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Oeuvres complètes. Tome V. Correspondance 1664-1665 (1893)

Oeuvres complètes. Tome V. Correspondance 1664-1665

(1893)–Christiaan Huygens–rechtenstatus Auteursrecht onbekend

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No 1446.
J. Hudde à Christiaan Huygens.
21 août 1665.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle est la réponse au No. 1434.

Mijn Heer

 

Eergister avond van een binnenlants reijsje eerst thuis gekoomen zijnde, is d'oorzaak dat ik uEdelheijts laatste niet eerder heb beantwoort; uit welke ik zo veel zie dat ik reden heb te gelooven dat wij nu eindelijk eens de volkoomen uitslag van onze dobbel-quaestien zullen hebben bekoomen. 'T is hier in met ons gegaan als 't gemeenlijk gaat daarmen met malkanderen disputeert, en na een half dozijn uuren disputerens eindelijk al disputerende de nette Status Quaestionis hebbende gevonden, in een ogenblik met malkanderen in een schuijt komt. Maar ik verwonder mij met uEdelheijt over zoveele vremde toevallen als ons hier in ontmoet zijn. En om datze uEdelheijt noch alle niet en weet, en met een ook zien mag dat ik mij noit en hebbe mis-rekent, zelfs niet in 't geen ik namaals verandert, en een faut hebbe genoemt, en ook te gelijk mijn ander en eerste Methodus weeten magh; zo zal ik noch de moeite neemen uEdelheijt te zeggen, hoe ik de zaak van vooren aan hebbe ingezien en gecalculeert. En om dit met ordre te doen zal ik ze a principio moeten ophaalen.

Traduction:

Monsieur

N'étant revenu qu'avant-hier au soir d'un petit voyage à l'intérieur, c'est la cause que je n'ai pas répondu plus tôt à votre dernière: dans laquelle je vois assez que j'ai raison de croire qu'à la fin nous aurons trouvé l'issue complète de nos questions de jeux de hasard. Dans ceci il nous est arrivé, comme il arrive ordinairement lorsqu'on dispute, et qu'après une demie-douzaine d'heures de disputations ayant trouvé enfin, tout en disputant, le vrai status Quaestionis, on vient dans un moment à s'entendre.
Mais je m'étonne avec vous de tant de circonstances singulières que nous avons rencontrées ici. Et comme vous ne les connaissez pas encore toutes, et pour qu'en même temps vous puissiez voir que jamais je n'avais calculé de travers, pas même dans ce que j'ai changé autrefois et nommé une faute, et afin que vous puissiez en même temps connaître mon autre et première méthode; - je prendrai encore la peine de vous dire, comment de premier abord j'ai considéré et calculé la chose. Et pour le faire en bon ordre, je devrai la reprendre a principio.

UEdelheijt dan is d'eerste geweest die mij een brief1) aangaande deze dobbelrekeningen heeft geschreven, in welke hij corrigeert 2 facitten, die ik hem hadde gegeven op zijne 2e en 4e quaestie achter aan in zijn Tractaatje vande speelen van Geluk begreepen, die aldaar zonder facit worden gevonden, op dat zijn Edelheijt eens zien mocht ofze met de zijne accordeerde; en stelt mij daar na voor te solveren zijne eerste quaestie van kruis of munt met deze woorden: A en B werpen op met beurten kruis of munt op conditie dat die munt werpt een ducaet zal inzetten, maar die kruis werpt zal alles strijken dat ingezet is. En A werpt eerst zijnde noch niets ingezet. De vraage is hoeveel dat A verliest als hij dit spel aangaat, ofte hoeveel hij aan B zouwde konnen geven om daar uit te mogen scheijden?

Jn mijn antwoort2), na dat ik getoont hadde een dubbelzinnigheyt in deze zijne twede en 4e quaestie, en dat de getallen van zijn Edelheijt sloegen op d'eene, mijne op d'andere zin, zo gaf ik ook tot solutie op d'andere 1/6 van een ducaet; doch voegende daar met voordagt bij deze woorden: Immers is dit waar in die zin in welke ik de woorden vat, maar wie weet of wij hier ook geen twe, ja meer quaestien af zullen maaken, en derhalve dat het uEdelheijts beurt wel mocht vallen in cas van verschil, de dubbelzinnigheijt uit te vinden; ik zal echter verlangen of wij

Donc c'est vous qui avez été le premier à m'écrire une lettre1) par rapport à ces questions de jeux de hasard, dans laquelle vous corrigez deux résultats que je vous avais donnés pour les questions 2e et 4e insérées à la fin de votre petit Traité des jeux de hasard, où elles se trouvent sans facit, afin que vous pussiez voir s'ils s'accordaient avec les vôtres; ensuite vous me proposez de résoudre votre première question de croix ou pile, en ces termes: A et B jettent à tour de rôle croix ou pile, sous condition que celui qui jette pile mettra chaque fois un ducat, mais que celui qui jette croix prendra tout ce qui est mis. Et A jette le premier, pendant que rien n'a été mis encore. La question est, combien A perd, quand il entre dans ce jeu, ou combien il pourrait donner à B pour en pouvoir finir?
Après avoir montré dans ma réponse2) qu'il y avait un double sens dans ces 2e et 4e questions que vous aviez posées, et que vos nombres avaient rapport à l'un des sens, les miens à l'autre, je donnai aussi 1/6 d'un ducat comme la solution de celle-ci, mais j'y ajoutai avec préméditation ces mots: Or cela est vrai dans le sens où j'interprète les mots: mais qui sait si nous n'en ferons pas de même deux ou bien plusieurs questions; et par conséquent que ce pourrait bien être votre tour, en cas de différence, de rechercher le double

accorderen zullen, hoewel ik daar niet aan en twijfel zowe slegts de woorden inde zelfde betekening opneemen.

Jn zijn Edelheijts antwoort3) op deze stelt hij mij geheel buiten schult aangaande de verdachte mis-rekening, en attribueert d'oorzaak daar van alleen aan zich zelfs, als hebbende die 2 quaestien niet na behooren en zonder dubbelzinnigheijt voorgestelt; voegende daar bij, dat hem ook noch wel voorstond, dat hij die van de 3 speelders toen hijze eerst bedagt, in dien zelven zin verstaen hadde alsze bij mij was opgenomen, van d'andere, dat hij niet zeker kost zeggen hoe hijze had verstaen als hijze uitgaf, dewijl d'eene uitlegging daar zo wel als d'andere op paste; maar dat daar weijnig aangelegen was in wat betekening men dezelve opnam; en dat hij bevond mijn getallen in mijn interpretatie goet te zijn, gelijk zijne getallen in d'andere. Voorts aangaande d'andere quaestie van kruis of munt nam zijn Edelheijt zo net wegh de dubbelzinnigheijt die mij daar in was ontmoet, gelijk als of hij mijn gedachten, toen ik ze calculeerde, hadde geweten, zeggende: Om nu voorts alle dubbelzinnigheijt te vermijden, zo zal ik noch dit daar bij zeggen, dat ik verstae dat ieder reijse als A of B munt werpt, hij moet een ducaet inzetten, zo datter zomtijts veel ducaten konnen ingezet staan, eer eens kruis wort geworpen, dat is, eer al dat instaat, getrokken wort. Jk kan niet zien dat hier nu eenige twijfelachtigheijt overblijft, doch twijfel of de quaestie bij u Edelheijt in dit verstandt

