Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 253]

N^o 2737.
Christiaan Huygens.
[janvier et février 1692].
Appendice II au No. 2735¹⁾.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Examen eorum quae habet Huighenius pag. 8 et 9.

Primum Exemplum erat ipsi aequatio y³+ayψ=bψψ-ψ³. Hanc aequationem pro ut voluit adsumsit dummodo y posita=o, etiam ψ foret=o.

fig. 1.

Spatium AEB curva AE, abscissa AB, et applicata normali BE, comprehensum, vocat aψ; a est linea data. AB=y, BE=x.

Haec aequatio spatium AEB exprimit per y et a, si lineae ψ valor inde eruatur.

Hinc invenit aequationem quae naturam curvae exprimit 3ay²+ayx=-aaψ+2bxψ+3xψψ²⁾.

fig. 2.

Ego ipsius y muto in x; x in z; aψ in ½ yy seu ψ in ½ yy/a.

Ergo prima aequatio mihi fit:

; aequatio curvae effectricis AD.³⁾ ; quadratura curvae AE, quae ex subnormalibus curvae AD constituitur, ut nempe BE sit aequalis subnormali BC, et sic ubique. Estque ½ qu. BD, seu ½ yy=spatio AEB ex Theor.^a Barovij⁴⁾.

1) Voir la Lettre N^o. 2735, note 10.

2) Lisez-3xψψ. L'équation s'obtient facilement en différentiant et en posant dψ=x/a dy; mais cette méthode était inconnue à Christiaan Huygens, comme cela résulte de ce qui va suivre, où la même équation va être déduite d'une autre manière.

3) Voir la fig. 2.

4) Voir toujours la note 8 de la Lettre N^o. 2721.

[p. 254]

Jam ad inveniendam aequationem curvae AE, primo secundum Regulam Tangentium⁵⁾, invenio ex aequatione hac ablatis fractionibus, subtangentem.

aequ^o. a^3x^3+½ a^3xyy-¼ bay^4+⅛y^6=o

subtangens BP.

subnormalis BC.

-a^3xz+bay^2z-¾y^4z=3a^3xx+½a^3yy aequatio curvae AE.

In hac aequatione si subftitui intelligatur valor y, inventus nempe ex aequatione prima , (quod longum esset⁶⁾) habebitur ejusmodi, quae naturam expriment curvae AE per x et z.

Mutatis hic meis literis in ipsius idem significantes, fit:

-a^3yx+2baaxψ-3aaψψx=3á^3yy+a^4ψ

per aa div. 3ayy+ayx=-a^2ψ+2bxψ-3xψψ, aequ^o eadem

quam supra.

In caeteris exemplis eadem est ratio, nisi quod ψ in prima aequatione ad altiores gradus ascendit; unde valor ejus nescio qui inveniendus etiamsi immensum laborem subire non pigeat. Forsan Tschirnhausij inventis⁷⁾ fidet, quae nescio an recte se habeant, certe nullius usus sunt.

5) La règle mentionnée dans la pièce N^o. 1101.

6) Remarquons toutefois que, pour obtenir l'équation cherchée entre x et z, il suffit d'éliminer y entre les deux équations mentionnées.

7) La méthode de Hubertus, - si elle consistait en effet, comme tout porte à le croire, dans l'élimination de ψ entre des équations conformes aux deux premières de cette pièce, pour obtenir ainsi une courbe quadrable qu'on pouvait simplifier ensuite par un choix judicieux des constantes, comme a et b, qu'on avait introduites dans la première équation, - avait une grande ressemblance avec celle exposée en octobre 1683 par von Tschirnhaus dans sa ‘Methodus Datae figurae, rectis lineis et Curva Geometrica terminatae, aut Quadraturam, aut impossibilitatem ejusdem Quadraturae determinandi’. (Voir la note 10 de la Lettre N^o. 2274). Elle serait même presque identique avec la méthode esquissée au commencement de l'article de Leibniz. ‘De dimensionibus figurarum inveniendis’ (voir la note 11 de la Lettre N^o. 2627), de laquelle von Tschirnhaus aurait d'ailleurs, selon Leibniz, empruntée la sienne. En effet, si l'on construit une courbe ayant ψ comme ordonnée et l'y de la figure 1 de cette pièce comme abscisse, cette courbe peut être considérée comme la ‘quadratrix’, la courbe originale AE comme la ‘quadranda’ de Leibniz.