Oeuvres complètes. Tome V. Correspondance 1664-1665

[p. 463]

N^o 1447¹⁾.
J. Hudde à Christiaan Huygens.
[1665.]
Appendice I au No. 1446.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Solutie van een quaestie Raeckende de Avantagie en Disavantagie van twee speelders.

A en B speelen sonder datter iet instaet, en bedingen dat die munt werpt een ducaet sal insetten en die kruijs werpt een ducaet sal trecken mits dat A eerst sal moeten werpen. Vrage nae de avantagie van B? Antwoort 1/6 a²⁾.

Traduction:
Solution d'une question se rapportant à l'Avantage et au Désavantage de deux joueurs.
A et B jouent sans que rien n'ait été mis, et stipulent que celui qui jette pile mettra un ducat, et que celui qui jette croix tirera un ducat, à condition que A jettera le premier. On demande l'avantage de B? Réponse 1/6 a²⁾.

1) Nous donnons à la suite de cette correspondance de Huygens et de Hudde sur des questions de jeu, quatre pièces écrites de la main de Hudde et se trouvant dans le fonds Huygens: probablement, elles ont été communiquées plus tard par Hudde à Huygens.

2) Dans la solution qui suit, Hudde admet l'interprétation de Huygens sur la manière dont le jeu doit sinir, c'est-à-dire il suppose que le jeu ne sinit pas avant qu'une mise ait été faite d'une part on de l'autre. Il est donc clair que cette pièce doit être postérieure aux Lettres N^os. 1434 et 1445. D'ailleurs Huygens lui-même s'est occupé de cette question, car on trouve dans ses Adversaria, à la date du 15 juillet 1665, une solution du même problème, formulée comme il suit:
A et B werpen met beurten kruys of munt op conditie dat die munt werpt een ducaet daer voor ieder reyse sal insetten, maer die kruys werpt sal ieder reys daarvoor een ducaet trekken als er iets ingeset is. En A sal eerder werpen als nog niets ingeset is, en het spel niet uyt zijn, eer dat iets ingeset is, en men sal zoo langh spelen tot alles weder uytgetrocken is. De vraghe is, hoeveel A hierdoor verliest. facit 1/6 van een ducaet.
[Traduction: A et B jettent à tour de rôle à croix on pile, sous condition que celui qui jette pile mettra chaque fois un ducat, mais que celui qui jette croix gagnera chaque fois un ducat, tant qu'il se trouvera quelque chose au jeu. Et A jettera le premier, lorsque rien n'a encore été mis: et le jeu ne sera pas fini avant que quelque chose n'ait été mis, et l'on jouera jusqu'à ce que tout soit de nouveau retiré. On demande combien A perdra de la sorte. facit 1/6 d'un ducat.]
Il est donc très probable que le problème en question a été posé plus tard par Huygens à Hudde, qui arriva au même résultat dans cette pièce.

2) Dans la solution qui suit, Hudde admet l'interprétation de Huygens sur la manière dont le jeu doit sinir, c'est-à-dire il suppose que le jeu ne sinit pas avant qu'une mise ait été faite d'une part on de l'autre. Il est donc clair que cette pièce doit être postérieure aux Lettres N^os. 1434 et 1445. D'ailleurs Huygens lui-même s'est occupé de cette question, car on trouve dans ses Adversaria, à la date du 15 juillet 1665, une solution du même problème, formulée comme il suit:
A et B werpen met beurten kruys of munt op conditie dat die munt werpt een ducaet daer voor ieder reyse sal insetten, maer die kruys werpt sal ieder reys daarvoor een ducaet trekken als er iets ingeset is. En A sal eerder werpen als nog niets ingeset is, en het spel niet uyt zijn, eer dat iets ingeset is, en men sal zoo langh spelen tot alles weder uytgetrocken is. De vraghe is, hoeveel A hierdoor verliest. facit 1/6 van een ducaet.
[Traduction: A et B jettent à tour de rôle à croix on pile, sous condition que celui qui jette pile mettra chaque fois un ducat, mais que celui qui jette croix gagnera chaque fois un ducat, tant qu'il se trouvera quelque chose au jeu. Et A jettera le premier, lorsque rien n'a encore été mis: et le jeu ne sera pas fini avant que quelque chose n'ait été mis, et l'on jouera jusqu'à ce que tout soit de nouveau retiré. On demande combien A perdra de la sorte. facit 1/6 d'un ducat.]
Il est donc très probable que le problème en question a été posé plus tard par Huygens à Hudde, qui arriva au même résultat dans cette pièce.

