Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2787.
Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
12 février 1693.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2777.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2801.

J'ay receu, Monsieur, la lettre que vous m'auez fait l'honneur de m'écrire du 29 décembre. Vous auez rendu la construction du probleme de la logarithmique beaucoup plus simple et elle me paroit maintenant dans sa perfection. J'ai uerifié toutes les proprietés que vous me marquez de la courbe qui a pour equation y³-axy+x³=0, (AB=x, BC ou BD ou BE=y) que Mrs. Descartes et Hudde ont considerée, il ne faut, pour estre conuaincu qu'elle na pas plusieurs feüilles, qu'examiner la nature de l'egalité du 3^e degré y³-axy++x³=0 dont le second terme est evanoüi, car l'on uoit d'abord qu'elle a trois racines réelles lorsque x ou AB est moindre

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 248.

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que a∛4/3 sauoir deux urayes BC, BD, et vne fausse BE egale aux deux vrayes; que les deux racines urayes deuiennent egales entr'elles lorsque x=a∛4/3 et qu'enfin elles deuiennent imaginaires, et que la fausse seule demeure réelle lorsque x surpasse a∛4/3 La quadrature generale que vous me marquez s'exprimer par vn terme est celle-ci, le segment AD ou AE=axx/6y (AB=x, BD ou BE=y) et le segment AC=ayy/6x(BC=y). J'y suis paruenu par trois differentes manieres, et ie serois bien aise que vous me proposassiez quelques courbes dont vôtre methode donne la quadrature pour essayer si les miennes sont aussi generales que la vôtre.

Je vous enuoye la solution du probleme que Mr. de Beaune proposa autre fois à Mr. Descartes, et qu'on trouue dans la 79^e de ses lettres tome 3, telle que ie l'ai faite inserer dans le 34^e journal de l'année derniere²⁾.

2) Voir l'article publié par de l'Hospital dans le Journal des Sçavans du 1^er septembre 1692, sous le titre: Solution du Probleme que Monsr. de Beaune proposa autrefois à Mr. Descartes, & que l'on trouve dans le 79^e de ses lettres, tom. 3. Par Mr. G***

Probleme.

Vne ligne droite quelconque N etant donnée, et ayant mené deux autres lignes indefinies AC, AI, en sorte que l'angle CAI soit de 45 degrez; on demande la maniere de décrire la courbe ABB qui soit de telle nature, que, si l'on mene d'vn de ses points quelconques B, l'ordonnée BC, et la touchante BT, la raison de BC à CT soit toujours la mesme que celle de la droite donnée N à BI.

Ayant formé le quarré AG qui a pour côté la droite

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AH egale à la ligne donnée N, on décrira entre les asymptotes GD, GH, par le point A l'hiperbole ALL, et ayant prolongé DA en E, en sorte que AE soit egale à AH, on prendra le rectangle EC egal à l'espace hiperbolique AKL, on prolongera les droites LK, FC, jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en vn point M, et on prendra enfin IB egale à CM, je dis que le point B sera à la courbe qu'il falloit décrire^a).

Il est euident que la nature de cette ligne courbe ABB depend de la quadrature de l'hiperbole, et qu'ainsi elle est mecanique dans le sens de Descartes. Voici maintenant quelques vnes de ses proprietez.

1^o. Elle a pour asymptote la ligne DO parallele à AI.

2^o. Si l'on nomme AC, x, BC, y, l'espace ABC compris par les droites AC, CB et par la portion AB de la courbe=xy-½yy+nx³⁾.

3^o. La distance du centre de grauité de l'espace ABC de la droite AC=n++3xyy-2y³/6xy-3yy+6nx et de AK=½n+3xxy-y³/6xy-3yy+6nx⁴⁾, et on a par consequent les solides, demi-solides &c. formez par la reuolution de cet espace, tant autour de AC que de AK ou BC.

4^o. Jl est facile de determiner les centres de grauité de ces demi-solides. Mais comme on a besoin d'vne adresse particuliere pour rectifier cette courbe; en supposant la quadrature de l'hiperbole, je propose ce probleme aux geometres, les

a) Mr. Jo. Bernoulli dans les Acta de Leipsick du mois de Maj. 1693 dit que c'est luy qui a donnè cette construction dans le Journal des Scavants 34^e de 1692 [Christiaan Huygens]⁸⁾.

8) Consultez sur cette remarque, qui doit a voir été ajoutée quelques mois après la réception de la lettre, une lettre de Huygens au marquis de l'Hospital du 5 août 1693.

3) Appliquant l'équation différentielle: ndx=ydy-xdy, on trouve sydx=xy-sxdy=xy++nx-½y².

4) Lisez: ½n+3xxy-y³+3/2nxx/6xy-3yy+6nx. En effet, la valeur de sxydx, dont ce résultat dépend, s'obtient aisément comme il suit: sxydx=½x²y-½sx²dy=½x²y+¼nx²-½sxydy==½x²y+¼nx²-⅙y³+½nsydx.

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assurant qu'il merite leur recherche⁵⁾. Je vous envoirai, si vous souhaitez, le chemin que j'ai tenu pour arriuer à cette construction. Mais j'en ai trouue depuis vne autre qui me plait davantage et dont vous iugerez.

