Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

(1905)–Christiaan Huygens– rechtenstatus



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N^o 2805. Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens. 12 mai 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P.J. UylenbroekGa naar voetnoot1). Elle est la réponse au No. 2801. Chr. Huygens y répondit par le No. 2806. Je crois que vous ne serez pas faché, Monsieur, de voir ici la regle dont je me suis serui pour resoudre les questions, que vous m'auez proposéesGa naar voetnoot2) qui regardent la methode inuerse des tangentes, et d'autant plus que vous m'auez marqué en auoir quelque curiosité. 1^e. question. On demande la nature de la courbe, dont la soutangente est 2x-yy/2x, c'est-à-dire en termes differentiels ydx=2xdy-yydy/2x. Toute la difficulté se reduit maintenant à diminuer le nombre des termes de cette equation afin de paruenir à vne qui n'en ait que deux, et que l'on poura par consequent construire soit en prenant les sommes, soit en supposant les quadratures. Je suppose donc pour reduire les deux termes ydx et 2xdy en vn seul, x=my², ce qui donne dx=2mydy+yydm, et mettant à la place de x et de dx leurs valeurs dans la 1^re. equation on trouue 2myydy+y³dm=2myydy-yydy/2myy, qui se reduit à 2mdm=-dy/y³, et prenant de part et d'autre les sommes il vient mm=½y^-2∓a (ou l'on doit remarquer que j'aioutte ou retranche vne quantité constante a, parce qu'autrement la courbe deuiendroit vne ligne droite) c'est a dire en mettant pour mm sa valeur xxy^-4, et ordonnant l'egalité 2aaxx=aayy ∓ 2y⁴Ga naar einda), qui est l'equation qui exprime la nature de la courbe cherchée. La quadrature de l'espace curviligne se trouve ainsi, on a xx=aayy∓2y⁴/2aa, et partant dont la somme donne la quadrature du complement de l'espace curuiligneGa naar voetnoot3).
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2^e. question. On demande la courbe qui a pour soutangente 2x+x³/yy cette question se resout de la mesme maniere que la precedente. 3^e. question. Il faut trouuer la courbe qui a pour equation differentielle aaxdy=3aaydx-2xyydx+2xxydy, ou divisant par aa, afin de donner vne forme conuenable, xdy=3ydx-2xyydx+2xxydy/aaGa naar voetnoot4). Je suppose y=mx³, pour reduire les deux termes xdy et 3ydx en vn seul, et j'ay dy=3mxxdx+x³ dm ce qui donne, en substituant ces deux valeurs, 3mx³dx+x⁴dm=3mx³dx-2mmx⁷dx+6mmx⁷dx+2mx⁸dm/aaGa naar voetnoot5), qui se reduit à mdx=-½xdm++aadm/4mx³, et ainsi l'equation proposée, qui etoit de quatre termes se trouue reduite à vne de trois sur laquelle j'applique de nouueau la regle en supposant x=nm^-½ et partant dx=-½nm^-3/2dm+m^-½dn, ce qui donne par la substitution 4n³dn=aadm, et prenant les sommes n⁴=aam ou bien en aiouttant ou retranchant vne quantité constante, n⁴=aam∓a, substituant enfin dans ces deux dernieres equations à la place de n et de m leurs valeurs xm^½ et yx^-3, on trouve xy=aa, et yyx-aay∓x³=0, qui sont les equations qui expriment la nature des courbes cherchées. Jl arriue quelque fois que l'equation differentielle ne peut estre reduite à vn moindre nombre de termes par cette regle, soit parce qu'elle n'a pas vne forme conuenable, soit parce qu'en diminuant le nombre des termes d'vn coté on l'augmente de l'autre, de sorte qu'on n'est pas plus auancé qu'auparauant. Il faut auoir recours alors à quelque adresse particuliere ce qui se comprendra mieux par un exemple. Soit proposée l'equation differentielleGa naar voetnoot6) axydx+aaxdx+x³dx==a³dy+axxdyGa naar eindb). Si l'on diuisoit par ax, on pouroit reduire les termes ydx et xdy en vn seul, mais parce que la mesme supposition augmente d'vn terme les autres, je prends plusieurs termes pour vn seul en supposant aa+xx=am, ce
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qui change l'equation en celle-ci mdy=½ydm+½mdm qui n'a que trois termes, et sur laqu'elle s'applique la regle en supposant y=nm^½ ce qui la reduit a dn=½m^-½dm, dont les sommes sont n=m^½ ou n=m^½∓a, substituant enfin a la place de n et de m leurs valeurs ym^-½ et aa+xx/a je trouue ay=aa+xx et , d'ou je connois que la courbe peut estre vne parabole ou vne ligne plus composée. Cette regle peut aussi seruir lorsque les courbes sont mecaniques. Soit proposée par exemple de decrire la courbe qui a pour soutangente x+y. L'equation differentielle sera ydx=xdy+ydy, et supposant x=myGa naar voetnoot7), on aura, apres les substitutions faites, ady=ydm, qui est vne equation a la logarithmique, d'ou l'on tire cette constructionGa naar eindc). Soit vne logarithmique quelconque ABC qui a pour asymptote la droite DF sur la qu'elle soit abbaissée librement la perpendiculaire indefinie DAI, qui rencontre la logarithmique au point A, soit mené DM parallele à vne tangente quelconque BL et qui coupe en M l'ordonnée BF qui part du point touchant B, et ayant pris DG=FM, soit acheué le rectangle FH, je dis que le point H sera à la courbe requiseGa naar voetnoot8). Car ayant mené la touchante HE on aura DE=GH. Pour auoir la quadrature de cette courbe ydx=xdy+ydy, on aioustera de part et d'autre ydx et on aura 2ydx=xdy+ydx+ydy, d'ou il suit que la somme des 2ydx, c'est a dire le double de l'espace ADGHGa naar voetnoot9)=xy+½yyGa naar eindd).
