Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2825.
Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
18 septembre 1693.

Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse aux N^os. 2819 et 2820.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2828.

A Paris ce 18^e Septembre 1693.

Ce m'est toujours un plaisir sensible Monsieur de recevoir de vos lettres puisqu'elles m'assurent de vôtre souvenir et qu'elles servent en mesme temps a m'instruire. Je vois par vôtre derniere du 10 de ce mois que vous avez trouvé la maniere de resoudre le probleme de Mr. Bernoulli et que vous tombez dans la construction de son frere. Cela ne me surprend point, car je sçais assez que vous etes nôtre maistre dans tout ce qu'il y a de plus profond dans les mathematiques. La mienne est tres differente, cest pourquoy je crois que vous serez bien aise de la trouver ici, avec les objections que m'a faites Mr. Bernoulli à qui je l'avois envoyée, et ma reponce sur quoi je vous prie de me mander sincerement vostre pensée.

Probleme. La ligne courbe CMM a une proprieté telle, que chacune de ses touchantes MT est toujours à la partie CT de l'axe prise entre son origine C et la rencontre T de la touchante, en raison donnée de p à q: On demande la nature de cette ligne, ou la maniere de la décrire.

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 290.

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Solution. Lorsque la raison de p à q est de nombre à nombre, ayant nommé les indeterminées CP, y, PM, x; on se servira de ces formules generales:



, ou bien et x=zzy+qqy-ppy/2pz, et ayant fait evanouir l'inconnuë z on formera deux equations qui exprimeront chacune la nature d'une ligne courbe CMM qui satisfait à la question²⁾. Supposant par exemple que p soit double de q, on trouvera y=a⁴/zz+9aaz³⁾ ou z³/zz+aa et x=zzy-3aay/4az, d'où l'on tire ces deux equations: 432y⁴+432xxyy+

2) Il semble utile, pour éclaircir les discussions que l'on va rencontrer dans cette lettre et dans la réponse de Huygens, de remarquer ici dès l'abord que les deux solutions indiquées par de l'Hospital, généralisées, comme il le faut, par l'introduction de la constante de l'intégration, ne sont pas différentes, puisqu'elles mènent aux mêmes courbes. Il n'en pouvait être autrement, et il est facile de le constater après conp en exécutant dans les équations de la première solution: ; x=(z²+q²-p²)y:2pz, la substitution z=(q²-p²):v par laquelle elles se transforment dans les équations:

y=C' v q+p/q (v²+(q-p)²)^-1; x=(v²+q²-p²)y:2pv,

où C'=(q+p) -q+p/q (q-p) q-p/p C.

C'est seulement dans le cas particulier q=p, où cette substitution est inadmissible, que les deux systèmes d'équations constituent deux solutions différentes. Alors, en effet, le premier système amène le cercle 4p² (x²+y²)-Cy=0 et le second la droite y=C'.

3) Lisez, dans le dénominateur: z³, au lieu de zz.

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+72axyy+64ax³=aayy et 16y⁴+16xxyy-72axyy-64ax³=27aayy⁴⁾, qui expriment chacune la nature d'une ligne courbe CMM, dont les touchantes MT sont doubles des parties CT de l'axe faites par leur rencontres. Jl en est ainsi des autres.

Lorsque la raison n'est pas de nombre à nombre; ayant tiré les droites indefinies AB, DE, qui s'entrecoupent à angles droits au point C, on decrira entre les asymptotes CA, CD, une hyperbole quelconque KOQ, et menant librement AK parallele à CD qui rencontre l'hyperbole en K, et EF parallele à CB telle, que le rectangle CEF soit au rectangle CAK, comme la difference des deux lignes p et q est à la ligne q: on decrira par le point F entre les asymptotes CB, CE une autre hyperbole FH; on menera ensuite librement GH parallele à CB, et prenant CB egale à p+q, on fera comme le quarré de BG est au quarré de BE, de mesme CA est à CL, par ou l'on tirera LO parallele à CD. On prendra enfin l'espace hyperbolique LPQO (du mesme côté de l'espace ALOK par rapport à CD, lorsque p surpasse q, et du côté opposé lorsqu'il est moindre) égal à l'espace hyperbolique EGHF⁵⁾ et nommant CP, y, CG, z, on prolongera PQ en M, de sorte que PM=zzy+qqy-ppy/2pz, je dis que le point M sera à la courbe cherchée CMM.

