Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 23]

N^o 2661.
Christiaan Huygens.
[1691].
Appendice I au No. 2660.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.

De descensu corporum gravium et ascensu par aerem aut materiam aliam, quae resistit motui in ratione duplicata celeritatum, ut revera contingit²⁾.

Olim inventa clarius hic explicare volui ut rationem inveniendi semper repetere possem, in qua insunt aliqua, quorum utilitas ad alia quoque pertinet.

1) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae etc. Fasc. II, p. 67-82.

2) Pour faciliter l'intelligence de cette pièce, empruntée au livre G des Adversaria, p. 75 verso à 81 verso, nous avons cru utile de la diviser en paragraphes numérotés, afin d'y pouvoir renvoyer le lecteur dans les notes qui suivent.

§ I³⁾.

1. Sit AN⁴⁾ quadratum, cujus latus Aב, diagonalis AN. Referat Aב celeritatem terminalem, sive maximam, quam numquam possit assequi corpus quoddam decidens per aërem, sed quamtumvis prope adaequare. Temporis partes capiantur in recta בN. Quod si igitur descenderet corpus nullo aëre resistente, accrescerent ei celeritatis partes aequales, aequalibus temporis partibus, ut invenit Galileus. Itaque celeritates ita cadentis referant applicatae in triangulo ANΛ parallelae NΛ: sitque celeritas ΛN acquisita tempore בN, corpori nempe non impedito; quam eandem celeritatem maximam seu terminalem esse dixi corporis impediti. Considerentur jam incrementa celeritatis corporis hujus, cui aër resistit; quae cum

3) Déduction de la relation entre la durée de la descente et la vitesse acquise.

4) Voir la figure de la page suivante. En construisant cette figure nous nous sommes conformés à l'indication qui suit, ajoutée par Christiaan Huygens en marge: ‘Melius fuisset quadratum αδ, cum curvis αθθ, αλλ, ά ⌉⌈ desuperponere quadrato AN’. En effet, cette décomposition de la figure assez compliquée contribue singulièrement à la clarté. Seulement, nous avons dû introduire en conséquence dans notre figure les points ζ′ et Z′ qui, dans la figure de Huygens, se superposent aux points ζ et Z.

[p. 24]

Fig. 1

minora sint incrementis corporis non impediti, sumtis utrobique particulis temporis iisdem, hinc consequitur, ut, si ponatur curva ARΩ, inter quam et rectam

[p. 25]

AΛ applicatae, ut RB, referant celeritates acquisitas corpori impedito⁵⁾, necessario semper haec minor sit applicata respondente in triangulo ANΛ, ut hic BX. Erunt autem trilinea ARB, ATQ inter se uti altitudines cadendo emensae temporibus AB, AQ; et celeritates in fine aequalium temporum acquisitae, tum motu impedito tum libero, ut applicatae coincidentes ad curvam AR et rectam AN. Velut BR, BX in fine temporis AB. Itemque tempora, quibus eadem celeritas ut ΩZ′ tum impedito tum libero motu acquiretur, ut lineae PΩ et PΘ⁶⁾.

Ad examinandam vero naturam curvae ARΩ, sit a puncto ejus aliquo R ducta RS parallela AΛ, eaque temporis particulam referat; sitque S Δ parallela Aב et aequalis ipsi RS: unde juncta R Δ erit parallela AN; secetque S Δ curvam in T puncto. Referet ergo S Δ incrementum celeritatis in tempore RS corporis non impediti; ST vero incrementum celeritatis corporis impediti; ideoque ST minor quam S Δ. Porro si Aב ponatur referre resistentiam, quam pateretur corpus impeditum, si cum terminali celeritate descenderet, velimusque invenire resistentiam, quam patitur acquisita celeritate RB, oportet duabus KB, RB facere tertiam proportionalem CB, quo facto, dico CB referre resistentiam in celeritate RB, quia sunt resistentiae in duplicata ratione celeritatum. Erit autem jam, ut KB ad BC ita S Δ ad Δ T. Quia enim Aב refert resistentiam contra velocitatem terminalem, quae resistentia aequalis est vi gravitatis, qua corpus deorsum pellitur, necesse est in minimis temporum particulis, qualis putanda RS, velocitatem vi gravitatis acquisitam corpori non impedito, quae est S Δ, diminui tali particula T Δ, quae sit ad Δ S ut resistentia tota KB, seu ut vis gravitatis, ad resistentiam CB; atque ita superesse ST velocitatem acquisitam tempore eodem RS corpori impedito: quamobrem tempore WΩ acquiret celeritatem WR, quia ut RS ad ST ita censenda est ΩW ad WR.

Sit Aב=a, AP=x. Ergo et RB=x. Et quia proportionales KB, RB, CB, erit KB ad BC, ut a ad xx/a, et BK ad KC ut a ad a - xx/a. Ergo etiam Δ S ad ST, hoc est RS ad ST, hoc est ΩW ad WR, vel etiam Rξ ad ξμ (nam pro recta linea habetur TRμ, cum sit curvae particula minima) ut a ad a-xx/a. Quod si vero

5) Dans les notes qui vont suivre, nous représenterons le temps écoulé par t, la vitesse acquise par v, la vitesse terminale par V, le chemin parcouru par s. En outre, Aב=AΛ=αZ=αγ par a. Commençons par remarquer qu'alors, d'après ce qui précède dans le texte: ;

6) Lisez: πΩ et πΘ.

[p. 26]

AP in particulas minimas aequales secetur punctis φ, σ, a quibus ducuntur ad curvam AΩ rectae φρ, σμ, parallelae AB, et rursus ρν, μξ complentes rectangula σρ, Pμ: et successive σA, φA, vocentur x, ut ante PA, semper exprimentur rationes μν ad νρ, et ρφ ad φA, rationibus a ad a - xx/a; et erunt invertendo μξ ad ξR, νρ ad μν, Aφ ad φρ, ut a-xx/a ad a. Sunt autem omnes antecedentes μξ, νρ, Aφ, aequales. Ergo si particulis rectae Aπ sumantur particulae ηη aequales in recta γδ, quam aequalem pono Aב, et in quadrato γδψα ducantur parallelae vηϰ; sicut autem ξμ ad ξR, hoc est ut a-xx/a, ita fiat ωϰ=a, ipsi Rξ respondens, ad ωλ; erit ; et ita exprimentur quoque singulae ηλ, quae erunt ad ϰλ sicut sibi respondentes μν, ρφ⁷⁾, postquam singulae ηγ dicta fuerint x. Jamque sicut omnes simul Aφ, φσ, σP, sive tota AP, ad omnes φρ, νμ, ξR, sive ad totam PR, ita erunt omnes ϰη ad omnes λϰ, atque ita propterea rectangulum αω ad spatium γαΠω⁸⁾ Et singula spatia ληγα referent singulas rectas spatii RPA singulis λη respondentes. Haec vero singula spatia, inter λη, αγ, interjecta, mensurantur summa progressionis numericae; singulae enim , posito nempe x pro singulis ηγ, quae ipsarum λη distantias ab αγ definiunt; vero aequale etc., et si pro a unitas ponatur, fit 1+xx+x⁴+x⁶+etc.; ac porro, si maxima linearum ηγ, ut hic ωγ, vocetur b; et x successive significet aequaliter crescentes γη, quarum minima, sive excessus, quibus crescunt, dicatur p; et numerus particularum p in ωγ seu b comprehensarum dicatur θ; erit quae ab αγ

