Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2810.
Christiaan Huygens au Marquis de l'Hospital.
23 juillet 1693.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2807.
De l'Hospital y répondit par le No. 2815.

A. Mr. le Marq. de l'Hospital.

[A la Haye ce] 23 juillet 1693.

Je suis demeurè longtemps, Monsieur, sans me donner l'honneur de vous ecrire, voiant que vostre lettre du 12 Maj. demandoit de l'application pour estre entendue, et ayant besoin de m'en abstenir pour retablir ma santè. J'avois donnè 2 ou 3 matinees à examiner cette lettre, quand je reçus l'autre du 2e de ce mois, qui m'a encore de nouveau taillè de la besoigne²⁾.

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 266.

2) On trouve les traces de ces examens des Lettres N^os. 2805 et 2807 aux pages 15 à 28 du livre J des Adversaria, dont la page 20 est datée 6 juillet 1692. C'est à ces pages que nous avons déjà emprunté les notes 6, 10 et 13 de la Lettre N^o. 2805. Nous les utiliserons encore pour quelques notes de la présente Lettre et pour l'Appendice N^o. 2811, où l'on aperçoit de quelle manière Huygens s'est rendu compte des sommations que l'on rencontre dans les lettres mentionnées de de l'Hospital.

[p. 458]

Il y a tout plein de belles choses dans ces 2 lettres, mais de la maniere que vous les expliquez, vous m'avez laissè bien des choses à dechifrer; comme de trouver la valeur de dm quand on a posè x ∞ myy, ou my, ou autre quantitè. Et puis de trouver ces mesmes positions artificieuses qui diminuent les termes de l'Equation differentielle. Je suis pourtant à la fin venu à bout, ou peu s'en faut, de l'un³⁾ et de l'autre⁴⁾, et j'ay achevè⁵⁾ l'exemple de la soutangente 2x+x³/yy en posant x ∞ my², d'ou vient dx ∞ yydm+2mydy, comme dans l'exemple de la soutangente 2x-yy/2x, et, après les substitutions, ydy ∞ dm/m³, et la ligne courbe xxyy+y⁴-

3) Voici la manière assez détournée par laquelle, à la page 20 du livre J, Huygens arrive à la formule: dx=2mydy+y²dm comme résultat de la différentiation de l'équation x=my², qui se trouve au début de la Lettre N^o. 2805.



Après avoir remplacé l'équation x=my² par bbx==my², il pose (voir la figure de cette note): AK=y; KC=x; CG=m; AV=y-dy; VE=x-dx; d'où il suit:.
On a donc de même (si DH représente la nouvelle valeur de m), en négligeant dy×dy:yy-2ydy:bb=x-dx:.
Puis on trouve à la page 25, où le calcul est repris en remplaçant toutefois le b par l'unité:

x-dx/yy-2ydy, ut pag. 20, ex x/yy sive m:;

dx=yydm+2xdy:y; sed x est my²; dx=yydm+2mydy.

4) A ce propos, la page 27 du livre J contient l'annotation suivante: ‘Positions du M. de l'Hospital pour diminuer les termes d'une Equation differentielle, et comment il forme ces positions; ydx et xdy sont chacun d'un costè de l'Equation. Voiez sa lettre du 12 mai 1693.

ydx et+2xdy; x=my2	mdy et ½ ydm; y=nm½
xdy et+3ydx; y=mx3	ydx et+xdy; x=my
mdx et-½ xdm; x=nm-½’

5) On rencontre cet ‘achèvement’ à la page 25 du Livre J sous le titre: ‘Trouver la courbe de M. Sluse ou Gutschoven par sa soutangente donnée par la meth. de M. de l'Hospital’. Voir, sur la ‘Gutschovienne’, la note 15 de la Lettre N^o. 2735.