Ou bien. Ayant tiré les droites indéfinies AB, DE qui s'entre coupent à angles droits au point C, on décrira entre les asymptotes CA, CD une hyperbole quelconque KOQ, et menant librement AK parallele à CD, qui rencontre l'hyperbole au point K, et EF parallele à CB telle, que le rectangle CEF soit au rectangle CAK comme p+q est à q: on decrira par le point F entre les asymptotes CB, CE une autre hyperbole FH: On menera ensuite librement GH parallele a CB, et prenant CB egale à la difference des deux lignes p et q, on fera comme le

4) Dans ces équations la constante d'intégration se trouve introduite; elles doivent donc être identiques. En effet, la seconde se déduit de la première en remplaçant la constante arbitraire a par-27a. Comparez la réponse de Huygens.

5) Posant CA=a, CE=b, CG=z, cette égalité exige pour p > q, comme pour p < q:ql (CL:y)=(p-q) l (z:b), où CL=a [b²+(p+q)²]:[z²+(p+q)²]. On trouve donc y=a [b²+(p+q)²] b p-q/p z q-p/p:[z²+(p+q)²]=C z q-p/p [z²+(p+q)]^-1.

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quarré de BG est au quarré de BE, de mesme CA est à CL, par où l'on tirera LO parallele à CD: on prendra ensin l'espace hyperbolique LPQO (du coté opposé à celui de l'espace ALOK par rapport à CD) egal à l'espace hyperbolique EGHF⁵⁾, et nommant CP, y, CG, z, on prolongera PQ en M de sorte que PM=zzy+qqy-ppy/2pz. Je dis que le point M sera à une ligne courbe CMM, qui resout encore le probleme.

Voici ce que me mandoit Mr. Bernoulli. ‘1^o. Je trouve vostre construction bien prolixe et embarassée; la mienne est bien plus aisée et ne demande pas qu'on prenne deux espaces hyperboliques égaux. 2^o. Je ne scais pas pourquoi vous trouvez toujours deux courbes qui satisfassent à la question en quelle raison que soit p à q, il me semble pouvoir demontrer qu'il n'y en a qu'une qui reponde au probleme. 3^o. Vous dites que si la raison de p à q est comme 2 à 1, les deux courbes seront 432y⁴+432xxyy+72axyy+64ax³=aayy, et 16y⁴+16xxyy-72axyy-64ax³=27aayy; mais par ma solution generale, je trouve dans ce cas cette equation y⁴+xxyy+18axyy+16ax³=27aayy, qui n'est pas semblable ni à l'une ni l'autre des vôtres; et ce qu'il y a de plus, c'est que si vous cherchez reciproquement la tangente MT et la partie CT de vos deux courbes, vous trouverez que MT est à CT non comme 2 à 1, ce qui est une preuve invincible qu'il y a ici une saute. 4^o. Vous ne disconvenez pas que la courbe CMM ne soit un cercle lorsque p à q ou MT à CT est une raison d'egalité, or au lieu qu'il n'y a que le cercle (comme il est manifeste au plus petit geometre) qui puisse satisfaire, vous trouvez deux lignes differentes, dont ni l'une ni l'autre est un cercle; car votre premiere formule donne une ellipse, et la seconde ne produit qu'une ligne droite parallele à CD. Ce dernier argument est tout seul suffisant pour vous donner la peine de repasser le calcul et de chercher la faute, quand vous l'aurez trouvée, vous me pouvez envoyer la correction, il sera alors assez temps d'envoyer vôtre solution a Leipsic⁶⁾, qui sera encore des premieres apres celle de mon frere⁷⁾ et la mienne’⁸⁾.

J'y ai repondu par articles en cette sorte: ‘1^o. Si l'on proposoit de décrire une

5) Ici l'égalité exige: q l (y:CL)=(p+q) l (z:b), ce qui amène les équations de la prétendue seconde solution.

6) Elle parut dans les ‘Acta’ du même mois de septembre 1693. (Voir la note 15 de la Lettre N^o. 2815). Il est donc clair que Jean Bernoulli s'est laissé convaincre par la réponse de de l'Hospital qui va suivre.

7) Voir la note 16 de la Lettre N^o. 2819.

8) Elle n'a point paru, probablement parce qu'elle était identique, quant au fond, avec celle de De l'Hospital.