prima sequitur	ηλ	=	1+pp+p^4+p^6+etc.
secunda	ηλ	=	1+4pp+16p^4+64p^6+etc.
tertia	ηλ	=	1+9pp+81p^4+729p^6+etc.

7) Il faut lire probablement: quae erunt ad ωλ sicut sibi respondentes μν, ϱφ ad Rξ.

8) Au moyen des notations de la note 5, cette proportion s'écrit:

[p. 27]

et ita porro, maxima autem ηλ, quas infinitas numero ponimus, erit	ωλ	=	1+θ^2pp+θ^4p^4+θ^6p^6+etc.
sive quia θp particula una in multitudinem particularum ducta facit b, erit		=	1+bb+b^4+b^6+etc.
et summae columnarum, hoc est omnium ηλ, erunt		=	θ+⅓θbb+⅕θb^4+1/7θb^6+etc.
et ductis omnibus in latitudinem p fiet spatium αΠωγ		=	pθ+⅓pθb^2+⅕pθb^4+1/7pθb^6+etc.
Seu quia pθ=b, erit idem spatium αΠωγ		=	b+⅓b^3+⅕b^5+1/7b^7+etc.

Est autem γω fractio unitate minor, quia γδ est unitas, unde fit ut membra progressionis ejusmodi continue decrescant, atque eo magis quo γω minor pars fuerit γδ⁹⁾.

9) Pour faire ressortir le résultat obtenu jusqu'ici, nous n'avons qu'à remarquer que la proportion déduite plus haut:

AP:PR=rect. αω:spat. γαΠω

s'écrit maintenant, en posant δγ=αγ=1:

mais on a évidemment b=v/V, donc:

résultat exact.

§ II¹⁰⁾.

Hanc vero progressionem aequari sectori hyperbolico Newtoni¹¹⁾ inde inveni, quod eadem progressione sector ille efficitur; quod et aliter animadvertere potui

10) Réduction de la sommation de la série b+⅓b³+⅕b⁵+....à la quadrature de l'hyperbole. Empioi de cette série au calcul des logarithmes.

11) Consultez le Corollarium 3 de la prop. IX du Liber II des ‘Principia’ (p. 259 de l'édition originale): ‘Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad sectorem hyperbolicum ATD’.




Remarquons que dans la figure de Newton, dont nous reproduisons ici la partie essentielle, AC=AD peut, d'après le coroll. 2 de la proposition précédente, être considéré comme représentant la vitesse terminale V, AP=v la vitesse acquise. En outre, AD est le demi axe réel, D le centre de l'hyperbole équilatère ATZ.

[p. 28]

ex quadraturis Mercatoris et Wallisii¹²⁾, quam hic illum imitatus procudit. Posita enim hyperbola BG, cujus asymptoti AH, AE, quadratum vero AB; sumtâque

Fig. 2

AD majore quam AC; si AD sit=i; DE vero fractio minor unitate, quae fractio vocetur b¹³⁾, fit ex quadratura Nicolai Mercatoris spatium FDEG ad quad. HC ut b-½b²+⅓b³-¼b⁴+⅕b⁵- etc. ad 1.

Item posita DC=DE, fit ex quadratura Wallisii spatium FBCD ad quad. HC ut

b+½b^2+⅓b^3+¼b^4+⅕b^5+ etc. ad 1.

Ergo spatium BGEC ex duobus illis compositum erit ad quadr. BA ut

12) Huygens annota ici en marge: Quadraturam Wallisii explicui in libro D. On trouve, en effet, cette explication aux pages 82-85 de ce livre des Adversaria. Elle commence ainsi: ‘Pour expliquer la quadrature de l'hyperbole de Mercator, reformée par M. Wallis, je n'auray qu'à repeter l'abbregè que ce dernier en a donnè en eclaircissant les difficultez qui y pourroient rester.’ Consultez d'ailleurs, sur les quadratures de Mercator et de Wallis, les notes 3 et 4 de la Lettre N^o. 2660.

13) C'est-à-dire b=DE:AD.

[p. 29]

2b+⅔b³+⅖b⁵+ etc. ad 1; quam progressionem singulos terminos duplos habere apparet nostrae praecedentis progressionis b+⅓b³+⅕b⁵+ etc. Unde et nostram aequari constat¹⁴⁾ spatio ejusmodi hyperbolico, quod nempe dimidium erit spatii BGEC, hoc est spatio BLKC, sive sectori hyperbolico Newtoni BAL, positâ AK media proportionali inter AC, AE; sic enim fiunt quoque proportionales BC, LK, GE, ideoque spatia BLKC, LGEK inter se aequalia. Hinc optima ratio progressionum ad inveniendos logarithmos, praecipue si CD sit ad DA ut unitas ad numerum, hoc est, si EA ad AC sit ut numerus ad alium binario vel unitate minorem. Sed de his alias. vid. pag. 46 et 45¹⁵⁾.

14) Pour le montrer, supposons AC égal aux grandeurs αγ=δγ=a de la figure 1 du texte, CD=DE=b AD=v/V AD=v/V-v AC.
Dans ce cas, on a, d'après le texte de ce paragraphe:

quadr. HC:sect. ABL=1:b+⅓b³+⅕b⁵+....

ou bien

a²:sect. ABL=1:b+⅓b³+⅕b⁵+....

D'un autre côté on a, d'après le § I (voir la figure 1):

rect. αω:spat. γαΠω=b:b+⅓b³+⅕b⁵+....

donc:

a²b:spat. γαΠω=b:b+⅓b³+⅕b⁵+....

d'où l'on conclut facilement:

sect. ABL=spat. γαΠω.

Au § V nous aurons besoin de rappeler ce résultat.

15) Consultez l'Appendice II, notre N^o. 2662, où nous avons reproduit quelques passages empruntés aux pages citées du livre G des Adversaria.

§ III¹⁶⁾.

