Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2807.
Le marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
2 juillet 1693.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2806.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2810.

Monsieur

C'est avec bien du chagrin Monsieur que j'ai appris votre indisposition. J'espere qu'elle n'aura eu aucune suite et que vous en serez à present parfaitement gueri. Je vous envoye les trois differentes voyes qui m'ont conduit à la quadrature de

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I. p. 264.

[p. 453]

la feuille de Mr. Descartes, parce que vous me paroissez en auoir quelque enuie.



1.^re maniere. L'équation à la courbe est x³+y³=axy, la differentielle est 3xxdx+3yydy=axdy+aydx, et multipliant par y, et mettant a la place de y³ sa valeur axy-x³, on trouue , et prenant de part et d'autre les sommes on aura la somme des ydx, c'est à dire l'espace ²⁾. 2.^e maniere, on supposera y=zxx/aa, d'ou l'on tire par la substitution , et prenant les differences , et partant zxxdx/aa, c'est-à-dire et prenant les sommes, celle des ydx, c'est-à-dire l'espace ^a).

3^e maniere, on change l'equation qui exprime la relation de AB a BC, en vne autre qui exprime celle de AF a FC, et on prend ensuite les sommes. ce que je vous expliqueray plus au long si vous le souhoitez. Vous voyez que ces trois manieres dependent d'une mesme methode qui consiste à donner à l'equation une forme telle qu'il y ait d'une part ydx ou xdy et de l'autre des quantités dont on puisse prendre les sommes.

Au reste Monsieur j'ai mille remercimens à vous faire de la maniere obligeante dont vous parlez de moi dans uos journaux³⁾. C'est vn pur effet de vôtre honnestetè que je reconnais ne meriter en aucune façon. Je vous prie de vous ressouuenir de m'enuoyer les regles que vous avez pour l'inuerse des tangentes et de me croire tres veritablement

Monsieur

Vostre treshumble et tresobeissant serviteur Le M. de l'Hospital.

2) Résultat correct.

a) Il a voulu entendre l'espace NAB et que BN est y⁵⁾ [Christiaan Huygens].

5) En effet, la formule de de l'Hospital est incorrecte quand on l'applique à l'aire ABC et la cause en est que la valeur de z, c'est-à-dire de a2y:x2, ne s'annule pas avec l'aire ABC quand l'origine A est approchée par la branche CA, puisque par suite de la relation: ay:x2=1+y3:x3 elle y atteint alors la valeur a. On trouve donc en réalité pour la somme des ydx, qui constitue cette aire: . Mais il en est autrement avec l'aire ABN à laquelle, comme Huygens le remarque à la page 39 du livre J, la méthode de de l'Hospital est également applicable, et mène ici à un résultat correct. Après avoir vérifié ce résultat, Huygens ajoute: ‘Ergo recte se habet ipsius quadratura. Sed non convenit si B[C] est y. Quaeritur cur hoc? Est enim tunc calculus idem. Superat autem ⅙aa, hoc est toto folio. Fiunt quaedam in hac computatione differentiali quorum ratio occulta est, sed quae cognoscenda esset, quia alias periculum erit ut decipiamur, neque etiam pro demonstrationem haberi poterit. Aliquid latet in collectione summarum, nam in casu B[C] est y, deberet esse summa ’.
Consultez encore une note de la Lettre à de l'Hospital du 3 septembre 1693, où l'on verra comment Huygens, par des considérations géométriques, s'est rendu compte enfin de la raison, pourquoi l'addition du terme -⅙aa devient nécessaire dans le cas B[C]=y.

3) Voir la pièce N^o. 2793, aux pages 407, 416 et 417.

[p. 454]

J'oubliois à vous mander que j'ay trouvé la solution d'un probleme^b) que Monsieur Bernoulli frere du professeur à Basle vient de proposer publiquement dans les actes de Leipsic⁴⁾. Ce probleme est tel: La courbe ABC a une proprieté telle, que chacune de ses touchantes BD est toujours à la partie AD de l'axe prise entre son origine A et la rencontre D de la touchante, en raison de p à q. On demande la nature de cette ligne ou la maniere de la décrire.

A paris ce 2 juillet.

b) quelle courbe en vient il? [Christiaan Huygens].

4) Le problème fut posé par Bernoulli à l'occasion de l'article qui parnt dans les Acta de mai 1693 sous le titre: ‘Solutio problematis Cartesio propositi Dn. de Beaune, exhibita a Joh. Bernoulli Basileensi’, où le problème fut formulé à peu près comme dans le texte de la présente lettre. Seulement au lieu du rapport p à q, on y trouve N:M. Ensuite Bernoulli ajoute: ‘Problema hoc solutu dignum est, & facile Mathematicorum applicationem meretur. In quacunque enim ratione sit M ad N, curva ABC semper eadem facilitate motu quodam continuo describi potest, non obstante, quod curva pro ratione M ad N magis vel minus composita evadat; in casu quippe rationis aequilitatis illico patet, curvam ABC esse circulum: in reliquis si M ad N est ut numerus ad numerum, erit quidem curva geometrica, secus autem transcendentalis est. Quaeritur generalis determinatio puncti in curva’.

5) En effet, la formule de de l'Hospital est incorrecte quand on l'applique à l'aire ABC et la cause en est que la valeur de z, c'est-à-dire de a2y:x2, ne s'annule pas avec l'aire ABC quand l'origine A est approchée par la branche CA, puisque par suite de la relation: ay:x2=1+y3:x3 elle y atteint alors la valeur a. On trouve donc en réalité pour la somme des ydx, qui constitue cette aire: . Mais il en est autrement avec l'aire ABN à laquelle, comme Huygens le remarque à la page 39 du livre J, la méthode de de l'Hospital est également applicable, et mène ici à un résultat correct. Après avoir vérifié ce résultat, Huygens ajoute: ‘Ergo recte se habet ipsius quadratura. Sed non convenit si B[C] est y. Quaeritur cur hoc? Est enim tunc calculus idem. Superat autem ⅙aa, hoc est toto folio. Fiunt quaedam in hac computatione differentiali quorum ratio occulta est, sed quae cognoscenda esset, quia alias periculum erit ut decipiamur, neque etiam pro demonstrationem haberi poterit. Aliquid latet in collectione summarum, nam in casu B[C] est y, deberet esse summa ’.
Consultez encore une note de la Lettre à de l'Hospital du 3 septembre 1693, où l'on verra comment Huygens, par des considérations géométriques, s'est rendu compte enfin de la raison, pourquoi l'addition du terme -⅙aa devient nécessaire dans le cas B[C]=y.