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On demande la courbe qui a pour soutangente yy-xy/a, qui est celle de Mr. de Beaune. L'equation differentielle sera adx=ydy-xdy, et supposant y-x=z, on trouue apres les substitutions faites adx=azdz/a-z, d'ou l'on voit que la courbe AMM dont les appliquées MC sont exprimées par z, et les coupées AC par x, depend de la quadrature de l'hyperbole, mais comme on a supposé y=z+x, il faut prolonger CM en B, en sorte que MB=AC, et le point B sera à la courbe cherchéeGa naar voetnoot10). Je reserue à la 1^re fois à vous enuoyer la rectification d'vne portion quelconque de cette courbeGa naar voetnoot11) qui est assurement plus difficile que celle de la logarithmique comme vous l'eprouuerez, si vous vous donnez la peine d'y penser. Vous me ferez plaisir de me faire part des regles que vous auez pour l'inuerse des tangentes. Au reste je n'ay pû resoudre vos deux courbes et il y a apparence qu'elles se reduisent à des quadratures fort composéesGa naar voetnoot12), si vous en sauez la resolution, mandez le moi et ie m'y appliquerai avec plus de soin.
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J'ai ensin trouué vn horlogeur appellé l'anglois qui demeure à la place Dauphine, et qui est le seul que ie scache qui fasse des montres de l'inuention de Mr. Hautefeüille, quoi qu'elle ne merite en nulle maniere le nom d'inuention puis qu'elle ne consiste qu'à faire les balanciers pleins, mettre le ressort spiral au dessus qui est plus fort qu'à l'ordinaire et qui fait plus de tours, et de faire des palettes au balancier plus grandes, tout cela parce que le balancier est beaucoup plus pesant. Jl pretend que l'air qui entre dans les balanciers creux doit oster quelque chose de leur justesse, et d'ailleurs que plus le balancier est pesant, plus la montre ira iuste. Je vous laisse à penser si cela merite le nom d'inuention, pour moi j'estime beaucoup plus nos montres ordinaires à grand balancier, et i'ai mesme fait auouer à cet horlogeur que ces montres n'iroient pas plus iuste que les autres. Jl me paroit qu'elles seront suiettes à vn grand inconuenient qui est que la pesanteur du balancier poura faire elargir les trous de la platine dans lesquels entre son piuot ce qui osteroit toute la justesse. Je vous prie de ne me point nommer car l'horlogeur m'a fait vn grand mystere de tout ceci, et m'a fort prié de n'en point parler, cependant la chose ne peut estre longtemps secrette, puis qu'il uendra, selon les apparences, incessamment de ces sortes de montres. Je ne vous puis faire de reponce sur le suiet de Mr. le Duc de Roanez car il est à la campagne depuis quelque temps, et ie ne manquerai pas à son retour de lui dire ce que vous me mandezGa naar voetnoot11). La longueur de cette lettre m'empesche de vous entretenir sur la baguette, plusieurs de nos philosophes se sont empressez d'en rendre raison sans beaucoup aprofondir la uerité du fait, je crois qu'il en sera comme de la dent d'or d'allemagne. Je suis tres veritablement Monsieur Vôtre tres humble et tres obeissant seruiteur le M. de l'Hospital. A Paris ce 12^e mai. Nous n'auons point ici les liurets du Sieur de beauval depuis la guerre ainsi vous me ferez plaisir Monsieur de m'enuoyer les feuilles que vous me marquez.	voetnoot1) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 259. voetnoot2) Voir, sur ces questions, la Lettre N^o. 2768 à la page 328 et la réponse de de l'Hospital notre N^o. 2775 à la page 345. einda) Mihi est 2aaxx ∞ aayy ∓ y⁴Ga naar voetnoot13) [Christiaan Huygens]. voetnoot13) Voir la Lettre No. 2643 à la page 569. A la page 18 du livre J, Huygens examine encore une fois ses deux solutions et celles de de l'Hospital, qu'il y a marquées A, B, C et D, et s'étonne évidemment du fait que tant de courbes diverses satisfont à la même équation différentielle, puisqu'il ajoute: ‘Ex 4 aequationibus curvarum A, B, C, D fit eadem subtangens’. voetnoot3) C'est-à-dire, du moins au cas -2y⁴, de l'aire ECD dont il est question dans la Lettre N^o. 2775 à la page 345. Pour