Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2727.
G.W. Leibniz à Christiaan Huygens.
8 janvier 1692.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾ et C.I. Gerhardt²⁾.
Elle est la réponse aux Nos. 2709 et 2726.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2732.

A Hanover 29 Décembre Vieux Stile 1691.

Monsieur

Vous jugés bien que la lecture de vôtre lettre me devoit surprendre, aussi n'y manquait-elle pas. Neantmoins je m'avisay qu'il est plus commode de rire de la malice de quelque esprit malin^a), qui nous veut donner tousjours de quoy contester, que de s'en facher. Et puisque j'espere, que vous n'aurés pas encor communiqué mon papier à Mr. Fatio, il nous est aisé de sortir d'affaire. Vous et luy vous garderés sa methode, d'ou, excepté quelque canon ou abregé, que je pourray bien tirer moy mesme de ma regle generale, quand j'y voudray penser, je ne croy pas de pouvoir apprendre beaucoup; et bien que je n'aye pas gardé la mienne, vous aurés la bonté de ne la point communiquer. Il est vray que vous aurés l'avantage sur moy de garder l'une et l'autre; mais il n'y a pas grand mal, et je vous laisse juger vous même, si vous y avés appris quelque chose qui merite que vous me fassiés quelque autre communication reciproque. Je ne crois pas d'en pouvoir user plus honnêtement, quelque sujet qu'un autre croiroit avoir de se plaindre, j'aime mieux d'estre creancier, que de donner sujet aux autres de se plaindre de moy avec ou sans raison. C'est ce qui fait que je ne suis pas trop faché de n'avoir pas receu l'écrit de Mons. Facio en échange du mien. Vous m'auriés fait un procès, pour m'obliger à donner d'avantage, maintenant je suis à couvert

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 112.

2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 121, et Briefwechsel, p. 682.

a) petit demon [Christiaan Huygens].

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de tout reproche. Et comme mon malheur n'est pas fort grand, il m'est aisé de practiquer en cette rencontre les regles de Cardan de utilitate ex adversis capienda³⁾.

Je veux pourtant dire quelque chose à vos raisons. J'avois promis de vous donner la solution d'un certain probleme et vous me promistes en échange la solution d'un autre par la methode de M. Facio. J'ay satisfait à ma promesse, car je puis dire en verité, que pour le resoudre, je n'eus besoin que precisement de ce que j'ay mis dans mon papier, car je reduisis le probleme à une quadrature qui me paroissoit sauter aux yeux, sans avoir besoin d'une methode particuliere pour les quadratures, je devois donc attendre quelque chose de reciproque. Il est vray que cette methode est bornée, mais ne mandâtes vous pas, Monsieur, que celle de M. Facio l'est aussi? Si on me donnoit un probleme du sixieme degré à resoudre, et que je l'eusse reduit à une equation du cinquieme degré, qui fut divisible en cette rencontre, on auroit tort de me demander une methode generale de donner les racines du cinquieme degré; parce qu'elles ne sont pas tousjours divisibles. Il me semble qu'on devroit se contenter de la Methode, que j'aurois donnée de reduire au cinquieme degré une infinité des cas du sixieme. Si vous ou M. Facio avés déja sçu avant mon papier cette methode de reduire aux quadratures tous les problemes que j'y enseigne d'y reduire, j'avoue que Vous n'aurés rien appris de nouveau. Mais il me semble que vous ne dites pas cela. Et moy j'estime assés cette methode, ou cette vuë, pour quitter de bon coeur la pensée de la troquer contre celle de M. Facio. Si quelqu'un peut donner l'art de reduire tousjours la Converse des Tangentes aux Quadratures il donnera ce que je souhaitte le plus en cette matiere, et je donneray volontiers en échange ma methode des quadratures. Quoyque j'aye une autre Methode qui reussit lors que la courbe, dont la proprieté des tangentes est donnée depend de la Geometrie ordinaire, j'aime pourtant mieux la voye des quadratures, parce qu'elle sert tant pour les courbes transcendantes que pour les ordinaires. Je m'estonne que mes caracteres vous pouvoient encor paroistre difficiles puisque Vous aviés déja compris les elemens de ce calcul⁴⁾, que j'avois donné dans les Actes de Leipzig. Je m'etonne aussi que vous avez crû d'apprendre de moy la Methode de trouver la courbe dont il s'agissoit independamment des quadratures, puisque vous sçaviés déja par mes precedentes, que j'aimois à me servir de la voye des quadratures⁵⁾. Et puisque vous aviés voulu vous charger de recevoir quelque chose de la part de M. Fatio, j'avois droit de croire