sens. Je suis curieux d'apprendre si nous nous accorderons, quoique je n'en doute pas, au moins si nous entendons les mots dans le même sens.
Dans votre réponse3) à celle-ci vous me mettez tout à fait hors de faute concernant l'erreur de calcul soupçonnée, et vous en attribuez la cause seulement à vous même, comme n'ayant pas posé ces 2 questions convenablement et sans équivoque; ajoutant que vous vous souveniez encore bien que lorsque vous eûtes la première idée de celle des 3 joueurs vous l'aviez comprise dans le même sens où moi je l'avais entendue; que, quant à l'autre, vous ne pouviez pas dire avec certitude de quelle manière vous l'aviez comprise lorsque vous la proposâtes, puisque l'une des interprétations s'y ajustait aussi bien que l'autre; mais qu'il importait peu dans quelle signification on l'entendait; et que vous trouviez mes nombres être bons dans mon interprétation, comme les vôtres dans l'autre. Ensuite, quant à l'autre question de croix ou pile vous dissipiez, aussi nettement que si vous aviez connu mes pensées quand je la calculai, le double sens que j'y avais rencontré, - en disant: Or pour éviter dans la suite tout double sens, j'y ajouterai encore ceci, que j'entends que chaque fois que A ou B jette pile, il doit mettre un ducat, de sorte que quelquefois il peut se trouver beaucoup de ducats mis, avant que pour la première sois on jette croix, c'est-à-dire avant que l'on prenne tout ce qui a été mis. Je ne puis pas voir que maintenant il reste ici quelque incertitude, mais je

genomen is, om dat zijn rekening, volgens welke A zouwde 1/6 van een ducaet verliezen, met de mijne niet accordeert. want ik vind dat A verliest 4/27 van een ducaet.

Hier op heb ik uEdelheijt weder geantwoort4), dat ik de quaestie niet en hadde opgenomen in dezen ongedetermineerde zin, hoewel ik daar wel omgedocht hadde, voegende mijn reden daar bij, maar bij provisie in dezen zin: A en B werpen op met beurten kruis of munt op conditie dat die munt werpt, doch alleen voor d' 1e mael, een ducaet zal inzetten, &c., doch (gae ik voort) schoon ik met uEdelheijt niet zien kan datter nu eenige twijfelachtigheijt meer inde woorden der quaestie overgebleven is, zo accorderen echter onze gevonden uitkompsten niet: want volgens uEdelheijts rekening zouwde A verliezen 4/27 van een ducaet, en volgens de mijne 2/9. En in dezen brief heb ik uEdelheijt eerst voorgestelt mijne quaestie van Gelijk-Spel, geformeert uit de woorden van uEdelheijts quaestie zoveel als de zaak lijden kost.

Nu in uEdelheijts antwoort5) weder op deze vind ik de reden waarom hij mij deze zijne quaestie van kruis of munt hadde voorgestelt; om dat hij namentlijk oor-

doute si la question est prise par vous dans cette acception, puisque votre calculation, suivant laquelle A perdrait 1/6 d'un ducat, ne s'accorde pas avec la mienne, car moi je trouve que A perd 4/27 d'un ducat.
A ceci je vous ai répondu4) de nouveau, que je n'avais pas pris la question dans ce sens indéterminé, quoique j'y eusse bien pensé, en y ajoutant ma raison; mais par provision dans ce sens-ci: A et B jettent à tour de rôle croix ou pile, sous condition que celui qui jette pile mettra un ducat mais seulement pour la 1re fois &c.; mais (continuais-je) quoique pas plus que vous-même je ne puisse voir qu'il reste encore quelque incertitude dans les termes de la question, pourtant les résultats que nous trouvons ne s'accordent pas: car suivant votre calcul A perdrait 4/27 d'un ducat, et selon le mien 2/9. Et dans cette lettre je vous ai proposé pour la première fois ma question de jeu équivalent, formée des mots de votre question, autant que l'énoncé le pouvait souffrir.
Maintenant dans votre réponse5) à celle-ci je trouve la raison pourquoi vous m'aviez proposé cette question de croix ou pile; à savoir, parce que vous jugiez

deelde dat dit een ander slag van quaestien was als al de geene die in zijn gedrukte Tractaet gevonden wierden, en om dat ik zijn Edelheijt toen ik hem toonde het geene ik gecalculeert hadde omtrent zommige speelen van Geluk daar bij soude geseijt hebben dat ik niet en meende iets sonderlinx meer in die materie te konnen voorgestelt worden. Zouw ik niet hebben gezeijt, dat ik niet en meende datter licht iets sonderlinx meer in die materie zouwde konnen voorgestelt worden waar van de fondamenten niet en zouwden begrepen zijn in 't geen ik 'er in die vellen papiers van gestelt hadde? dewijl ik daar meer quaestien in hadde gesolveert en ook op andere manieren, als die in uEdelheijts Tractaet gevonden werden. Jmmers dit geloof ik heb ik toen alleen maar willen seggen, en ben noch in dezelve opinie.

Voorts antwoort uEdelheijt op mijne quaestie van Gelijk-Spel, dat hem namentlijk dezelve in't eerst vrij swaar voorquam, doch lichter afliep als hij gemeent hadde, en dat hij bevond de proportie der witte en swarte schijven van B te zijn van gelijk tot gelijk, wenschende te weeten wat uitkompst ik op dezelve gevonden hadde, dewijl onze rekeningen hem scheenen door verscheijde weegen te gaan, gevende tot reden, zo ik dezelfde volghde als hij, ik ook in de quaestie van kruis of munt de rechte facit 4/27 gevonden zouw hebben, want dit noch vrij lichter viel na zijne methode die tot beijde deze quaestien zeer na dezelfde was. En hier volgt dan op zijn Edelheijts 2e, waarop hij tot facit voegt 207/343 van een

qu'elle était d'une autre catégorie de questions que toutes celles qui se trouvaient dans votre Traité imprimé, et parce que, en vous montrant ce que j'avais calculé par rapport à quelques jeux de hasard j'aurais ajouté que je ne pensais pas que quelque chose de singulier pût encore être proposé dans cette matière. N'aurais-je pas dit que je ne pensais pas qu'en cette matière quelque chose de singulier pourrait encore être proposé, dont les fondements ne fussent pas compris dans ce que j'en avais écrit dans ces feuilles de papier? puisque j'y avais résolu plus de questions, et aussi suivant d'autres manières, qu'il ne s'en trouvait dans votre Traité. Assurément je crois avoir voulu dire alors cela seulement, et reste encore dans la même opinion.
Ensuite vous me répondez, sur ma question de jeu égal, qu'elle vous parut d'abord assez difficile, mais qu'elle se termina plus facilement que vous ne l'aviez cru: que vous trouviez la proportion des jetons blancs et noirs de B comme d'égal à égal, et que vous désiriez savoir quel résultat j'y avais trouvé, attendu que nos calculations semblaient suivre des voies différentes; vous donniez pour raison que, si je suivais la même que vous, j'aurais trouvé aussi dans la question de croix ou pile le résultat vrai 4/27; car ceci était encore bien plus facile selon votre méthode, qui était à très peu près la même pour ces deux questions.
Et après cela vient votre 2e question, à laquelle vous ajoutez le facit 207/343 d'un ducat

ducaet die A bij deze conditie zoude winnen, versoekende ook te weten mijne uitkompst op dezelve. En zijn Edelheijts quaestie van Gelijk-Spel, eindigt dezen brief.

