Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

(1905)–Christiaan Huygens– rechtenstatus

N^o 2736.
Christiaan Huygens.
[Janvier ou février 1692].
Appendice I à la lettre No. 2735Ga naar voetnoot1).

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

§ IGa naar voetnoot2).

Subnormali BF àequalis est Be applicata in curva Ae, et sic ubique, jam ½ yy sive ½ qu. BH aequatur spatio AeB ex Barovij theor.^aGa naar voetnoot3).

Quaerimus hic, ex cognita quantitate spatii AeB, expressa per x, a et b, quaenam sit aequatio curvae Ae, quae nempe exprimat relationem inter x et z, hoc est inter AB, et Be.

Exemplum 4^m Hub. Huighenij ZelandiGa naar voetnoot4).

NB. Pono x pro illius y. Et ½ yy pro illius aψGa naar voetnoot5) ut ad Barovij theorema examinem.

9b²y⁴+12a³byy-12aax⁴-4x⁶=0. Hinc incepitGa naar voetnoot7); eamque ita egregie ordinavit ut in quadrabilem ita simplicem perduceret.

Subtang.

, subnormalis.

8).

[Exemplum 15.]

Erat

non curtatum. Si x=o, fit y=o. Si x=aliquid, fit ½yy=aliquid.

15 curtatum: illustratie

; nusquam fit y=o.

a⁴+x⁴=y⁴

subtang.

subnorm.=z

x⁶=a⁴zz+x⁴zz; curva conveniens non curtato.

§ IIGa naar voetnoot9).

4x⁴-3aaxx=aazz-xxzz+2axxz-2a³z; aequatio curvae EG quadrabilisGa naar voetnoot10), cujus applicatae sunt subnormales curvae ADK usque ad D ubi subnormalis=o.

Eaedem vero applicatae sunt etiam subnormales curvae EH, cujus aequatio initio pag. sequentis ponitur. Sic omnis curva ex duarum diversarum curvarum subnormalibus applicatas constitutas habet.

Et hoc fundamento nititur Curtatio nostra. Nam ex Barovij Theoremate erit spatium AGPN aequalem ½ qu. NL. Et ex eodem erit spatium PEN=½ qu. NQ. Est autem totum spatium illustratie

, cum nempe illustratie

sive AE. Ergo cum posito AN=x, sit spatium AGPN=ax+x illustratie

=½yy ubi y est NL: erit spat. illustratie

cum y est NQ. Haec vero est non curtata quadratura quam voco: illa vero illustratie

curtata; ex quibus eandem utrobique curvam GE quadrabilem inveniri necesse est.

Curtatio nostra utilis ad formandas quadra-

turas ex quibus curva paucorum terminorum; ut patet comparatione hujus exempli cum illo quod pag. sequen.Ga naar voetnoot11) ubi tamen curva eadem utrobique oritur.

voetnoot1): Cet Appendice est emprunté aux pages 18-22 du livre H des Adversaria. Nous l'avons divisé en paragraphes.

voetnoot2): Méthode de Huygens pour trouver l'ordonnèe Be d'une cour be Ae, quand l'aire AeB est donnée en fonction de l'abscisse AB. Application aux exemples empruntés au livre de Hubertus Huighens.

voetnoot3): Voir, sur ce théorème, la Lettre N^o. 2721, note 8.

voetnoot4): Voir la Lettre N^o. 2735, note 2.

voetnoot5): Hubertus Huighens représentait donc, dans son livre, l'aire AeB par aψ.

voetnoot6): Il s'agit de calculer la soustangente de la courbe AH, pour en déduire la sousnormale BF=z; mais ici, comme toujours, Huygens évite d'employer la différentiation des expressions irrationnelles. Il commence donc par réduire l'équation de la courbe à sa forme rationnelle, afin d'y appliquer ensuite, pour trouver la soustangente, sa règle mentionnée dans la pièce N^o. 1101.

voetnoot7): Peut-être Hubertus savait-il appliquer la différentiation des irrationnelles. Dans ce cas, il pouvait partir de l'équation originale.

voetnoot8): Huygens a vérifié de même le 7^e et le 8^e exemple de Hubertus Huighens. Ensuite, à l'occasion du 11^e, il s'est aperçu qu'on peut obtenir le même résultat avec des calculs moins longs, en omettant simplement le terme constant. Il donne à ce procédé, qu'il accompagne d'une réversion du signe des autres termes, si cela est nécessaire pour faire correspondre aux valeurs positives ½yy des valeurs positives de x, le nom de ‘Curtatio’, et il l'applique aux exemples 11, 5, 13, 14, 20 et 15 de Hubertus et à un exemple composé par lui-même, sur lequel nous revenons dans le § II. Ici nous faisons suivre l'application à l'exemple 15.

voetnoot9): Justification de la ‘Curtatio’.

voetnoot10): Cette équation a étéobtenue par Huygens de deux manières différentes, c'est-à-dire: 1^o. à la page 21, en partant de l'‘aequatio curtata’ (avec réversion du signe):½ , qui représente la courbe ADK pour AN=x, NQ=y, AB=a, ;2^o. à la page suivante, en partant de l'‘aequatio non curtata’ , qui représente la courbe HE et sur laquelle il remarque: ‘Haec forma differt ab Huighenianis in quibus semper si x=o etiam y=o. Quod tamen non est necesse ut ex hoc exemplo liquet. Sufficit enim ut posita certa quadam longitudine ipsius x, fiat y=o ut hic’.
Nous avons cru pouvoir nous dispenser de reproduire ici les calculs longs et enchevêtrés qui remplissent les pages 21 et 22, et qui ont mené à ce résultat. Remarquons seulement que la courbe EG ne représente des deux branches que l'on obtient en résolvant l'équation du texte par rapport à z, que la seule branche , où, en effet, z s'annule pour .
Quant au terme constant de l'équation ‘non curtata’, il a été choisi de telle manière que la courbe HE, qu'elle représente, aille passer par le point E. Ce point E, où la sousnormale z s'aunule, est un point double de cette courbe et la branche HE coupe, en réalité, l'axe AB sous un angle oblique.
D'ailleurs il est clair que Huygens aurait pu s'épargner tous ces détours, ingénieux mais inutiles, s'il avait pénétré un peu plus avant dans le nouveau calcul, tel qu'il avait été exposé en 1684 par Leibniz, dans l'article cité dans la Lettre N^o. 2205, note 5.