3) Voir, sur Geronimo Cardano et ses Opera Omnia, les notes 30 et 31 de la Lettre N^o. 1150. Il écrivit un Traité ‘De utilitate ex adversis capienda’ en quatre livres, qui compte parmi les meilleurs de ses nombreux ouvrages.

4) Voir la Lettre N^o. 2623.

5) Nous avons cherché en vain dans les lettres de Leibniz à Huygens une phrase de cette portée. Peut-être Leibniz a-t-il en vue des passages tels que celui que l'on rencontre dans la Lettre N^o. 2659, à la page 13, où toutefois la méthode à laquelle il donne la préférence n'est pas spécifiée.

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que Vous seriés autorisé de donner reciproquement. Et c'est pour tout cela que cet échange par l'entremise d'un tiers auroit esté le plus raisonnable. Enfin vous dites que puisque je ne donne qu'une partie de ma methode, il n'est pas juste que je reçoive celle de M. Facio toute entiere. Mais je reponds, que cette partie de la mienne vaut peut-estre bien la sienne toute entiere. Et c'est assés qu'elle suffit dans une infinité de rencontres et mêmes dans les transcendentes, ou la sienne et aucune autre donnée jusqu'icy n'avoit servi. Pour ne pas dire, qu'encore la methode de M. Facio est divisible en parties, puisque vous me mandâtes⁶⁾ qu'a force d'y mediter depuis il l'avoit poussée bien avant. Mais quelle qu'elle puisse estre, je desire que la mienne ne soit plus communiquée en échange.

Je me souviens qu'autres fois lors que je consideray la cycloide, mon calcul me presenta presque sans meditation la pluspart des decouvertes qu'on a faites la dessus. Car ce que j'aime le plus dans ce calcul, c'est qu'il nous donne le même avantage sur les anciens dans la Geometrie d'Archimede, que Viete et des Cartes nous ont donné dans la Geometrie d'Euclide ou d'Apollonius; en nous dispensant de travailler avec l'imagination.

Je viens maintenant à vôtre precedente⁷⁾, je crois bien que Vous avés vû [que]⁸⁾ le cercle qui se decrit du point de la courbe evolue, et dont le rayon est la moindre droite qu'on peut mener de ce point à la courbe decrite; mais peut-estre n'aviés vous pas songé d'abord à le considerer comme la mesure de la courbure, et moy lorsque j'avois consideré le plus grand cercle qui touche la courbe interieurement comme la mesure de la courbure ou de l'angle de contact, je ne m'etois pas avisé de songer aux evolutions. Je conçois fort bien que vôtre maniere de reduire la chainette à la quadrature de l'Hyperbole est differente des nostres. Je tascheray de publier un jour ma methode des reductions, qui est generale intra certos limites. Je les ay déja franchis mais je n'ay pas encore eu le loisir de pousser la chose, et c'est ce que je souhaiterois de faire avant que de la publier.

Quand j'avois parlé de querelle, il me semble que mes paroles marquoient assés que je ne la mettois pas au nombre de celles qu'on prend à coeur, aussi l'appellay je (ce me semble) petite querelle.

