Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2815.
Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
10 août 1693.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2810.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2819.
Elle s'est croisée avec le No. 2813.

ce 10^e aoust A Paris 1693.

C'est avec bien de la joye Monsieur que j'ai appris par vôtre lettre du 23 juillet le retablissement de vôtre santé. Je repondrai par articles à ce que vous souhaitez de moi, me faisant un vrai plaisir de pouvoir vous satisfaire.

1^o. Vous demandez comment l'equation differentielle mdy=½ydm+½mdm se change en cette autre dn=½m^-½dm, en supposant selon la regle y=nm^½. Vous n'ignorez pas que si l'on suppose en general y=n^am^b, on aura en prenant les differences dy=am^b n^a-1dn+bn^am^b-1dm. Les exposans des puissances, a et b peuuent estre des nombres entiers ou rompus, positifs ou negatifs; d'ou il suit que dans nôtre supposition on trouve dy=m^½dn+½nm^-½dm et substituant ensuite à la place de y et dy ces valeurs dans la 1^re equation, il vient la 2^e.

2^o. L'equation à la courbe dont il s'agit de trouver la quadrature est xx=aayy∓2y⁴/2aa. On aura par consequent x=, et multipliant de part et d'autre par dy on trouve xdy=. De sorte que la somme des , qui m'est connuë par des regles particulieres, qu'il seroit trop long d'expliquer ici, me donne la somme des xdy, c'est-à-dire la quadrature de l'espace.

3^o. Vous demandez la construction de la courbe dont la soutangente est x-y. Solution. Soit une logarithmique quelconque ABC, qui a pour asymptote la ligne DK, et pour une de ses ordonnees la droite AD, et pour soutangente perpetuelle

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae Fasc. I, p. 277.

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la constante a. Soit menée d'un de ses points quelconques B une parallele BF à DK qui rencontre AD au point E, sur laquelle soit prise la partie EF=DE×EB/a. je dis que le point F est à la courbe cherchée. Jl est à remarquer que si l'on mene les lignes AL, DL qui fassent sur AD des angles demi-droits; AL sera touchante en A, et DL coupera la courbe qui passe par tous les points F en deux portions HA, HD telles que la superieure HA a toutes ses soutangentes egales à y-x, et l'inferieure HD les a egales à x-y²⁾. Le segment DF est égal au quart du quarré de DE³⁾, de sorte que l'espace entiere AHDA est égal au quart du quarré de AD. La distance du centre de gravité du segment DF à la droite DK=4/9 DE, et à la droite DA==4/9EF+4/27 DE⁴⁾. Je puis aussi determiner les centres de gravité des solides faits par la revolution de ce segment tant autour de DK que de DA.

4^o. Comme je n'ai point vu ce que Mrs. Neuton et Gregori ont trouvé pour les quadratures des lignes courbes, j'ai essayé si je ne pourois point venir à bout de celles qui sont comprises sous la formule que vous m'avez envoyé y=b x^r×(xⁿ+a)^m, et j'ay trouvé deux suittes differentes qui donnent à ce que je pense tout ce qu'on peut souhaitter la dessus.

1^o: Suitte:

2) Le point H correspond donc au point Q de la deuxième figure de la Lettre N^o. 2813.

3) Résultat identique avec celui annoncé par Huygens dans la Lettre N^o. 2813, et démontré dans la pièce N^o. 2814.

4) Les aires des petits triangles qui constituent les accroissements successifs du segment DHF pouvant être exprimées par d.¼y²=½ydy et les distances de leurs centres de gravité aux axes DK et AD par ⅔ y et ⅔x, il est clair qu'il ne s'agit que de la détermination des intégrales ⅓∫y²dy et ⅓∫xydy qui représentent les sommes des moments de ces triangles sur les axes indiqués. La première de ces intégrales est connue immédiatement et la seconde se trouve aisément au moyen d'un artifice analogue à celui employé dans les notes 3 et 4 de la Lettre N^o. 2787, puisqu'on a: ∫xydy=½xy²-½∫y²dx=½xy²-½∫y(xdy-ydy)==½xy²-½∫xydy+⅙y³.