Ayant pris sur CA prolongée du côté de A, la partie AG egale à la droite donnée N, et mené GH parallele à BC, on decrira par le point A la logarithmique AE, qui ait pour asymptote la droite indefinie GH, et pour soutangente vne ligne egale à AG. On menera ensuite par vn point quelconque E de la logarithmique les droites EF, EB paralleles à GH, GA, et ayant pris EB egale à EF, je dis que le point B sera à la courbe requise. Jl est facile de rendre cette construction generale quelque puisse estre l'angle donné CAI.

Pour ce qui est de la courbe qui a pour soutangente √ay+xx j'etois dans la pensée lorsque ie vous ecriuis la derniere fois qu'elle tomboit dans ma regle, mais ayant voulu acheuer le calcul pour vous l'enuoyer j'ai trouué que ie me trompois, je ne desespere pas cependant d'en uenir a bout car cette regle se perfectionne tous les jours, je puis trouuer par son moyen les courbes qui ont pour soutangente a³y+axxy/axy+aax+x³ et yy+xy/y, dont je vous feray part si vous souhaités.

Je ne connois point la regle des tangentes de Mr. de Roberual dont vous me parlez, est elle differente de celle de Mrs. Barrou et Leibnits⁶⁾. J'ay vne grande impatience de voir la methode de Mr. Neuton pour l'inverse des tangentes, et comme je ne doute pas que vous n'en ayez bien tost des exemplaires en holande, je vous aurois la derniere obligation si vous uouliez bien m'en enuoyer vn par la poste, et au cas qu'elle soit iointe au liure de Vallis de Algebra il faudroit l'en separer, et pour le reste du liure je vous manderois a qui il le faudroit donner pour me le faire tenir, je vous demande mille pardons de la liberté que ie prends, mais ce n'est qu'à deux conditions l'vne que vous me mandiez l'argent que le liure vous aura coûté afin que ie vous le fasse rendre comme cela est dans l'ordre, et l'autre que vous uouliez bien vous seruir de moi lorsque vous aurez quelque commissions à donner pour ce payis. Je suis de vostre auis que la geometrie n'est qu'vn ieu d'esprit si on ne l'applique à la phisique et aux inuentions de mecaniques, mais il est rare, qu'on y reussisse et il faut des siecles entiers pour produire vn Hugens. La prettenduë inuention de Mr. Hautefeüille est tombée et les orlogeurs, auec lesquels il s'etoit accommodé disent qu'elle ne peut pas reussir. J'ai

5) La partie qui précède dans la présente lettre, à commencer par l'en-tête ‘Probleme’ de la page 391, est une reproduction identique de l'article cité dans la note 2; après quoi l'article fait suivre encore: ‘Je ne mets point ici la démonstration, parce que ceux qui entendent ces matières, la trouveront aisément, & qu'il faudroit trop de discours pour la faire comprendre aux autres’.

6) Consultez, sur ces méthodes, la note 6 de la Lettre N^o. 2765.

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vû il y a enuiron deux ans à la foire St. Germain vn homme qui montroit vne teste d'airain qui contrefaisoit Democrite et qui prononçoit quelques mots mais si c'est celle dont vous me parlez vous n'auez guere perdu à ne la point uoir car ayant approfondi la chose je reconnus que ce n'etoit qu'vne tromperie et que c'etoit vn homme qui etoit caché et qui parloit au trauers de quelques tuyaux qui conduisoient la uoix à la teste, et mesme l'artifice étoit grossier.

J'ai uû il y a quelques jours Mr. le Duc de Roanez⁷⁾, à qui j'ai fait vos complimens, ilm'a paru fort surpris de ce que vous n'auiez point eu de ses nouuelles et il m'a assuré, qu'il auoit prié Mr. de la Hire et quelques autres, qu'il croioit auoir commerce de lettre auec vous de vous marquer sa reconnoissance de ce que vous lui auiez enuoyé vôtre traitté de la lumiere qu'il m'a dit trouuer parfaitement beau. Jl est fort aise d'auoir trouué vne voye sure pour renoüer commerce, et pour vous en donner des marques voici vn papier qu'il enuoye qui contient les auantages d'vne nouuelle inuention d'vne porte d'ecluse et il me semble qu'il souhaite que vous mettiez au bas de ce memoire en le renuoyant que supposé que ce qu'il contient soit urai vous trouuez l'inuention nouvelle, &c. Il uous enuoira aussi tost que nous aurons vôtre reponce, le modelle de cette porte et la maniere dont on la fait. Je suis auec beaucoup d'estime

Monsieur

Vostre treshumble et tresobeissant seruiteur

Le Marquis de lHospital.

A Paris le 12^e feurier 1693.

7) Comparez, sur les relations de de l'Hospital avec Artus Gouffier, duc de Roanez, la Lettre N^o. 2600.

8) Consultez sur cette remarque, qui doit a voir été ajoutée quelques mois après la réception de la lettre, une lettre de Huygens au marquis de l'Hospital du 5 août 1693.