[p. 459]

-bbxx ∞ 0. Je me suis encore proposè la soutangente xx-aa/x⁶⁾, qui fait l'Equation diffe.^le xxdy-aady ∞ xydx, ou j'ay supposè x ∞ my⁷⁾, ce qui donne dx ∞ ydm+mdy/a, et apres les substitutions, -a⁴dy/y³ ∞ mdm. Et la courbe aa ∓ ∓ yy ∞ xx. Dans vostre exemple où l'Equation differ.^le est axydx++aaxdx+x³dx ∞ a³dy+axxdy, en supposant aa+xx ∞ am je trouve bien comme vous Monsieur mdy ∞ ½ydm+½mdm; mais en supposant en suite selon la regle, y ∞ nm^½, je ne scay pas comment vous en tirez dn ∞ ½m^-½ dm ou ½ dm/√m. C'est pourquoy permettez que je vous demande icy quelque eclaircissement. Dans ce que vous avez touchant la quadrature de la courbe xx ∞ aayy∓2y⁴/2aa, je n'entens pas comment vous trouvez xdy ∞ . Il semble que de l'Equation x- ∞ 0 vous trouviez la soutangente ce qui ne suit pas par la regle ordinaire des soutangentes. Je ne vois pas non plus par ou vous trouvez la somme des ; et cela n'est pas moins difficile peut-estre que de trouver simplement et sans calcul differentiel la quadra-

6) Ce problème fut posé et résolu par Huygens à la page 28 du livre J. L'expression de la soustangente se rapporte à l'hyperbole aa+yy=xx, à laquelle la méthode devra donc le conduire. Pour y réussir, Huygens commence par écrire l'équation différentielle du texte sous la forme: xdy-a²x^-1dy=ydx; après quoi le dernier cas de la note 4 lui suggère la substitution ax=my, qui amène l'équation -a⁴y^-3 dy=mdm du texte. Exécutant alors les sommations, il trouve d'abord ½a⁴y^-2=½mm=½a²x²y^-2, puis, ajoutant la constante ± ½aa, il arrive aisément aux équations aa+yy=xx et aa-yy=xx du cercle et de l'hyperbole. Enfin il vérifie encore, pour le cas du cercle, géométriquement et algébriquement, la justesse de l'expression (xx-aa):x, ‘subtg. circ. sed in contrariam partem ac in hyp.’
Remarquons que l'addition d'une constante est motivée à la page 20, à propos d'un exemple analogue, dans les termes suivants: ‘Scio apponi posse ∓ bb quia novi subtangenti lineae cujus aequatio ½ b⁴y^-2-b⁴x²y^-2 eandem fore subtangentem curvae ½ b⁴y^-2-b⁴x²y^-4 ∓ bb=0, ex natura regulae subtangentium’, où la règle citée est celle indiquée dans la note 3 de la pièce N^o. 2612. En effet, l'expression algébrique, obtenue pour la soustangente par l'application de cette règle, est indépendante de la présence d'une constante. Ainsi, dans le cas de l'équation a⁴y^-2-a²x²y^-2[∓ aa]=0 elle mène toujours (si l'on tient compte du changement dans le signe du numérateur dont il est question dans la note citée) à l'expression: (2a⁴y^-2-2a²x²y^-2):-2a²xy^-2=(xx-aa):x.

7) Lisez: ax ∞ my.

[p. 460]

ture de cette courbe; à quoy j'ay 2 methodes⁸⁾, qui, quand la courbe est xx ∞ aayy-2y⁴/aa⁹⁾ me donnent le complement ¹⁰⁾.

J'ay tres bien compris vos exemples de la Courbe de Mr. de Beaune¹¹⁾ et de celle à la soutangente x+y, qui sont deux problemes tres beaux et heureusement resolus. J'ax essaiè de chercher la courbe de la soutangente x-y¹²⁾, mais sans y reussir, et je seray bien aise de voir si et comment elle se trouve par vostre methode.

Pour la courbe de Mr. Bernouilly le medecin, j'admire extremement comment vous l'avez pu attraper puis que la soutangente en est si compliquee. Je ne veux pas encore vous demander le secret de cette invention, mais seulement quelle sorte de courbe c'est et si elle se peut construire par la quadrature de l'hyperbole.