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&c.^5),

il est clair que le nombre des termes de cette suitte est infini lorsque m est un nombre rompu, et au contraire que le nombre en est fini c'est-à-dire que la suitte est interrompue lorsque m est un nombre entier. Or je dis que dans l'un et l'autre cas la somme de cette suitte exprime la quadrature de l'espace, qui a pour abcisse la ligne x que l'on suppose donnée. Soit par exemple m=2, la quadrature sera

Car tous les autres termes seront chacun egaux à zero puisqu'ils se trouvent tous multipliés par m-2=0. On suppose dans cette autre pour abbreger xⁿ+a=z et r=cn-1

2^e. Suitte:

^6).

Il est clair que le nombre des termes est infini lorsque c est un nombre rompu, et qu'il est fini lorsque c est un nombre entier. Or je dis que dans l'un et l'autre cas la somme de cette suitte exprime la quadrature de l'espace: mais il faut observer d'en retrancher cette autre suitte.

3^e. Suitte:

Soit par exemple c=2, on aura pour la quadrature,

5) La suite, dont tous les termes, et non pas seulement le premier, doivent être multipliés par le facteur ba^mx^r+1, est évidemment obtenue par le développement, avant l'intégration, de l'expression (a+xⁿ)^m.

6) La suite est obtenue évidemment par le développement de l'expression (z-a)^c-1, puisqu'on a: bx^r(xⁿ+a)^m dx=b/n(z-a)^c-1z^mdz.

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bz^m+2/n×1/m+2-1/m+1az^-1 moins ba^m+2/n×1/m+2-1/m+1.

On peut faire ici une remarque fort curieuse, savoir que la 1^re suitte^a) nous en fournit une infinité, dont le nombre des termes est infini et dont on a la valeur par le moyen de la 2^e suitte ce qui est reciproque. Mandez moi je vous prie si je suis tombé dans la regle de Mr. Gregori⁷⁾, ou si cela n'est pas laquelle des deux est la plus simple. On n'a point ici le livre de Wallis de Algebra et ainsi vous me feriez un plaisir singulier si vous vouliez bien m'envoyer par la poste les inventions de Mr. Neuton copiées de ce livre lorsque vous les aurez receuës et que vous en aurez fait faire une copie.

5^e. La courbe de Mr. Bernoulli⁸⁾ est geometrique lorsque la raison de BC à AC⁹⁾ est de nombre à nombre, et elle est transcendentale lorsque cette raison n'est pas de nombre à nombre. Ma construction suppose alors la quadrature de l'hyperbole, ce qui me paroist le plus simple dans ce genre. Je vous en ferai part quand vous le souhaiterez comme aussi de la maniere dont j'y suis parvenu ou vous verrez quelque chose d'assez curieux. Je n'avois point vû lorsque je vous ecrivis la dernière fois le journal de Leipsic ou Mr. Bernoulli avoit proposé son prob. Il l'avoit envoyé ici à un de ses amis pour en demander la solution à nos mathematiciens. J'ai receu depuis ce journal qui est du mois de May et j'ay esté surpris d'y trouver certaines choses touchant le probleme de Mr de Beaune¹⁰⁾ qui m'obligent à vous faire ici un petit destail. Lorsque Mr Bernouilli étoit à Paris il me vint voir et m'ayant dit qu'ils avoient fort travaillé son frere et lui sur l'inverse des tangentes, je lui proposé d'abord le probleme de Mr de Beaune, dont il est vrai qu'il m'apporta la solution quelque temps après qui n'étoit pas beaucoup differente de la mienne que je fis inserer depuis dans le 34.^e journal des Sçavans sous le nom de Mr G***, qui est la 1^re lettre de mon nom de baptesme m'appellant Guillaume et ayant des raisons alors pour cacher mon nom. Jl y a apparence que Mr. Bernoulli ayant vû dans vôtre lettre¹¹⁾ que vous m'attribuyez cette invention et voulant avoir part à la gloire qui me paroist très petite, il s'est depesché de faire mettre dans les actes de Leipsic ce que vous y verrez. Mais ce qui m'a encore surpris davantage, ce sont ses parolles: curva autem AI¹²⁾ &c. Car s'il a bonne memoire il doit se ressouvenir que je lui communiquai alors les dimensions de ces deux courbes¹³⁾ en revanche de ce qu'il m'avoit communiqué

a) qui est au commencement de cette page [Christiaan Huygens].

