Oeuvres complètes. Tome IX. Correspondance 1685-1690

[p. 541]

N^o 2634.
Christiaan Huygens.
[octobre ou novembre 1690].
Appendice¹⁾ au No. 2633.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

1) Nous reproduisons dans cette pièce la réduction de la quadrature de la courbe x²y² = = a⁴ - a²y² à celle de la courbe x²y² = 4a⁴ - x⁴, dont il est question dans la lettre précédente. Nous l'avons divisée en deux paragraphes, dont le premier, que nous avons emprunté à la page 59 verso du livre G des Adversaria, contient la réduction de la quadrature de la première courbe à une somme infinie de sécantes, et le second, qui se trouve à la page 69 recto du même livre, celle de cette somme à la quadrature de la courbe x²y² = 4a⁴ - x⁴. Ajoutons que la réduction à une somme de sécantes a été mentionnée par Huygens dans son article sur la chaînette dans les Acta eruditorum de Juin 1691.

§ I.

AKH hyperbola aequilatera, centro B, semi axe BA. BE perp. AB. ut et AS. HE parall. AB. Proportionales sunt HE, SE, RE. Item KC, DC, LC, et ita ubique. et curva ALR²⁾. [Jam si sit in fig. pag. 14^a, ut WX ad XS, ita hic BE ad BA. Erit ibi longitudo catenae VSPA ad rectam AZ, sicut hic ▭ BS ad spatium ALREB]³⁾.

Triangulum minimum FA est ad ▭ minimum ER in ratione composita ex Δ^o FA ad Δ^o EA et ex Δ^o EA ad ▭ ER. Hoc est in rat. compos. ex rat. qu. AF, ad qu. AE et rat^e SE ad 2RE. Est autem RE=FG sinui compl.ⁱ anguli EAB, quia HE = AE et quia prop.^les HE, SE, RE ut et AE, ES, FG.

2) Posant BA = a, BE = x, ER = y, on a donc: √a² + x²∶a = a∶y, c'est-à-dire:
x²y² = a⁴ - a²y². ALR représente donc la première courbe de la note précédente.

3) Les phrases que nous avons mises entre parenthèses ne sont pas nécessaires à la démonstration qui va suivre. Toutefois, nous n'avons pas voulu les omettre. Elles ne contiennent au fond qu'une répétition d'une partie des §§ VII et VIII de la pièce N^o. 2625. En effet, la figure pag. 14 (= 58 recto, le numéro 14 se rapporte à une pagination partielle du livre G faite par Huygens lui-même) est celle que nous avons reproduite au § II de la pièce N^o. 2625, et la courbe ALR de la figure de la présente pièce N^o. 2634 est identique avec la courbe αΘ de la figure du § VII de la pièce N^o. 2625.

[p. 542]

Dicatur AF, r. AE, s; FG seu RE, c. Ergo ratio triang.ⁱ seu sectoris minimi

AF ad ▭ ER componitur	ex rr ad ss
	et r ad 2c
	_____
ergo quam	rrr ad 2css
seu, quia r ad s ut c ad r quam	crr ad 2csr
seu quam	r ad 2s

adeoque sector totus FAB ad spatium ERLABE sicut radius multiplex per numerum integrorum omnium graduum arcu FB contentorum ad duplam summam omnium secantium graduum integrorum usque ad secantem AE inclusive⁴⁾.

4) En langage moderne, posant AB = a, BAF = ϕ:|
½a²ϕ: aire ERL ABE = ϕ:2sec ϕ dϕ.
c'est-à-dire:
aire ERL ABE = a²sec ϕdϕ,
résultat quel'on vérifie aisément en substituant x = atgϕ dans l'intégrale a²/√x² + a²dx, qui représente l'aire de la courbe x²y² = a⁴ - a²y².

§ II.

BVZ est hyperb. aequilatera centr. A vertice B.

AD et BC perpend. AB.

[p. 543]

VN, RN, QN proportionales, et sic ubique. Curva est BQθ⁵⁾ per puncta sic inventa.

BD quadrans peripheriae centro A. Eam secat RA in E. ET perp. AB.

Jam est AT = NQ et TEQ recta linea⁶⁾.

Ostensum est pag. 17^a in fine⁷⁾, sectorem ABE esse ad spatium ABQN sicut radii omnes sectoris ABE, arcum BE in particulas aequales dividentes, ad duplam summam omnium secantium, arcubus aequaliter per istas particulas crescentibus convenientium.

Sicut autem secans earum quaevis dupla ut LA (posita nempe AK = 2AB et KL perp.ⁱ ÀK) ad radium EA, ita triangulum minimum MAX (sumpta MA media prop.ⁱ inter LA, EA, vel inter GA, RA; quia GA dupla EA, et RA dimidia LA) ad triangulum minimum EAδ, seu sectorem minimum. Ideoque si totus sector BAE ita in sectores minimos aequales divisus intelligatur et simul eorum radiis continuatis spatium AHM in triangulos minimos. Erit omnes isti sectores minimi ad omnia haec triangula minima, hoc est totus sector ABE ad spatium AHM, ut omnes radii sectorem ABE dividentes ad omnes duplas secantes ipsis convenientes, hoc est ut sector idem ABE ad spatium ABQN. Ideoque spatio huic aequale erit spatium AHM. Fit vero et spatium BTQ aequale spatio HPM, quia triang. APM = rectang.^o TN, ut facile demonstratur.

Si AP sit x:PM = y. AB = a, fit 4a⁴ - x⁴ = xxyy⁸⁾ aequatio curvae HM. Si AN sit x:NQ = y, fit a⁴ - aayy = xxyy, aequatio curvae BQθ, quarum quadratura unius a quadratura alterius pendet. AH med. prop. AK, AB. AP, AH, AM semper sunt proportionales. quia 4a⁴ = xxyy + x⁴, unde xx + yy ad 2aa ut 2aa ad xx, et √xx + yy∶√2aa ut √2aa∶x, hoc est MA ad HA ut haec ad AP.

5) Cette courbe est donc identique avec la courbe ALR de la figure précédente et de même avec la courbe αψΘ de la figure du § VII de la pièce N^o. 2625.

6) Cela résulte de la construction de la courbe αψΘ telle qu'elle est décrite au § VIII de la pièce N^o. 2625.

7) Il s'agit du paragraphe précédent de cette pièce.

8) On a, en effet, par construction MA² = aLA; mais LA:AK = MA:x, donc LA = 2a.MA/x, d'où il résulte MA = √x² + y² = 2a²/x, ou bien 4a⁴ - x⁴ = x²y².