Quand M. Bernoulli avoit envoié a Messieurs de Leipzig, ce qu'il donnoit sur la loxodromie, il n'avoit pas encor vû ce que j'avois donné la dessus.

J'ay vû autres fois les Exercitations de Jacobus Gregorius, et peut-estre que vous me les aviés monstrées vous même⁹⁾. Mais il faut que je n'aye pas consideré

6) Voir la Lettre N^o. 2677.

7) C'est-à-dire à la Lettre N^o. 2709.

8) Biffez ce mot.

9) Pendant le premier séjour de Leibniz à Paris, sur lequel on peut consulter la Lettre N^o. 1919, note 12. Remarquons que le livre de James Gregory se trouve déjà mentionné dans la Lettre N^o. 1999, du 7 novembre 1674, par laquelle commence, dans notre publication, la correspondance de Leibniz et Huygens.

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alors avec attention ce qu'il avoit dit de la loxodromie, car il ne m'en estoit resté aucune idée. Il est seur qu'Albert Girard estoit un grand Geometre pour son temps; et il se peut qu'il ait remarqué quelque rapport entre les Logarithmes et les Loxodromies.

Quand même on a trouvé les regles parfaites, je ne laisse pas d'estimer les moins parfaites sur des matieres difficiles, parce qu'elles peuvent servir en d'autres cas; c'est pourqnoy je trouve que vôtre methode pour la somme des secantes meriteroit encor d'être publiée avec sa demonstration.

La remarque du defaut des Tables des Snellius est considerable. J'avois mis autres fois dans mon traité de la Quadrature Arithmetique la quadrature de l'espace de la Logarithmique par la soutangente ou par le quarré de l'Hyperbole, qui en resulte¹⁰⁾. Mais suivant mon calcul il me semble que ce sont des choses qui s'entendent presque d'elles mêmes. Car dans la Logarithmique est dy = y/a dx; donc les dx (elemens de l'abscisse x) estant constantes, les dy (elemens de l'ordonnée y) sont proportionelles aux y, et par consequent les y sont en progression geometrique lorsque les x sont en progression arithmetique. C'est à dire les x sont les Logarithmes des y. Donc la courbe est la Logarithmique. Or cette même equation fait connoistre, que dx = ady/y, ou x = a∫ dy/y ou=a∫dy:y, ce qui fait voir comment cette même Logarithmique depend encor de la quadrature de l'Hyperbole et comment sa soutangente a se rapporte à cette hyperbole.

Quand je parle de la perfection de la Geometrie et de l'Arithmetique, je l'entends avec quelque latitude. Je crois qu'on pourroit parvenir à pouvoir donner tousjours la methode des solutions, ou à en demontrer l'impossibilité mais ce ne sera pas toujours par les meilleures voyes. Par exemple il faudroit qu'on pût tousjours trouver s'il est possible de resoudre les problemes semblables à ceux de Diophante en nombres rationaux, ou de donner des Quadratures par la Geometrie ordinaire. Et je croy que cela se peut tousjours. Mais quant au point de trouver les chemins les plus courts je croy que les hommes auront encor à chercher pour long temps. Je n'ay rien encor vû de M. Rolle, si non dans le Journal des Sçavans¹¹⁾. Je suis de vôtre sentiment, qu'il faudroit suivre les projets de Verulamius sur la physique en y joignant pourtant un certain art de deviner, car autrement on n'avancera gueres. Je m'etonnerois si M. Boyle qui a tant de belles experiences, ne seroit arrivé à quelque theorie sur la Chymie, apres y avoir tant

10) Voir la Lettre N^o. 2699, note 15.

11) L'ouvrage de Rolle, cité dans la Lettre N^o. 2709, note 25, avait été annoncé dans le numéro du 18 juin 1691 du Journal des Sçavans parmi les ‘Livres nouvellement imprimez’.