Spatio nostro¹⁷⁾, quod nunc sit αβΞγ, aequalis debebat esse sector hyperbolicus Newtoni αΓδ¹⁸⁾ ducta δΓ per Y, ubi rectam αζ perpend. in αδ secat Ξβ producta; est autem αΓ hyperb. ad asymptotos δγ, δΝ. Sicut enim Απ ad πΩ ita est rectangulum αΞ ad spatium αβΞδ¹⁹⁾, ex demonstrata curvarum harum natura²⁰⁾. Quare et πΘ erit ad πΩ ut rectangulum αΞ ad spatium αβΞδ¹⁹⁾. Est autem πΘ ad πΩ ut

16) Comparaison du résultat obtenu dans le § I avec celui formulé par Newton dans le Corollarium 3 de la prop. IX du liber II des Principia (voir la note 11 de cette pièce).

17) Voir la figure 1 de cette pièce.

18) Confrontez, pour ce qui suit, la figure 1 de notre pièce avec la figure de la note 11.

19) Lisez: αβΞγ.

20) Voir le § I et en particulier la note 9.

19) Lisez: αβΞγ.

[p. 30]

tempus, quo corpus non impeditum acquisivit celeritatem ΩZ′, ad tempus quo corpus impeditum acquisivit celeritatem eandem. Jam quia Newtonus, posita celeritate acquisita ad celeritatem terminalem ut αY ad αζ, quarum ratio est eadem quae Aπ ad Aב, quam nos adsumsimus, invenit tempus descensus non impediti ad tempus impediti, quibus obtinetur celeritas eadem αY, sicut triangulum αδY ad sectorem hyperbolicum αδΓ: estque triang. αδY aequale rectangulo nostro αΞ²¹⁾; necesse est et sectorem αδΓ aequari spatio nostro αβΞγ, si recte se habent inventa Newtoni; unde primum didici progressionem meam b+⅓b³+⅕b⁵+ etc. aequari spatio hyperbolico.

21) En effet δα=αγ√2; αY=αϰ√2; donc ½δα. αY=αγ. αϰ.

§ IV²²⁾.

Ut inquiramus porro quam rationem habeat altitudo emensa motu impedito, dum acquiritur celeritas data Z′Ω, ad altitudinem eodem tempore πΩ emensam cum celeritate dimidia celeritatis terminalis, scimus primum haec spatia esse inter se sicut trilineum AΩZ′ ad dimidium rectanguli בZ′, sive ad triangulum AζZ′²³⁾. Jam cum sit spat. AΩπ ad rectang. πZ′ ut omnes φρ, σμ, PR, πΩ ad totidem maximae πΩ aequales; hoc est, sicut summa spatiorum omnium αληγ ad totidem maximo βαγΞ aequalia²⁴⁾; hoc est, ut cuneus anguli semirecti super spatio αβΞγ per βΞ abscissus, ad prisma super eodem spatio αβΞγ cum altitudine γΞ: sequitur hinc trilineum alterum AΩZ′ esse ad dictum rectang. πZ′, ut cuneus alter²⁵⁾ super spatio αβΞγ abscissus per αγ ad idem prisma super spatio αβΞγ; quia constat hunc cuneum

22) Déduction de la relation entre la durée de la descente et l'espace parcouru.

23) En effet, puisque Aθ, Aϰ, etc. représentent les temps éconlés, Aφ, Aσ,...les vitesses acquises et Aב la vitesse terminale, il est clair que s=svdt:½Vt=tril. AΩZ′: triang. Aζ᾽Z′.

24) C'est-à-dire en conséquence de la construction de la courbe αλλλβ, décrite dans le § I. D'après cette construction on a ξμ:ξR=ωϰ:ωλ, donc:ξμ:ΣξR=ωϰ:Σηλ, c'est-à-dire: ξμ:PR=rect. ωϰϰE:αγωλ. De même ξμ:πΩ=rect. ωϰϰE:αγΞβ; donc encore: PR:πΩ=αγωλ:αγΞβ, d'où il s'ensuit enfin ΣPR:n×πΩ=Σαγωλ:n×αγΞβ, où n représente le nombre des partitions.

25) Huygens ajouta en marge:
Poterat hoc de cuneo altero brevius inveniri et absque consideratione prioris; quia sicut singulae particulae temporis Aθ, θϰ, ϰB, BZ′ ductae in celeritates respectivas in fine eorum temporum acquisitas, ut θϱ, ϰμ, BR, Z′Ω, efficiunt spatium totum AΩZ′, dum rectang. πZ′ efficitur ex AZ′ summa omnium particularum temporis ducta in celeritatem dictarum maximam Z′Ω; ita quoque omnes βΞ, λη, quae sunt ut tempuscula ΩW, Rξ, μν, ϱφ, hoc est ut Z′B, Bϰ, ϰθ, θA, ductae in easdem celeritates respectivas γΞ, γω, γE etc., referent spatium AΩZ′, dum summa omnium βΞ, λω, etc., hoc est spatium βαγΞ, ductum in celeritatem eandem maximam γΞ, sive Z′Ω, refert rectangulum πZ′. Sed omnes βΞ, λη ductae in respectivas γΞ, γω, γE faciunt cuneum super spatio αβΞγ abscissum per αγ in angulo semirecto. Hinc, cum lineae λη sint , ubi x significant γη respectivas et aequaliter crescentes, erunt producta ex singulis λη in respectivas x, , et non, ut vult Leibnitzius, . (Voir, sur la comparaison des résultats de Leibniz et de Huygens, le § VIII de cette pièce).

[p. 31]

