Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 63]

N^o 2669.
Christiaan Huygens.
[mars 1691].
Appendice II au No. 2667¹⁾.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

1) Cet Appendice contient les recherches qui ont mené aux résultats formulés dans l'anagramme de la Lettre N^o. 2667, expliqué dans la Lettre N^o. 2668. Nous l'avons divisé en paragraphes.

§ I²⁾.

Fig. 1.

BQθ est curva pag.^ae praecedentis³⁾, altera nempe ex iis quae ad catenariae constructionem requiruntur. Altera est Aγθ.

Dico spatium prioris BQNA ad spatium posterioris AγN esse ut AB ad πσ distantiam centri gravitatis spatii BQNA ab recta AB.

Adeo ut si detur hoc centrum gr. non opus est quadratura spatii AγN, neque ipsius spatii consideratione (ad inveniendam scilicet rationem AB ad BV axem catenae, est enim BV ipsi πσ aequalis)⁴⁾.

Quia enim ut VN ad RN ita RN ad QN⁵⁾, itemque ut VN ad RN ita δN ad γN⁶⁾.

Erit RN ad QN ut δN ad γN. Quare

2) Relation entre les aires δωχ et αψχδ de la figure 5 de




la pièce N^o. 2625, identiques aux aires AγN et BQNA de la figure de notre texte, et la distance πσ du centre de gravité de cette dernière aire à l'axe AB. Construction au moyen de cette distance de l'ordonnée BV (voir la figure de cette note) de la chaînette au cas où l'abscisse AB et l'angle BAG sont connus.
Le paragraphe est emprunté à la page 69 verso du livre G.

3) Voir le § II de la pièce N^o. 2634.

4) Les mots que nous avons mis entre parenthèses, ont été ajoutés plus tard. Les lettres se rapportent en partie à la figure de la note 2. Les droites AB de la figure 1 du texte et de la figure de la note sont considérées comme identiques. Alors on a, d'après le § VII de la pièce N^o. 2625 (voir la note 21 de cette pièce): BV/VA=AγN/▭BN; mais d'après le § VIII de cette même pièce on sait que: AB/VA=BQNA/▭BN, donc: BV/AB=AγN/BQNA=πσ/AB; donc BV=πσ.

5) D'après le § VIII de la pièce N^o. 2625. En effet, les lignes VN, RN, QN de notre texte sont identiques aux lignes Dχ, ϱχ, ψχ de la figure 5 de la pièce N^o. 2625.

6) D'après la conclusion du § VII de la pièce N^o. 2625, puisque VN, RN, δN et γN sont identiques avec les lignes Dχ=ϱδ, ϱχ=a, γχ=δχ=x, ωχ=y de la figure 5 de la pièce citée.

[p. 64]

γN ducta in RN aequabitur QN ducta in δN, sive in δλ. idque ubique: Ergototum spatium AγN suspensum ex brachio librae quod aequale sit AB, aequiponderabit spatio ABQN ut jacet ponderanti super axem AB: sive eidem spatio ex centro grav. suae σ suspenso, et ex distantia σπ ponderanti. Ergo spatium ABQN erit ad spatium AγN, ut AB distantia ad distantiam σπ.

(Sed spatii AγN quadratura opus est ad inveniendum longitudinem curvae AV quia per illam quadraturam inventum est quod ut diff.^a AR-AB ad BR ita est BV ad curvam AV. Item ad alia utilis est eadem quadratura, quam postea inveni, vid. pag. 82 et 87)⁷⁾.

7) Les phrases entre crochets ont été ajoutées plus tard. Les pages citées contiennent les § III et IV de cette pièce.

§ II⁸⁾.

Fig. 2.

ACG circuli quadrans. CLG A quadratum; à puncto peripheriae D cadunt in AG et AC perpendiculares DF, DB.

