Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 630]

N^o 2861.
[B. de Volder?] à Christiaan Huygens.
Appendice II¹⁾ au No. 2859.
[mai ou Juin 1694].

La pièce a été publiée par P.J. Uylenbroek²⁾.

AD ∞ x	BD sive DH ∞ y x^3+y^3 ∞ nxy
AN ∞ z,
NH ∞ t,	z-t/√2 ∞ x, t^2∞z^2^3) M.^4) -2z+n√2/6z+n√2,

1) Cet Appendice, sur l'origine duquel on peut consulter la note 19 de la Lettre N^o. 2859, contient une solution du problème de la quadrature du folium de Descartes. Pour en faciliter la lecture nous croyons faire bien en faisant suivre ici un aperçu de la méthode employée: Après avoir déduit l'équation de la courbe, rapportée aux axes AC et AR, où AN=z, NH=t, l'auteur applique le théorème, alors si bien connu, de Barrow que nous avons mentionné dans la note 8 de la Lettre N^o. 2721. D'après ce théorème il suffit, pour carrer la courbe CHA, de trouver l'équation de la courbe CORF dont la sousnormale NG soit égale à l'ordonnée NH, puisque alors l'aire CHN est égale à ½ ON². En notation moderne l'auteur a donc réduit de cette manière le problème à l'intégration de l'équation différentielle , où u représente ON.
Pour parvenir à cette intégration il emploie une méthode appelée ‘Methodus Craigii’ par Huygens (voir la note 7 de la présente pièce), qui consiste à poser , laissant indéterminés les coëfficients a, b, c, sauf à calculer ensuite les valeurs qu'on doit leur donner pour obtenir l'expression prescrite de la sousnormale. A cet effet l'auteur détermine d'abord la soustangente NP par la règle de de Sluse (voir la note 5 de la présente pièce) dont l'application exige la réduction préalable de l'équation de la courbe à sa forme rationnelle. Après l'achèvement de ces calculs l'expression obtenue pour NP est égalée à celle qu'on obtient par la division de sur ON²=u². Substituant ensuite dans cette égalité la valeur supposée de u² on trouve, par la comparaison des coefficients des puissances de z, qu'elle se réduit à une identité, pourvu qu'on suppose: a=-1, b=⅓ n√2, c=⅙n²; mais alors on a:aire ; donc, pour z=0, CHA=1/12n², et . Retranchant de cette dernière expression l'aire ½ zt du ∆ ANH on trouve le segment . Enfin, remplaçant z par et t par , l'auteur arrive, après quelques réductions fondées sur l'emploi de l'égalité n=(x³+y³):xy, aux formules AHYA=⅙nx²:y, ABZA=⅙ny²:x, qu'on retrouve dans la pièce N^o. 2793 au bas de la page 417.

2) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 184.

3) A l'exemple d'Uylenbroek nous avons changé en t², z², a² etc. les notations tt, zz, aa etc. du manuscrit.

4) La lettre M., ici et dans la suite, remplace le signe de la multiplication.

[p. 631]

Laet beschreven worden de kromme CORF, wiens diameter is CF, ende de ordinatim applicata NO; de natuure van deze kromme is soodanigh dat de intercepta tusschen de ordinatim applicata NO en de perpendiculaer op de kromme OG, naementlijck NG, zoo groot is als de ordinatim applicata van de kromme CHA te weten NH Qu. [aeritur] de aequatie, die de natuur van de kromme CORF denoteert, te vinden.

NG is dan volgens het gesupponeerde . de regel

[p. 632]

van Slusius⁵⁾ leert nu dat om van deze kromme te soeken de linie NP ofte 't welk het selfde is de linie NG. (OP zijnde gestelt te wezen de raeklijn) men in dessels aequatie de quantiteijten waar in z gevonden worden een dimensie moet verminderen; zal diensvolgens dan de quantiteijt met z wederom moeten werden gemultipliceert, om z te brengen tot dezelfde dimensien, die in de aequatie van de kromme gevonden worden; komt maer om deze quantiteijt te brengen tot een andere, waarin geen termen ten respecte van z zullen ontbreecken, zoo laet in plaets van zz gestelt worden^a) az²+bz+c (a, b en c zijn quantiteijten, waermedeider term zal geafficieerd moeten worden), kan nu gelijck gesupponeert worden aen u²; NO gestelt zijnde=u, want moet geconsidereerd worden als te zijn maer van 2 dimensien, en CF is gesteld geweest te zijn de diameter van de kromme CORF; zoo is dan . En van het surdise getal gelibereert, en de termen aan eene zijde gebraght zijnde:

hieruijt wort door den regel van Slusius⁵⁾ gevonden

NP is mede ∞ ; want gelijck GN tot NO, also NO tot

5) On peut consulter, sur cette règle de de Sluse, l'article cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 1924. Ajoutons toutefois qu'elle ne diffère pas essentiellement de celle de Huygens expliquée dans la Lettre N^o. 1101 et publiée dans l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 1912, note 7.

a) Method. Craigii [Christiaan Huygens]⁷⁾.

7) On rencontre cette méthode de Craig, sous la forme précise dans laquelle elle a été appliquée ici, pour la première fois dans le ‘Tractatus Mathematicus’ de 1693, ouvrage mentionné dans la note 5 de la Lettre No. 2748. Pour le montrer il suffira de citer le passage suivant emprunté à l'Exemplum 1, page 4 de cet ouvrage, où on lit, en adaptant les notations à celles de la figure et du texte de la présente pièce: ‘Invenienda sit Quadratura Figurae CNH cujus Natura exprimitur hac aequatione.....: Ut habeatur hujus Figurae Quadratura, invenienda est alia Curva COR in qua intercepta NG sit ....; ideo juxta Regulam....praescriptam, multiplicandus est valor datus lineae NG (seu NH) per v, unde productum erit : Jam quia maxima dignitas extra vinculum est v2, ideo apponendi sunt omnes termini inferiores scil. v2, v1, vo (=1) ipso semper maximo termino incluso, qui coefficientibus incognitis affecti aequari debent Quadrato quantitatis u [=ON], unde aequatio quaesitam eminenter continens erit . Ex hac aequatione investigetur valor Analyticus Lineae NG per Leibnitii Methodum hoc modo’; après quoi Craig égale la valeur de NG, obtenue par la méthode de Leibniz, à celle de , pour calculer ensuite les coefficients indéterminés de la manière indiquée dans la note 1 de la présente pièce.
On remarquera l'analogie de cette méthode, qui peut être considérée comme une extension au cas des expressions irrationnelles de celle employée par Craig dans l'ouvrage de 1685, cité dans la note 3 de la Lettre No. 2725, avec le ‘compendium’, décrit dans la note 3 de la No. 2738, dont Huygens se servit en 1692.
D'ailleurs déjà dans l'article ‘Additio ad Methodum Figurarum Quadraturas Determinandi’, qui parut dans les Philosophical Transactions, No. 183, pour les mois juillet-septembre 1686, Craig avait exposé une méthode analogue, laquelle, appliquée par lui au même ‘Exemplum’, consistait à poser a2u4=na6+ma5v+la4v2+ha3v3+ka2v4+gav5+fv6, dans la prévision que l'expression rationnelle pour u4 en v devrait être du sixième degré.

5) On peut consulter, sur cette règle de de Sluse, l'article cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 1924. Ajoutons toutefois qu'elle ne diffère pas essentiellement de celle de Huygens expliquée dans la Lettre N^o. 1101 et publiée dans l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 1912, note 7.

[p. 633]

NP; en dienvolgens 2u² M. M.-z√(-2z+n√2)

en in plaats van u² en u⁴ haere valeuren gestelt.

