Oeuvres complètes. Tome VII. Correspondance 1670-1675

N^o 1999.
Christiaan Huygens à G.W. Leibniz.
7 novembre 1674.

La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par Uylenbroek et Gerhardt.

A Monsieur Leibnitz.

Ce 7 novembre 1674.

Monsieur

Je vous renvoie, Monsieur, Vostre escrit touchant la Quadrature Arithmetique¹⁾, que je trouve fort belle et fort heureuse. Et ce n'est pas peu à mon avis d'avoir decouvert, dans un Probleme qui a exercè tant d'esprits, une voye nouvelle qui semble donner quelque esperance de parvenir a sa veritable solution. Car le Cer-

1) On peut consulter, sur cet écrit de Leibnitz, les pièces I-VIII, publiées par Gerhardt, (dans l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 1919, note 2, Zweite Abtheilung, Tome I, pp. 88-132), avec l'introduction qui les précède. Toutefois, pour comprendre les remarques de Huygens, il suffit de prendre connaissance de la première de ces pièces contenant une lettre, probablement adressée à Gallois, où la quadrature arithmétique du cercle au moyen de la suite 1 - ⅓ + ⅕ -...etc. se trouve déduite.

[p. 394]

cle, suivant vostre invention estant a son quarrè circonscrit comme la suite infinie de fractions 1/1 - ⅓ + ⅕ - 1/7 + 1/9 - 1/11 etc. à l'unitè, il ne paroistra pas impossible de donner la somme de cette progression ni par consequent la quadrature du cercle, apres que vous aurez fait voir que vous avez determinè les sommes de plusieurs autres progressions qui semblent de mesme nature²⁾. Mais quand mesme l'impossibilitè seroit insurmontable dans celle dont il s'agit, vous ne laisserez pas d'avoir trouvè une proprietè du cercle tresremarquable, ce qui sera celebre a jamais parmi les geometres. Pour ce qui est de la ligne courbe Anonyme qui sert a Vostre demonstration, j'avois envie de la baptizer, en luy donnant quelque nom composè des noms de deux lignes dont je trouvois qu'elle estoit produite, qui sont le cercle et la Cissoïde des anciens³⁾. Mais ayant vu du depuis que cette mesme ligne a estè premierement mise en avant par l. Gregorius⁴⁾, je crois qu'il luy faut laisser le droit de la nommer comme il voudra. Il s'en est servi pour demonstrer le rapport qu'il y a entre la mesure de la Cissoïde et celle du cercle, qui est de mon

2) Huygens, probablement, fait allusion ici à la sommation de quelques autres séries numériques, effectuée par Leibnitz. Dans une lettre de Leibniz à Oldenburg, du 14/24 mai 1673, on lit, entre autres: Quod summas attinet fractionum, quarum nominatores sunt numeri triangulares, aliterve figurati, quas a Mengolo initas judicas, ita respondi: Cum Mengoli liber non sit ad manus, videri ex relatione vestra, Mengolum summam tantum iniisse seriei talium fractionum finitae v.g. ⅓ + ⅙ + 1/10 + 1/15, me vero summam invenire totius seriei infinitae ⅓ + ⅙ + 1/10 + 1/15 + 1/21 etc. Quod praestitum esse ideo non puto, quia Ill. Hugenius eam quaestionem mihi proposuit in nominatoribus tantum triangularibus, a se occasione eorum quae de alea inquisiverat, determinatam. Ego vero solutionem reperi universalem qua summam non tantum infinitarum fractionum triangularium, sed et infinitarum pyramidalium et triangulo-triangularium etc. ineo; ipso Hugenio mirante.’ Voir Gerhardt, Abth. 1, T. I. pp. 48 et 49.

3) En effet, l'ordonnée de la courbe employée par Leibuitz, et dont l'aire OGPO est le double de celle du segment de cercle OEO, est la moyenne arithmétique entre les ordonnées GE = √ x(2 r - x) et du cercle et de la cissoïde.

4) Dans ses ‘Exercitationes geometricae’, citées dans la pièce N^o. 1684, note 2.

[p. 395]

invention⁵⁾, ainsi qu'il paroit par le traitè de M. Wallis de Cissoide⁶⁾, et par ce que le mesme autheur en a dit dans son traitè du mouvement⁷⁾, ou la demonstration que j'ay donnée de ce Theoreme est inserée. Laquelle estant supposée, vous pourriez par là abbreger⁸⁾ de beaucoup vostre demonstration de la Quadrature Arithmetique. Mais vous ferez en cela comme vous le jugerez à propos. Je vous donne le bon jour et suis tout a vous etc.

5) Consultez la Lettre N^o. 479 et la pièce N^o. 483.

6) L'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 690, note 3.

7) L'ouvrage cité dans les Lettres N^os. 1792, note 4, 1816, note 1, et 1837, note 7.

8) Leibnitz a reconnu la justesse de cette remarque dans la Lettre à Gallois, citée dans la note 1.