cum priori constituere simul prisma jam dictum, sicut trilinea AΩπ et AΩZ′ constituunt rectangulum πZ′. Atqui cuneus super spatio αβΞγ abscissus per αγ aequalis est ei, quo cuneus super rectangulo βγ, abscissus per לγ, superat cuneum simul abscissum super spatio trilineo αβל: quem cuneum ajo aequalem esse prismati super trilineo hyperbolico αךל, altitudinem habenti dimidiam δγ. Quod hoc modo demonstro. Si enim ducatur recta aliqua, ut אל, parallela γδ, ac secans curvam αλλ, ut hic in β, fiatque duabus אל, βל tertia proportionalis ךל, erit punctum ך ad hyperbolam αךΓ ante descriptam²⁵⁾ per α punctum ad asymptotos δב, δγ. Nam ponendo אל=a, βל=x, inventum fuit supra²⁶⁾ esse βΞ, quae vocetur y, aequalem ; unde erit βל sive ; et, quia אל est a, invenitur tertia proport. duabus אל, βל quae erat ךל, aequalis ay-aa/y; sit ךל=z, ergo ay-aa=zy, et ay-zy=aa. Unde liquet punctum ך esse ad hyperbolam dictam, quae per α punctum ad asymptotos δב, δγ descripta est. Quia itaque אל, quae secat curvam αλ in β et hyperbolam αךΓ in ך, ita iis punctis dividitur, ut sint proportionales אל, βל, ךל, erit rectang. ex אל, לך aequale quadrate ex βל: quod cum semper eveniat, ubicumque ducatur recta ipsi אל parallela, sequitur, si tales parallelae ducantur in rectangulo אα, quae latus ejus אψ in particulas aequales dividant, fore omnia rectangula ex ductu harum parallelarum in partes earum inter αל et hyperbolam αך interceptas, aequalia omnibus quadratis partium interceptarum inter αל et curvam αλβ. Vel, sumtis omnium dimidiis, erit summa rectangulorum ex omnibus interceptis spatii ךל in dimidias לא, aequalis summae semiquadratorum ab omnibus interceptis in spatio αβל, atqui ista summa rectang. efficit prisma super spatio αךל, cum altitudine ½ אל. Similique ratione summa illa semiquadratorum essicit cuneum super spatio αβל abscissum per αל angulo semirecto. Ergo illud prisma huic cuneo aequale est, ut dicebamus.

25) Voir le § III de cette pièce.

26) Au § I de cette pièce.

[p. 32]

Est autem et cuneo super rectang. βγ, abscisso per αγ, aequale prisma super rectangulo ךγ cum altitudine ½ אל, propter proportionales אל, βל, ךל. Ergo, cum ante ostensum fuerit id, quo cuneus super rectang. βγ, per αγ abscissus, superat cuneum simul abscissum super spatio αβל, aequari cuneo super spatio αβΞγ per αγ abscisso; erit hic cuneus aequalis differentiae, qua prisma dictum super rectang. ךγ cum altitudine ½ אל superat prisma super spatio αךל cum eadem altitudine ½ אל; hoc est prismati super spatio αךEγ cum dicta altitudine ½ אל.

Ostensum vero fuit trilineum AΩZ′ esse ad rectang. πZ′ ut cuneus super spatio αβΞγ per αγ abscissus ad prisma super spatio αβΞγ cum altitudine γΞ. Ergo jam erit trilineum AΩZ′ ad rectang. πZ′ ut prisma super spatio αךEγ cum altitudine ½ אל ad prisma super spatio αβΞγ cum altitudine γΞ, hoc est in ratione composita ex ratione spatii αךEγ ad spatium αβΞγ, et ex ratione ½ אל ad βל. Est autem rectang. πZ′ ad triangulum Aζ᾽Z′ ut ΩZ′ ad dimidiam ζ᾽Z′, sive ut βל ad ½ אל. Ergo, cum ratio triang. Aζ᾽Z′ ad spatium AΩZ′ componatur ex ratione triang. Aζ᾽Z′ ad rec. πZ′, et rectanguli πZ′ ad spatium AΩZ′; erit jam ratio trianguli Aζ᾽Z′ ad spatium AΩZ′ composita ex ratione ½ אל ad βל et spatii αβΞγ ad spatium αךEγ, et βל ad ½ אל, quae posterior ratio tollit primam. Ergo erit triang. Aζ᾽Z′ ad spatium AΩZ′ ut spatium αβΞγ ad spatium αךEγ²⁷⁾. Ergo hanc eandem rationem habebit quoque altitudo emensa tempore AZ′ cum celeritate dimidia terminali ad altitudinem eodem tempore AZ′ emensam casu impedito. Quod erat inveniendum²⁸⁾.

27) Ici Huygens annota en marge:
Non opus erat longa ista demonstratione ad hoc probandum. Idem enim breviter sic. Rectang. בZ′ fit ex tempusculis singulis ΩW, Rξ, μν, ϱφ in totidem בA ductis. Spatium vero AΩZ′ fit ex iisdem singulis tempusculis ΩW, Rξ, μν, ϱφ, ductis in applicatas in singulis ad rectam AZ′. Vel quia tempuscula illa sunt ut ηβ, ωλ etc., erit summa productorum ex ηβ, ωλ, etc. in totidem בA vel δγ, hoc est prisma super spatio βΞγα cum altitudine δγ ad summam productorum earundem ηβ, ωλ in singulorum distantias ab recta αγ, hoc est ad cuneum super spatio βΞγα, ut dictum rectangulum בZ′ ad spat. AΩZ′. Est autem cuneus aequalis prismati ex spatio hyperbolico αךEγ cum altitudine ½ δγ, ut ostensum; ergo, ut prisma super βΞγα, cum altitudine δγ ad prisma super αךEγ cum ½ altitudine δγ, hoc est duplum spatii βΞγα, ad spatium αךEγ, ita rectang. בZ′ ad spat. AΩZ′. Ideoque ut spat. βΞγα ad spat. αךEγ, ut triang. Aζ᾽Z′ ad spat. AΩZ′.

28) Voici donc le résultat obtenu jusqu'ici:

½Vt:s=spat. βΞγα:spat. αךEγ.

Pour en comprendre la portée, il faut se rappeler que, d'après les conclusions du § I et du § II, l'aire βΞγα peut se calculer au moyen de la série et qu'il est aussi égal au secteur hyperbolique αδΓ. La détermination de l'espace parcouru se trouve donc réduit à deux quadratures hyperboliques, dont le calcul au moyen des logarithmes va être exposé dans le paragraphe suivant.
Si d'ailleurs on pose δγ=1, Ξγ=v/V et si l'on calcule alors les ordonnées des courbes αβ et αך au moyen des formules données dans le texte, il est facile d'écrire la proportion obtenue en langage moderne, comme il suit:

: ;

résultat correct et qui se vérifie facilement au moyen des formules connues:

; .

[p. 33]

§ V²⁹⁾.

Et convenit cum Newtonianis prop. 9 Lib. 2³⁰⁾. Sed corrigendum ibi in. 7 et 10 ac legendum ABNK pro ABRP. Et lin. [8] pro: cum semisse velocitatis maximae, legendum cum velocitate maxima; sicut recte postea pag. eadem ubi, de ascensu³¹⁾. Fit enim ipsius spatium hyperbolicum ABNK, quod in meo sche-

29) Corrections à apporter à la prop. 9 du Liber II des Principia. Application des logarithmes au résultat obtenu dans le paragraphe précédent.

30) Il s'agit du Coroll. 1 de cette proposition, dont le commencement est comme il suit: ‘Hinc si AB’ (voir la figure de la note 11 de cette pièce) ‘aequetur quartae parti ipsius AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur’; pour la description de la figure de Newton on peut consulter la note 11 déjà citée; seulement, il faut y ajouter que RNB nr est une hyperbole construite sur les asymptotes CA et CH et qu'en outre: AK=AP²:AC et de même Ak=Ap²:AC.
Ajoutons que les corrections indiquées dans le texte de ce paragraphe ont été apportées dans les éditions postérieures des Principia. Aussi ne s'agissait-il que de simples méprises.

