Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2672.
Christiaan Huygens à N. Fatio de Duillier.
3 avril 1691.

La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque Publique¹⁾.
La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek²⁾.
Fatio y répondit par le No. 2673.

Ce 3 Avr. 91.

J'oubliay hier³⁾ Monsieur parmy l'embaras de l'enterrement de vous prier de me restituer devant vostre depart, la lettre que cy devant vous avez eu la bontè de me faire⁴⁾ en m'expliquant vostre methode de trouver les Lignes courbes par la proprietè de leur Tangentes. Je vous aurois aussi demandè d'y vouloir joindre quelque de ce que vous avez depuis adjoutè a cette methode, ou si cela vous donneroit trop de peine, d'expliquer seulement les deux exemples que vous en avez donnez dans les courbes que je vous avois proposées comme aussi a Mons.^r Leibnitz⁵⁾.



Comme vous avez tous deux penetrè fort avant cette matiere, j'aime bien mieux de profiter de vos decouvertes, que de me donner la peine d'y travailler sur les fondements contenus dans vostre lettre, a quoy mesme je pourrois ne pas reussir. Il vous souviendra au reste que dans la derniere lettre que je vous montray de Mons.^r Leibnitz⁵⁾, il vous proposoit un echange de son secret, au cas que dans le probleme que je viens de dire il y eust des racines composees dans l'Equation de la Tangente, pour avoir la vostre, dont vous vous estes servi dans mes deux courbes. Et il vous souviendra de plus, que longtemps auparavant je vous avois proposè une ligne courbe AON dont j'avois la quadrature⁶⁾, estant telle que AG estant perpendiculaire sur son asymptote GM, tout espace AOF, retranchè par une ligne OF, parallele a l'asymptote, estoit egal au rectangle BL, partie du quarrè AGLC, lorsque BP passoit par le

1) Voir la sin de la note 1 de la Lettre N^o. 2572.

2) Christianii Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II p. 122. La minute ne diffère pas sensiblement de la lettre.

3) La minute a de plus: au soir.

4) Voir la Lettre N^o. 2643, note 15. Il s'agit probablement de la seconde des lettres mentionnées dans cette note. Dans ce cas, elle datait de 1688.

5) Il s'agit toujours des deux problèmes proposés à Leibniz dans la Lettre N^o. 2611, et qui conduisent aux équations différentielles citées dans la note 17 de la Lettre N^o. 2660. Or, à la page 101 recto du Livre G des Adversaria on trouve, de la main de Fatio, une solution de la seconde de ces équations, obtenue d'après sa méthode et pourvue de quelques remarques de Huygens. Il nous semble inutile de reproduire cette page d'une rédaction peu achevée, parce que nous pouvons renvoyer à l'exposition si claire de la méthode de Fatio que Huygens a donnée dans sa lettre à de l'Hospital du 23 juillet 1693, où elle se trouve appliquée à cette même équation. En suivant les indications données dans cette lettre, on trouve facilement les ‘transformateurs’ (comme Fatio les nomme) y^-5 et x^-4, mentionnés dans la note citée de la Lettre N^o. 2660.

5) La Lettre N^o. 2664.

6) Voir, sur cette quadrature, le § II de la pièce N^o. 2669.

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point D, auquel OF continuée rencontre le quart de circonference GDC, et que mesme par cette quadrature donnée vous trouvastes l'equation de la courbe. Or a cause qu'il pourroit arriver que j'eusse a prouver ce fait a Mons.^r Leibnitz, je vous supplie Monsieur de me permettre, et de me donner moien en faisant response a ce billet, de pouvoir alleguer vostre temoignage pour confirmation de ce que je viens de dire, estant seulement besoin de designer la courbe par son equation que vous trouvastes xxyy∞aayy-aaxx. Vous ferez plaisir et obligerez beaucoup

Vostre tres h. et tres ob. serviteur Hugens de Zulichem.

Pour Monsieur Fatio de Duillier.

⁷⁾ y=Fluxion de l'Espace AOF a=Fluxion du rectangle BL⁸⁾. Donc y=a

a²-2az+z²=a²-x²; dont la Fluxion donne

-a+z=-x. Et prenant les valeurs de on aura y/a=-x/-a+z. Et ay-zy=ax. Or z=a-√ax-x².

Ainsi ay-ax=ay-y√a²-x²⁹⁾.