En fin Monsieur vostre methode est un chemin nouveau pour les belles decouvertes en Geometrie, et où je conçois un progres et une speculation infinie à cause de la varietè des Positions¹³⁾, touchant les quelles il reste à scavoir si on en peut trouver d'utiles dans toute rencontre. Mr. Bernoulli peut-estre a quelque chose de semblable, puis qu'apparemment il sait resoudre le Probleme qu'il a propose. Je n'ay pas encore vu ces Acta de Leipsic, où vous l'avez trouvè, par la faute de nos libraires.

8) On trouve dans les manuscrits de Huygens plusieurs méthodes menant à la quadrature des courbes x²=(a²y² ∓ 2y⁴):2a². En premier lieu, pour le cas x²=(a²y²-2y⁴):2a², celle mentionnée dans la note 13 de la Lettre N^o. 2643, qui commence ici par la réduction à la forme:.
En second lieu, les deux quadratures pouvaient être empruntées aux 4^e et 5^e exemples de la table des quadratures de Hubertus Huighens (voir la note 2 de Lettre N^o. 2735), dont le quatrième avait été vérifié par Christiaan Huygens au § I de la pièce N^o. 2736.
En troisième lieu, la méthode de Fermat, exposée dans la note 14 de la Lettre N^o. 2777, était applicable aux deux cas. Et Huygens avait même exécuté cette application dans tous ses détails au § VII de la pièce N^o. 2781 pour la courbe a²y²=a²x²-x⁴, et à la page 11 du livre J, que nous n'avons pas cru nécessaire de reproduire, à la courbe a²y²=a²x²+x⁴, courbes équivalentes avec celles du texte.
En quatrième lieu, la méthode de Gregory, dont il sera question dans la suite de la présente lettre, pouvait être appliquée, et Huygens l'avait même fait expressément pour la courbe b²x²+x⁴=b²y², empruntée au quatrième exemple de Hubertus Huighens. Voir la note 19.

9) Lisez au dénominateur: 2aa.

10) Au lieu de aa+2yy, lisez aa-2yy et remarquez que, dans la figure, le point H représente l'origine des coordonnées.

11) Voir la note 10 de la Lettre N^o. 2805.

12) La construction de cette dernière courbe a été vérisiée par Huygens à la page 23 du Livre J

13) Voir la note 4.

[p. 461]

Vous dites que vous m'envoiez les 3 differentes voies¹⁴⁾ pour la quadrature de la Feuille, et il semble cependant que vous ne m'en envoiez pas une. Car dans la premiere vous n'expliquez point comment on connoit que la somme des ayydx-2axydy/6xx est -ayy/6x, ce que je doute fort si je pourray trouver par vostre methode de cy-dessus.

Dans la 2^e maniere, où vous supposez y ∞ zxx/aa, j'ay fait tout le calcul¹⁵⁾ qui confirme le vostre et toutefois 2axx/3y-x⁴/2yy n'est pas la valeur du triligne ABC,



mais l'excede de ⅙ aa, c'est-à-dire de toute la Feuille. De quoy il faloit bien avertir, et faire voir (ce qui me paroit assez difficile) que cela arrive necessairement, parce qu'autrement on s'abuseroit en suivant cette maniere. Je me suis servi en cherchant la quadrature de cette courbe de la mesme supposition y ∞ zxx/aa¹⁶⁾, mais je poursuis autrement, sans calcul differentiel, ou je trouve la veritable grandeur de l'espace ABC ∞ ½ xy-ayy/6x.

La 3^e maniere, où vous vous servez de la relation entre AF et l'appliquée CF, vous avez voulu la reserver pour une autre fois. Ayez la bontè je vous prie de vous en souvenir, et de rendre les choses un peu plus claires. J'ay considerè cy devant la relation de ces lignes AF, FC pour chercher le solide par la conversion de la demie feuille ACD sur son axe AD, et ses parties, que je trouve dependre

14) Voir la Lettre N^o. 2807.

