Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 471]

N^o 2812.
David Gregory à Christiaan Huygens.
[juin ou juillet 1693].
Appendice II au No. 2810.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens¹⁾.

1.	Nota esse semper .
2.	Ergo si sit l applicata et x abscissa curvae, et b, c et a quantitates notae, r, n et m exponentes indeterminati, atque aequatio data l=x^r×(x^n+a)^m, tum etiam .
3.	Sive ducendo terminos seriei singulos in x^r erit^a) .
4.	Et juxta Canonem^b) Gregorianum addendo cuique exponenti unitatem et dividendo quemque terminum per exponentem ita auctum^c) erit Area
5.	Jam si haec area dividatur per hanc quantitatem (x^n+a)^m+1 debet esse aequalis etiam areae^2).
6.	Atqui (x^n+a)^m+1 reducta in seriem aequalis est x^mn+n+(m+1)×x^mn × ×a+&c.

1) La pièce est probablement de la main de David Gregory. Nous avons remplacé, dans l'imprimé, la notation: du manuscrit par (a+b). Les notes a), b) etc. contiennent les annotations inscrites sur le manuscrit par Huygens.

a) delenda hic quibus supposui puncta. non enim ducuntur termini precedentes in x^r, sed pro (x^r)×x^mn scribitur x^mn+r in singulis [Christiaan Huygens]. Nous avons imprimé en italiques les mots que Huygens marque par des points].

b) Au dessus du mot Canonem Huygens écrivit: Lemma.

c) Vide pag. 6 Exercit. de dimensione sig. geom. Dav. Gregorii [Christiaan Huygens]⁵⁾.

5) Voici le ‘Lemma’ tel qu'on le rencontre à la page citée de l'ouvrage de David Gregory mentionné dans la note 6 de la pièce No. 1709:
‘Quâvis rectâ in partes innumeras discerptà, summa quarumvis dignitatum, ab innumeris istis rectis ab extremitate propositae rectae continuó incipientibus, genitarum, equalis est rectae propositae potestati, quaesitis potestatibus proximè superiori, divisae per suum exponentem’.
Ajoutons que l'on trouve, à propos de ce ‘lemma’, à la page 6 du livre J des Adversaria, la remarque suivante de Huygens: ‘Hoc apud Geometras demonstratum dicitur. Sed videtur non tam universaliter demonstratum ut etiam Radices, quadrata, cubica, etc. pro potestatibus habeantur; quanquam per consequentias ostendatur verum esse postquam de veris potestatibus demonstratum fuerit’.

2) C'est-à-dire: après avoir multiplié le quotient obtenu par ce même facteur. Comparez l'article 12.

[p. 472]

7.	Dividatur ergo area notata sic 1^mūs, per x^mn+n+(m+1)×x^mn×a+&c. Nempe primus terminus areae per primum terminum hujus seriei; scilicet x^mn+r+1/mn+r+1 per x^mn+n, et erit quotiens x^r+1-n/mn+r+1.
8.	Hic quotiens ductus in secundum terminum seriei in quam reducta est quantitas (x^n+a)^m+1, scilicet ductus in (m+1)×x^mn×a, dat qui subtractus a secundo termino Areae notatae hic 1^mus nempe subtractus ab m×x^mn+r+1-n/mn+r+1-n dat (n-r-1)×x^mn+r+1-n×a/(mn+r+1)×(mn+r+1-n.
9.	(Nempe quia m+1/m+r+1 subtractus à m/mn+r+1-n aequatur n-r-1/(mn+r+1)×(mn+r+1-n).)
10.	Deinde rursus (n-r-1)×x^mn+r+1-n/(mn+r+1)×(mn+r+1-n) divisus per primum terminum^3) Areae notatae hic 1^mus scilicet per x^mn+n dat pro Quotiente .
11.	Quare tandem exurget series talis
12.	Unde patet hanc seriem vel hunc quotientem fore aequalem verae areae si singuli quotientis termini multiplicentur in quantitatem (x^n+a)^m+1 per quam Area vera (notata hic I^mus) divisa dedit hunc quotientem, id est Areae verae aequalem fore seriem sequentem.
13.	^e)

3) Remplacez les mots qui suivent par ‘x^mn+n seriei dat pro Quotiente’.

e) hoc apposui [Christiaan Huygens], c'est-à-dire: a.

[p. 473]

	Ubi nota quemque terminum duci intelligitur in (x^n+a)^m+1^4).
14.	Patet verò etiam^f) hanc seriem semper abrumpi cum r+1=n, vel=2n, vel=3n, five r+1/n aequatur numero integro et positivo, et tum quadraturam curvae definitam exhibere.
15.	Et simili modi si aequatio sit l=bx^r×(sx+a)^m, series Aream exhibens
16.	Erit Ubi nota unumquemque terminum duci intelligitur in (sx^n+a)^m+1.

4) Comme on le voit, cette démonstration de la règle de Gregory exposée dans la note 19 de la Lettre N^o. 2810, est incomplète, puisqu'elle s'arrête au deuxième terme, tandis que les embarras du calcul s'accroissent pour les termes suivants. Toutefois la règle est correcte, sauf l'addition nécessaire d'un terme constant, et on y arrive facilement par l'application répétée de la formule:

f) hoc erat delendum [Christiaan Huygens].

5) Voici le ‘Lemma’ tel qu'on le rencontre à la page citée de l'ouvrage de David Gregory mentionné dans la note 6 de la pièce No. 1709:
‘Quâvis rectâ in partes innumeras discerptà, summa quarumvis dignitatum, ab innumeris istis rectis ab extremitate propositae rectae continuó incipientibus, genitarum, equalis est rectae propositae potestati, quaesitis potestatibus proximè superiori, divisae per suum exponentem’.
Ajoutons que l'on trouve, à propos de ce ‘lemma’, à la page 6 du livre J des Adversaria, la remarque suivante de Huygens: ‘Hoc apud Geometras demonstratum dicitur. Sed videtur non tam universaliter demonstratum ut etiam Radices, quadrata, cubica, etc. pro potestatibus habeantur; quanquam per consequentias ostendatur verum esse postquam de veris potestatibus demonstratum fuerit’.