Hier op nu had ik geantwoort voor dat onze vloot voor d' 1e mael zee koos, maar door een schielijke reijs derwaarts verlet zijnde, dezelve af te schrijven, en uEdelheijt over te stieren, zo bleef dat toenmaals achter. Nu dit antwoort en verscheelt niet van 't geen ik uEdelheijt lang daar na eerst heb toegesonden6), als alleen in de verandering der facitten van deze uEdelheijt twee voorgestelde doch een-naturige quaestie. Want ik hadde eerst voor 't facit gestelt 3/49 in plaats van t uwe 207/343, maar daar na heb ik dit met 3/5 gemultipliceert en alzo voor 3/49 gegeven 9/245. Waer op dan ook most volgen de verandering vande 2 voorgaande uitkompsten op uEdelheijts eerste, namentlijk 1/9 in plaats van 1/6 en 4/27 in plaats van 2/9. Nu zal ik uEdelheijt dan toonen hoe ik daar aan gekoomen ben; en 't zal genoeg zijn dit in d' 1e quaestie7) van uEdelheijt te doen, dewijl de 2e van dezelve natuur is. Ik stelde dan dat de conditie van A waart zouw zijn als

que A gagnerait sous cette condition, et vous demandez à connaître aussi mon résultat pour cette question. Et votre question de jeu égal termine cette lettre.
Or, à tout cela j'avais répondu avant que notre flotte mît en mer pour la 1re fois; mais ayant été empêché par un voyage subit vers la flotte de copier cette lettre et de vous l'expédier, la chose ne se fit pas alors. Cette réponse d'ailleurs ne différait pas de ce que longtemps après seulement je vous ai envoyé6), excepté dans le changement des résultats des deux questions que vous avez proposées, mais qui sont de même nature. Car d'abord j'avais pris pour le facit 3/49 au lieu du vôtre 207/343, mais plus tard je l'ai multiplié par 3/5 et par conséquent donné 9/245 au lieu de 3/49. Et ainsi devait nécessairement suivre le changement des 2 résultats antérieurs de votre première, savoir 1/9 au lieu de 1/6 et 4/27 au lieu de 2/9.
Maintenant je vous montrerai comment j'y suis parvenu; et il suffira de le faire dans votre 1re question7), puisque la 2e est de même nature. Je supposai donc que la condition de A vaudrait quand

A wierp voor d' 1e mael a
B.................b
A wierp voor de 2e mael c
B..................d
A wierp voor de 3e mael e
B..................f
&c.

Voor 1. dan als d'inleg niet hoger mogt klimmen als tot 2 ducaeten, zo stelde ik als A wierp voor d' 1e mael dat A 1 kans hadde tot 0

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8) Als B wierp voor d' 1e mael, dat als dan A 1 kans hadde tot 0

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A nu voor de 2e mael moetende werpen, zo werpt hij na 2 ducaten, welke niet meerder vermeerdert zullen werden; zulx dat A als dan uit deze 2 soude toe-

A jetait pour la 1re fois a
B..................b
A jetait pour la 2e fois c
B..................d
A jetait pour le 3e fois e
B..................f
&c.
Pour 1. Puisque alors la mise ne saurait monter au-delà de 2 ducats, je posai, lorsque A jetait pour la 1re fois, que A avait

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8) Lorsque B jetait pour la 1re fois, qu'alors A avait

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A devant maintenant jeter pour la 2e fois, il jette pour 2 ducats, qui ne seront plus augmentés, de sorte qu'alors de ces 2 il reviendrait 4/3 à A. Puisque

komen9) 4/3. zijnde dan c ∞ 4/3, zo is b ∞ 2/3, en a ∞ - 1/6. Zo dat A dan zouwde verliezen bij deze conditie 1/6 van een ducaet, gelijk ik eerst geschreven hadde. Ten 2en considererende d'inleg ongedetermineert, gelijk ikze namaels op uEdelheijts interpretatie dede, zo gebruikte ik deze zelfde Methode, en vond alzo de kans van A waart te zijn de zom van deze oneindige progressie - 1/2 + 1/8 + 3/32 + 5/128 + 7/512 &c. zijnde tzaamen ∞ ÷ 2/9. Zulx dat A in dezen zin verloor 2/9 van een ducaet, gelijk ik ook voor d' 1e mael hadde gegeven. Toen ik dit hadde gerekent ging ik tot overvloet ook op dezelve manier berekenen de kans van B, en bevond, dat B daar bij won na d eene 1/6, na d'andere zin 2/9 van een ducaat, accorderende met het voorgaande. De reden nu waarom ik de quaestie in 't eerst in deze 1e zin veel eer als in 2e opnam, blijkt hier nu klaar: want dewijl uEdelheijt bij 't voorstellen van die quaestie hadde gevoegt, dat ik te lichter mij zouwde verledigen tot het zoeken der solutie, dewijl bleek datter niet veel rekenings aan vast was, maar alleen de wegh most gevonden werden om tot

alors c ∞ 4/39), il vient b ∞ 2/3, et a ∞ - 1/6. De sorte que A perdrait sous cette condition 1/6 d'un ducat, comme j'avais écrit premièrement. En 2e lieu, considérant la mise indéterminée, comme je le fis ensuite d'après votre interprétation, j'employai la même Méthode, et je trouvai alors que la chance de A avait la valeur de cette progression infinie - 1/2 + 1/8 + 3/32 + 5/128 + 7/512 &c. soit ensemble ∞ ÷ 2/9. De sorte que A perdrait en ce sens 2/9 d'un ducat, comme je l'avais donné aussi la 1re fois. Lorsque j'eus calculé ceci, je calculai encore par surcroît, de la même manière, la chance de B et trouvai que B y gagnait dans l'un sens 1/6 et dans l'autre 2/9 d'un ducat, ce qui s'accorde avec ce qui précède. La raison pourquoi j'interprétai d'abord la question dans ce 1er sens, plutôt que dans le 2e, apparaît ici clairement, car puisque, en proposant cette question, vous aviez ajouté que je me prêterais d'autant plus aisément à en chercher la solution qu'il avait été reconnue qu'il n'y fallait pas beau-

het begeerde te geraken; zo kost ik deze woorden niet toepassen tot deze 2e calculatie, maar wel tot d' 1e. En op 't onzeker docht mij wast niet geraden toen-maels, zijnde alreets sluijmerigh en tijd om te slapen, deze calculatie te maaken, maar veel eer nevens mijne solutie zo veel te kennen te geven, dat ook deze, gelijk de voorgaande twee, van dubbelzinnigheijt niet vrij was, en voorts uEdelheijt eijge nader determinatie daar op te verwachten. Maar wat magh nu de reden zijn, denkt uEdelheijt al, van deze verandering? Van de reijs thuis koomende10), oordeelden ik dattet best zouw zijn, eer ik dezen brief afzond, noch eerst eens te onderzoeken of ik niet vinden kost waar uEdelheijt zijn facit van 4/27, dat hij nu op nieuws weder hadde geaffirmeert11) het rechte te zijn, van daan had. En ik beken dat dit zoeken mij wel 3 mael zoveel tijts heeft gekost als al de rest. Jk dacht niet meer op dubbelzinnigheijt inde woorden zoze daar laagen, dewijl uEdelheijt nu alreets met reflexie alle dubbelzinnigheijt had zoeken wegh te neemen, en dat ik 'er ook geen andere in had gemerkt. Jk dagt niet meer op een faut in mijn calculatie, dewijl ik niet kost gelooven dat ik 'er een begaan had, na dat ik de kans van A hadde berekent, en daar na die van B, en na beijde dezelfde uitkompst hadde bevonden, en dat door vrij verscheijde getallen, dewijl de wederzijtsche oneindige progressien gansch verscheijde waren. Aan mijn raisonnement en kost ik ook niet twijfelen, dewijl 't steunde op een gansch eenvoudig Theorema, zijnde geloof ik, het 1e in uw Tractaat. En het

coup de calcul, mais que seulement la voie était à trouver pour atteindre au but, - je ne pouvais pas appliquer ces mots à cette 2e calculation, mais bien à la 1re. Et comme j'étais déjà somnolent et qu'il était temps de dormir, il ne me sembla pas à propos de faire ce calcul à l'incertain, mais plutôt de vous faire connaître, avec ma solution, que cette question, de même que les deux précédentes, n'était pas exempte d'équivoque, et ensuite d'attendre là dessus votre propre détermination ultérieure. Mais quelle peut bien être, pensez-vous déjà, la raison de ce changement? Revenu du voyage au logis10), je jugeai que le mieux serait, avant de vous envoyer cette lettre, d'examiner encore une fois si je ne saurais trouver d'où vous aviez votre facit de 4/27, que de nouveau vous aviez affirmé11) être le vrai. Et j'avoue que cette recherche m'a bien coûté 3 fois autant de temps que tout le reste. Je ne pensais plus à un double sens dans les mots, tels qu'ils étaient, puisque maintenant vous aviez déjà cherché avec reflexion à enlever toute équivoque, et qu'aussi je n'y en avais pas aperçu d'autre. Je ne pensais plus à une faute dans mon calcul, puisque je ne pouvais croire en avoir commis, après que j'eus calculé la chance de A, et ensuite celle de B, et que suivant ces deux calculs j'eus trouvé le même résultat, et cela par des nombres assez différents, puisque les progressions infinies étaient tout à fait différentes de part et d'autre. Je ne pouvais non plus douter de mon raisonnement, puisqu'il s'appuyait sur un Théorème tout simple, lequel était, à ce

