Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2724.
Christiaan Huygens à?¹⁾.
[1691].

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Je vous envoie mes reflexions sur ce qui a paru touchant le Probleme de la Chainette tant pour satisfaire a vostre curiositè que pour l'instruction de ceux a qui vous voudrez en faire part. Nous estions obligez en quelque façon Mr. Leibniz, Mr. Bernoully et moy de donner les demonstrations des choses que nous avons publiées²⁾ touchant cette Ligne, mais nous ferons encore plus pour l'utilitè des geometres si nous decouvrons les voies qui nous ont conduit a ces decouvertes.

J'avois pensè m'en pouvoir remettre à l'un ou l'autre de ces [Messieurs] que je viens de nommer, et qui ont si bien reussi a cette recherche. Mais aiant appris que nous avons tenu des chemins differens, tant par ce que j'ay pu juger par quelques Lettres de Mr. Leibnitz³⁾, que de quelqu'endroit des decouvertes de Mr.Bernoully publiées dans les Acta de Leipsic⁴⁾, j'ay creu que le public pourroit tirer des instructions de chacune de nos 3 methodes⁵⁾. Il est vray, et on le voit par nos solutions qui sont dans les Acta de Leipsich du mois de Juin de cette année, que Mr. Leibnitz et Bernouilly ont decouvert des proprietez tres belles de cette Ligne, qui me sont echappees et les quelles peut estre je n'aurois pas trouvees quand je les aurois cherchees. Toutefois je puis dire avec veritè que je ne m'y suis point attachè, croiant avoir desia plus fait qu'on n'avoit requis, puis que proposant le Probleme on n'avoit rien specifiè, mais seulement demandè quelle ligne estoit celle que fait une chorde tres flexible ou une chaine suspendue par les 2 bouts^a) de sorte que je marquay seulement les proprietez qui se presenterent dans la suite de mon raisonnement, sans m'ecarter a poursuivre d'autres dans l'incertitude de rien rencontrer qui me paiast de ma peine.

Il ne m'a pas estè difficile pourtant, apres avoir vu les productions de ces 2 Messieurs d'imaginer des moiens pour parvenir a ces mesmes veritez⁶⁾ horsmis dans

1) Nous supposons que Huygens a commencé ce mémoire, que nous avons emprunté aux pages 128 verso jusqu'à 129 verso du livre G des Adversaria, pour quelque journal, probablement pour l'‘Histoire des Ouvrages des Savans’ de Basnage de Beauval, où il est revenu plus tard sur le problème de la chaînette. Voir la note 2 de la pièce N^o. 2694.

2) En juin 1691. Voir la pièce N^o. 2681, note 1.

3) Voir les Lettres N^os. 2627, 2659, 2664, 2688 et 2699.

4) Voir, sur l'endroit en question, la Lettre N^o. 2695, à la page 140 de ce volume.

5) Ici suit la phrase, biffée par Huygens: et que la mienne ne s'éloignant pas de l'usage de l'évidence de la géométrie ordinaire il y aurait d'autant plus de ceux qui la cultivent qui la vetraient avec plaisir.

a) Mérite de la ligne. Methode de Leibnitz [Christiaan Huygens].

6) Voir la pièce N^o. 2694.

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une (que je designeray dans la suite) qui m'a tenu assez longtemps⁷⁾ devant qu'y pouvoir reussir, et que Mr. Leibnitz juge comme moy la plus considerable dans toute cette recherche⁸⁾. C'est icy que je verray avec un singulier plaisir comment son excellent calcul differentiel l'a conduit a la construction qu'il a donnée, et si Mr. Bernouilly s'en est pareillement servi pour la siene ou s'il y a eu du bonheur a sa decouverte⁹⁾ comme cela arrive fort souvent. Cependant estant incertain des differentes routes par les quelles ils sont allez, et voiant que celles que je me suis imaginees menent avec facilitè aux demonstrations des choses trouvees et que leur utilitè pourra s'etendre ailleurs j'ay voulu les exposer icy esperant que ces 2 scavants geometres en useront de mesme a mon exemple.