15) Ce calcul est écrit sur une feuille séparée, portant la suscription: ‘Examen de la 2^e manière de quadrer la Feuille’. Suivant la voie indiquée par de l'Hospital, Huygens arrive comme lui à l'expression 2ax²:3y-x⁴:2y² qu'il égale à celle ½xy-ay²:6x dont il connaît la justesse. Appliquant encore l'équation x³+y³-axy=0 de la feuille, cette égalité mène à l'absurdité -ay³=ax³. Diminuant alors l'expression fausse d'une quantité inconnue (‘aufero ignotum ψ², ut videam quantum sit auferendum’), il pose: , d'où il déduit par la substitution x³=axy-y³ dans le second terme du second membre: -ay³=ax³-6xyψ²; donc 6xyψ²:a=x³+y³=axy; donc (‘quod est totum folium’). Consultez encore, sur le même sujet, la note 5 de la Lettre N^o. 2807.

16) En effet, cette supposition est identique au fond avec celle bbu=aee employée dans la pièce N^o. 2782, à la page 375.

[p. 462]

de la quadrature de l'hyperbole, et dans le solide entier seulement du logarithme de 2¹⁷⁾.

Mr. Gregory Professeur à Oxford¹⁸⁾ est venu faire un tour en ce pais, et a bien voulu me communiquer sa Regle pour les quadratures, qui est pour certain ordre de lignes courbes dont les equations sont comprises de cette formule y ∞ bx^{r m}, ou a et b sont des quantitez connues, y est l'appliquée, x l'abcisse, r, n, m des exponants indeterminez et qui peuvent estre affirmatiss ou negatifs, comme aussi les signes devant les quantitez bx^r, xⁿ et a¹⁹⁾. Il a fait une

17)



Ces recherches se rencontrent aux pages 2 et 3 du livre J. Posant (voir la figure) CR=φ, RU=v, AB=b, AC=⅓b, Huygenstrouve pour l'équation du folium rapportée aux axes BC et CM.
Ecrivant le second membre sous la forme by-bi-bo+bη, Huygens trace les droites ; la parabole et l'hyperbole
Après cela il lui est facile de trouver géométriquement les sommes des by, bi et bo, prises depuis , jusqu'à . Ayant obtenu de cette manière pour la somme des ν² l'expression b×(aire hyperbol. il fait la remarque que le terme 1/27 b² est précisément égal à l'aire du rectangle APQB, ce qui lui permet de présenter le résultat obtenu sous la forme suivante: ‘Est ergo solidum ex conversione semifolii AUB circa axem AB, ad cylindrum ex conversione quadrati ABTS circa eandem AB ut spatium hyperbolicum KPQ ad qu. ABTS’, où il est clair d'ailleurs que la quadrature de cet espace hyperbolique ne dépend que de 1(AK:BQ)=1(BC:AB)=14=2l2.

18) Voir, sur David Gregory, la Lettre N^o. 1709, note 6.

19) A la page 7 du livre J, qui porte la suscription: ‘Viri Cl. Dav. Gregorij Regula ad inveniendas Curvarum certi generis quadraturas ex data Aequatione earum’, on trouve la règle en question sous la forme suivante:
‘Si aequatio curvae sit y=bx^r×(xⁿ+a)^m ubi y applicatam significat, x abscissam; r, n et m exponentes indeterminatos. Erit Area:

ubi, sicut primus terminus, ita caeteri omnes intelligantur ducti in (xⁿ+a)^m+1.’
‘Patet vero hanc seriem semper abrumpi cum r+1=n vel 2 n vel=3n &c., hoc est cum (r+1): n aequatur numero integro et positivo; quilibet enim terminus ductus est in n-r-1. Quamobrem si r+1=n sive n-r-1=0 solus remanet primus terminus, inque eo fit x^r+1-n=1, quia scimus x^o esse=1. Itaque tunc Area fit (xⁿ+a)^m+1:(mn+n); nam mn+n=mn+r+1.
Secundum autem exponentum m in Aequatione data esse vel numerum integrum vel fractionem, et vel cum signo+vel -. Ideoque tenendum de exponentibus r et n. Item in aequatione quantitates xⁿ et a posse habere signa+vel-’.
En outre, il résulte de cette page et des suivantes que Huygens a cherché sans tarder à appliquer cette règle à quelques quadratures qui lui étaient connues. Commençant par le 15^e exemple de Hubertus Huighens (voir la note 2, de la Lettre N^o. 2735), où l'équation de la courbe peut être écrite sous la forme: y=x³(x⁴+a⁴)^-½, la règle mène ; après quoi Huygens remarque que cette expression ne représente que la ‘quadratura curtata’ (voir la note 8 de la pièce N^o. 2736), tandis que la quadrature complète, donnée par Hubertus, s'exprime par ½(x⁴+a⁴)^½-½a².
Ayant essayé de même le 4^e et le 16^e exemple, c'est toujours à la quadrature ‘curtata’ qu'il arrive. Au 7^e exemple, pour lequel il choisit la forme un peu simplifiée:
y=a⁴x(x²+a²)^-2, la règle semble faillir, puisqu'elle amène-½a⁴(x²+a²)^-1 au lieu de:+½a²x²(x²+a²)^-1; mais ici encore il trouve que l'addition d'une constante suffit pour obtenir l'expression correcte.
Dans tous ces exemples c'est au premier terme que la série de Grégory s'arrête. Mais il en est autrement avec le 13^e exemple de Hubertus, où l'on a y=a^-1x³(x²+b²)^-½. Ici les deux premiers termes mènent à la quadrature ⅓a^-1x²(x²+b²)^½-⅔b²a^-1(x²+b²)^½, qui ne diffère encore que par un terme constant d'avec celle de Hubertus.
Outre ces exemples, empruntés à Hubertus, Huygens en a traité encore quelques-uns, parmi lesquels nous signalerons les deux suivants, à propos desquels Huygens a annoté: ‘Has duas dedi examinandas D. Gregorio 30 Jun. 93’; 1^o. la courbe y=4a⁴x(x⁴-a⁴)^-1 à laquelle la règle n'est pas applicable, puisque (r+1):n=½; toutefois Huygens croit savoir que la courbe est carrable algébriquement; mais cette opinion, pour laquelle il renvoie à la page 148 du livre H, repose sur une erreur de calcul, erreurs qui dans les derniers manuscrits de Huygens, cessent d'être rares; 2^o. la courbe y=a²x³(x⁴-a⁴)^-1, pour laquelle (r+1):n=1; la règle y serait donc applicable, mais elle amène, comme Huygens le remarque: ‘sive a²/o quod absurdum aut aequale nihilo; imo infinito potius, ut in spatio asymptotico hyperbolae’.

[p. 463]

recherche merveilleuse par les series pour venir à cette Regle²⁰⁾. Il dit que Mr. Newton l'a aussi trouvée par un autre chemin et encore quelque chose de plus;

20) Voir l'Appendice N^o. 1812.

[p. 464]

ce que vous verrez, ou l'avez desia vu, dans ce qu'on a publiè de lui dans le livre de Wallis²¹⁾; c'est pourquoi il n'est pas besoin que je vous explique icy la regle de Mr. Gregory. On m'a promis ces inventions de Newton copiées du dit livre, mais je n'ay encore rien receu.

Apres ce que vous m'avez appris touchant les horloges de Mr. Hautefeuille, je ne doute point qu'elles ne reussissent mal, puis que les mienes avoi[en]t du commencement de ces balanciers pesants²²⁾ qui estoient sujets à s'arrester et usoient les trous des pivots. Le meilleur est de faire leur cercles grands et legers, parce que la grandeur fait qu'ils reglent mieux le mouvement de la montre que s'ils estoient moins etendus avec le mesme poids. Pour le charme de la baguette, j'en suis fort en repos depuis les relations que j'en ay vues dans nos journaux et la decision de Mr. le Prince.

Voicy la Regle inverse des Tangentes de Mr. Fatio²³⁾, que vous n'aurez pas de peine a comprendre, mais j'en auray un peu a la rediger en forme, parce que ni l'autheur ni moy ne nous en sommes jamais donnè la peine.