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courbe dont la soutangente fust toujours à l'abcisse en raison constante; il est clair ce me semble que la construction la plus simple et la plus generale demanderoit qu'on prist deux espaces hyperboliques egaux, et toutefois cette courbe est bien moins composée que la vôtre. 2^o. Je soutiens qu'il y a toujours deux courbes qui satisfont egalement qui sont celles que l'on trouve par mes deux constructions et de plus qu'il n'y en peut avoir d'autres. 3^o. Votre courbe y⁴+xxyy+18axyy++16ax³=27aayy, est la mesme que ma seconde 16y⁴ &c.; car si l'on suppose a=4b et qu'on divise par 16, on trouve y⁴+xxyy-18bxyy-16bx³=27bbyy, qui ne differe de la vôtre qu'en ce que les valeurs des appliquées x sont changées de fausses en vrayes et au contraire, ce qui ne change rien dans la courbe que sa position. Mais asin qu'il ne vous reste aucun scrupule sur ma premiere equation, et que vous en puissiez faire aisement le calcul, supposez a=12b, et divisez chaque terme par 48, ce qui vous donnera 9y⁴+9xxyy+18bxyy+16bx³==bbyy, et vous trouverez que cette courbe (si vous en faites le calcul) a ses tangentes MT doubles des parties CT de l'axe. D'ou il est evident que ma construction est conforme à la vôtre en ce cas, et qu'elle est beaucoup plus generale, puisqu'elle donne toujours deux lignes courbes ou vous n'en trouvez qu'une. 4^o. Ma premiere formule donne xx+yy=1 4pp⁹⁾, qui est une equation à un cercle qui a pour rayon 1/2p, et ma seconde donne à la verité une ligne droite parallele à CD



mais elle satisfait aussi dans ce cas comme il est manifeste au plus petit geometre; car si l'on mene d'un de ses points quelconques M une tangente MT, elle sera la droite mesme et n'ira rencontrer l'axe CD qu'à une distance infinie; d'où il suit que ces deux lignes MT, CT seront egales entr'elles, puis qu'elles ne different que de la quantité PM, qui est finie’.

Vous voyez, Monsieur, que la construction de Mr. Jac. Bernouilli, est moins generale que la mienne. Mais il me semble de plus qu'on parvient plus difficilement à l'equation qui exprime la nature de la courbe; car si l'on nomme AB, x¹⁰⁾; BC, y; DC, z; on trouve selon lui ces formules y¹¹⁾=((n+1)z+(n-1)z²ⁿ⁺¹/1+z²ⁿ) et zz=yy+xx-2nxz+nnzz, qui me paroissent moins simples que les miennes. Lorsque la raison ne s'exprime que par des lignes, il faut du moins pour avoir la

9) Lisez: y/4pp.

10) Voir la figure de la note 20 de la Lettre N^o. 2819.

11) Lisez x; on a, en effet, AB=x=AD+DB=nz+z(1-z²ⁿ):(1+z²ⁿ).

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valeur de DB employer la quadrature de l'hyperbole ou les logarithmes, et il ne donne alors aucune construction; de sorte que ce n'est pas merveille s'il ne suppose point qu'on prenne des espaces hyperboliques egaux.

Voici en abregé mon analyse: CP=y, PM=x, donc MT=y√(dx²+dy²)/dy et CT=xdy-ydx/dy et par la condition du probleme y√dx²+dy²:xdy-ydx∷p:q, d'ou je tire, (en supposant pour abbreger pp-qq=mm) dx²-2ppxdydx/mmy==qqyydy²-ppxxdy²/mmyy et la resolution de cette egalité, (dont je regarde dx comme l'inconnue) me donne mmydx=ppxdy ∓ qdy√mmyy+ppxx, que je change en cette autre equation: dy/y=mmdu/qq ∓ q√ppuu+mm¹²⁾ (en mettant pour x, uy; et pour dx, udy+ydu) par le moyen de laquelle je pourois deia construire la courbe. Mais je suppose pour oster les incommensurables √ppuu+mm=z--pu, et partant u=zz-mm/2pz et du=zzdz+mmdz/2pzz. Ces valeurs me donnent par la substitution:

dy/y=(q-p)dz/qz-2zdz/zz+(p+q)^2

ou bien dy/y=(p+q)dz/qz-2zdz/zz+(p-q)^2

qui m'ont servi à former mes deux constructions.