FD	ad	DB	ut	HF	ad	FO
		x		r		y
	y=rx
	yyrr-yyxx=rrxx
	yyrr-rrxx=yyxx
	xxyy-yyrr+rrxx=0^9).

Hujus curvae spatium infinitum AONMG, aequale est quadrato CG.

Item spatii ejus portio ut OAF, est ad rectangulum FC, ut BC ad BD.

8) Quadrature d'une aire qui paraîtra être identique à l'aire δωχ de la figure 5 de la pièce N^o. 2625, dont la quadrature permet de trouver le rapport de l'ordonnée BV (voir la figure de la note 1) à l'arc AV de la chaînette pour un angle donné BAG. Le paragraphe a été extrait de la page 80 recto du livre G.

9) Il est clair que cette courbe devient identique avec celle de la note 20 de la pièce N^o. 2625 par la substitution de x pour y, y pour x et a pour r.

[p. 65]

(Sive spatium OAF est aequale ▭^o BL ut facile apparet ex calculo)¹⁰⁾.

Quia enim AD ad DF ut particula curvae minima EDE ad KK, erit AD seu HF ducta in KK=DF ductae in EE. idemque pars superficiei cylindricae ex KK circa AG, aequalis parti superficiei sphaericae ex EE circum eandem AG. Unde (ut notum est) tota superficies cylindrica ex CL circa AG aequalis superficiei sphaericae ex arcu CDG circa AG. Porro quia superficies ex EE circa AG ad supersiciem ex eadem EE circa CA, sicut DF ad DB, erit et superficies ex KK circa AG, ad superficiem ex EE circa CA, ut DF ad DB, hoc est, ex constructione, ut HF ad FO; atque ita tota superf. cylindrica ex CL circa AG ad superficiem sphaericam ex arcu CDG circa CA, ut omnes HF ad omnes OF, hoc est ut quadratum CG ad totum spatium infinitum AONMG. Est autem ostensum superf. cyl. ex CL circa AG aequalis superficiei sphaericae ex arcu CDG circa AG, ideoque et superficiei sphaericae ex arcu CDG circa CA, quia utraque dimidiae sphaerae superficiei aequalis est. Ergo ratio superficiei ex CL circa AG ad superf. sphaericam ex arcu CDG circa CA erit ratio aequalitatis, ac proinde et ratio qu.ⁱ CG ad spatium infinitum AONMG erit aeqalitatis, quod erat dem.^m.

Porro ex ratione demonstrandi, patet etiam superficiem cylindricam ex CH circa AF, sive ex arcu CD circa AF esse ad superficiem ex eodem arcu CD circa CB, ut rectangulum HA ad spatium curvae OFA; atqui ex Archimede est superf.^s ex CD arcu circa AF ad surperf.^m ex eodem arcu CD circa CB sicut excessus quadrati CG supra qu. GD ad quadr. ex CD recta, hoc est sicut excessus AG supra GF, seu sicut AF aut BD ad BC. Ergo et rectang.^m HA ad spatium OFA ut BD ad BC, quod erat dem.

10) Cette phrase a été ajoutée plus tard.

§ III¹¹⁾.

Fig. 3.

Ulterior disquisitio circa catenae curvam ex animadversa quadratura curvae APOE quae pag. 20 erat δθ.

AG=b, AB, GE=a
ADCB quadr.^m diagonios AC.
(AG)	(GE)	(AE)	(OE=AF)
b::

11) Application de la quadrature obtenue dans le paragraphe précédent à la courbe δωθ de la sigure 5 du N^o. 2625. Ce paragraphe a été extrait de la page 93 recto de la pagination générale du livre G, c'est-à-dire la page 82 mentionnée vers la fin du § I.

[p. 66]

ex proprietate curvae ad catenam: aaxx-aayy=xxyy pag. 20¹²⁾

qu.AK-qu., qu.FK,

aa/b = FK; ex a=FL et a - aa/b = KL; aa - a³/b = ▭ MD=sp. AOF ex proprietate curvae pag. 58¹³⁾ quae est eadem atque illa pag. 20 mutatis reciproce x in y, unde et illa pag. 20 quadraturam recipit, quod nunc demum animadversi.