Vous scavez Monsieur comment d'une equation de courbe donnée, on forme l'equation differ.^le scavoir en multipliant chaque terme par l'exposant de x et en changeant un x en dx, et en multipliant chaque terme par l'exposant de y et changeant un y en dy, et negligeant les termes qui n'ont que des quantitez connues. Ainsi de l'équation de courbe , il vient la differ.^le Vous scavez aussi comment l'equation differentielle de la courbe se trouve lors que la soutangente est donnée. Et vous ne pouvez ignorer comment d'une Equation differ.^le simple, on revient à l'Equation simple de la courbe, dont elle est produite. J'appelle Equation simple de la courbe, celle qui n'a point de fractions ou il y ait y, ou x, ou tous les deux, dans le denominateur. Car, par exemple vous voiez dans l'Equation differ.^le , qu'il y a deux termes correspondants marquez ∧, c'est a dire qui, exceptè les nombres prefigez,

21) En effet, la règle de Gregory, telle qu'on la rencontre dans sa forme la plus générale vers la fin de la pièce N^o. 1812, est identique (et non pas seulement ‘ejusdem generis’ comme Wallis semble prétendre au lieu cité) avec le ‘Theorema primum’ de Newton, publié par Wallis au Cap. 95 (voir les pages 390 et 391) de l'ouvrage cité dans la note 39 de la Lettre N^o. 2777. D'ailleurs, comme Wallis le remarque, le même théorème se retrouve dans la Lettre de Newton à Oldenburg du 24 octobre 1676. (Voir p.e. la page 209 du ‘Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz’ publié par C.I. Gerhardt).

22) Voir, entre autres, la pièce N^o. 2004.

23) Celle mentionnée pour la première fois dans la Lettre N^o. 2465 du 24 juin 1687.

[p. 465]

ont toutes les mesmes lettres, en comptant dx pour x et dy pour y. Et que de l'un ou de l'autre de ces termes on peut d'abord trouver leur generateur commun xyy²⁴⁾ en changeant dans l'un dx en x, et divisant apres par l'exposant de x qui est icy 1, ou en changeant dans l'autre dy en y et divisant alors par l'exposant de y. Et que de chacun des deux autres termes non correspondants, et qui n'ont que x ou y, on en tire leurs termes generateurs -aay+x³, de sorte que l'Equation de la courbe est xyy-aay+x³ ∞ 0. On connaitra donc que la soutangente et l'Equation differ.^le qui en est formée, sont simples, lors qu'on verra, ou que tous les termes de cette Equation sont purs, c'est a dire qu'ils ne contienent point x et y ensemble, ou que chaque paire de termes correspondans peut venir d'un mesme terme generateur. Or la Regle de Fatio ne fait autre chose que de trouver l'Equation de la courbe lors que la soutangente ou l'Equation differentielle est formée d'une Equation de courbe qui n'est pas simple, mais deguisée, c'est-à-dire qui a une ou plusieurs fractions ou il y a x ou y, ou tous les deux, dans le denominateur, au quel cas il n'est pas si aisè de demesler quels sont les termes generateurs qui composent l'Equation de la courbe. Et il faut scavoir que tres souvent les soutangentes ou deguisées expres ou simplement données, et aussi l'équation differentielle, qui en est formée, sont telles, comme si l'une et l'autre avoient este formées d'une Equation deguisée de ligne courbe.

Par ex. de l'Equation simple xyy-aay+x³ ∞ 0, on a, par la regle connuë des tangentes, la soutangente simple -2xyy+aay/yy+3xx ou, mettant pour 3xx sa valeur 3aay-3xyy/x, on aura la soutangente deguisée -2xxy+aax/3aa-2xy, une de celles que je vous avois proposées²⁵⁾. Et l'Equation differ.^le, la quelle provient aussi de l'equation y²/x²-aay/x³+1 ∞ 0, qui est la premiere deguisée par la multiplication par 1/x³.

Voicy donc comme j'explique la Regle de Mr. Fatio.