een en 't ander wiert noch te meer bevestigt door die andere gecommuniceerde Methode12) waar door, alleen afgetrokken zijnde 'tgeen datelijk uEdelheijt zal blijken, ook alles hadde berekent, en eenzelvigh bevonden. Ik stelde ook genoegzaam vast dat uEdelheijt wel hadde gecalculeert, gemerkt hij nu voor de 2e reijs zijn facit zeide goet te zijn. Jk docht dan om ons overeen te brengen, en den Text te verstaan zo zeer niet uit de woorden derzelve als uit de bij-koomende omstandigheden. En 't was mij zeer probabel dat uEdelheijt deze 1e Methode, of weijnig daarmede verschillende, gebruikte, dewijl hij die manier genoegzaam gebruikt hadde in zommige van zijne quaestien in zijn Tractaat verhandelt. Mijn gedachten vielen dan op d' 1e werp van A, en socht het in dezelve. naa't dan over deze en geene boeg gewent te hebben, docht ik eindelijk dat A, kruis werpende, en 't spel daar door uit-maakende, zoveel daar bij komt te winnen als hij door de conditie van 't spel verliest. Nu in deze gedachte, waarin men zeer licht kan vallena), is een notoire dubbelzinnigheijt int woord winnen want men kan het zelve zo nemen als of, A kruis werpende, B niets aan A zouw hoeven te geven; in welken zin ik alreets het facit van 1/6 en 2/9 had gevonden, en uEdelheijt overgeschreven, ofte in dien zin, dat A kruis werpende van B zoveel als hij bij de conditien van 't spel verliest, zouw winnen, dat is, ontfangen. en gong derhalven toen onderzoeken of ik zijn Edelheijts facit in dien zin zoude krijgen. 't welk

que je crois, le 1er de votre Traité. Et l'un et l'autre était confirmé encore plus par cette autre Méthode12), que je vous ai communiquée et par laquelle, étant seulement soustrait ce que vous verrez plus loin, j'avais tout calculé et trouvé conforme. Je tenais aussi pour assez sûr que vous aviez bien calculé, attendu que maintenant vous disiez pour la 2e fois que votre facit était bon. Je pensai donc à nous mettre d'accord, et à comprendre le Texte non tant d'après les mots, mais d'après les circonstances accessoires; et il me sembla très probable que vous employiez cette 1re Méthode, ou une qui en était peu différente, puisque vous en aviez assez fait usage dans quelques-unes des questions discutées dans votre Traité. Alors mes pensées tombèrent sur le 1er coup de A, et je cherchai l'explication dans celui-là. Après avoir essayé tantôt ceci, tantôt cela, je pensai enfin que A, en jetant croix, et ainsi finissant le jeu, viendrait à gagner autant de cette manière qu'il perd par la condition du jeu. Or, dans cette pensée où l'on peut tomber aisémenta), il y a un double sens évident dans le mot gagner; car on peut le prendre de telle façon que, A jetant croix, B n'aurait rien à donner à A, dans lequel sens j'avais déjà trouvé le facit de 1/6 et de 2/9, et vous l'avais copié; ou bien dans ce sens que A, en jetant croix, gagnerait, c'est-à-dire recevrait, autant de B, qu'il perdrait par la condition du jeu. En conséquence, j'examinai alors si j'obtien-

bekomende13), twijfelde ik niet langer of zijn Edelheijt had die quaestie ook zo opgenoomen, want, deze woorden dan; wel verstaande dat A bij de eerste kruis goij zoveel zal winnen als hij bij de conditien van 't spel verliest; bij de quaestie zo als ze bij uEdelheijt opgegeven is, gedaan zijnde, zo kanze beijde deze zinnen makkelijk lijden. En schoon ik in uEdelheijts twede quaestie van gelijke natuur dezelve uitkompst van 207/343 met uEdelheijt niet kreeg, zoo scheen't mij probabel dat uEdelheijt zich daar in verzint most hebben als zijnde moeijelijker om te rekenen, en hebbende nu maer voor d' 1e maal derzelver uitkompst gestelt, daar hij die van d' 1e namentlijk 4/27 nu al 2 maal hadde gegeven.

Hier bij considereerde ik voorts d'andere omstandigheden die ik dezen aangaande vond, als uEdelheijt's gegeven solutie op mijn voorgestelde quaestie van Gelijk-spel, waar uit mijn docht dat ik ook iets zoude konnen besluijten, als zijnde daar aan zeer verknocht, en hebbende de kansen om te trekken of bij te zetten niet gelijk maar ongelijk, ten welken opsigt zij overeenquam met uEdelheijts tweede die alleen vande eerste in deze ongelijkheijt verschilde. Daar bij considereerde ik

drais votre facit dans ce sens. Et l'ayant trouvé13), je ne doutai plus que vous aussi n'eussiez compris ainsi cette question; car ces mots: bien entendu que A en jetant croix du premier coup gagnera autant qu'il perd par les conditions du jeu étant ajoutés à la question telle que vous l'avez posée, elle peut aisément souffrir ces deux explications. Et quoique dans votre deuxième question, de même nature, je n'obtins pas le même résultat que vous, de 207/343, pourtant il me sembla probable que vous deviez vous y être trompé, vu qu'elle est plus difficile à calculer et que vous n'en aviez donné le résultat que pour la 1re fois, tandis que vous aviez maintenant donné déjà 2 fois celui de la 1re, savoir 4/27.
Avec cela je considérai encore les autres circonstances que je trouvai à cet égard, telles que la solution que vous avez donnée de ma question de jeu égal, d'où il me sembla que je pourrais conclure aussi quelque chose, comme y étant fort liée, et ayant les chances de tirer ou d'ajouter non pas égales mais inégales, en quoi elle ressemblait à votre deuxième, qui ne différait de la première que par cette inégalité. De

ook dat zijn Edelheijt de solutie vande mijne affirmeerde swaarder te wezen als van zijne eerste. en meerder omstandigheden en vond ik niet in geenige van uwe brieven waar uit ik iets scheen te konnen besluijten tot het uitvinden van de zin der Text. En wat belangt de swaarderheijt van deze solutie, die bleek klaar, zo men eerst rekende alles gelijk of't geen gelijk-spel was, en daar na de x stelde ∞ ⚬. En dit had ik ook gedaan om proef te nemen van mijn eerste generale calculatie op Gelijk-spel, gemerkt ik toen de generale calculatie op uEdelheijts quaestie al hadde gemaakt, en daar voor bekomen illustratie zijnde v ∞ b d/c + d met a + b, ofte gereduceert illustratie alwaar blijkt (gelijk ook in mijn 2e generale calculatie14), die ten dezen opzichte geen veranderinge heeft) zo men x concipieert ∞ ⚬, datmen zal krijgen bd + ac + bc ∞ add/c ofte add - bcd - acc - bcc ∞ ⚬, twelk gedivideert door d + c ∞ ⚬, geeft ad - ac - bc ∞ ⚬, ofte ad ∞ ac + bc, gelijk ik uEdelheijt voor het generale facit op diergelijke quaesties van gelijk-spel als de mijne was,
plus, je considérai aussi que vous affirmiez que la solution de la mienne était plus difficile que celle de votre première; et dans aucune de vos lettres je ne trouvai d'autres circonstances dont il me parût possible de conclure quelque chose pour découvrir le sens du texte. Et quant à la plus grande difficulté de cette solution, elle était évidente lorsque d'abord tout était calculé, comme s'il ne s'agissait point de jeu égal, et qu'ensuite on posait x ∞ ⚬. Et c'est auffi ce que j'avais fait pour contrôler ma première calculation générale de jeu égal, attendu qu'alors j'avais déjà fait la calculation générale de votre question, pour laquelle j'obtins illustratie où v ∞ bd/(c+d) par (a+b), ou bien après réduction illustratie d'où il appert (comme aussi de ma 2e calculation générale14), qui n'a pas de changement à cet égard) que, en concevant x ∞ ⚬, l'on trouvera bd + ac + bc ∞ add/c, ou add - bcd - acc - bcc ∞ ⚬, ce qui, après division par d + c ∞ ⚬, donne ad - ac - bc ∞ ⚬