M.

ende door de multiplicatie komt.

de termen van de aequatie met malkanderen vergelijckende is

24 az⁵ ∞-24 a²z⁵ en a ∞-1

verders is (24b-8an√2) z⁴ ∞ (-36ab+4a²n√2)z⁴,

en in plaets van a gestelt-1 komt b ∞+⅓n√2 en+4c²n√2 ∞+4⁶⁾ bcn², en in plaets van b gestelt ⅓ n√2 komt c ∞ ⅙ n² deze valeuren van a, b, c dan gestelt in d'aequatie komt voor de aequatie van de kromme CORF, z zijnde=AN en NO=u, uyt welke aequatie de natuur van deze kromme openbaer genoegh is, want de ordinatim applicata NO ofte u wordende gestelt ∞ 0, komt z ∞ ½n√2 en z ∞-⅙n√2 tot een teecken dat de kromme de linie CF zal snijden in C en F want AC is ∞ ½ n√2 en AF=-⅙n√2 met het signum - omdat F aen d'andre zijde contrary als C wort genomen, zoo dat AF dan ⅓ is van AC door welk punt F oock loopt d'a symptotos van het blatie AHCBAL. dewijle nu de linie NG ∞ NH is zoo zal volgens het theorema

6) Lisez: 2.

[p. 634]

Barrovii de area die begrepen is tusschen de linien CN, NH en de kromme CH zoo groot zijn als een ½ quadraat NO; om nu te vinden de groote van het geheele blaetie, behoeve z maer te stellen ∞ 0, en is u²∞⅙n² hier van de helft komt 1/12 n² ∞ ∞ de area tusschen CA en de kromme CHA begrepen; voor het geheele blaetie dan ⅙ n². CHNC is M. met . Dit getrocken van 1/12 n² komt voor ANHYA

; en het triangel

hier van getrocken, voor het spatium AHYA,



in de plaets van z nu gestelt zijnde ½ x √2+½y√2 (gelijck z gevonden is) komt en voor, n, genomen x³+y³/xy



y genomen zijnde grooter als x, 't welk geschiet wanneer wij AN ∞ z stellen, komt voor het spatium AHYA

en in plaets van t gestelt sijne valeur ½y√2-½x√2,

en, n, zijnde , AHYA maer x grooter zijnde als y, naementlijck wanneer AQ ∞ z gestelt is zoo zal het spatium ABZA ∞ zijn en in plaets van t gestelt sijne valeur ½x√2-½y√2

[p. 635]

ABZA en, n, zijnde ,

7) On rencontre cette méthode de Craig, sous la forme précise dans laquelle elle a été appliquée ici, pour la première fois dans le ‘Tractatus Mathematicus’ de 1693, ouvrage mentionné dans la note 5 de la Lettre No. 2748. Pour le montrer il suffira de citer le passage suivant emprunté à l'Exemplum 1, page 4 de cet ouvrage, où on lit, en adaptant les notations à celles de la figure et du texte de la présente pièce: ‘Invenienda sit Quadratura Figurae CNH cujus Natura exprimitur hac aequatione.....: Ut habeatur hujus Figurae Quadratura, invenienda est alia Curva COR in qua intercepta NG sit ....; ideo juxta Regulam....praescriptam, multiplicandus est valor datus lineae NG (seu NH) per v, unde productum erit : Jam quia maxima dignitas extra vinculum est v2, ideo apponendi sunt omnes termini inferiores scil. v2, v1, vo (=1) ipso semper maximo termino incluso, qui coefficientibus incognitis affecti aequari debent Quadrato quantitatis u [=ON], unde aequatio quaesitam eminenter continens erit . Ex hac aequatione investigetur valor Analyticus Lineae NG per Leibnitii Methodum hoc modo’; après quoi Craig égale la valeur de NG, obtenue par la méthode de Leibniz, à celle de , pour calculer ensuite les coefficients indéterminés de la manière indiquée dans la note 1 de la présente pièce.
On remarquera l'analogie de cette méthode, qui peut être considérée comme une extension au cas des expressions irrationnelles de celle employée par Craig dans l'ouvrage de 1685, cité dans la note 3 de la Lettre No. 2725, avec le ‘compendium’, décrit dans la note 3 de la No. 2738, dont Huygens se servit en 1692.
D'ailleurs déjà dans l'article ‘Additio ad Methodum Figurarum Quadraturas Determinandi’, qui parut dans les Philosophical Transactions, No. 183, pour les mois juillet-septembre 1686, Craig avait exposé une méthode analogue, laquelle, appliquée par lui au même ‘Exemplum’, consistait à poser a2u4=na6+ma5v+la4v2+ha3v3+ka2v4+gav5+fv6, dans la prévision que l'expression rationnelle pour u4 en v devrait être du sixième degré.