31) En effet, le Coroll. 2 de la Prop. 9 se lit comme il suit: ‘Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad sectorem ADt’. (voir encore la figure de la note 11 de cette pièce).

[p. 34]

mate³²⁾ est αIIV, dimidium mei αךEγ³³⁾. Invenitur autem spatio αβΞγ aequale spatium hyperbolicum, quod sit loco sectoris αΓδ, si ponatur ut אβ ad βל ita δψ ad ψζ³⁴⁾ et sumatur ipsi ψζ aequalis ψM³⁵⁾; interque Mδ, δψ inveniatur media proportionalis Fδ: et fiat FΓ parall. בA. Erit enim spatium αψFΓ aequale spatio αβΞγ³⁶⁾; quod logarithmis jam exprimi potest. Est enim = ³⁷⁾. Ponendum autem quadr. αδ sive aa=0,4342955, qualium log. 10 est 1,0000000. Quod si x sit=½ a, fit jam spatium αβΞγ=½ log. 3. Similiter spa-

32) Consultez la figure 1 de cette pièce.

33) L'hyperbole équilatère IIZ, dont il est question ici pour la première fois, a été construite, afin de l'identifier avec l'hyperbole BNR de la note 11, d'une telle manière qu'elle ait ζ pour centre, ζα pour asymptote et qu'elle passe par le point I pour lequel . Il est facile de vérifier qu'elle passe alors par le point Z et qu'en outre on a partout:
(comparez au § IV l'équation: ). De cette dernière propriété il résulte immédiatement que les accroissements successifs de l'aire αIIV sont les moitiés de ceux de l'aire αךEγ.

34) Dans la discussion qui va suivre, le point ζ doit être considéré comme un point variable, dépendant pour les différents points λ de la valeur de ηγ et qui ne coïncide ici avec le sommet ζ du carré ψZ que pour le point β, parce que pour ce point λא=λל.

35) Lisez: ζM.

36) La discussion qui précède s'explique si l'on consulte le § II de cette pièce. Dans ce paragraphe (voir la note 14) il a été démontré que l'aire αβΞγ de la figure 1 est égale au secteur hyperbolique ABL de la figure 2, pourvu que l'AC de cette dernière figure soit identifié avec le δγ=δψ=a de la figure 1 et donc, d'après la construction du point ζ indiquée dans le texte, =ψζ. Mais alors on a de même AE (fig. 2) = AC + 2CD = δψ + 2ψζ = δM; , et comme d'ailleurs l'hyperbole BLG de la figure 2 se confond sous ces conditions avec l'hyperbole αךΓ de la figure 1, il est clair que le point L va correspondre avec le point Γ. On a donc en effet: αβΞγ=ABL (fig. 2)=BCKL=αψFΓ.

37) D'après un théorème bien connu, l'aire ψαΓF est égale au carré δψαγ multiplié par le logarithme népérien du quotient δF / δψ; mais on a d'après ce qui précède: . L'aire en question s'exprime donc par , ou bien, en employant un logarithme briggien, par .

[p. 35]

tium αךEγ, logarithmo expressum, fit=; et, si x=½a, log. 4/3. Est enim spatium αךEγ, relatum ad quadr. αδ, aequale logarithmo rationis VE³⁸⁾ ad αγ, sive αψ ad דא, hoc est a ad a-xx/a³⁹⁾, sive aa ad aa-xx.

38) Lisez: ךE.

39) En effet, on a par construction , donc .

§ VI⁴⁰⁾.

Invenio autem et rationem trilinei AΩZ′ ad triang. AςZ′, hoc est rationem altitudinis emensae casu impedito ad altitudinem emensam eodem tempore casu non impedito, [donec utrimque perveniatur ad celeritatem datam Aπ]⁴¹⁾, esse in ratione composita ex ratione spatii αךEγ ad αβΞγ et quadrati αδ ad αβΞγ, hoc est, ex ratione composita ad et aa ad . Et in numeris sit x=½a, erunt istae altitudines in ratione composita ex ratione log. 4/3 ad ½ log. 3 et aa ad ½ log. 3. Et posito aa ∞ 0,4342955 secundum ultimam nostram quadraturam hyperbolae⁴²⁾, log. 4/3 est 0,1249388, log. 3

40) Relation entre l'espace parcouru sous l'influence de la résistance du milieu et celui qui aurait été parcouru dans le même temps sous l'action de la gravité seule.

41) Biffez les mots que nous avons mis en parenthèses et qui, ajoutés après coup (consultez la note 11 de la Lettre N^o. 2660) proviennent d'une méprise. En effet, la relation énoncée ici doit être lue comme il suit:

: ,

ou bien, en employant des logarithmes népériens, et remplaçant en outre a et x par V et v:

: .

Sous cette forme on la vérifie aisément au moyen des formules de la note 28 de cette pièce.

42) Voir l'Appendice II de cette pièce, notre N^o. 2662, au troisième passage. Toutefois, il semble que la valeur donnée ici au module népérien repose sur un calcul moins exact que celui du passage cité, puisque les deux dernières décimales (55) doivent être, en réalité, remplacées par (44) comme ce passage l'indique, ou mieux encore par 45, la vraie valeur étant 0,4342944819....

[p. 36]

est 0,4771212; ut 5,426035861540 ad 5,691115987236, fere ut 20 ad 21⁴³⁾.

Ratio enim spatii AΩZ′ ad triang. AςZ′ componitur ex rationibus spatii AΩZ′ ad rectang. πZ′ et rectanguli πZ′ ad triang. AςZ′. Sed ostensum est⁴⁴⁾ rationem spatii AΩZ′ ad rect. πZ′ componi ex ratione spatii αךEγ ad spat. αβΞγ, et ex ratione ½ אל ad βל. Rationem vero alteram, rectanguli πZ′ ad triangulum AςZ′, constat eandem esse, quae ΩZ′ ad ½ Z′ς, hoc est, quae πΘ ad ½ πΩ, hoc est, quae rectanguli⁴⁵⁾ αΞ ad ½ spat. αβΞγ, quae, posito ss pro spatio αβΞγ, est eadem compositae ex αγ seu אל ad s, et γΞ sive βל ad ½ s. Itaque ratio spatii AΩZ′ ad triang. AςZ′ erit composita



hoc est, quia βל se mutuo tollunt, ex rationibus αךEγ ad spatium αβΞγ, et ½ quadr. אל ad ½ ss, seu ½ αβΞγ; sive et quadrati אל seu αδ ad spat. αβΞγ. Quod erat demonstrandum.