ook hebbe overgeschreven15). Voorts belangende zijn Edelheijts solutie op deze mijne quaestie, schoon dezelve met de mijne verscheelde, zo docht mij evenwel, dat ik waarschijnelijk genoeg desselfs oorzaak zag, dewijl hij de proportie van c tot d hadde gestelt als gelijk tot gelijk16), twelk zo zouw geweest hebben indien de bovenstaande aequatie door d - c ∞ ⚬ hadde gedivideert geweest, maar gedivideert zijnde door d + c ∞ ⚬, zo oordeelde ik dat uEdelheijt een + voor een - had aangezien. dat ook alzo vremd en toeval is als de overeenkomst van onze facitten van 4/27, inzonderheijt zo men considereert dat uEdelheijt daar na dit gegeven facit heeft gecorrigeert, en daar bij gevoegt dat zijn facit ook was ontstaen uit het eene teken voor het andere gestelt te hebben17). Hier bij quam ook noch dat ik considereerde dat te lichter een mis-rekening kost ingesloopen zijn, om dat zijn Edelheijt in dezen zelfden brief schreef, dat de nuttigheijt van deze of diergelijke quaestien zodanig niet en was, datmen daar veel tijts in zouwde besteden; en om dat ik ook van dit zelfde gevoelen was, en ook nu in mijn oordeel al veel te veel tijts hier in hadde besteet, zo met rekenen als schrijven vande brieven; insonderheijt de droevige tijdingen op de Nederlaage van onze Vloot daar bijkoomende, die mijn gedachten zo vervulden dat ik ze op diergelijke speculatien niet langer kost, noch ook wilde bezig houwden; deeden mij voort mijn eerste getallen

ou ad ∞ ac + bc, comme je vous l'ai écrit aussi15) pour le facit général de semblables questions de jeu égal, telles qu'était la mienne. Ensuite, en ce qui regarde votre solution de cette mienne question, quoiqu'elle différât de la mienne, il me sembla pourtant que j'en voyais assez probablement la cause, vu que vous y aviez mis la proportion de c à d comme d'égal à égal16), ce qui aurait été ainsi, si l'équation précédente avait été divisée par d - c ∞ ⚬; mais étant divisée par d + c ∞ ⚬, je jugeai que vous aviez pris un + pour un -, ce qui est encore un accident aussi étrange que la coïncidence de nos résultats de 4/27, particulièrement lorsqu'on considère que plus tard vous avez corrigé ce facit donné, en notant que votre facit avait aussi été produit par l'emploi d'un signe pour l'autre17). A cela s'ajoutait encore, que je considérai qu'une faute de calcul pouvait s'y être glissée d'autant plus facilement que vous écriviez, dans la même lettre, que l'utilité de cette question ou de questions semblable n'était pas assez grande pour y employer beaucoup de temps; et que moi j'étais de la même opinion, et que maintenant aussi j'estimais y avoir déjà employé beaucoup trop de temps, tant à calculer qu'à écrire les lettres; surtout que vinrent s'y mêler les tristes nouvelles de la défaite de notre Flotte, qui remplissaient tellement mes pensées, que je ne pouvais, ni ne voulais, les occuper plus longtemps à de semblables spéculations; tout cela me fit

veranderen na de gezeijde positie, zonder daar over verder te denken, als zijnde nu ook mijns oordeels genoegzaam moraliter verzekert van uEdelheijts meijning, die door deze verhaalde omstandigheden niet weijnig bevestigt wiert, zulx ook, dat ik naderhand, tot d'ontfang van uwe laatsten toe, daar aan niet eens weer getwijfelt heb. Ik geef dan ook in dezen brief18) de solutie op mijn voorgestelde quaestie van Gelijk-spel, stellende niet gelijk uEdelheijt de begeerde ratio als gelijk tot gelijk, maar als 3 tot 2, jnsgelijx voor het facit, op uEdelheijt's quaestie van Gelijk-spel, stellende 2/3 van een ducaet voor ieders inleg. daarenboven om te korter te geraken tot een uit-eijnde vande zaak, voegde ik hier bij19) mijn generaal facit op alle diergelijke quaestien van Gelijk-spel als de mijne was, stellende daar voor ac + bc ∞ ad. Evenwel alles met die omzichtigheijt dat ik noijt tot noch toe uEdelheijt van mis-rekening heb beschuldigt, maar alleen mijn uitkompsten eenvoudighlijk gestelt, daar nevensvoegende evenwel dat ik niet geloofde dat ik mij in deze calculatie zouw hebben verzint, gemerkt ik alles door 2 verscheijde wegen gerekent had, en wel expres, dat mij die quaestien van die nuttigheijt niet en scheenen (gelijk uEdelheijt voor mij van hem zelfs ook hadde gezeijt) datmen daar veel tijts in zouwde besteden, en dat ik derhalven zijn Edelheijt niet absolut wilde verzekeren van in alles wel te hebben gerekent. En of ik hier geen tijts ge-

changer incontinent, sans plus y réfléchir, mes premiers nombres suivant la supposition susdite, me jugeant moraliter suffisamment assuré de votre opinion, ce qui ne fut pas peu confirmé par ces circonstances mentionnées; de sorte qu'ensuite jusqu'à la réception de votre dernière je n'en ai pas douté une seule fois. Aussi dans cette lettre18). je donne la solution de ma question proposée de jeu égal, ne trouvant pas comme vous pour la ratio désirée, celle d'égal à égal, mais celle de 3 à 2, et de même trouvant, pour le facit de votre question de jeu égal, 2/3 d'un ducat pour la mise de chacun. Outre cela, afin d'en venir plus tôt à une issue de l'affaire, j'ajoutai19) mon facit général pour toutes les questions semblables de jeu égal, comme était la mienne, en posant à cet effect ac + bc ∞ ad. Pourtant, tout cela avec cette circonspection, que jamais jusqu'à présent je ne vous ai accusé d'erreur de calcul, mais que j'ai seulement donné mes résultats, y ajoutant toutefois que je ne croyais pas m'être trompé dans cette calculation, attendu que j'avais calculé le tout par 2 voies différentes, et expressément, que ces questions ne me semblaient pas être d'assez grande utilité (comme vous aussi de vous-même l'aviez dit avant moi) pour y employer beaucoup de temps, et que par conséquent je ne voulais pas vous assurer absolument d'avoir bien calculé en tout. Et je veux volontiers laisser à vous de juger si je n'y ai pas employé assez de

noeg in besteet, en waarschijnlijkheijts genoeg gehat heb om te gelooven van wel gerekent, en de quaestie in uEdelheijts meijning gevat te hebben, wil ik gaarn laaten aan uEdelheijts oordeel.