On doit scavoir bon grè a Mr. Bernouilly d'avoir pensè a ce probleme de la Chainette¹⁰⁾ qui est beau en ce qu'il a pour objet une ligne courbe des plus exposées a nos yeux, et qui est une de celles que la nature semble tracer elle mesme. Car il me semble qu'on s'occupe beaucoup plus agreablement a rechercher la nature de ces sortes de lignes que de celles qu'on forge et compose expres pour en trouver ensuite les diverses proprietez. Et j'ay remarquè que ces lignes naturelles ont tousjours grand nombre de ces proprietez comme par exemple le cercle, les sections coniques, et entre elles la parabole, qui se forme par le jet de corps pesants, la Cycloide qui se decrit par chaque clou d'une roue, et les Epicycloides. Il semble que de telles lignes qui se presentent souvent a nostre vue reprochent leur ignorance au geometres. Et cependant depuis tant de siecles que cette science est au monde cette courbe de la Chaine est de celles que personne jusqu'a cet heure ne s'est avisè de soumettre a l'Examen si ce n'est peut estre qu'elle a estè tentée et que le mauvais succes soit demeurè dans l'obscuritè. On scait que Galilée considera cette courbure comme si c'estoit une parabole¹¹⁾ mais a tort, comme je l'ay demontrè autrefois estant fort jeune¹²⁾, lors que je trouvay en mesme temps la presion qui tendoit une chorde selon la ligne parabolique, la quelle demonstration je fis veoir a Mr. des Cartes¹³⁾, et la communiquay au Pere Mersenne¹⁴⁾. Mais tout cela estoit peu de chose en comparaison de l'entreprise de la Chainette et l'on peut juger aucunement de sa difficultè, par le peu de solutions qui sont venues, quoyque

7) Jusqu'au 1^er septembre 1691, comme il résulte de la Lettre N^o. 2695, note 3.

8) Voir la Lettre N^o. 2699.

9) Au-dessus de la ligne Huygens a écrit, comme variante qu'il semble préférer: s'il y est parvenu par une remarque particuliere.

10) Voir la note 2 de la pièce N^o. 2491.

11) Voir la note 1 de la Lettre N^o. 17.

12) A l'âge de 17 ans. Voir la fin de la Lettre N^o. 14.

13) Par l'intermédiaire de van Schooten. Consultez la Lettre N^o. 9.

14) Voir la Lettre N^o. 14, la Lettre N^o. 20 et les pièces N^os. 21 et 22 ou, mieux encore, la pièce publiée par Uylenbroek dans les Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, pp. 31-36, que nous publierons parmi les ‘Ouvrages inédits’.

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le Probleme ait estè proposè publiquement par l'espace de...mois¹⁵⁾. On ne scait pas bien d'abord par où entamer cette courbe par ce qu'il n'y a ni mouvement, ainsi qu'en d'autres courbes, qui serve a la former, ni corps solide dont la coupe la produise, ni aequation analytique qui en exprime la nature, car c'est cela mesme qu'il faut chercher s'il y en peut avoir. Pour moy je ne concois point qu'il y ait d'autre ouverture que celle qu'on va voir dans cette Exposition.

Je me suis figurè une chaine ABCD composée de petits grains ayant leur pesanteurs egales et enfilez avec des separations egales a un fil sans pesanteur ou infiniment leger. de ces entredeux qui sont des lignes droites je supposois la plus basse BC estre horizontale.

Je scavois en considerant quelques 3 de ces interstices qui fussent de suite, quand mesme ils seraient inegaux, que les 2 exterieures estant prolongez se devoient rencontrer dans la perp.^e qui descend du point qui divise egalement l'interstice du milieu ainsi dans les trois BC, CE, EF, les deux BC, EF se rencontrent au point H qui est dans la perpend^re LH, qui vient du point L, ou CE se divise egalement.

C'est le Theoreme de Stevin¹⁶⁾, du quel j'ay des demonstrations meilleures¹⁷⁾ qu'on n'en a donnees jusqu'icy, mais je ne m'y arresteray pas maintenant. Que si l'on suppose une chaine composée de petites verges de poids et longueur egale elles prendront la mesme situation que les entredeux de fil de la precedente, comme il est aisé de voir en s'imaginant que la pesanteur de chaque vergette se soit retiree egalement vers ses 2 bouts¹⁸⁾.

15) Le problème fut proposè par Jacques Bernoulli dans les ‘Acta’ de mai 1690. Dans le numéro de juillet Leibniz annonça qu'il avait trouvé la solution et qu'il la publierait si ‘ante anni exitum nemo solutionem a se repertum esse significabit’.

16) On rencontre ce théorème à la page 57 des ‘Beginselen der Weeghconst’, l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 5, note 12. Girard, dans l'ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N^o. 2709, au premier Livre du quatrième volume, l'a traduit comme il suit: ‘Theoreme XVI, Proposition XXV. Si une colomne est suspendue par deux lignes non parallèles icelles produictes se rencontreront dans la perpendicle de gravité de la colomne’.

17) Voir, pour la démonstration du cas spécial, où il s'agit de deux poids égaux, attachés à la corde, la pièce N^o. 22. Une démonstration du cas général, fondée sur le principe que le centre de gravité ne peut pas monter sous l'action de la gravité seule, se trouve à la page 9 recto du livre G des Adversaria. Elle date probablement de décembre 1688.

18) La pièce est restée inachevée, mais on peut consulter, sur ce qui aurait pu suivre, l'article cité dans la note 2 de la pièce 2694.