43) A propos de ces calculs Huygens ajouta encore en marge: In quantitatibus quae rationes constituunt quarum hic logarithmi habentur potest a poni ∞ 1 vel quilibet numerus. Sed aa in posteriori duarum rationum ponendum ∞ 4342955 etc. ut possimus uti logarithmis tabularum.
Est autem x ad a ut celeritas in fine casus impediti acquisita ad celeritatem terminalem.

44) Voir le § IV à la page 32.

45) Voir le § III.

§ VII⁴⁶⁾.

Est autem πΘ ad πΩ ut tempus quo grave, cadens libere, acquireret celeritatem dimidiam maximae, ad tempus quo eandem celeritatem acquireret motu impedito.

Sed si in universum celeritas data sit pars quaevis maximae celeritatis; tunc tempus descensus liberi, ad tempus descensus impediti hic est ut ▭ ax ad spatium αβΞγ⁴⁷⁾. Hoc est ut ax ad .

46) Relation entre les temps nécessaires pour obtenir une vitesse donnée dans les deux cas de la chute avec et sans résistance. (Cette partie du manuscrit n'a pas été reproduite par Uylenbroek).

47) Voir le paragraphe précédent.

[p. 37]

NB. x hic lineam significat, partem scilicet γδ rectae; item a totam γδ. Itaque ax semper est portio certa quadrati aa.

aa	0,4342955
½ aa	0,2171477	½ log. 3^48)	0,2385606

ut ▭ αΞ ad spatium αβΞγ. hoc est ut πΘ ad πΩ, hoc est ut ½ aa ad ½ log. 3, fere ut 10 ad 11.

Qui nostra quadratura hyperbolae non utuntur quae est in Additione dissertationis de causa gravitatis necessario adhibere debent reductionem logarithmorum ordinariorum, diminuend. eos in ratione 10000000 ad 4342955.

48) Le calcul se rapporte au cas x=½, c'est-à-dire v=½V.

§ VIII⁴⁹⁾.

Colligitur igitur ex jam demonstratis, si velocitates aequaliter crescentes dicantur x, maxima seu terminalis velocitas sit a, tempora fore sicut summas rectarum , quod recte habet et Leibnitius. Spatia vero cadendo emensa, ut summae , cum Leibn. habeat summas . Tempora vero, sive summas rectarum , fore , (hic x significat velocitatem in fine temporis acquisitam, ut in reliquis deinceps, et deberet pro eo scribi X majus) ubi Leibnitius habet , seu, quia ponit a=1, . Recte quidem dixerat tempora esse ut logarithmos rationis a+x ad a-x, sed non bene videtur scribere pro logarithmo rationis a+x ad a-x, quia talis fractionis logarithmus sit negativus. Non erravit etiam, quod tempora dixerit esse ut logarithmos rationis a+x ad a-x, cum tamen mihi sint ut ½ logarithmi rationis hujus a+x ad a-x: quia eadem est ratio logarithmorum ac ½ logarithmorum inter se. Sed tunc pro tempore quo, casu non impedito, acquiritur velocitas ter-

49) Comparaison des résultats acquis jusqu'ici avec ceux énoncés par Leibniz. Voir ses Lettres N^o. 2636, 2639, 2659 et l'article 5, cité dans la Lettre N^o. 2632, note 10, de son travail sur la chute des graves dans un milieu résistant, mentionné dans la Lettre N^o. 2561, note 6.

[p. 38]

minalis, non est ponendum hyperbolae quadratum aa sive 1, ut Newtonus fecit⁵⁰⁾ et ipse voluit, ut puto, Leibnitius. Invenio etiam spatia descendendo emensa fore ut logarithmos , cum Leibnitius habeat log. vel log. . Rursus hic inverse posuisse videtur pro logarithmo rationis aa ad aa-xx, logarithmum aa-xx/aa, sive quia aa est unitas, logarithmum (1-xx). Sed cum ponat log. , erravit rursus, quia debebat dicere log. 1-xx, ut posset referri ad aa=1. Nam alioquin eadem est ratio logarithmorum radicum, quae logarithmorum quadratorum ab iisdem radicibus, ut jam antea dictum fuit. Puto ipsum vice versa errasse in apponendo signo √ adeoque, ubi ½ seu log. scribere debuerat, scripsisse . Et ubi debebat esse log. (1-xx) scripsisse log. √(1-xx), et tamen saepius jam calculum suum correxerat. A ב seu בN est ad Ωπ⁵¹⁾ ut quad. αδ ad spat. αβΞγ, seu ad ; si quad. αδ sit quadr. hyperbolae. Et posito hoc quadrato=43429, etc., uti poterimus logarithmis tabul.

50) Allusion au Coroll. 5 de la Prop. 9 du Livre II des Principia, où on lit:
‘Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP (voir la figure de la note 11 de cette pièce) acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector ADT ad triangulum ADC.’ D'ailleurs, la critique de Huygens n'est pas dirigée ici contre Newton. Il n'a d'autre intention que de faire remarquer que Leibniz en se contentant de proportionnalités au lieu d'égalités, a manqué l'occasion de comparer la chute avec résistance avec celle sans résistance, comme Newton et lui, Huygens, l'ont fait.

51) On se rappellera que ב N et Ωπ représentent respectivement, dans la figure 1 de cette pièce, le temps nécessaire pour obtenir dans la chute sans résistance une vitesse égale à la vitesse terminale a ou V de la chute avec résistance, et la durée véritable de la chute avec résistance jusqu'au moment où la vitesse x ou v est acquise.

§ IX⁵²⁾.

Notatu dignum quod spatium AΩZ′ semper dimidium est spatii hyperbolici ךαγE.

52) Sur une relation remarquable vérifiée par la figure 1 de cette pièce.

[p. 39]

Nam cum spatium αβΞγ sit ad rectang. αΞ ut Ωπ ad πA⁵³⁾, ex ante demonstratis, hoc est ut rectang. Aζ′ ad rectang. ex A ב, Aπ, seu rectang. αΞ; sequitur hinc spatium αβΞγ aequari rectang. Aζ′. Atqui ostensum fuit⁵⁴⁾ triangulum Aζ′Z′, seu ½ rectang. Aζ′, esse ad spatium AΩZ′, ut spatium αβΞγ ad spatium αךEγ; ergo etiam ½ spatii αβΞγ ad spat. AΩZ′ ut spatium totum αβΞγ ad spat. αךEγ. Et permutando ut 1 ad 2, ita spat. AΩZ′ ad spat. hyperbolicum αךEγ.

53) D'après le § III de cette pièce.