 

'T Antwoort20) nu op dezen mijnen brief behelst maar ten principalen, dat zijn Edelheijt zijn voorgaande calculatien hadde overzien, en geen faut bevonden in zijn gegeven facit 207/343; maar dat hij bevonden had zijne en mijne gegeve solutie op mijne quaestie van gelijk-spel, beijde gemist waaren, vindende nu na zijne verbeterde rekening c ∞ 1/6 d + 1/6 √ 37 dd; dat zijn faut ontstaan was uit een + voor een - gestelt te hebben; dat hij kreeg voor den generalen regel cc ∞ - dc + aadc/ab + bb + add/b, in plaats van de mijne c ∞ ad/a + b; dat hij voor vast hiel dat wij verscheijde wegen volghde, zo om dit groot verschil, als ook omdat ik geschreven hadde, dat dese mijne quaestie lichter viel t'ontbinden volgens mijn methode als zijn Edelheijts eerste van kruis of munt; en voegt'er voorts een exempel bij waar in d'ongoetheijt van mijnen Regel oogenschijnelijk sou blijken; doch dat hij op zijne quaestie van Gelijk-spel eenzelfde uitkompst met mij hadde bevonden.

temps, et eu assez de probabilité pour croire avoir bien calculé et avoir interprété la question selon votre idée.

Or, la réponse20) à cette lettre de moi contient seulement, en somme, que vous aviez revisé vos calculations précédentes et que vous n'aviez pas trouvé de faute dans votre facit donné 207/343; mais que vous aviez reconnu que les deux solutions données, de ma question de jeu égal, la vôtre et la mienne, étaient toutes les deux erronées, et que maintenant vous trouviez suivant votre calcul corrigé c ∞ 1/6 d + 1/6 √ 37 dd; que votre faute était provenue d'avoir mis un + pour un -; que vous obteniez pour la règle générale cc ∞ - dc + aadc/ab + bb + add/b, au lieu de la mienne c ∞ ad/a + b; que vous teniez pour sûr que nous suivions des voies différentes, tant à cause de cette grande diversité, qu'aussi parce que j'avais écrit que cette mienne question était plus facile à résoudre suivant ma méthode que votre première de croix ou pile: et ensuite vous ajoutiez un exemple, dans lequel la fausseté de ma règle paraîtrait évidemment; mais que vous aviez trouvé le même résultat que moi dans votre question de jeu égal.

Hier zag ik dan uit dat wij in de solutie van uwe 1e en laatste quaestie accordeerden, en daar bij, dat de faut van uwe eerste gegeven facit op mijne quaestie was ontstaan uit het eene teken voor 't ander te hebben aangenoomen, gelijk ik ook geoordeelt hadde: Maar ik zag alzo weijnig als te vooren waarom wij niet in alles voorts accordeerde. Jk was dan op 't land gegaan om mijn vermaak in veel nutter speculatien te zoeken, (gelijk ik in mijn antwoord ook geschreven hebbe) en oordeelde dat het toen niet de pijne waart was om wederom op nieuws na onze overeenkompst te gissen, maar dat het genoeg zouw zijn, om tot een uit-einde vande zaak te koomen, die mij in deze conjuncture van tijden van zo weijnig consideratie scheen dat mij docht noch eêr te veel als te weijnich moeite te neemen, zo ik alleen bij retorsie toonde, dat uEdelheijts exempel d'ongoetheijt van mijn regel niet bewees, maar integendeel; Ten anderen dat de gegeve solutien van 207/343, en 105/131, insgelijx na de zin vande woorden der Text, niet goet waaren; maar eindelijk en ten principalen, dat ik daar ook bijvoegde een van mijn methode die ik gebruikt hadde, en waar uit dit alles 't lichtst mijns oordeels blijken kost: want dit docht mij was d'alderkortste wegh, en zouw ons nootzaaklijk ten einde vande zaak moeten helpen. dit was dan d'inhout van mijn antwoord21).

Par là, je vis donc que nous nous accordions quant à la solution de votre 1re et de votre dernière question; et avec çela que la faute de votre facit d'abord donné pour ma question, était provenue d'avoir pris un signe pour l'autre, ainsi que je l'avais pensé. Mais j'y vis aussi peu que ci-devant pourquoi nous n'étions pas d'accord sur tous les autres points. J'étais donc allé à la campagne pour chercher mon divertissement dans des spéculations beaucoup plus utiles (comme je l'ai écrit aussi dans ma réponse) et je jugeai qu'alors il ne valait point la peine de conjecturer de nouveau sur notre concordance; mais, pour arriver à une fin de l'affaire, qui dans cette conjoncture des temps me semblait de si peu de considération que je croyais prendre encore plutôt trop que trop peu de peine, je pensai qu'il sussirait de montrer, par rétorsion, que votre exemple ne prouvait pas la fausseté de ma règle, mais bien au contraire; d'un autre côté, que les solutions données, de 207/343 et 105/131, n'étaient pas non plus bonnes suivant le sens des mots du Texte; puis enfin, et principalement, d'ajouter une de mes méthodes que j'avais employée et par laquelle, suivant mon opinion, tout çela pouvait apparaître le plus facilement. Car ceci, à ce que je croyais, était le plus court chemin, et devrait nécessairement nous mener à la fin de l'asfaire. Tel était donc le contenu de ma réponse21).

Maar in uEdelheijts22) wederom op deze, zie ik, dat uEdelheijt iets in zijne quaestien had vergeeten, en schoon 't omtrent d' 1e werp is voor zoveel A kruis kan werpen daar ik 't ook gezoght hadde, zo ist nochtans iets anders als ik op soveel waarschijnelijkheden hadde gepraesumeert; want uEdelheijt zeijt, dat hij door inadvertentie nagelaten hadde in't einde vande quaestie daar bij te voegen, dat hij verstond, dat het spel niet en eindighde zonder dat van d'een of d'ander zijde iets was ingezet. daar de woorden van de Text, die alleen op 't eindigen van 't spel konnen gepraesupponeert werden te zien, alleen deze zijn: die kruis werpt zal alles strijken dat ingezet is; en bij gevolg, zo'er niets instaat, zal der ook niets gestreken konnen werden, maar echter daar mede (zo men supponeert aan de quaestie niets te ontbreken, gelijk ik most supponeren) 't spel uit moeten zijn. En in dezen zin had ik eerst gegeven tot facit 1/6, daar na volgens een nader determinatie op 't inzetten, 2/9 van een ducaet voor 't verlies van A op zijn Edelheijts eerste quaestie; twelk uEdelheijt toenmaels rejicieerde als zijnde niet 't rechte, gelijk ook namaels mijne gegeve solutien op mijne voorgestelde quaestie zo int particulier als generael aangemerkt, en nu evenwel ook heeft bevonden, volgens dezen eigentlijken zin der Text, de rechte facitten te zijn. Maar een wonderlijk toeval moet ik hier wederom aanteijkenen, dewijl ik alleen de moeite neem van dezen groo-

