Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2765.
Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
10 septembre 1692.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2762.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2768.

^a) Je n'ay pû faire reponce plutost, Monsieur à la lettre que vous m'auez fait l'honneur de m'ecrire du 27^e Aoust parce que je suis à la campagne depuis quelques jours. Voicy la correction que vous me demandez. Il faut mettre mais comme il me paroist que vous faittes quelque cas de cette inuention je vous enuoye le mesme theoreme enoncé vn peu autrement auec vne demonstration fort courte mais qui suffira, a ce que je pense, pour vous conuaincre de sa verité. Les deux manieres dont vous vous estes pris pour reduire tout d'vn coup la construction de la ligne d'vne chaine pendante à la quadrature de l'hyperbole sans auoir besoin de passer par l'une ou l'autre de ces courbes, xxyy=a⁴-aayy ou xxyy=4a⁴-x⁴²⁾ doiuent estre fort belles, et je serois rauy que vous les rendissiez publiques afin de les pouuoir admirer. J'ay trouué depuis pen la solution du Probleme que Mr. de Beaune proposa autrefois à Descartes³⁾, et que l'on trouue dans la lettre 79^e du 3^e Tome sous cette ex-

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 235.

a) R. le 9 oct. [Christiaan Huygens].

2) Voir sur ces courbes l'article 7 de la pièce N^o. 2681.

3) En 1639. On ne connaît pas la lettre de de Beaune dans laquelle il propose ce problème célèbre; mais bien la réponse de Descartes du 20 février 1639. Consultez la Lettre CLVI du T. II de l'édition récente par Charles Adam et Paul Tannery des ‘OEuvres de Descartes’ et les notes explicatives qui y accompagnent cette lettre.
Comme on sait, le problème se réduit à la recherche de la courbe définie par l'équation différentielle: (y-x) dy-adx=o.

[p. 313]

pression, data qualibet linea &c.⁴⁾ Je vous en feray part si vous jugez que cela en valle la peine, j'espere que vous voudrez bien m'enuoyer les problemes qui regardent les tangentes et les quadratures afin de pouuoir m'exercer à les resoudre. Si vous y vouliez joindre quelques problemes fisicomathematiques comme je vois que ce sont ceux-la qui vous plaisent dauantage je m'y appliquerois avec soin. Je suis Monsieur avec vne estime tres singuliere

Monsieur

Vostre tres humble et tres obeissant seruiteur le M de l'Hospital.

A Ouques, ce 10^e Septembre 1692.

4) Il s'agit ici de l'édition de Clerselier, citée dans la note 1 de la pièce N^o. 351 et dont le troisième volume parut en 1667 sous le titre: ‘Lettres de Mr. Descartes, où il répond à plusieurs difficultez qui luy ont esté proposées sur la Dioptrique, la Géométrie et sur plusieurs autres sujets’. La lettre 79 de cette édition, écrite par Descartes à un inconnu, probablement en juin 1645, se trouve reproduite dans l'édition de Charles Adam et Paul Tannery à la page 227 du T. IV sous le N^o. CCCLXXXIII.
Voici le passage en question, mentionné par de l'Hospital: Datâ qualibet lineâ rectâ N, et



ductis aliis duabus lineis indefinitis ut GD et FE, quae se in puncto A ita intersecent, ut angulus EAD sit 45 graduum; quaeritur modus describendi lineam curvam ABO, quae sit talis naturae, ut à quocumque eius puncto ducantur tangens et ordinata ad diametrum GD, (quemadmodum hîc à puncto B ductae sunt tangens BL et ordinata BC), semper sit eadem ratio istius ordinatae BC ad CL, segmentum diametri inter ipsam et tangentem intercepti, quae est lineae datae N ad BI segmentum ordinatae à curva ad rectam FE porrectae’.

[p. 314]

Theor.

Soit la courbe logarithmique indefinie ABCD, qui a pour asymptote la droite TE, d'un point quelquonque E de cet asymptote ayant mené la perpendiculaire



EL, soit décritte la courbe geometrique HI, dont la nature soit exprimée par cette equation (EF ou EG ∞ y, FI ou GH ∞ z), . ou en ostant les jncommensurables, aay+2aaz√2 ∞ 2yzz. que l'on mene à present deux paralleles quelconques AFI, BGH, à l'asymptote TE, et ayant pris TE ∞ a, EL ∞ FI, EK ∞ GH, et mené les droites TG, TF, et les paralleles LD, KC, qui rencontrent la logarithmique aux points D, C; je dis que la portion AB de cette logarithmique ∞ TG-TF+LD-KC.

Demonstration.

Ayant pris l'arc BM jnfiniment petit, et mené MO parallele a BH, l'on nommera comme fait Mr. Leibnitz, BN, ou HP, dy, MN dx, et l'on aura par la proprieté de la logarithmique⁵⁾,, d'ou l'on tire BM ou . Or jl est clair que la somme des ,

5) Celle de posséder une soustangente constante.

[p. 315]

dans la portion AB, ∞ TG-TE, de sorte qu'il ne reste plus qu'à demontrer que la somme des , ce que je prouue ainsi. Soit prise KQ ∞ OP, et soit menée QS. l'on trouuera par la methode des tangentes de Barrow ou de Mr. Leibnitz, que OP ou ⁶⁾. Or par la proprieté de la logarithmique ; donc la somme des RS, c'est-à-dire LD-KC ∞ à la somme des dans la portion AB, donc &c.

6) Il s'agit évidemment de la détermination du rapport de OP, ou dz, à HP, ou dy, au moyen de l'équation de la courbe HI, laquelle équation on rencontre dans l'énconcé du théorème sous les deux formes:

(1)

et

(2)

a²y+2a²z√2=2yz².

Or, la méthode de Barrow, mentionnée dans le texte, est sans doute celle décrite dans le & XIV de la Lectio Geometrica X de l'ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N^o. 1767 (voir la page 80 de l'édition de 1674). Elle apprend à remplacer x et y par x+e et y+a, à négliger les puissances et les produits de a et e et rejeter ensuite les termes qui ne contiennent ni a, ni e, et qui, nécessairement, se détruisent entre eux. Elle ne diffère donc pas essentiellement de celle de Fermat (Consultez p.e. le Chapitre 79 de l'ouvrage de Cantor, Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik, Bd. 2, édition de 1900, p. 860-864) et s'applique facilement à l'équation de la courbe HI sous sa deuxième forme.
La méthode de Leibniz, exposée dans l'article cité dans la note 5 de la Lettre N^o. 2205, permettait au contraire de traiter l'équation sous sa première forme à l'aide de la différentiation directe des irrationnelles.