54) Au § IV, page 32.

§ X⁵⁵⁾.

2. Sit quadratum בV⁵⁶⁾, cujus diagonalis AN. Latus vero Aב referat celeritatem terminalem, quam superare non possit grave per aërem cadens. Ponatur autem nunc illa celeritate terminali sursum projici. Et quaeratur primum tempus totius ascensus impediti, seu ratio ejus ad tempus totius ascensus non impediti, atque etiam altitudo totius ascensus impediti ad altitudinem totius ascensus non impediti.

Scimus celeritatem sursum libere tendentis diminui aequaliter aequalibus temporis partibus. Ideoque si tempora talis ascensus accipiantur in latere quadrati בN, quo totius ascensus tempus designetur, celeritates recte designari per applicatas in triangulo NבA, lateri Aב parallelas. Veluti, si tempus ascensus sit בB, celeritatem corporis non impediti in fine ejus temporis fore BX, ratione nimirum celeritatis terminalis Aב.

Sed celeritatem reliquam in motu impedito, exacto tempore eodem בB, constat minorem fore quam BX. Sit ergo BR; sitque curva ARG, cujus applicatae ad Nב referant celeritates relictas in motu impedito. Totum vero tempus ascensus impediti erit Gב, ac minus quidem tempore ascensus liberi בN.

Jamque altitudo tota ascensus impediti ad non impediti erit ut spatium ARGב ad triangulum AבN; quoniam utraque altitudo fit ex particulis temporis in celeritates iis temporum particulis existentes.

Ad inquirendum vero naturam curvae ARG, sit e puncto ejus aliquo R ducta recta minima RS parallela בN, et ST parallela Aב, quae occurrat curvae in T;

55) Comparaison des durées de l'ascension et des hauteurs acquises par un corps pesant jeté en haut avec la vitesse terminale, dans les deux cas où la résistance du milieu existe et où elle n'existe pas.

56) Voir la figure 3 à la page suivante.

[p. 40]

sitque R Δ parallela AN. Referet ergo S Δ decrementum celeritatis non impeditae per temporis particulam RS, impeditae vero celeritatis decrementum per tempus idem RS erit ST, ut quidem S Δ sit ad Δ T sicut quadratum KB ad quadratum RB; quia resistentiae sunt in duplicata ratione celeritatum. Et in minimo tempore eandem rationem habere recte censentur particulae celeritatis amissae, quam resistentiae ipsas producentes: Erat autem S Δ particula celeritatis amissa

Fig. 3.

ex resistentia gravitatis, sive etiam quam resistentia tota terminalis tempore RS effectura erat.

[p. 41]

Quod si igitur A ב sit a, et BR celeritas=x; erit S Δ ad Δ T sicut aa ad xx; et ST ad S Δ ut aa+xx ad aa. Unde et ST ad SR, sive RW ad WT, ut aa+xx ad aa. Si divisa igitur intelligatur tota ב A in particulas aequales Pσ, σφ, φב etc. Itemque PR, σT, φρ ad curvam AG, et rursus RW, Tξ, ρθ, erit in singulis trilineis minimis RWT, Tξρ, ρθG, basis ad perpendicularem, ut aa++xx ad aa, si nempe vocentur successive x applicatae RB, Tϰ, ρθ, quae fiunt productis basibus istis.

Sit δψ=δA; et γθψ parabola vertice γ. Ad hanc continuatae RP, Tσ, ρφ, facient singulas Pθ, σθ, φθ=a+xx/a; unde, si fiunt duabus θP, ΞP tertia proport. βP, et sic porro, erunt singulae βP, λσ, λφ=; hoc est rationes ΞP ad βP, ωσ ad λσ, ηφ ad λφ, etc. singulae eaedem, quae RW ad WT, Tξ ad ξρ, ρθ ad θG; ideoque quadratum totum Aγ ad spatium γβQAב, ut recta בA, seu בN, ad בG. Atqui, ob singulas λφ, λσ, βP=, constat ex Nic. Mercatoris methodo, secundum Leibnitsii quadraturam circuli, summam omnium harum, hoc est spatium γβQAב esse aequale circulo intra quadr. Aγ inscripto⁵⁷⁾.

Ergo ut quadratum ad circulum sibi inscriptum, ita est hic Nב tempus ascensus liberi ad Gב tempus ascensus impediti.

Ad altitudinum porro rationem investigandam, quae sunt hic ut triang. ANב ad spatium AGב, constat, ex jam dictis, rectam ρφ referri spatio AφλQ, rectam Tσ spatio AσλQ, atque ita porro. Unde omnium ρφ, Tσ, etc. summa, hoc est spatium GבΛ refertur summa omnium AφλQ, AσλQ etc., hoc est cuneo anguli semirecti super spatio בAQβγ abscisso per בγ.

57) Voici le raisonnement que Huygens a en vue ici. On sait, par ce qui précède, que: (c'est-à-dire en langage moderne ). Si maintenant on développe cette somme de la même manière que Mercator l'a fait pour une telle somme dans sa Logarithmotechnia, on trouve:

mais d'après la quadrature du cercle de Leibniz, communiquée à Huygens en 1674 (voir la Lettre N^o. 1999) et publiée depuis dans l'article cité dans la Lettre N^o. 2633, note 12, la somme de cette progression est égale à ¼ πα².

[p. 42]

Hujus vero cunei solidum ut noscatur, fiat duabus אל, βל tertia proportionalis ךל; erit jam punctum ך ad hyperbolam transeuntem per γQ, habentemque asymptoton בA. Quia enim, posita βל=x, inventa fuit βP=, ךל autem est xx/a; si βP sive בל vocetur y, et ךל vocetur z, erit =y, et xx/a = z, five xx=az, unde, restituto valore xx, erit , sive , atque adeo ay+zy=aa, unde facile apparet punctum ך esse ad hyperbolam γךQ, uti diximus. Quia porro rectang. אלך aequale est quadrato ex βל, idque in omnibus applicatis parallelis, erit prisma super spatio γךQΛ, cum altitudine δγ, aequale quadratis omnibus βל et reliquarum applicatarum ad curvam γβQ. Ideoque prismatis illius dimidium aequale cuneo super spatio γβQΛ abscisso per γΛ. Est autem et prismatis super rectangulum AΛ cum altitudine δγ dimidium aequale cuneo super idem rectangulum AΛ per בΛ abscisso. Ergo prisma super spatio toto γךQAב cum dimidio altitudinis δγ aequabitur cuneo super spatio toto γβQAב abscisso per בγ.