Mais dans votre réponse22) à celle-ci, je vois que vous aviez oublié quelque chose dans vos questions, et quoique ce soit par rapport au 1er coup de A, où moi aussi j'avais cherché l'explication, pourtant c'est autre chose que ce que j'avais présumé sur tant de probabilités; car vous dites avoir oublié par inadvertance d'ajouter à la fin de la question, que vous entendiez: que le jeu ne finissait pas sans que d'une part ou d'autre on n'eût mis quelque chose, tandis que les mots du Texte, qui seuls pouvaient ètre présupposés de regarder la fin du jeu, ne sont que les suivants: celui que jette croix râfler a tout ce qui a été mis; et par conséquent lorsqu'il n'y a rien au jeu, on ne saurait rien tirer, mais néanmoins le jeu doit être fini (quand on suppose qu'il ne manque rien à la question, comme je devais le supposer). Et dans ce sens j'avais d'abord donné pour facit 1/6, ensuite, sur une détermination postérieure de la manière de mettre, 2/9 d'un ducat, pour la perte de A dans votre première question; ce que vous rejetiez alors, comme n'étant pas le résultat juste, ainsi que plus tard aussi les solutions que j'ai données de la question que j'avais proposée, considérée tant en particulier qu'en général; et pourtant vous aussi avez trouvé maintenant que c'étaient les vrais résultats suivant ce sens propre du Texte. Mais ici il me faut de nouveau noter un accident singulier, parce

ten brief te schrijven om de vreemde toevallen uEdelheijt te doen zien, die ons onze overeenkompst dus lange belet hebben, namentlijk, dat uEdelheijt noijt heeft geantwoord het alderminste op mijn eerste gegeven facit van 1/6, want had hij zijn solutie daarop overgeschreven of zelfs met de mijne geconfereert met intentie om uit te vinden waar het haperen mocht, wij hadden buiten alle twijfel al voort, zoo 't zijn Edelheijt behaagt hadde, ten einde geraakt, gemerkt de zaak in die zin zo weijnig rekenings van doen heeft, datmen metter haast alles zouw hebben konnen deurlopen, en uitgerekent, en bij gevolgh uitgevonden hebben waar het hadde gehapert. Jk beken ook dat ik noit heb konnen vatten waarom uEdelheijt hier op noit iets geantwoort heeft; maar 't heeft niet willen wezen dat ik die moeite zouw spaaren, en tot nutter zaaken besteden, die ik in't zoeken van onze overeenkompst te vergeefs heb aangewent. Eindelijk daar blijft dan noch maar dit te zeggen, dat ik uEdelheijts gegeven uitkompsten, namentlijk 4/27, 207/343, illustratie, hebbe in zijn Edelheijts meining, ofte om beter te spreken, op zijne nieuwe voorgestelde quaestien, goet bevonden, uitgenomen dat voor 37 moet staan 73, dat apparent door 't uitschrijven zal veroorzaakt zijn23). de rest voort, namentlijk 105/13124), en de generale regel op zijne 2e quaes-
que je ne prends la peine de vous écrire cette grande lettre, que pour vous faire voir les étranges accidents qui si longtemps ont empêché notre accord; savoir, que vous n'avez jamais répondu la moindre chose sur le premier facit que j'avais donné, de 1/6; car si là-dessus vous m'eussiez copié votre résultat, ou même l'eussiez comparé au mien avec l'intention de rechercher où serait la faute, nous aurions sans aucun doute, s'il vous eût plu, trouvé la fin tout de suite; attendu que la chose dans ce sens exigeait si peu de calcul, qu'on aurait en moins de rien pu parcourir et calcular le tout, et par conséquent découvrir où se trouvait la faute. J'avoue aussi que jamais je n'ai pu comprendre pourquoi vous ne m'y avez jamais rien répondu; mais il n'a pas dû être que j'eusse pu épargner, et employer à des choses plus utiles, cette peine qu'en vain j'ai prise pour rechercher notre concordance. Enfin, il ne reste à dire que ceci, que j'ai verisié tous les résultats que vous avez donnés, savoir 4/27, 207/343, illustratie, pour les questions prises dans votre sens, ou, à parler plus exactement, pour vos questions nouvellement proposées; saus que pour 37 il faut mettre 73, ce qui apparemment aura été causé par la copie23). Ensuite j'ai

tie van Gelijk-spel heb ik voorts onnodigh geoordeelt te berekenen als zijnde van dezelve natuur.

Nu resteert dan noch alleen een woord te zeggen aangaande mijn laatste opneeming, waar na ik in plaats van mijn voorgaande gegeven getallen 1/6 en 2/9, andere hebbe gegeven: namentlijk dat ik hebbe gemeint uit alle die verhaalde concurrerende zaken, dat uEdelheijt most geposeert hebben, dat A voor d' 1e maal koomende kruis te werpen, hadde 1 kans tot x. Voor eerst dan zo geloof ik dat uEdelheijt mijn eerste gegeve methode25) nu wel verstaan zal, en merken waar uit 't verschil, 't geen hij zeijt, uit dezelve niet te hebben konnen naspeuren, ontstaan is: want ax/a + b alleenlijk achterlaatende, 't geen alle de differentie is die uit deze positie is ontstaan, zo krijgtmen uEdelheijts berekent facit met mijn eerste generale accorderende.

Ten anderen beken ik, dat ik niet al te eijgentlijk heb gesprooken als ik in plaats van mijn voorgaande facitten 1/6 en 2/9, gevende 1/9 en 4/27, toen daar bijvoegde, dat ik hier in een faut hadde begaan, dewijl 't eijgentlijk geen faut kan genoemt worden indien men de woorden na den woordelijken zin wel verstaan hebbende, des auteurs meijning of dubbelzinnigh of ongenoegzaam uitgedrukt,

jugé inutile de calculer le reste, savoir 105/13124), et la règle générale pour votre 2e question de jeu équivalent, comme étant de même nature.
Maintenant il ne reste qu'à dire un mot par rapport à ma dernière interprétation, suivant laquelle au lieu des nombres 1/6 et 2/9, que j'avais donnés auparavant, j'en ai donné d'autres; c'est que j'ai pensé, à raison de toutes ces choses concurrentes mentionnées, que vous deviez avoir posé que A, venant de jeter croix pour la 1re fois, avait la chance 1 pour x. Donc, en premier lieu, je crois que maintenant vous comprendrez bien la première méthode25) que j'ai donnée, et que vous apercevrez d'où est résulté la différence dont vous dites ne pas avoir pu trouver l'origine; car en omettant seulement ax/a + b, ce qui est toute la différence provenue de cette supposition, on trouve le facit que vous avez calculé, et qui s'açcorde avec mon premier résultat général.
En second lieu, j'avoue que je n'ai pas parlé trop proprement, lorsqu'en donnant 1/6 et 2/9 au lieu de mes résultats précédents 1/9 et 4/27, j'ajoutai qu'en ceci j'avais commis une faute; car proprement on ne peut dire qu'il y a faute quand, ayant bien compris les mots d'après le sens littéral, on vient à méconnaître la pensée de l'auteur, exprimée ou

komt te missen. maar dewijl ik nu zekerlijk meende uwEdelheijts meining ontdekt te hebben, ook zó, dat ik naderhand tot de kompste van uwen laatsten brief, noijt daar aan getwijfelt heb; zo nam ik dit toen der tijd zo naauw niet. Jk zeg, toen ter tijd, want hadden de tijden wat vroijlijker voor ons Vaderland geweest, had de quaestie niet geweest en niet al verscheijde maalen gerepeteert, dat mij wat verdrietig maakte, had ik geen nutter speculatien aangevangen, ik zouw mogelijk wat naauwkeuriger geweest, en dit onderscheijt in acht genoomen hebben. Maar willende nu wat accurater spreken, zo zouw ik zeggen, voor eerst, dat geen van ons beijde tot noch toe de quaestie heeft gesolveert na die zin die de woorden der Text net medebrengen: want dewijl inde Text niet een woord van 't eindigen of uit-zijn van 't spel gevonden wort, zo most men 't spel wel eer sonder eind als eindig hebben geconsidereert. Ten 2en zo men een eind aan 't spel wil supponeren, gelijk wederzijts gedaan is, zo geloof ik, dat mijn eersten zin, na welke ik 1/6 en 2/9 heb gegeven d'eenighste is, mathematicè te spreken, die men aan die woorden vande Text, welke op het eindigen van 't spel gepraesupponeert werden te zien, kan toevoegen; en derhalven, dat geenige van uEdelheijts solutien, voor dezen gegeven, uitgenoomen alleen vande laatste quaestie, goet zijn; gemerkt men supponeren moet dat de quaestien wel en terechte zijn voorgegeven, insonderheijt na dat menze van alle dubbelzinnigheijt met voordagt heeft zoeken te bevrijden, en datmen geen andere zin aan die woorden, die op 't uiteinde van 't spel dan slaan, geven kan, als die ik 'er aan gegeven heb. En einde-