=AE;	=AF;	=▭FE
		=sp. AOF
		_____s.
		=ab-aa=sp. AOE.

AE

(▭ BE): ab-aa (spat. AOE)=√bb-aa(AE):(b-a) (SG)

Item spat. AOE ad spat. APQ ut AG-AB ad NA-AB.

12) Il s'agit de la courbe δωθ de la figure 5 de la pièce N^o. 2625. En effet, il est facile de vérifier, en posant AE=δχ=x, EO=χω=y, que la construction du point O, indiquée ici, est identique avec celle du point ω de cette dernière courbe.

13) C'est la courbe AON du paragraphe précédent (voir la figure 2), dont l'identité avec la courbe δωθ de la figure 5 de la pièce N^o. 2625 a déjà été indiquée dans la note 9 du paragraphe précédent. Or dans ce dernier paragraphe l'aire AOF de la figure 2, identique avec l'aire homonyme de notre figure 3, a été trouvée égale au rectangle BL ou CP de la figure 2; mais comme le point C de la figure 2 correspond avec le point B de la figure 3 (ainsi qu'il est facile de le reconnaître en tournant la figure 2 d'un angle de 90^o) et le point P avec le point M, il s'ensuit sp. AOF (de la figure 3)=▭ MD=aa-a³/b.

§ IV¹⁴⁾.

Sit AV catena pendens¹⁵⁾. AG tangens in A. angulus BAG=BAG in 1^a fig.

14) Résumé des résultats acquis sur la chainette. Le paragraphe se trouve à la page 94 verso (=87) du livre G. Pour faciliter les renvois nous avons ajouté des sousdivisions α, β, etc.

15) Voir la seconde figure de la fig. 4.

[p. 67]

(α) Jam divisam ponendo catenam AV [2^a fig.] in particulas aequales, earum summa est ad VZ ut totidem radii ad sinus omnes complimenti in arcu SB [1^a fig.] qui pertinent ad totidem tangentes aequaliter crescentes in recta BG.

Item summa particularum aequalium catenae AV est ad AZ sive BV, ut totidem radii ad sinus omnes in arcu SB qui ad easdem illas tangentes pertinent. Hoc utrumque pag. 14 ostenditur¹⁶⁾.

Fig. 4.
1^a fig.

Fig. 4.
2^a fig.

(β) Porro sicut curva AV, recta VZ, et recta AZ, ita sunt inter se ▭ BE [1^a fig.], spatium ABIE, et spatium APOE. Hoc explicatur pag. 20 et 14¹⁷⁾.

16) Voir le commencement du § VII de la pièce N^o. 2625.

17) Voir les §§ VII et VIII de la pièce N^o. 2625.

[p. 68]

Quia ut AV, VZ, ZA, sunt summae totidem radiorum, totidem sinuum complimenti, et totidem sinuum, pro angulis quorum tangentes aequaliter sese exedunt; ita quoque ▭ BE, spatium ABIE, et spatium APOE, quando ang. AGB utrobique est idem.

(γ) Habeat BV [2^a fig.] ad VH, sive AZ ad FY rationem datam, (puta duplam), sitque FR tangens in F. Et secetur spatium APOE recta NPQ, ut sit spatium APOE ad spat. APQ ut BV ad VH; dico angulo ANQ esse aequalem angulum tangentis HFR.

Est enim YF ad ZA ut summa sinuum (summa nempe sinuum qui pertinent ad angulos quorum tangentes sese aequaliter excedunt, quod de his omnibus sinibus ita est intelligendum) usque ad angulum FLY seu HFR, ad summam sinuum usque ad angulum ATZ seu GAB, sed ut YF ad ZA, seu ut HV ad VB, ita quoque spatium APQ ad sp. APOE.