7) Voir, sur cette règle, la note 19 de la Lettre N^o. 2810 et la pièce N^o. 2812. Il est clair que les suites de Gregory et de de l'Hospital ne correspondent pas entre elles terme pour terme.

8) Voir le post-scriptum de la Lettre N^o. 2807, à la page 454, et la Lettre N^o. 2810 à la page 460.

9) Lisez: comme BD à AD.

10) Voir la note 9 de la Lettre N^o. 2813.

11) Voir la pièce N^o. 2793 aux pages 416 et 417.

12) Voir la note 10 de la Lettre N^o. 2813.

13) Il s'agit probablement des deux courbes logarithmiques.

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touchant la funiculaire, la voiliere¹⁴⁾ &c. Cela me rendra à l'avenir plus circonspect à l'egard de certaines gens. Je n'ai pourtant pas laissé de lui écrire depuis pour me plaindre de son procedé qui me paroist fort irrégulier, et pour lui envoyer ma solution de son probleme afin qu'il la fasse inserer lui mesme dans les journaux de leipsic¹⁵⁾, et qu'ainsi il ne s'avise pas d'insinuer qu'il m'en auroit fait part autrefois. En voila plus qu'il n'en faut sur ce sujet et si je n'etois persuadé que vous me faites l'honneur d'estre de mes amis je ne vous aurois pas fait tout ce destail qui ne peut estre qu'ennuyeux étant sur que ceux qui me connoissent sauront bien demesler la verité. Je vous suis fort obligé Monsieur de la peine que vous avez prise de mettre par ordre la regle inverse des tangentes de Mr fatio. Je ne l'ai pas encore examinée avec soin: mais à la 1^re inspection elle me paroist fort bornée et bien moins étenduë que celle dont je vous ai fait part car pour ce qui est de la soutangente de la conchoïde elle est si facile qu'il n'est besoin d'aucune methode pour la resoudre et d'ailleurs on suppose dans la mienne qu'on ait essayé auparavant si on ne peut point rendre tous les termes purs. Vous ne me parlez point de la regle que vous avez de Mr leibnitz¹⁶⁾ mandez moi je vous prie si elle est plus generale que la mienne, je serois bien aise aussi de voir de quel artifice vous vous servez pour rendre les soutangentes intraitables par nos methodes cela me serviroit peut-estre à la rendre plus generale. Je suis Monsieur avec toute l'estime imaginable vôtre treshumble et tres obeissant serviteur

Le M. de l'Hospital.

J'ai de quoi éclaircir vos difficultez sur la feuille de Mr. Descartes¹⁷⁾ mais ce sera à la 1^re occasion.

14) La courbe dont il est question dans la note 33 de la Lettre N^o. 2693.

15) Elle parut dans les ‘Acta’ de septembre 1693 sous le titre: ‘Problematis, a Joh. Bernoullio in hisce Actis mense Majo pag. 235 propositi, Solutio, a Dn. Marchione Hospitalio in literis ad Dn. Bernoullium d. 27 Junii exhibita’. On la retrouve encore, sous une forme un peu amplifiée, dans les ‘Mémoires de mathématique et de physique’ du 30 juin 1693, sous le titre: ‘Solution d'un problème de Géométrie que l'on a proposé depuis peu dans le Journal de Leipsic’.

16) Consultez la pièce N^o. 2713. Huygens avait mentionné cette règle dans les Lettres N^o. 2768 et 2777 à de l'Hospital, aux pages 328 et 352.

17) De l'Hospital n'y est pas revenu. Huygens lui avait déclaré, dans les Lettres N^os. 2813 et 2819, avoir surmonté lui-même les principales difficultés, qu'il avait rencontrées d'abord.