Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

(1905)–Christiaan Huygens– rechtenstatus


N^o 2726. Christiaan Huygens à G.W. Leibniz. 1^er janvier 1692. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publiée par P.J. UylenbroekGa naar voetnoot1) et C.I. GerhardtGa naar voetnoot2). Elle fait suite au No. 2709. Leibniz y répondit par le No. 2727. A la Haye ce 1^er janvier 1692. Monsieur Vous aurez receu sans doute ma lettre du 16 novembre, puisque Mr. Meyer m'a mandè qu'elle avoit passée par ses mainsGa naar voetnoot3). J'ay attendu jusqu'icy vostre res-
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ponse, mais songeant que vous attendez peut-estre ce que j'auray à dire touchant vostre EscritGa naar voetnoot4), qu'il m'a envoiè, je ne veux pas laisser une plus longue interruption à nostre correspondance dont je tire du plaisir et de l'avantage. Vous scaurez donc touchant cet Escrit que j'ay eu de la peine d'abord à l'entendre, estant encore peu accoutumé à vostre maniere de calcul et ne demeslant pas assez bien les constructions qui resultent de vos solutions. Pourtant y estant retournèGa naar voetnoot5) avec plus de loisir j'en suis venu à boutGa naar voetnoot6). Mais qu'ay je trouvè? J'ay vu qu'en reduisant le Probleme renversè des Tangentes aux quadratures, vostre methode ne me donnoit pas ce que j'en esperois d'avantage, qui estoit de m'en pouvoir servir pour trouver les quadratures. Je scavois fort bien celle de la Courbe que vous expliquez et demonstrez, et comment par là on pouvoit construire la courbe dont la soutangente est yy:axGa naar voetnoot7), mais je croiois que par vostre methode ontrouveroit cette courbe independamment, et par elle la quadrature de l'autre, ce qui n'est point. J'ay vu de plus, en essaiant vostre methode sur plusieurs courbes connuesGa naar voetnoot8), feignant qu'elles ne le fussent point, mais seulement les proprietez de leurs tangentes, que tousjours j'estois reduit à des quadratures impossibles, comme de
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l'Hyperbole, du Cercle et autres, au lieu que par la methode de Mr. Fatio l'on trouve l'equation de la ligne cherchée sans aucune necessité d'en quadrer d'autres. Vous n'enseignez donc pas à discerner si la ligne cherchée est geometrique ou non, et s'il faut ces quadratures de l'Hyperbole et autres pour la construire. Par exemple, si la soutangente est Ga naar voetnoot9), la construction de la courbe cherchée se reduit par vostre methode à la quadrature de l'Hyperbole et à celle de la courbe Ga naar voetnoot10). Et de mesme si la soutangente est Ga naar voetnoot11), vous viendrez derechef à la quadrature de l'Hyperbole et à celle d'une autre courbe, au lieu que Mr. Fatio n'a besoin d'aucune. On ne tient donc rien par vostre methode, si on ne scait trouver les quadratures quand elles sont possibles, et
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connoitre quand elles sont impossibles, en quoy je scay par experience que vous avez quelque chose de beau, et cela paroit, dans l'exemple que vous avez mis à la fin, où vous quadrez la courbe aaxx+xxyy-aayy ∞ 0. Je l'avois aussi trouvée, comme j'ay dit, mais c'avoit estè par rencontre, et mesme par cette quadrature que je donnay à Mr. Fatio, il trouva l'equation de la courbe à qui elle convenoitGa naar voetnoot12). Considerant tout ce que je viens de dire, et voiant de plus, Monsieur, que vous appellez cette methode qui reduit aux quadratures la meilleure des vostres pour ce probleme, il m'est aisè de conclure que vous ne m'en avez envoiè qu'une petite partie, vous reservant d'y joindre par apres le reste, et qui fait presque le tout. Si je pouvois en faire de mesme en ce qui est de la methode de Mr. Fatio, je vous imiterois, mais elle est telle que vous decouvrant une partie, ce seroit vous apprendre tout. Resolvez vous donc je vous prie à m'envoier cette principale partie, a fin que Mr. Fatio ne puisse pasGa naar voetnoot13) me reprocher d'avoir trocqué χρόσεα χάλϰείων, car vous voiez bien apres tout que je ne suis pas seul maitre de la chose. En estudiant les exemples que vous donnez de vostre reduction, je me suis rendu vostre maniere de calcul un peu plus familiere qu'elle ne m'estoit, et je la trouve excellente pour representer avec facilitè et clartè ces summas minimorum, qui servent en beaucoup d'occasions. Mais je ne vois pas encore en considerant vostre equation de la Cycloide, de quel secours elle seroit pour en deduire omnia circa Cycloidem inventa, comme vous dites. Car quand ce ne seroit que pour trouver l'espace compris de cette ligne et sa base, ne faudroit il pas emploier à peu pres les mesmes biais dont on s'est servi pour cette dimension. Et s'il faloit trouver le centre de gravitè de la demie Cycloide, vostre calcul vous y meneroit il sans ces profondes speculations de Mr. PascalGa naar voetnoot14) ou WallisGa naar voetnoot15)? Vos expressions pourroient estre plus courtes, mais pour l'invention je crois qu'il faudroit passer à peu pres par les mesmes chemins. Si cela est autrement, vous me ferez plaisir de me detromper, afin que j'aye toute la bonne opinion de vostre calculus differentialis qu'il merite. Si vous lisez l'Histoire des ouvrages des Scavants qu'on publie icy de 3 en 3 mois, vous y trouverez quelque chose de moy en matiere de MusiqueGa naar voetnoot16) et qui regarde