Et a²x=a²y-y²x-x²y sera sa Fluxion.

7) Les aunotations qui suivent se trouvent écrites de la main de Mr. Fatio, sur le 2^d feuillet recto.

8) Fatio fait donc BC=z.

9) Ici donc la solution, que l'on retrouvera dans la réponse de Fatio, notre N^o. 2673, est achevée, puisqu'on a immédiatement-ax=-y√a²-x², donc a²x²=a²y²-x²y². Dans ce qui va suivre encore, Fatio essaie d'étendre sa méthode au cas où l'équation différentielle contient des expressions irrationnelles. A cet effet, il différentie l'équation a²x²=a²y²-x²y² pour déguiser ensuite l'équation obtenue par les substitutions qu'il indique. Après quoi il s'efforce de retrouver, à travers ces déguisements, la ‘génératrice’ originale.

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Dans cette equation on peut substituer les valeurs des Racines ax, ou ay, ou xy.

Par exemple on aura	a√a^2y^2-x^2y^2=a^2y-y^2x-x^2y	I
ou bien	a√a^1x^2+x^2y^2=a^2xx+y^2xx+x^2y	II
ou bien	x√a^2y^2-a^2x^2=a^2y-y^2x-a^2x	III

Dans le 1^er Exemple il est aisé de reconnaitre les Generateurs a²y²-x²y². Et comme c'est là la quantité meme qui est sous le Signe Radical, il est à presumer que cette Racine tient lieu de ax qui paracheveroit le quarré a²x². Et effectiv^t on trouvera que ces trois Generateurs rendent l'Equation marquée I.

La même chose se doit entendre de l'Equation II.

De même dans la III Equation, il faut voir si sa Generatrice n'est pas x²y²==a²y²-a²x². Et dans la IV Equation ci dessous il faut voir si-yx+√a²y²+2a²xy=ax?

De cette maniere on parviendra à la veritable Generatrice, si elle a produit la Fluxion proprosée par ces sortes d'Enveloppemens.

Et ceci donne une clef considerable pour trouver les Fluentes ou Generatrices, quand leurs Equations sont simples en elles mêmes, quoi que leurs Fluxions soient mêlées de Racines par accident.

ax=√a^2y^2-x^2y^2	a^2x^2+2a^2xy+x^2y^2=a^2y^2+2a^2xy
ay=√a^2x^2+x^2y^2	ax+xy=√a^2y^2+2a^2xy
xy=√a^2y^2	-a^2x^2-axy+a√a^2y^2+2a^2xy=a^2y-y^2-^2y	IV.

¹⁰⁾ Mr. Hugens de la Haye 3 avril 1691, le lendemain de l'Ensevelissement de Mr. Ellys Esq.^e à N.F. à la Haye.

Il me redemande la lettre où je lui avois expliqué autrefois ma Methode inverse des Tangentes et souhaite ce que je puis encore avoir ajouté à cette methode.

10) Ce qui suit est un extrait de la Lettre de Huygens, écrit au dos sur un pli, de la main de Fatio.

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Ou qu'au moins je lui explique les deux Exemples que j'ai donnés dans les courbes qu'il avoit proposées à Mr. Leibnitz et a moi.

Il rend temoignage aux progrès que Mr. Leibnitz et moi avons fait en cette matiere, desquels il aime mieux profiter que travailler sur les fondemens contenus dans ma Lettre, et peut estre sans succès.

Sur l'Echange que Mr. Leibnitz proposoit de son secret, pour avoir une solution du probleme susdit de Mr. Hugens, s'il y avoit des racines composées dans l'Equation de la Tangente.

Probleme que Mr. Hugens m'avait proposé il y a longtemps et dont je luy avois donné la Solution pour retrouver l'Equation de certaine Courbe par la propriété de sa Quadrature. Cette courbe avait pour Equat.ⁿ x²y²=a²y²-a²x². Mais la propriété de sa Tangente contient une Racine incommensurable complexe, si on y substitue la valeur de xy ou de ay, ou de ax, etc.

Mr. Hugens demande que je lui laisse alleguer à Mr. Leibnitz mon Temoignage sur ce fait.

J'ai ajouté ici ma solution ou mon Analyse de ce Probleme de Mr. Hugens.

NB. Remarque considerable sur les Racines complexes.