Estant donnè quelque soutangente, on en formera l'Equation differ.^le. Et apres qu'on aura reconnu, comme il a estè montrè, qu'elle est deguisée, on verra s'il y a une ou plusieurs paires de termes correspondants, tels que je les ay desinis, quoy qu'ils ne puissent pas provenir d'un mesme terme generateur.

Ainsi dans l'equation differentielle, qu'on vient de voir, il y a deux paires de termes correspondans marquez ∧ et . Que s'il y a, outre les termes correspondants,

24) Les lettres xyy, imprimées par Uylenbroek, manquent dans l'état actuel du manuscrit par suite d'une déchirure.

25) Voir la Lettre N^o. 2768 à la page 328.

[p. 466]

il y a [sic] des termes, qui n'aient point de corresp.^s ou que tous soient tels, et que dans ce nombre il y en ait meslez de x et y, il faut voir si, en multipliant l'Equation par quelque puissance de x ou de y, ou de tous les deux, on peut rendre tous ces termes purs. Si non, l'Equation est intraitable et la Regle ne peut point servir. Ainsi dans l'Equation differ.^le , outre les termes marquez , qui sont correspondants, il y a le terme meslè x³dy, qui deviendra pur en multipliant l'equation par 1/x³. Et apres cette multiplication, qui sera y³dx/x³-2yydy/xx-dy∞0, les termes correspondants demeureront necessairement tels.

Mais si l'Equation deguisée consiste toute en termes correspondants, ou qu'outre ceux-cy elle en contiene de purs sans la dite multiplication, ou qu'après cette multiplication les termes corresp.^s ne puissent pas encore venir deux à deux d'un mesme terme generateur, alors il faut chercher ce qu'on appellera le Transformateur de cette Equation, composè de quelques puissances de x et y ensemble, ou de l'un des deux, qui multipliant l'Equation, rende tels les termes correspondants, que 2 à 2 ils puissent venir d'un mesme terme generateur, et en sorte que les autres purs ne deviennent meslez de x et y.

Soit par ex. pour l'Eq.^on differ.^le de cy-dessus

le Transformateur x^g y^h, ou g et h sont ces puissances de x et y que l'on cherche. Je scay que dans le terme generateur, d'ou je veux que les termes marquez ∧ puissent estre produits les exposants de x et de y doivent estre entr'eux comme les nombres prefigez+2 à-2, comme il s'ensuit de la maniere susdite de former les equations differentielles. Mais l'exposant de x, apres la transformation, sera g+2, parce que dans ces termes il y a desia xdx ou x². Et l'exposant de y sera h+2 parce qu'il y a desia dans ces termes ydy ou y². Donc g+2 sera à h+2, comme+2 à-2, d'ou h est ∞-g-4²⁶⁾.

Je scay de mesme que dans le terme generateur, d'ou les termes correspondants aaxdy et-3aaydx doivent naitre, les exposants de x et de y doivent estre comme les nombres prefigez -3 à+1. Mais l'exposant de x après la transform.^on sera g+1, parce qu'il y a desia x ou dx, et l'exposant de y sera h+1, parce qu'il y a desia dy ou y. Donc g+1 à h+1 comme -3 à+1; d'où vient

26) Ici Christiaan Huygens nota en marge:

g+2. h+2 2.-2

-2g-4 ∞ 2h+4

-g-4 ∞ h

[p. 467]