Ergo summa sinuum usque ad angulum HFR ad summam sinuum usque ad ang. GAB sicut spat. APQ ad spat. APOE; hoc est sicut summa sinuum usque ad ang. ANQ ad summam sinuum usque ad ang. AGE sive GAB, in 1^a fig. vel etiam in 2.^da.

Ergo summa sinuum ad usque ang. HFR aequalis est summae sinuum adusque ang. ANQ; ideoque ang. HFR aequalis ang.^o ANQ, quod erat dem.

Si AB, BG in utraque fig.^a magnitudine sibi respondeant, erunt et AG aquales, et AN aequalis AW, cui tangens FR parallela ducenda est.

Si AB=a. AG=b, fit spatium APOE=ab-aa, vid. pag. 82¹⁸⁾.

Si BV=d. VH=e. Et ut d ad e ita faciendum spatium APOE ad sp. APQ.

Sit AN=x. Ergo spat. APQ=ax-aa. Ergo

d:e=ab-aa:ax-aa

dx-da=eb-ea

x=eb-ea/d+a=AN cui aequalis AW.

Hinc problema de invenienda quavis tangente, per unam AG datam. p. 83¹⁹⁾.

18) Il s'agit du paragraphe précédent de cette pièce.

19) La page 83, identique à la page 93 verso de la pagination générale, contient une partie de l'explication de l'anagramme envoyé à Leibniz; c'est-à-dire de la pièce N^o. 2668. Voir plus particulièrement le numéro 1 de la troisième partie.

[p. 69]

(δ)	Sit BG=s. Spat. APOE ad ▭ EB=BV ad VA. vid. pag. 20 et 14^20). ab-aa: as=d: ds/ b-a curva VA.
(ε)	GB:BA=VA:radium curvitatis in V, ex Theoremate p. 13^21). s:a=ds/b-a:ads/sb-sa=ad/b-a Radius curvitatis in V, hoc est VL.
(ζ)	radius curvis: curva VA=VA:L א evoluta. Vid. pag. 17^22) ubi CA, ad/b-a:ds/b-a=ds/b-a:dss/ab-aa=L א propos. 5^a^23) IA, AW sunt prop.^les AW vero=CR.
(η)	Erit et spat. BLQA ad spat. APQ sicut FH [2^a fig.] ad HV. Unde data HV, datur et HF, inventa per centr. gr.^is ratione spatiorum istorum. Est enim ea quae AB ad ZF [1^a fig.] si F centr. gr. BLQA^24). Et sic tunc AV curvae puncta quotvis inveniri possunt, quod aliter non posset fieri nisi longissima supputatione^25) areae BIEA per approximationem.

20) Voir le § VII et la note 21 de la piece N^o. 2625. On se rappellera que la courbe δωϰθ de la figure 5 de la pièce N^o. 2625 est identique avec la courbe APO de la première figure de ce paragraphe.

21) Voir le § II et la note 11 de la pièce N^o. 2625.

22) Voir le § IV et la figure 4 de la pièce N^o. 2625.

23) C'est-à-dire la 5^e proposition de l'anagramme. Voir la pièce N^o. 2668.

24) Voir le § I de cette pièce. En effet, les courbes Aγθ et BQθ, dont il est question dans le paragraphe I, correspondent avec les courbes APO et BLI de la figure 4 (1e figure).

25) Voir le § IX de la pièce N^o. 2625.

[p. 70]

§ V²⁶⁾.

Fig. 5.
fig. 1^a

Fig. 5.
fig. 2^da

AB=3 BG=4 GA=5
AG tangit curvam catenae AV in A.

Quaeritur VH et HF definientes punctum F, cujus tangens FR inclinetur ad BR angulo semirecto.