Comme vous avez trouvé l'analyse de Mr. Bernoulli je ne la chercherai point et je l'attens de vous. Au reste ma seconde suitte donne les memes quadratures que celle de Mr. Gregori. Vous le reconnoistrez aisement pour peu que vous vous y appliquiez. Mais il faut dans l'une et l'autre retrancher toujours ma 3^o. suite, ce que Mr. Gregori devoit remarquer, car autrement je puis demontrer que ses quadratures seroient fausses. L'autheur du livre de la manoeuvre de vaisseaux est Mr. Renaud¹³⁾, que je connois particulierement et qui a la charge d'ingenieur de

12) Lisez: mmdu/qqu∓q√ppuu+mm.

13) Bernard Renau, né dans le Béarn en 1652, fut une des illustrations du règne de Louis XIV. Élevé par Colbert du Terron, intendant de Rochefort, il apprit les mathématiques pour entrer dans la marine. En 1679 il obtint une place auprès du comte de Vermandois, amiral de France. Il fut bientôt appelé à prendre part aux conférences instituées par le roi pour reformer la construction des bàtiments de guerre. Ce fut le système de Renau qui prévalut. Ce fut aussi d'après ses projets que l'on construisit les galiotes à mortiers qui, sous sa direction, servirent au bombardement d'Alger. Après la mort de Vermandois il se mit au service de Vauban, qu'il suivit au siège de Philipsbourg. Après avoir pris part, sur l'ordre du roi, au bombardement de Gênes, il assista aux sièges de Mons et de Namur. Parmi ses exploits on cite la délivrance, à St. Malo, des vaisseaux échappés au désastre de Cap la Hogue (voir la note 6 de la Lettre N^o. 2753) et le sauvetage de plusieurs millions, qu'il réussit à retirer des galions espagnols réfugiés dans la baie de Vigo où ils furent pris par les Anglais. Renau était alors au service du roi Philippe V d'Espagne. Un gentilhomme espagnol, d'Elisagaray, lui ayant appris qu'ils étaieut parents, Renau joignit à son nom celui d'Elisagaray. Il mourut le 30 septembre 1719. En 1699, lors de la réorganisation de l'Académie des Sciences, le roi l'avait créé membre honoraire. Fontenelle a écrit son éloge.

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la marine. Vous me ferez plaisir de me mander ce que vous en pensez. J'acheverai de repondre à ce que vous souhaitez de moi dans ma 1^ere. lettre¹⁴⁾. Je vous prie de ne pas oublier de m'envoyer les inventions de Mr. Neuton¹⁵⁾ lorsque vous les aurez receues et je serois bien aise aussi de savoir les manieres dont vous decrivez la courbe de Mr. Bernoulli, que vous me mandez estre meilleures que la sienne. Je suis Monsieur avec beaucoup de zele vôtre tres humble et tres obeissant serviteur

le M. de l'Hospital.

Apres ma lettre écritte je n'ay pu m'empescher de chercher la maniere dont Mr. Bernoulli pouvoit avoir trouvé sa construction, et j'y suis arrivé par un chemin assez court que voici. Soit DC=z, DB=x donc AD=nz, AB=nz+x, et leur differentielles Dd=ndz, Bb ou CE=dx+ndz. Or à cause des triangles semblables DBC, CEe et DFd, ou aura DB:DC∷CE:Ce=zdx+nzdz/x et



DC:DB∷Dd:DF=nxdz/z c'est-dire à la differentielle Cc de la courbe moins¹⁶⁾ la differentielle de la touchante DC; d'ou l'on tire nxxdz++xzdz=zzdx+nzzdz, et faisant x=uz il vient dz/z=du/nuu-n qui est apparemment l'equation, où vous estes arrivé, et dont on déduit facilement le reste. Si vous avez suivi une autre voye vous me ferez plaisir de m'en faire part.

14) La Lettre du 21 octobre 1693; toutefois, à la question posée par Huygens concernant la courbe de la voile, de l'Hospital n'a répondu que dans sa Lettre du 25 novembre 1693.

15) Voir la Lettre N^o. 2810 à la page 464 et la Lettre N^o. 2815 à la page 484.

16) De l'Hospital a vait écrit ‘plus’ ce que Huygens a changé en ‘moins’.