée sur les mouvements et les intersections d'autres lignes, dont on concevoit que les courbes estoient produites, par où je me souviens d'avoir trouvè autrefois la tangente de la Quadratrice de Dinostrate¹⁹⁾ et de plusieurs autres courbes, et cela sans calcul.

Nous n'avons pas encore pu avoir icy le Traitè de Mr. Newton, que vous souhaitez tant de voir. Mais a ce qu'un de ses amis m'a fait entendre de sa methode²⁰⁾, on n'y trouvera la solution du Probleme renversè des Tangentes ni de celuy des quadratures que quand l'expression de la soutangente ou l'Equation de la Courbe se reduisent à de certaines formules. Il s'y sert des series infinies qui vienent par division, et en tire pourtant la quadrature determinée, quand elle est possible. Mr. Leibnitz me mande²¹⁾ qu'il se sert aussi quelquefois de ces series, mais seulement pour aller à des approximations, ce que je n'estime pas beaucoup. Toutefois pour trouver la courbe ex data quantitate subtangentis, il dit²²⁾ qu'il voit le moyen d'y

17) Consultez sur ces raisons le postscriptum de la Lettre N^o. 2695, la réponse de Leibniz, notre N^o. 2699, et la Lettre N^o. 2729 à la page 184.

18) Voir, dans la Lettre N^o. 2777, les deux expressions dont il est traité dans la note 30 de cette lettre.

19) La courbe 2aθ=πr sin θ (en coordonnées polaires), dont l'ordonnée r sin θ est proportionelle à l'angle polaire.
Dans le livre A des Adversaria, on trouve, sous la date du 6 novembre 1659 la construction suivante:



ABC est quadratrice linea. B punctum in ea datum. Oportet ducere tangentem in B. Centro D scribatur arcus BE et ducatur quae eam tangat recta BF, in qua sumatur BF aequalis arcui BE; potest autem hujus longitudo ope quadratricis facile inveniri; deinde ex F ducatur FG quae sit super FB perpendicularis, et occurrat rectae DE in G: unde ducatur GB. Dico hanc esse tangentem quadratricis quaesitam.
Il est clair, en effet, que cette construction se déduit facilement par la méthode de de Roberval, puisque d'après celle-ci les projections de la vitesse du point B sur AD et sur BF doivent être dans la proportion de l'ordonnée à l'arc BE.

20) Sans doute Fatio de Duillier, par des entretiens pendant son séjour à la Haye de février à septembre 1691, ainsi que par ses Lettres N^os. 2739 et 2745.

21) Voir la Lettre N^o. 2797 à la page 430.

22) Voir la même Lettre N^o. 2797 à commencer par les dernières lignes de la page 428.

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reussir tousjours, quand la Ligne est ordinaire, mais qu'il n'a pas encore la patience ni le loisir de mestre en estat tout ce qu'il faut pour pratiquer cette methode. Une de vos deux soutangentes est marquée yy+xy/y, je crois que vous avez voulu escrireyy+xy/a.

Je suis bien aise d'estre desabusè touchant la teste parlante. J'espere de l'estre de mesme pour ce qui est de l'homme a la baguette, dont j'apprens qu'on commence de decouvrir la finesse. Vous me ferez grand plaisir, Monsieur, de me mander ce que vous en scavez. Cette imposture sera bien remarquable apres tant d'attestations et de pretendues epreuves.

Il y a deux ans ou d'avantage qu'un Ingenieur m'a parlè d'une invention de porte d'Ecluse, qu'on ouvroit en la couchant au fond de l'eau; c'est-à-dire qui tournoit aiant son costè immobile dans ce fond et couchè horizontalement, ce que je trouvay bien imaginè pour plus d'une raison. Il me dit qu'elle luy avoit estè proposée par un François qui passoit par icy. Peut-estre c'est celle dont le memoire de Mr. le Duc de Roanés raporte les avantages. J'avoue pourtant que j'y trouve quelques choses que je ne comprens pas. Je n'ay jamais oui dire qu'on fist des ecluses qui ne fussent pas doubles avec un bassin entre deux, comme sont celles entre Bruxelles et Anvers, et par tout icy en nostre pais. Et il me semble que sans cela il doit y avoir une grande perte d'eau pour chaque batteau qui passe seul, et beaucoup de peine à tirer les bateaux contre le courant, qui ne laisera pas d'estre fort viste avec les 3 pieds de pente sur 150 toises. Je n'entens pas aussi ce qui est dit de la facilitè d'ouvrir et fermer cette Ecluse, quand il y a 6 pieds d'eau d'un costè et rien de l'autre, si ce n'est qu'on hausse premierement un panneau perpendiculaire, qui en faisant une ouverture dans la porte, donne moien à l'eau de baisser beaucoup, pour ouurir en suite la porte entiere en la couchant à travers l'eau qui reste en beaucoup moindre hauteur. Je supplie tres humblement Mr. le Duc de me donner quelque eclaircissement sur ces choses et qu'il me fasse à peu pres comprendre l'invention devant que d'exiger mon approbation.

C'est beaucoup d'en avoir fait quelque essay, car on ne scauroit croire comment l'experience fait souvent decouvrir d'inconvenients que l'on n'a pu prevoir. Je vous demande pardon de la longueur de mes lettres et demeure avec respect, etc.