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un nouveau systeme des Tons. Si Mrs. de Leipsich avoient envie de le mettre dans leurs ActaGa naar voetnoot17), j'y pourray joindre quelques autres nouvelles considerations. Je vous souhaite la nouvelle année heureuse et suis etc.	voetnoot1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 109. La minute publiée par Uylenbroek ne diffère pas notablement de la lettre elle-même; nous indiquerons quelques variantes dans les notes. voetnoot2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 113 et Briefwechsel, p. 674. voetnoot3) Voir la Lettre N^o. 2712. voetnoot4) Il s'agit de la pièce N^o. 2713. voetnoot5) Le 19 décembre 1691, date qu'on trouve en tête de la page 8 (pagination de Huygens) du livre H des Adversaria, où commence l'examen de la méthode de Leibniz. voetnoot6) La minute a: ‘J'ay enfin compris le tout’. voetnoot7) Voir la Lettre N^o. 2721. voetnoot8) On rencontre ces essais aux pages 10-12 du livre H des Adversaria. Outre les courbes dont il est question dans la suite, Huygens y examine encore la soustangente y dx/dy = 2x de la parabole. Ici la méthode de Leibniz mène à l'équation , c'est-à-dire à la comparaison de deux aires hyperboliques. Huygens dessine les deux hyperboles, en déduit la construction de la courbe cherchée; et il ajoute: ‘Curva quaesita ACP est parabola, sed quis hoc ex haec constructione cognesceret’. Toutefois il parvient ensuite à démontrer, à l'aide de propriétés bien connues de l'hyperbole, que la courbe qui résulte de cette construction est en effet une parabole; mais il est clair que la voie suivie devait lui sembler bien compliquée en la comparant à celle indiquée par la méthode de Fatio, qu'il avait appliquée au même problème à la page 109 recto du livre G. En effet, d'après cette méthode, mentionnée entre autres dans la note 17 de la Lettre N^o. 2660, on n'avait qu'à multiplier l'équation ydx-2xdy=0 (ou yz=2xu, comme Huygens l'écrivit) par le ‘transformateur’ y^-3 pour obtenir le ‘terme générateur’ commun xy^-2, après quoi il remarque ‘quia autem solus terminus generator x/yy invenitur, qui non potest efficere equationem curvae, oportet quantitatem aliquam cognitam quae easdem dimensiones habeat ab ipso substrahere; atque ita facere x/yy-1/a=0 unde ax-yy=0, aequatio parabolae’. voetnoot9) Il s'agit de la soustangente déguisée de la courbe aaxx+xxyy-aayy=0, que nous avons rencontrée plusieurs fois dans cette correspondance. (Voir les pièces N^os. 2624 et 2625, note 20, N^o. 2669 § II, N^o. 2672 et 2673). En effet, l'équation différentielle y³dx+aaydx-aaxdy=0, à laquelle on arrive, avait été intégrée à la page 101 verso du livre G, à l'aide de la méthode de Fatio. A cet effet, elle avait été multipliée par y^-3 pour rendre ‘pur’ le premier terme qui n'avait pas de terme ‘correspondant’. et ensuite par le ‘transformateur’ x. De cette manière fut obtenue l'équation transformée xdx+aaxy^-2dx-aaxxy^-3dy=0, sur laquelle Huygens remarque: ‘Le terme générateur sera ½aaxx/yy et l'autre ½xx, et l'équation de la courbe sera ½ aaxx/yy + ½xx - ½aa = 0 ou bien aaxx+xxyy-aayy=0 estant reduite. Au lieu de-½aa on pouvait mettre -½ab ou -½bb et on aurait trouvé toujours la soustangente comme elle a estè proposée. Mais il faut que ce terme connu soit ajoutè et cela avec le signe - parce que les 2 autres termes ont+’; et il ajoute encore en marge: ‘Il valait mieux de mettre - bb au lieu de -½aa. Et dire que supposant - bb égal à -½aa, on venait à l'Equation reduite comme elle est icy’. voetnoot10) La minute ajoute: ‘Comment scauroy-je que celle que je cherche est une ligne géométrique’. voetnoot11) L'équation 2bydx+xydx-bxdy-xxdy=0, amenée par cette valeur de la soustangente, avait été intégrée à la page 111 du livre G à l'aide du transformateur x^-3, obtenu, comme toujours, par une application systématique de la méthode de Fatio, telle qu'elle est décrite dans la lettre à de l'Hospital du 23 juillet 1693. En effet, par la multiplication avec ce transformateur on obtient l'équation 2byx^-3dx+x^-2ydx-bx^-2dy-x^-1dy=0, qui donne, ‘adjungendus terminus aliquis cognitus totidem dimensionum, ut b/a’, l'équation génératrice -byx^-2-yx^-1+b/a=0, c'est à dire l'équation de l'hyperbole: -by-xy+b/a x²=0. voetnoot12) Consultez les Lettres N^o. 2672 et 2673. voetnoot13) La minute donne: ‘n'aît pas à’. voetnoot14) Voir, sur le problème en question, la pièce N^o. 494. La solution de Pascal parut dans l'ouvrage cité dans la note 32, de la Lettre N^o. 560, sous l'article c.a. voetnoot15) Voir l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 690, note 3. voetnoot16) Voir la pièce N^o. 2705. voetnoot17) Ce qui n'a pas eu lieu. Consultez encore la lettre de Huygens du 11 juillet 1692.