Sit in fig. 1^a ABCQ quadratum, et GB ad BC ut 4 ad 3 sintque curvae ut supra²⁷⁾ BPS, APO. Jam ut spat. AOE ad spat. APQ, ita est BV [fig. 2^da] ad VH²⁸⁾. Hoc est ut 2 ad 3√2-3 sicut ostenditur initio pag. hujus²⁹⁾ quia spatia sunt ut GA-AB [fig. 1^a] ad CA-AB, vid. pag. 82³⁰⁾.

Sic quidem dato vertice V [fig. 2^da] invenitur punctum H, atque etiam F, dato catenae positu. Sed nec punctum V potest inveniri nisi approximatione quadraturae vel ope distantiae centri gr.^is31) portionis BSEA ab AB, quae in hac catenae positione AV est prox. 601³²⁾ partium qualium AB 1000 nec rursus punctum F nisi ex cognita per ejusmodi approximationem ratione inter HV, HF quae est prox^e ut 46996³³⁾ ad 100000.

26) Détermination du point F (voir la figure du texte), où la tangente fait un angle de 45^o avec l'axe, et du sommet de la chaînette, au cas où la distance AB du point de suspension A à l'axe et la tangente AG sont supposées connues. Ce paragraphe a été extrait de la page 95 verso du livre G.

27) C'est-à-dire qu'il s'agit des mêmes courbes dont il a été question dans le paragraphe précédent.

28) Voir la sousdivision (γ) du paragraphe précédent.

29) Au sommet de la page se trouve, en effet, un calcul difficile à reproduire, ce qui est d'autant moins nécessaire que les mots qui vont suivre indiquent suffisamment comment la proportion en question a été obtenue.

30) Il s'agit du § III de cette pièce. Voir la dernière ligne de ce paragraphe.

31) Voir le § I de cette pièce.

32) Ce nombre a été obtenu évidemment par la méthode expérimentale qui va suivre.

33) Nombre obtenu, comme un petit calcul en marge le prouve, au moyen de la division de 41421 par 88137. Sur ces derniers nombres on peut consulter la note 6 de la pièce N^o. 2624.

[p. 71]

Ex charta crassa (carton) figura ABSEA abscindatur, postquam curva BPS inscripta fuerit: invenitur autem facile per puncta ex libello sinuum; nam posita tangente BG cujuslibet anguli BAG, erit ES sinus compl. anguli ejusdem³⁴⁾.

Figurae resectae ABSEA centr. gravitatis mechanice inveniatur F. Erit jam in catena pendente fig.^a 2^da, si angulus BGA quem facit tangens in A, aequalis sit ang.^o BGA in fig. 1^a, ratio applicatae in catena ad axem ejus BV, sicut in fig. 1^a AB ad ZF³⁵⁾.

Sic inveni, si AB applicata sit 1000 partium AG 5000, unde BG 4900³⁶⁾, fore BV=1720 prox.

Si AB sit 1000. BG 2446, tunc AB, BV fore aequales.

Si AB 1000. sintque AB, BG, GA ut 3, 4, 5; fore BV=601.

Si AB 1000, AG 2000, ut in triang^o aequilatero, fit BV=763.

Si AB 1000, itemque BG; fit BV=469. Sed accuratâ supputatione si fuerit hic AB 10000, fit BV=4699³³⁾.

Quoniam charta illa non prorsus aequalis est ubique crassitudinis, melius ex linteo uno, vel pluribus conglutinatis, ipsoque glutine duratis ac dein levigatis figurae rescinderentur.

Parata figura una longiore, quaelibet breviores ex ipsa in aliam chartam circumscribi possunt, quarum exscissarum centrum gr. inveniatur.

34) Voir le § VIII de la pièce N^o. 2625.

35) Voir le § I de cette pièce.

36) En réalité 4899, 1.

33) Nombre obtenu, comme un petit calcul en marge le prouve, au moyen de la division de 41421 par 88137. Sur ces derniers nombres on peut consulter la note 6 de la pièce N^o. 2624.