3h ∞-g-4²⁷⁾. Mais on avoit h ∞-g-4, donc h ∞ 3h et h ∞ 0. et g ∞-4, c'est a dire que le transformateur xg y^h sera 1/x⁴. Multipliant maintenant l'equation par ce 1/x⁴ on aura: ∞ 0. Ou l'on voit que les deux termes corresp.^s marquez ∧ ont un mesme generateur-yy/xx et que les deux marquez ont un mesme generateur aay/x³, de sorte que l'equation deguisée de la courbe est-yy/xx+aay/x³ 0/+∞ 0 et la simple: -xy+aa ∞ 0, ou-xyy+aay ∓ x³ ∞ 0. Dans l'Equation differentielle de cy dessus y³dx-2xyydy-x³dy ∞ 0, qui estant multipliée par 1/x³, estoit devenue -dy ∞ 0, les deux termes correspondants ne peuvent pas encore venir d'un mesme generateur, de sorte qu'il faut chercher un Transformateur x^g y^h. Or on trouve g-2 à h+3 comme 1 à -2, et partant-2 g+1 ∞ h, mais g doit estre ∞ 0, parce qu'autrement en transformant l'Equation, le terme pur - dy deviendroit meslè. Donc h est ∞ 1 et le Transsormateur est y, l'Equation transformée -ydy ∞ 0. Et icy le terme generateur des deux correspondants est -y⁴/2xx; et le generateur du terme pur sera -yy/2. L'Equation deguisée de la courbe est donc -y⁴/2xx-yy/2+aa ∞ 0, et l'Equation simple -y⁴-xxyy+2aax²²⁸⁾. Dans l'Equation ∞ 0, les termes marquez ∧ sont correspondants; les autres marquez ◠ sont point correspondants, ni purs, mais meslez. Mais on voit d'abord qu'ils peuvent devenir purs en multipliant l'Equ.^on par 1/x³y⁴, et point autrement; après quoy on aura

27) Le manuscrit a encore en marge:

g+1. h+1.-3. 1

g+1 ∞-3h-3

3^h ∞-g-4

28) Ajoutez ∞ 0.

[p. 468]

et en mesme temps on voit que les termes correspondants ont un commun generateur -b/xxy; que si cela n'eust point estè ainsi, l'Equation estoit intraitable. Maintenant l'Equation deguisée de la courbe sera a/y³-b/x²y+1/x² ∞ 0, et la simple axx-byy+y³ ∞ 0.

Dans l'Equation x⁴dx+bx³dx+bccdx²⁹⁾+bbccdx+x³ydy ∞ 0, qui vient de la soutangente de la Conchoide, et qui ne reçoit point de forme convenable pour la preparer à vostre methode, il n'y a aucuns termes correspondants; mais on voit



qu'en divisant par x³, tous les termes devienent purs, puis qu'on a xdx+bdx+bccdx/xx+bbccdx/x³+ydy ∞ 0, de sorte qu'il ne faut que tirer de chacun de ces termes son generateur, et en adjoutant à tous ces generateurs la quantité connue ½bb-½cc, on aura l'equation de la Conchoide³⁰⁾. Et ce sera une autre courbe, dont la soutangente s'exprime de mesme, si on n'y adjoute ni n'oste aucune quantité connue.

Dans tous les exemples precedents et dans plusieurs autres que j'ay examinez, j'ay vu que les Equations differentielles admettoient la forme convenable pour vostre methode; mais par ce dernier il semble que celle de Mr. Fatio peut servir ou la vostre n'a point lieu, comme par vostre exemple³¹⁾ où vous posez xx+aa ∞ am, il paroit que vostre methode peut servir mesme dans des courbes geometriques ou la siene demeure court, outre le grand usage de la vostre dans les Courbes Transcendantes. Cependant il manque encore à toutes les deux methodes, qu'elles ne servent pas pour les soutangentes deguisées de certaine maniere, comme sont les deux que je vous avois proposées³²⁾; mais il n'y a rien que je n'attende de vous Monsieur, après tout ce que j'ay vu. Je vous prie très humblement de me faire response sur les doutes que j'ay marqués et de me croire avec beaucoup de respect &c.

a la Haye ce 23 Jul. 1693.

29) Lisez: bccxdx.

30) Prenant, en effet, l'asymptote pour l'axe des y, cette équation peut s'écrire x²y²+(x²-c²)× ×(x+b)²=0, ou bien: ½ y²+½x²+bx+½b²-½c²-bc²x^-1-½b²c²x^-2=0.

31) Consultez sur cet exemple la Lettre N^o. 2805 à la page 447.

32) Voir la Lettre N^o. 2777 aux pages 352 et 353 et la note 12 de la Lettre N^o. 2805.