[p. 464]

	a ∞ een Ducaet
Avantagies en disavantagies van B.
x	Als A moet werpen sonder datter iet instaet	x ∞ z - x/2 Ergo 3 x ∞ z.
	Ergo Als B moet werpen sonder datter iet instaet heeft hij - x
z	Alser een Ducaet van A instaet en dat B moet werpen.	z ∞ a - y/2
- y	De disavantagie vande worp. Alser van A en B een tegen een instaet en dat A moet werpen.	- y ∞ z - a + q/2 Ergo - 2y ∞ z - a + q. Indien men nu in plaets van z en q stelt haere gevonde waerdijen soo krijght men - 2y ∞ a - y/2 - a + - 2y + a/2 gereduceert komt - 4 y ∞ - 3 y + 2 a - 2 a geaddeert + 3 y----- - y ∞ 2 a - 2 a. Ergo - y ∞ ⚬^4) maar z was ∞ a - y/2. Ergo z ∞ 1/2 a. Ergo 3 x ∞ 1/2 a en x ∞ 1/6 a quod erat Demonstrandum.
Nota. Indien men dit corollarium^3) soude willen negeren, soo en is de quaestie niet te vinden, ten ware door een progressie^4).	Ergo Alser 2 tegen 2 instaen en dat A moet werpen is de disavantagie weder - y.
q	Als er 2 Ducaten van A instaen, en een van B en dat B moet werpen	∞ - 2 y + a/2

4) Dans la pièce N^o. 1449 Hudde cherche à démontrer au moyen d'une progression que la valeur de y est égale à zéro.

3) Dans la pièce N^o. 1448 Hudde s'efforce vainement d'arriver à une solution sans faire usage du corollaire en question.

4) Dans la pièce N^o. 1449 Hudde cherche à démontrer au moyen d'une progression que la valeur de y est égale à zéro.

[p. 465]

Traduction:

	a ∞ un ducat.
Avantages et désavantages de B.
x	Lorsque A doit jeter sans que rien n'a été mis.	x ∞ z - x/2. Ergo 3 x ∞ z.
	Ergo Lorsque B doit jeter, sans que rien n'a été mis, il a - x.
z	Lorsqu'il a été mis un ducat par A, et que B doit jeter.	z ∞ a - y/2
- y	Le désavantage du coup, lorsque par A et par B il a été mis un contre un, et que A doit jeter.	- y ∞ z - a + q/2. Ergo - 2y ∞ z - a + q. Lorsque maintenant on met au lieu de z et de q les valeurs qu'on a trouvées, on obtient - 2y ∞ a - y/2 - a + -2y + a/2 et il vient après réduction - 4 y ∞ - 3 y + 2 a - 2 a ou en ajoutant 3 y des deux côtés - y ∞ 2 a - 2 a. Ergo - y ∞ 0^4) Mais z était ∞ a - y/2. Ergo z ∞ 1/2 a. Ergo 3 x ∞ 1/2 a et x ∞ 1/6 a. Quod erat Demonstrandum.
Nota. Si l'on voudrait nier ce corollaire^3) la question est introuvable, sinon par une progression^4).	Ergo Lorsque il a été mis 2 contre 2 et que A doit jouer, le désavantage est de nouveau - y.
q	Lorsque 2 ducats ont été mis par A et un par B, et que B doit jeter.	q ∞ - 2 y + a/2

4) Dans la pièce N^o. 1449 Hudde cherche à démontrer au moyen d'une progression que la valeur de y est égale à zéro.

3) Dans la pièce N^o. 1448 Hudde s'efforce vainement d'arriver à une solution sans faire usage du corollaire en question.

4) Dans la pièce N^o. 1449 Hudde cherche à démontrer au moyen d'une progression que la valeur de y est égale à zéro.