Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

[p. 418]

N^o 2794.
Christiaan Huygens.
[octobre-décembre 1692].
Appendice au No. 2793¹⁾.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

29 Oct. 1692.

1) Cet appendice contient, sur la découverte de la tractrice comme quadratrice de l'hyperbole, et de ses propriétés, les renseignements que nous avons pu recueillir dans les manuscrits de Huygens. Il est emprunté aux pages 117, 118, 128 et 166 du livre H. Nous l'avons divisé en paragraphes.

§ I²⁾.

Fig. I.

Quadratura Hyperbolae per novam quadraticem ejus, quae uno ductu describitur.

BA, AD normales; tangens CD semper aequalis AB.

CH HK CE ED

λ:ϰ=y:; ϰy/λ=

ϰy=λ

aϰ=λa, rejice ϰ et λ. Vel poterant

mutari ante in a, omissa multiplicatione per a.

a^4-aayy=yyθθ

a^4=yyθθ+yyaa; nostra Catenariae auxiliatrix cujus

dimensionem ad quadraturam hyperbolae reduxi in lib. G³⁾.

2) Première découverte de la tractrice comme quadratrice de l'hyperbole.

3) En notation moderne le raisonnement de Huygens peut se rendre comme il suit: On a , donc ; posant alors , on obtient une courbe (celle tracée dans la figure à gauche de la ligne BA) dont la quadrature dépend de celle de l'hyperbole. Réciproquement on peut donc faire dépendre la quadrature de cette dernière courbe de la construction du rectangle ax, qui est égal à ∫θdy. Mais cette construction est possible, pour une valeur donnée de y, aussitôt qu'on sait tracer la courbe BCD, qui, par conséquent, peut servir à la quadrature de l'hyperbole.
Le lieu cité du lib. G se trouve à la page 127 de ce livre et nous en avons fait mention dans la note 13 de la Lettre N^o. 2709.

[p. 419]

§ II⁴⁾.

	CE	CK
	PA CD	CH
Hic BP=	x. a-x:a=	ϰ:aϰ/a-x

CH	CK PV	PΩ
sit ut ϰ:	aϰ/a-x ita a:	aa/a-x=y hyperb.

sed ϰ sunt aequalia ut et a.

Ergo aa/a-x (spat. hyperb. BXΩP):a(▭ VB)=aϰ/a-x:ϰ, hoc est ut curva CB ad BP rectam.

Ergo si curva BC ponatur data, poterit ejus opera inveniri partium ejus longitudo rectae lineae aequalis⁵⁾.

4) Découverte de la propriété de la tractrice de se laisser mesurer par elle-même. La notation de ce paragraphe a été modifiée pour la conformer avec celle de la figure du § I, à laquelle nous avons ajouté à cet esfet la courbe XΩ et quelques lettres.

5) Puisqu'en effet la rectification de la tractrice paraît dépendre de la quadrature de l'hyperbole, laquelle à son tour peut être obtenue au moyen de la tractrice comme on l'a vu au § I de cette pièce.

[p. 420]

§ III⁶⁾.

Fig. 2.

ad experiendam veritatem curvae per logarithmos, sumatur quaelibet DP. sit PH parall. DG, secans arcum quadr.^is in H. ducatur recta DHF. fiat Fβ=FA. quaeratur logarithmus rationis AD ad Dβ, hoc est diff.^a logar.^orum AD et Dβ in tabulis; et ut 43420 ad dictam diff.^m ita sit AD ad aliam, cui aequalis sumatur HK ea debebit incidere in punctum curvae.

6) Construction de la tractrice au moyen des logarithmes, équivatant à la connaissance de son équation analytique. Pour montrer la connexion qui existe entre cette construction et l'équation analytique de la tractrice nous commençons par remarquer que la division de (log. AD-log. Dβ) par 43420 ne sert qu'à réduire les logarithmes tabulaires aux logarithmes Népériens. Posant donc AD=a, DP=y, PK=x, on a par construction HK=x+HP=a1a/Dβ; mais ; donc ; équation bien connue de la tractrice.

§ IV⁷⁾.

Fig. 3.

AC Tractoria. asympt. BE.

CL tangens.

CK=DL.

HF=CK. .

F est in circumferentia circ.

Spat. HFGB=spat.^o infinito DCME⁸⁾.

7) Quadrature de la tractrice.

8) Huygens applique ici un théorème général, que l'on rencontre au § I du N^o. 2763 et d'après lequel, pour toute courbe ACM, les aires décrites par les lignes CD et CK=DL sont égales. Or l'aire décrite par CK est encore égale à celle décrite par FH, où .
Ajoutons ici que le théorème en question, mentionné déjà en 1662 par de Sluse dans la Lettre N^o. 1068 et communiqué à Huygens dans sa Lettre N^o. 1091, est dû à de Roberval, et qu'il fut publié dans l'ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 2432, dans une des dernières pages du ‘Traité des indivisibles’.

[p. 421]

§ V⁹⁾.

Solidum ex conversione ejus spatij circum asymptoton erit aequale sphaerae quartae parti, cujus AD [voir la fig. 2] semidiameter. hinc et centri gravitatis distantia ejusdem spatij ab asymptoto habebitur, pendens a circuli quadratura. triangula quadrantis ADX circa AX revoluta considerantur quibus respondent singula Δ^la in spatio curvae et asymptoti conversa circa hanc ipsam¹⁰⁾.

9) Cubature du solide de révolution décrit par l'aire comprise entre la tractrice et son asymptote. Centre de gravité de cette aire.

10) La dernière phrase a été ajoutée après coup. Nous n'en avons pu pénétrer le sens et il nous semble même probable qu'elle est erronée. Nous croyons plutôt que le résultat correct, formulé dans ce paragraphe, doit avoir été acquis par la comparaison des solides obtenus par la rotation des petits rectangles KS et PV, que nous avons ajoutés à la figure 2, autour de l'asymptote DN, et dont les volumes s'expriment respectivement par et par le double de cette expression.

§ VI¹¹⁾.

Superficies istius solidi infiniti, praeter basin, aequatur circulo cujus semidiameter duplum potest lateris AD [voir la fig. 2]. Suntque superficies ex portionibus circa asymptoton sicut abscissae ipsis respondentes ad verticem A¹²⁾.

Quia igitur portionum longitudo invenitur ipsius curvae opera Ergo et centra gravitatis ipsarum respectu asymptoti, et hinc superficies portionum ex conversione circa AX ad circulos redigentur.

11) Quadrature des surfaces de révolution décrites par la tractrice autour de son asymptote, comme aussi autour de la ligne AX. Centre de gravité de la courbe.

12) C'est-à-dire: les surfaces décrites par les arcs comme AK sont proportionnelles aux AP, et la surface entière égale 2 AD²π.

[p. 422]

§ VII¹³⁾.

Fig. 4.

Talis quaepiam infinita spiralis describeretur si pes ductor per circuli circumferentiam iret, sequente cuspide ab A puncto; ductore in C.

Et similis alia ducendo versus D¹⁴⁾.

13) Tracé du cas particulier de la tractrice circulaire où la longueur du fil est égale au rayon du cercle directeur. Comme on le remarquera, Huygens a deviné sans calcul la propriété de cette courbe spirale de s'approcher asymptotiquement du centre du cercle directeur.

14) Pour ne pas embarrasser la figure, nous avons supprimé cette partie de la courbe qui ne manque pas, dans le dessin de Huygens, de couper la première partie dans les points situés sur l'axe AB.