Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 244]

N^o 2735.
Christiaan Huygens, à Hubertus Huighens.
12 février 1692.

La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
La lettre est la réponse au No. 2730.
Hubertus Huighens y répondit par le No. 2742.

Viro et Geometrae eximio Huberto Huighenio Chr. Hugenius

S.P.

Ex ijs, quae ad me misisti, satis perspicio egregie te versatum in rebus geometricis et analitico calculo. Vix tamen eo, quo speras, te perventurum puto; certe operam meam frustra hic tibi venditarem. Ex datis quadraturis invenis, ut video, aequationes curvarum linearum, ad quas illae pertinent, quarum exempla²⁾ aliquot

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 137.

2) Voici, dans la notation de Chr. Huygens (voir le commencement de la pièce N^o. 2736), les exemples de Hubertus Huighens, dont il sera plusieurs fois question dans la suite, pour autant que nous avons pu les reconstruire à l'aide des pages 18-40 du livre H des Adversaria, où Huygens s'en occupe continuellement.

Équation de la courbe σϱ		Aire (appelée aψ par Hubertus Huighens) de la surface ΑσϱΒ.
1	a3=(b+x)2z	a3x:(bb+bx)
2	(3ax+4xx)2=zz(ax+xx)
3
4	aaxx+x4=bbzz
5	aaxx-x4=bbzz
6	a4=z(b+x)3
7	a4x=b4z+2bbxxz+x4z	. Voir la remarque au bas de cette note.
8	a4=b4z-2bbxxz+x4z
9
10
11	ax4=4b3zz+4x3zz
12	ax4=4b3zz-4x3zz
13	x6=aabbzz+aaxxzz
14	x6=aabbzz-aaxxzz
15	x6=a4zz+x4zz
16	x6=a4zz-x4zz
17
18
19
20	(b3+2ccx+4x3)2==16z2(a4-b3x-ccxx-x4)

A propos du 7e exemple Christiaan Huygens remarqua: ‘debebat in hoc exemplo 7^o esse ½a⁴xx:(b⁴+bbxx), quod quia aliter hic positum, idcirco non convenit aequatio curvae in Huigheniana’.

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examinavi et recte se habere comperi, unde et de caeteris nihil ambigo. An autem eadem methodo hic utaris, qua ego³⁾ (quae nempe ex Barovij Theoremate⁴⁾ quodam pendet) ignoro. Sed insigni industria saepe usum te adverto in ejusmodi quadraturis formandis, unde aequationes curvarum oriantur, quae paucis terminis constent; nisi forsan aliunde, ut fit, quadraturas istas erueras⁵⁾. Nam contraria via ex aequatione ad quadraturam pergere, etsi nonnumquam contingat, vix id in tuis illis concedi crediderim, nec Tschirnhausio se hic jactanti fidem⁶⁾ habeo. Evenit quidem mihi, ut cum aequationem curvae 15^ti.⁷⁾ exempli tui celebri geometrae proposuissem⁸⁾, ille quadraturam ejus, qualis tua est, invenerit, cum et ego meam

3) Voir l'Appendice I à cette lettre, le N^o. 2736.

4) Voir, sur ce théorème, la Lettre N^o. 2721, note 8.

5) Consultez la note 7 de la pièce N^o. 2736.

6) Allusion à l'article de Tschirnhaus mentionné dans la note 10 de la Lettre N^o. 2274.

7) Lisez 5.^ti.

8) On rencontre, en effet, à la page 19 du Livre H, à propos du cinquième exemple de la note 2 de cette lettre, l'annotation suivante: ‘Haec est eadem nostra curva pag. 1. lib. G quam Leibnitius quadravit’. Or, cette page 1 est identique avec la page 51 verso de la pagination générale du livre G et le passage en question a été reproduit dans le § 1 de notre pièce N^o. 2612. Il est vrai que la courbe, traitée dans ce passage et dont la quadrature fut proposée à Leibniz dans la Lettre N^o. 2660, ne constitue qu'un cas particulier de la courbe plus générale aaxx-x⁴=bbzz; mais il est clair que la quadrature du cas général peut être obtenue de la même manière que celle du cas particulier.

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haberem⁹⁾, sed suspicor a posteriori, ex collectis tuo modo exemplis, id eum praestitisse. Quamquam autem innumeras curvas quadrabiles ita invenire liceat, non inde sequitur talem quadraturam effici posse, cui curva quaedam, quam tibi quadrandam proponis, conveniat. Ac proinde non video, quo pacto pag. 9¹⁰⁾, ex solutione problematis tui a posteriori, concludas omnium curvarum quadraturas haberi posse. Nam ex. gr. cum aequatio circuli sit 2ay-yy ∞ xx, an putas quadraturam talem aliquam excogitari posse pag. 6.^a vel 8.^a ut inde haec aequatio nascatur. Hoc ex tuis nequaquam efficitur, et frustra te fatigares. Recte autem affirmas totum quadraturae negotium hinc pendere, ut ex data linea tua BC (quam brevitatis gratia subnormalem vocare soleo, quia normali in curvam ductae subjacet) inveniatur aequatio curvae, ad quam pertinet. Si enim subnormalis haec



BC detur , possisque hinc curvam propriam invenire, jam constat te quadraturam circuli habiturum¹¹⁾, utque proinde pag. 12, ad septimam potestatem literae y adscenderent nil opus fuerit. Caeterum hoc problema eximium jam diu geometras peritissimos exercet, nec putandum est, ipsum semper solutionem admittere. Vellem tantum hoc definiri posset, an subnormalis data ad curvam geometricam pertineat an ad alîus generis aliquam, an denique ad nullam. Habemus quidem rem confectam¹²⁾ finitis casibus, ubi subnormales dantur absque radicalibus quantitatibus, ut si sit subnormalis^{13) 14)} vel ¹⁵⁾, repe-

9) Consultez le § 1 de la pièce N^o. 2612 à la page 474. La méthode de Huygens s'applique également bien au cas général, puisque alors .

