Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 636]

N^o 2862.
[B. de Volder] à Christiaan Huygens.
[1694].
Appendice III¹⁾ au No. 2859.

Sit AD ∞ x DB ∞ y AG ∞ z GB ∞ t et x³+y³ ∞ nxy

erit z√2 ∞ x+y t√2 ∞ x-y t ∞ z. Sit curva COF, talis, ut ducta ex M recta ad punctum O, in quo GB secat curvam COF, sit in curvam normalis, posita GO=v, ponatur pro illa curva azz+bz+c ∞vv²⁾ Ex qua aequatione ut inveniatur GM, secundum methodum Leibn.³⁾ fiat azz+bz+c ∞ p et ∞ q, erit^a) , dz⁴⁾ ∞ ∞ dp et ∞ dq⁵⁾ et pdq+qdp ∞ 2vdv, sive

1) Cet Appendice, comme celui qui précède, contient une solution du problème de la quadrature du folium de Descartes. Consultez d'ailleurs la note 19 de la Lettre N^o. 2859.

2) Comme dans la solution précédente, c'est encore ici la méthode de Craig, décrite dans la note 7 de la pièce N^o. 2861, qui va être appliquée, en combinaison, comme chez Craig luimême, avec le théoreme de Barrow (voir la note 8 de la Lettre N^o. 2721), d'après lequel on a ici: aire CBG=½ OG²=½ v², puisque, par construction, la sousnormale GM de la courbe COF égale BG l'ordonnée de la courbe CBPA.

3) Celle publiée par Leibniz dans l'article cité dans la note 5 de la Lettre N^o. 2205.

a) aequ.^o diff.^lis [Christiaan Huygens].

4) Ici et dans la suite la virgule figure comme signe de multiplication. D'ailleurs la notation employée est un peu singulière et pas toujours conséquente. Toutefois nous n'y avons rien changé, puisqu'en refaisant les calculs on trouvera facilement la vraie signification des formules.

5) Ici on lit encore en marge: ‘Verum hoc esse patet ex seq. calculo:
∞ qq
-dz√2 ∞ 3qq√2, dz+6zq√2, dq+2nq, dq

[p. 637]

adeoque dz ad dv ut 2v ad -2an√2, zz etc., sive OG ad GM.

Erit itaque GM= ∞ z

adeoque -6az³-3bzz+annz+½bnn ∞-6z³+2nzz√2+nnz+na√2,-cn√2

Unde a ∞ 1 b ∞-⅓n√2 c ∞-⅙nn. adeoque cum z√2 nequeat esse major, quam n⁶⁾, erit mutatis signis⁷⁾ -zz+⅓n√2,z,+⅙nn ∞ vv sive+, in ∞ vv. Hinc si v ∞ 0, ponatur, erit z ∞ n√½, aut z ∞-⅓n√2. Ex quo patet curvam COF rectam CF secturam in punctis C et F. Hinc erit spatium GCB ∞-½zz+⅙n√2, z+

6) Puisque alors l'expression pour t=GB, qui se trouve en tête de cette pièce, deviendrait imaginaire.

7) En effet, sans ce changement de signe l'expression pour vv, qui va suivre, aurait, pour z√2 positif et < n, une valeur toujours négative, puisqu'on a z²-⅓nz√2-⅙n²==⅙(z√2-n)(3z√2+n).

[p. 638]

+1/12nn⁸⁾ et posito z ∞ o, erit spatium ABC, ut et AFE ∞ ∞ 1/12 nn, et ABG ∞ 1/12 nn+, demtoque triangulo ABG ∞ ½ tz, ∞ ½ zz erit spatium ABP ∞ ∞ 1/12nn Est autem ∞ ∞ t/z ∞ x-y/x+y Hinc ABP ∞ 1/12nn, , x-y/x+y

ABP ∞ ⅙nny-⅙nxx+⅙nyy/x+y ∞ nnyx-nx^3+ny^2x/6x, x+y.

Est autem nyx ∞ x^3+y^3 Hinc ABP ∞ ny^3+nyyx/6x, x+y ∞ nyy/6x^9).

Nec dissimili ritu res se habet in caeteris casibus.

8) D'après le théorème de Barrow; voir la note 2.

9) C'est un des résultats annoncés par Huygens vers la fin de la pièce N^o. 2793.