le cas+2y⁴ consultez la note 12 de la même Lettre N^o. 2775. Dans ce cas il n'y pas d' ‘espace’ qu'on saurait considérer comme un ‘complement’. voetnoot4) Lisez-2xxydy. voetnoot5) Lisez:-(2mmx⁷dx-6mmx⁷dx-2mx⁸dm):aa. voetnoot6) A la page 17 du livre J Huygens essaie d'appliquer la méthode de Fatio à l'équation différentielle qui suit dans le texte. Il trouve x^-3-hy^h pour le ‘transformateur’ (voir, sur ce mot, sa Lettre à de l'Hospital du 23 juillet 1693) des ‘termes correspondants’ axydx et-ax²dy; mais la multiplication de l'équation par ce transformateur rend ‘impur’ l'un ou l'autre des termes ‘purs’ a²xdx, x²dx et -a³dy, quelle que soit la valeur qu'on assigne à l'exposant h, et Huygens en conclut: ‘Ergo haec aequ^o. differentialis non solvitur methodo Fatii. Hoc est hujus subtangentis non invenitur per eam curva. Quam Hospitalius invenit esse vel ay=ax+xx quae est parabola, vel , quae est composita ex parabolae et hyperbolae applicatis’. eindb) Cette courbe et la suivante sont celles dont il fait mention dans sa lettre précedente du 12 fevr. 93Ga naar voetnoot14) [Christiaan Huygens]. voetnoot14) Voir la Lettre No. 2787. On trouve en effet pour la soustangente ydx/dy de la première courbe (a3y+ax2y):(axy+a2x+x3) et pour celle de la suivante y+x, ou, si l'on veut, (y2+xy):y. voetnoot7) Lisez plûtot: ax=my. eindc) DG est x, GH est y, AD ∞ a [Christiaan Huygens]. voetnoot8) En effet, posant GD=x, GH=y, DF=m et a pour la soustangente de la logarithmique, on a par la propriété bien connue de la logarithmique: ydm/dy=a, donc ady=ydm; de même, par construction, x=GD=MF=BF×DF:a=my:a, d'où il suit que la courbe des points H satisfait aux équations mentionnées dans l'alinéa précédent. On remarquera que la ligne AD, laissée indéterminée par de l'Hospital, et non pas la soustangente constante a de la logarithmique, fonctionne comme constante d'intégration, puisqu'on trouvera pour l'équation de la courbe x=yly/AD, d'où cette soustangente a disparu. voetnoot9) Puisque cet espace doit s'annuler pour x=0, y=AD, on doit remplacer l'expression qui va suivre par . eindd) Imo est xy+½yy-½aa, quod miror ipsum non advertisseGa naar voetnoot15) [Christiaan Huygens]. voetnoot15) Voir la note 9 de la présente lettre. Huygens suppose AD=LF=a. Comparez encore le § I de l'Appendice à la Lettre No. 2813. voetnoot10) A la page 15 du livre J cette solution du problème de de Beaune est interprétée par Huygens à sa manière géométrique. Il y construit l'hyperbole θ=az:(a-z) et indique l'aire hyperbolique à laquelle on doit égaler le rectangle ax, ou a × AC, pour obtenir un point M de la courbe AMM, pour laquelle MC=z; ce qui conduit a la première des deux constructions communiquées par de l'Hospital dans la Lettre N^o. 2787. voetnoot11) Il n'en est plus question dans la suite de la correspondance. voetnoot12) Comme MM. W. Kapteyn, Besouclein et H. Brocard, l'ont fait remarquer dans l'‘Intermédiaire des mathématiciens’ du mois de juillet 1903, T. X, p. 198, la première des deux équations différentielles dont il s'agit ici et dont il est traité dans la note 30 de la Lettre N^o. 2777, n'est pas inaccessible même à une analyse assez élémentaire, admettant une intégrale générale relativement simple; tandis que celle de la seconde, quoiqu'elle soit réductible aux quadratures, est bien plus compliquée. Ainsi, dans la première, qui peut s'écrire: (xy+a²)dy+(xy-ax+ay)dx=0, la substitution xy+a²=ux aboutit à la séparation des nouvelles variables u et x; après quoi il est facile d'obtenir l'intégrale générale sous la forme: Quant à la seconde, qui s'écrit: x³dy+(2xy²-3a²y-3x³)dx=0, on y reconnaît facilement une équation de Riccati et on peut donc la réduire à une équation linéaire, aussitôt que l'on connaît une solution particulière. Profitant ici de celle de Huygens, indiquée dans la Lettre N^o. 2777, note 30, on peut donc poser y=x³(x²-a²)^-1+a²z^-1, après quoi on arrive à l'équation linéaire: que l'on sait ramener aux quadratures. voetnoot11) Il n'en est plus question dans la suite de la correspondance.