équivoquement ou insuffisamment. Mais comme maintenant je croyais certainement avoir découvert votre pensée, à tel point que jamais, jusqu'à l'arrivée de votre dernière lettre, je n'en ai douté, je n'y regardai pas de si près dans ce temps là. Je dis, dans ce temps là, car si les temps avaient été un peu plus gais pour notre Patrie; s'il n'y avait pas eu divergence d'opinion et cela à plusieurs reprises, ce qui me rendait un peu morose; si je n'avais pas commencé des spéculations plus utiles; peut-être alors j'aurais été quelque peu plus exact et j'aurais tenu compte de cette différence. Mais voulant maintenant parler avec plus de précision, je dirais, d'abord, qu'aucun de nous deux n'a jusqu'ici résolu la question dans le sens que les mots du Texte comportent exactement, car puisque dans le Texte on ne trouve pas un mot de terminer ou de finir le jeu, on aurait bien plutôt dû considérer le jeu comme sans fin que comme fini. En 2e lieu, quand on veut supposer une fin au jeu, ainsi qu'il a été fait de part et d'autre, je crois que ma première interprétation, suivant laquelle j'ai donné 1/6 et 2/9, est la seule, mathématiquement parlant, que l'on puisse appliquer aux mots du Texte, qui étaient présupposés regarder la terminaison du jeu; et par conséquent qu'aucune de vos solutions données précédemment n'est bonne, hormis seulement celle de la dernière question; attendu qu'il faut supposer que les questions sont présentées bien et exactement, surtout après que l'on a cherché expressément à les débarrasser de toute équivoque, et que l'on ne peut donner un autre ens aux mots, qui se rapportent à la fin du jeu, que celui que j'y ai donné. Et enfin,

lijk supponerende datter iets is vergeten tot volkoomen determinatie van uw Edelheijts meijning, zo dunkt mij, datmen noch al zo licht in mijne als uwe gedachten zal vervallen (immers is mij dit gebeurt:) want mijn bijvoegzel brengt alleen een dubbelzinnigheijt bij de woorden vande Text, laatende derzelver zin noch in't geheel over; maar uEdelheijt neemtze geheel wegh, en stelt derhalven een gantsch andere quaestie.

UEdelheijt ziet dan dat deze zijne voorgestelde quaestie van kruis en munt al vrugtbaarder is als zijn zijn 2e en 4e achter in zijn Tractaet begrepen, welke alleenlijk verdubbelt zijn, maar deze alleen heeft ten minsten twee andere, gelijk ik in mijn eerste antwoord ook al vermoet hadde voortgebragt.

Sulx dat hier dan blijkt, dat ik mij nergens niet in hebbe misrekent zelfs niet daar ik voor deze 2 facitten 1/6 en 2/9, andere hebbe gegeven, nochte ook niet daar ik bij retorsie gaande mijn generalen regel en facitten heb gedefendeert, en d'uwe in tegendeel beschuldigt; dewijl dit alles waar blijft zomen het spel eindig stelt en alsdan supponeert, gelijk men moet, dat de quaestien genoegzaam en niet gebrekkigh zijn voorgestelt: Nergens, zeg ik, als alleen in uEdelheijts 2e Quaestie achter in zijn Tractaat van de Spelen van geluk, alwaar ik hadde gegeven voor de begeerde getallen 232, 159, 104, ontstaande gelijk ik heb geschreven26), uit het opneemen van een o, die wat na een a geleek, voor een a. En op dat alle onze

supposant que quelque chose ait été oublié pour la détermination complète de votre pensée, il me semble que l'on tombera plus aisément dans mon interprétation, que dans la vôtre (au moins cela m'est arrivé à moi); car mon addition introduit seulement une équivoque dans les mots du Texte, en leur laissant leur sens entier; mais vous l'enlevez tout à fait, et posez ainsi une tout autre question.
Vous voyez donc que cette question de croix ou pile, que vous avez proposée, est beaucoup plus féconde que ne le sont vos 2e et 4e placées à la fin de votre Traité, lesquelles ne sont que doublées, tandisque celle-ci en a engendré au moins deux autres, comme je l'avais déjà présumé dans ma première réponse.
De sorte donc qu'il ressort ici que je ne me suis trompé nulle part, pas même dans le cas où pour ces deux résultats 1/6 et 2/9 j'en ai donné d'autres, ni lorsque, allant à rétorsion, j'ai défendu ma règle générale et mes résultats, et par contre accusé les vôtres; puisque tout ceci demeure vrai quand on regarde le jeu comme limité et qu'on suppose alors, comme on le doit, que les questions sont enoncées à suffisance et non imparfaitement. Nulle part, dis-je, hormis seulement dans votre 2e Question, à la fin de votre Traité de jeux de hasard, où j'avais donné pour les nombres désirés 232, 159, 104, provenus, comme je l'ai écrit26), de ce que j'avais pris pour un a un o qui ressemblait quelque peu à un a. Et pour que toutes nos petites aventures soient ici rassem-

avontuurtjens hier mogen bij een zijn, zo isser ook noch een omtrent deze te noteren die ook zelden voorvalt, namentlijk, dat uEdelheijt eerst meende dat ik mij in deze verzint hadde, gevende in plaats deze getallen 9, 6, 4; daar na, getoont hebbende dat uEdelheijts getallen in een anderen zin goet waaren als ik de quaestie had opgenoomen, uEdelheijt weder antwoord, dat hij de mijne ook in mijn zin hadde goet bevonden, daar nochtans maar een getal van drijen goet was, en uit 't welk alleen onmogelijk was een van d'andere te besluijten.

Enfin, Mijnheer, gij ziet wat al moeiten ik heb aangewent om onse gedachten over een te brengen, en dat ik in alle onze dobbel-quaestien daar op ben uitgeweest, doch dat het echter in de laatste drij noch niet heeft willen lukken voor dat uEdelheijt mijn generale calculatien ter hand gekoomen zijnde, zijn meijning nader heeft gelieven te expliceren. Hier zal dan in toekoomende (zo 'er weder iets diergelijx mocht voorvallen) wat beter op dienen gelet te werden: want uEdelheijt kan zich verzekeren dat ik anders zeer licht wederom in 't zelfde Labarinth zoude geraken, als ongelukkigh in't divineren van uw Edelheijts meijning, en echter op 't hooghst genegen tot d'eenigheijt van onze gedachten. Eindigende zal ik blijven

 

Mijn Heer

UEdelheijts dienstwilligen dienaar Joh. Hudden.

Jn Amsterdam den 21 augustus 1665.

blées, il faut encore en noter une qui arrive rarement aussi, savoir que vous pensiez d'abord que je m'étais trompé par rapport à ces nombres, et que vous donniez en leur lieu les nombres 9, 6, 4; et qu'ensuite, après que j'eus montré que vos nombres étaient justes dans un autre sens que celui où moi j'avais pris la question, vous me répondiez, en retour, que vous aviez aussi trouvé bons les miens dans mon interprétation, quoique pourtant de ces trois nombres il n'y en eût qu'un qui fût bon, et que de ce nombre seul il fût impossible de conclure aux autres.
Enfin, Monsieur, vous voyez quelle peine j'ai prise pour concilier nos pensées, et que j'y ai tendu dans toutes nos questions de jeux de hasard; mais que néanmoins, pour les trois dernières, cela n'a pas encore voulu réussir avant que, mes calculations générales vous étant venues en main, il vous eût plu d'expliquer plus précisément votre opinion. A cela donc dans la suite (si de nouveau quelque chose de semblable arrivait) il faudra mieux faire attention: car vous pouvez être assuré qu'autrement je m'engagerais très facilement dans le même labyrinthe, comme étant malheureux à deviner votre opinion, et pourtant disposé au plus haut degré à l'harmonie de nos pensées.
En finissant je resterai

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