Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2738.
Christiaan Huygens à Hubertus Huighens.
15 février 1692.

La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publièe par P.J. Uylenbroek¹⁾.
La lettre fait suite au No. 2735.
Hubertus Huighens y répondit par le No. 2742.

Ad Hub. Hugenium

Missis ante triduum litteris ad te meis, Vir eximie, nunc appendicem adjungo, quod adverterim errorem meum in exprimendis subnormalibus, quas voco, quem hic corrigendum duxi; ne forsan aliquid circa eas calculo investigans, frustra operam insumas. Itaque pro scribe ; pro 2y + y³/xx scribe ; pro scribe : pro scribe . Sola xx/a recte se habet. Causa erroris fuit quod solitus sim in Problemate inverso Tangentium, datas ponere subtangentes, non vero subnormales.



Atque ita incaute ex adversarijs meis²⁾ illas pro his tibi descriptas misi. Subtangentes voco ut in hac figura rectam BF, quae subjacet tangenti eF, sicut subnormalis BC subjacet rectae Ce in curva perpendiculari.

Examinavi porro reliqua omnia exempla tua pag. 6, atque adverti in quibusdam non admodum difficilem esse regressum, ut nempe ex data aequatione curva repe-

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 140.

2) Consultez les notes 14, 15, 16 et 18 de la Lettre N^o. 2735.

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riatur quadratura ejus, praesertim si compendio quodam utamur³⁾, quod tibi non ignotum esse existimo. Vale!

15 febr. 92.

3) Comme il résulte de l'examen attentif des calculs très enchevêtrés que l'on trouve aux pages 28-36 du livre H des Adversaria, le ‘compendium’ en question consiste en ce qu'on cherche à deviner la forme générale de l'expression pour aψ (ou ½ yy dans la notation de Huygens), en y laissant des coefficients indéterminés dont on se propose ensuite de chercher les valeurs convenables.
Ainsi, dans l'exemple 14 de la note 2 de la Lettre N^o. 2735, où il s'agit de déterminer l'équation ½ yy=aψ=f(x) de la courbe quadratrice AH (voir la fig. 1 de la pièce N^o. 2736, note 1) de telle manière que BF=z devienne égale à la valeur z=x³/a√bb-xx obtenue par la résolution de l'équation de la courbe donnée: x⁶=aabbzz-aaxxzz, l'expérience apprend que, pour faire apparaître l'expression irrationnelle √bb-xx dans le dénominateur de z, on doit la faire entrer dans le numérateur de yy.
Pour un premier essai Huygens va donc poser yy=θa√bb-xx; mais, puisque cela amène la sousnormale z=-θax/2√bb-xx, il est clair que pour faire monter de deux degrès la puissance de x dans le dénominateur on devra ajouter un terme comme x²√bb-xx.
En conformité avec cette remarque, Huygens va donc poser yy=λ√bb-xx++π xx/a√bb-xx, où il ne lui reste plus qu'à déterminer λ et π par la comparaison de la valeur calculée de la soustangente z avec sa valeur véritable x³/a√bb-xx. De cette manière il pourrait obtenir l'équation ‘curtata’ ½ yy=-⅔ bb/a√bb-xx-⅓ xx/a√bb-xx, d'où il lui serait facile de déduire l'équation ‘non curtata’ que l'on trouve dans la seconde colonne de la note citée.
Toutefois Huygens, dans cet exemple, n'a pas achevé les calculs que sa méthode d'éviter la différentiation directe des irrationnelles aurait encore rendus nécessaires, quoiqu'il l'ait fait pour d'autres plus simples. Il ajoute même, après quelques essais infructueux d'obtenir les coefficients λ et π par des artifices tendant à abréger ces calculs: ‘haec ergo nimis difficilem regressum habent’.