Est autem prisma super γβQAב ad cuneum super idem γβQAב per γב, ut rectang. Oב ad trilineum GבA. Ergo etiam prisma super γβQAב cum altitudine δγ, ad prisma super γךQAב cum ½ altitudine δγ, ut rectangulum Oב ad trilineum GבA. Ergo et spatium γβQAב ad ½ spat. γךQAב ut rectangulum Oב ad trilineum GבA. Sed per ante ostensa erat quadratum בδ ad spat. γβQAב ut quadr. Vב ad rectangulum בO, sunt enim haec ut Nב ad Gב. Itaque jam ex aequo erit quadr. בδ ad ½ spatium γךQAב ut quadratum Vב ad trilin. GבA. Sunt autem quadrata בδ, Vב aequalia; ergo et ½ spatium hyperbolicum γךQAב aequale trilineo GבA, unde et ½ spat. γךQAב ad ½ quadr. בδ; seu totum ad totum, ut trilineum GבA ad ½ quadr. בδ sive ½ quadr. בV; quod erat inveniendum. Est autem spatium hyperbolicum γךQAב ad quadr. בδ ut logar. binarii ad quadratum hyperbolae⁵⁸⁾, hoc est ut fere 30103 ad 43430. Ergo hanc rationem habebit altitudo ascensus impediti, incipientis cum celeritate terminali, ad altitudinem ascensus liberi, eadem cum celeritate incipientis.

58) C'est-à-dire, comme le logarithme népérien de 2 à 1, puisqu'en effet AQ=½בγ, comme cela résulte de la construction de la courbe γβQ.

[p. 43]

§ XI⁵⁹⁾.

Invenire rationem inter tempus descensus ad tempus ascensus cum corpore projicitur

Fig. 4

sursum celeritate terminali. Curva ad ascensum AC⁶⁰⁾. Curva ad descensum CD. Oportet spatia ABC, CED esse aequalia⁶¹⁾. Quaeritur ratio BC ad CE quae est temporum.

AB=BF=BH. GHK hyperbola ad asymt.^os AF, FN. Spat. ABC=½ ABHG⁶²⁾. BL=LF. Spatium HBLK=ABHG. Ergo debet esse spat. CDE=½ spat. HBLK.

BM media prop. inter BF, BL. MD parall. BE. Dico spatium CDE aequari CBA⁶³⁾. Si enim BF=1, erit BL=½, et BM=√½. [Unde⁶⁴⁾ ex supra demonstratis, log. =spat. HBLK. Ex iisdem vero

59) Comparaison des durées de l'ascension et de la descente d'un corps pesant jeté en haut avec la vitesse terminale dans le cas d'une résistance proportionnelle au carrè de la vitesse. Ce paragraphe, emprunté au Livre G des Adversaria, page 90 recto, de même que les précédents, n'a pas été reproduit par Uylenbroek.

60) Voir la figure 4. Pour comprendre ce qui va suivre, on doit comparer la partie gauche de cette figure, jusqu'à la droite EVCBH, avec la figure 3 de cette pièce de manière que le triligne ACB soit identifié avec l'AG ב de la figure 3 et l'aire hyperbolique AGHB avec AQךγב. Cette partie gauche se rapporte de cette manière au mouvement ascendant du projectile. La partie droite au contraire, qui se rapporte à la descente, doit être comparée avec la figure 1. Pour y réussir on doit faire correspondre, point pour point, le triligne AΩZ′ de la figure 1 avec le triligne CDE de la figure 4, et de même l'aire hyperbolique γEךα avec l'aire BLKH. Alors les distances des points de la courbe ACD à l'axe ABF représentent les temps écoulés, et de même leurs distances, de gauche à droite ou de droite à gauche, à la droite EVCB, les vitesses acquises dans le sens ascendant ou descendant.

61) Puisque ces aires représentent les chemins parcourus pendant l'ascension et pendant la descente.

62) D'après le paragraphe précédent. Voir, vers la fin de ce paragraphe, le passage: Ergo et ½ spatium hyperbolicum γךQAב aequale trilineo GבA.

63) En effet, d'après le § IX, l'aire AΩZ′ de la figure 1, c'est-à-dire l'aire CDE de notre figure, est égale à la moitié de l'aire hyperbolique αγEך=BLKH, pourvu seulement que l'on aît , c'est-à-dire, dans notre figure, BL=BM²/BF. Et comme cette relation est vérifiée par les valeurs indiquées de BL, BF et BM, on a donc CDE=½ BLKH=½ ABHG=CBA.

64) Les phrases qui vont suivre et que nous avons mises entre accolades contiennent des erreurs étranges, qui, puisque le résultat est correct, doivent s'y être glissées pendant la transcription (ou élaboration) des annotations préliminaires qui ont servi à composer cette partie de la pièce.
Voici, d'ailleurs, comment on peut parvenir sans beaucoup de peine à la relation: OE ad EC ut quad. BN ad ½ log. , la seule dont il soit fait usage dans la suite pour arriver au résultat définitif de ce paragraphe.
Remarquons tout d'abord que, d'après ce qui précède, la vitesse v avec laquelle le projectile retournera au plan horizontal est égale à ED=BM=BF√½=V.√½, où V représente la vitesse terminale, indiquée dans la figure par AB=EO. Mais on sait, d'après le § I de notre pièce (voir la note 9), qu'on a d'où l'on déduit facilement, puisque ED = v/V EO, , ou bien, en appliquant la réduction de la sommation de cette série à la quadrature de l'hyperbole, mentionnée au § II, On a donc:

EC=½.OE.l.(),

c'est-à-dire:

OE:EC=1:½l.(),

ou bien, en logarithmes briggiens:

OE:EC=quad. BN(=0,4343):½log.().

[p. 44]

est OE ad EC ut quad. BN ad ½ spat. HBLK, hoc est ad ½ log. ].

Atqui BC ad BV seu OE ut circulus inscriptus qu. AV seu qu^o BN ad ipsum

[p. 45]

qu.^um BN⁶⁵⁾. Ergo ex aequo BC ad EC ut circulus in quadr. BN ad ½ log. seu ½ log. . 14 - 11 - 4343 - 3412 ½ log. =3826,8

3827:3412 ut tempus descensus ad tempus ascensus prox.^e cum projicitur celeritate terminali.

65) D'après le § X: ‘Ergo ut quadratum ad circulum sibi inscriptum ita est hic Nב (fig. 3) tempus ascensus liberi ad Gב tempus ascensus impediti.’
• Ce qui va suivre contient le calcul numérique du résultat obtenu, qui termine ce paragraphe, lequel comme toute la pièce que nous venons de reproduire, constitue, sans doute, un vrai chef-d'oeuvre de difficulté vaincue, montrant jusqu'à quel point Huygens savait remplacer l'analyse naissante de Leibniz par ses méthodes géométriques.