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medité. Cependant dans ses livres et pour toutes consequences qu'il tire de ses observations, il ne conclut que ce que nous sçavons tous sçavoir, que tout se fait mecaniquement. Il est peut-estre trop reservé. Les hommes excellens nous doivent laisser jusqu'à leur conjectures, et ils ont tort, s'ils ne veuillent donner que des verités certaines. Cela soit encor dit à Vous même, Monsieur, qui avés sans doute une infinité de belles pensées sur la Physique. Il me tarde de voir dans l'Histoire des ouvrages des Sçavans, ce que Vous y donnés sur la Musique; et je vous répond, que Messieurs de Leipzig seront ravis de mettre dans leur Actes ce que vous leur donnerés sur quelque matiere que ce soit.

Il me semble que Mr. Bernoulli a des pensées un peu embarassées sur le centre d'oscillation, et je m'etonne qu'il se peut figurer que cette perte du mouvement, qu'il y trouve est employée sur l'axe bien que cette perte doit avoir lieu quand on suppose l'axe absolument inebranslable, ou il ne patit point. Je ne crois pas qu'après ce que vous avés donné sur cette matiere on ait besoin de chercher d'autres demonstrations. Qui est ce Mr. de l'Hospital dont parle M. Bernoulli?

Que dites vous Monsieur, d'un petit livre¹²⁾ d'un nommé M. Eisenschmid¹³⁾ de la figure de la terre il pretend prouver en comparant les differentes mesures de la terre données en des latitudes differentes (qu'il juge n'estre pas si fautives qu'on croyoit) que l'axe de la terre est le plus long diametre de la sphaeroide, au lieu que, selon Vous¹⁴⁾ et Mons. Neuton¹⁵⁾, elle seroit plus enflée sous l'equateur.

On m'a dit qu'un certain homme¹⁶⁾ avoit proposé les longitudes et que vous aviés esté commis pour examiner sa proposition. Il me semble qu'on deuvroit surtout songer à pousser à bout ce qui se peut faire par vos horloges.

Je vous avois prié un jour¹⁷⁾ de quelques observations sur les couleurs, que Mr. Newton vous avoit communiquées. Au reste je souhaitte que cette année vous soit heureuse avec une longue suite d'autres. Je suis faché que Mr. Roberval

12) Jo. Gasp. Eisenschmidii Philosophi & Doctoris Medici, Diatribe de figura telluris Ellipticospheroide. Unà exhibetur ejus magnitudo per singulas dimensiones consensu omnium observationum comprobata. Argentorati. 1691. In-8^o.

13) Johannes Gaspar Eisenschmid, né à Strasbourg le 15 septembre 1656, s'appliqua aux mathématiques et à la médecine et voyagea en France et en Italie. Il mourut le 5 décembre 1712.

14) Voir la dernière page du ‘Discours de la Cause de la Pesanteur’ et les pages 152-159 de l' ‘Addition’ à ce Discours.

15) Voir les Prop. XVIII: ‘Axes Planetarum diametris quae ad easdem axes normaliter ducuntur minores esse’ et XIX: ‘Invenire proportionem axis Planetae ad diametros eidem perpendiculares’ du Livre III des ‘Principia’.

16) Lieuwe Willemsz. Graaf. Voir les Lettres N^os. 2536 et 2538.

17) Leibniz l'avait fait dans la Lettre N^o. 2628, d'octobre 1690, mais cette lettre ne fut jamais envoyée. Huygens avait mentionné les expériences en question dans sa lettre à Leibniz du 24 août 1690, notre N^o. 2611.

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a plus vecu que Mr. des Cartes¹⁸⁾. C'est pourquoy vous devés songer Monsieur, combien il nous importe de vous garder. Je suis avec passion.

Monsieur

Vostre tres humble et tres obeissant serviteur

Leibniz.

18) Roberval mourut en 1675 à l'àge de 73 ans, Descartes atteignit 53 ans et on attribua sa mort, en février 1650, à ce qu'il n'avait pas su suffisamment ménager sa santé dans le rude climat de la Suède.