10) Nous reproduisons dans l'Appendice II de cette lettre, notre N^o. 2737, les annotations de Huygens que l'on rencontre à la page 37 du Livre H, et qui se rapportent aux pages 8 et 9 du livre de Hubertus Huighens.

11) Puisque alors, d'après le théorème de Barrow, ½BE² représenterait l'aire de la courbe , ou bien à commencer par la valeur y=o.

12) Par la méthode de Fatio. Voir la Lettre N^o. 2465, note 11.

13) Consultez les corrections apportées à cette partie de la lettre dans celle du 15 février, notre N^o. 2738, d'après lesquelles les expressions algébriques du texte, à l'exception de xx/a, représentent les soustangentes, et non pas les sousnormales, des courbes demandées.

14) On reconnaîtra ici l'un des problèmes posés à Leibniz dans la Lettre N^o. 2611 et que Huygens savait résoudre par la méthode de Fatio, comme cela résulte de la Lettre N^o. 2660, note 17. Seulement, les lettres x et y ont été échangées pour se conformer à la notation de Hubertus, et de même le signe a été inverti pour la raison que nous avons indiquée dans les notes 3 et 5 de la pièce N^o. 2612.

15) Reportée dans la notation usuelle de Christiaan Huygens, il s'agit ici de la soustangente de la Gutschovienne y⁴=-x²y²+a²x². En effet, à la page 110 verso du livre G des Adversaria, l'équation de cette courbe se trouve déduite, à l'aide de la méthode de Fatio, de l'expression citée de sa soustangente. Au pied de cette page Huygens annota après coup: ‘Hanc [curvam] Gutschovius Slusio proposuit, Slusius mihi, cujus quadraturam ex circuli quadratura pendere inveni’.
Or, dans sa lettre du 18 août 1662, notre N^o. 1049, Slusius avait indiqué à Huygens, comme un exemple de l'application de sa méthode pour les tangentes, la construction de la tangente de cette courbe de Gutschoven. Huygens, dans sa réponse du 25 septembre 1662 (notre N^o. 1065), en donna la quadrature et, de plus, la cubature d'un certain solide engendré par la révolution de la Gutschovienne.

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rientur aequationes curvarum geometricarum, quibus hae conveniunt. Aliis vero casibus non succedet; ut, si detur subnormalis ¹⁶⁾, hic cessat regula. Rursus alijs casibus alia methodo ad quadraturas res deducitur, ut si detur subnormalis xx/a¹⁷⁾, vel ¹⁸⁾, invenitur, ad prioris curvae quaesitae puncta designanda, hyperbolae quadraturam requiri; ad posterioris, tum circuli tum hyperbolae. Horum aliquid an tibi compertum sit scire velim. Item quo modo pag. 10. solutionem secundae propositionis tuae, cum quadratura per x datur, ad qua-

16) On retrouve cette expression à la page 109 verso du livre G, où elle représente la soustangente du cercle x²+y²-2ax=o. En effet, on trouve pour cette soustangente , et cette dernière expression, déguisée par la substitution 2ax=x²+y², amène l'expression , identique, après l'échange des x et y, avec celle du texte.
Or, en renversant le problème, on arrive à l'équation différentielle: 2aadx-yydx--xxdx-2aydy=o, à propos de laquelle Huygens remarque: ‘aequ^o tangentis intractabilis. Cum nulli termini correspondentes insint, nec omnes puri possint offici’. Elle constituait donc un exemple, plus simple que celui que nous avons cité dans la note 9 de la Lettre N^o. 2677, d'une équation intraitable par la méthode de Fatio et qui toutefois admettait une intégrale algébrique particulière. Evidemment Huygens était curieux de savoir si Hubertus réussirait à découvrir cette solution.

Ajoutons que l'intégrale générale s'écrit: x²+y²-2ax=Ce^-x/a.

17) Il s'agit ici de la sousnormale yy/a de la logarithmique y=Ce^x/a à soustangente constante a.

18) Cet exemple a été emprunté à la pièce N^o. 2713. Seulement, Huygens a rendu homogène l'expression employée par Leibniz. Huygens s'était occupé de ce problème à la page 8 du livre II, mais sans arriver à d'autres conclusions que celle formulée par Leibniz et que Huygens répéte ici.

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draturas Hyperbolae aut circuli deducas, et an semper eo devenias, etiamsi curva quaesita sit geometrica? Velut cum datur quadratura ista:

aψ∞ ¹⁹⁾, ubi curvae aequatio est y⁴ ∞ ddyy-ccxx, eadem quae in tuo 15^o. casu²⁰⁾. Non intelligo etiam quali calculo ex quadraturis pag. 8 elicies aequationes curvarum pag. 9. Ad haec omnia ut mihi rescribas etiam atque etiam a Te peto. Tum ut de te ipso docere velis, qui sis, et ex qua Huygheniorum familia, nam non esse eandem, nostra armorum insignia ostendunt. Vale!

Dabam Hagae Com. 12 Feb. 1692.

19) Lisez: ou .




Comme cela résulte de quelques calculs qui se trouvent à la page 25 du livre H, cette expression représente l'aire DMFH de la courbe y⁴=ddyy-ccxx, calculée à l'aide de la méthode exposée au § I de la pièce N^o. 2612 à la page 474.
En effet, l'équation de la branche MF de cette courbe peut s'écrire:
,
d'où l'aire cherchée s'obtient aisément, sous la forme mentionnée, par la sommation de deux aires paraboliques.

20) Lisez ‘5^o casu’ et consultez la note 2 de cette lettre.