Oeuvres complètes. Tome VIII. Correspondance 1676-1684

N^o 2341.
Christiaan Huygens à J.P. De la Roque.
Appendice au No. 2340.
8 juin 1684.

La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens¹⁾.
La pièce a été publiée dans le Journal des Sçavans²⁾.

Extrait d'une lettre de Mr. Hugens, écrite de la Haye le 8 Juin, 1684. à l'Auteur du Journal, contenant sa réponse à la replique de Mr. l'Abbé Catelan, touchant les centres d'agitation.

J'ay differé jusqu'ici de vous envoyer ma réponse à la replique de Mr. l'Abbé Catelan, & j'avois presque oublié toute nôtre dispute, n'apprenant point qu'il y eut personne de ceux qui examinent ces sortes de choses qui se fut declaré en sa faveur. Mais depuis peu quelques-uns de mes amis souhaitant que je rendisse cet examen plus aisé aux Geometres, & que j'empêchasse en même temps tous ceux qui sçavent notre differend de trouver à redire à mon silence, j'ay cru vous devoir prier d'inserer dans vôtre Journal, ce qui suit, que j'ay fait voir il y a longtemps à des personnes que vous connoissez.

1) Dans le livre F des Adversaria, pp. 171 et suiv.

2) Du Lundy, 3 Juillet, m.dc.lxxxiv.

[p. 498]

Je dis donc que Mr. l'Abbé Catelan ayant veu ma réponse à sa premiere remarque & s'estant apperceu de son erreur, a cru la pouvoir dissimuler, en disant que cette remarque avoit esté imprimée sur une copie defectueuse, où il manquoit non seulement quelques mots, mais six ou sept lignes de suite; lesquelles estant supplées dans sa seconde Edition, où il ajoûte & telles que les sommes, avec ces six autres lignes, il arrive que son objection devient toute autre qu'elle n'estoit au commencement³⁾.

Il n'a pas trouvé à propos d'en avertir le Lecteur, non pas même dans sa Replique, quoyque ce changement y soit supposé; car la verité est qu'au lieu que cydevant il s'étoit engagé à montrer que ma proposition 4. des centres de Balancement, ne pouvoit estre vraye si la partie n'estoit égale au tout, maintenant pour prouver la fausseté de ma proposition, il ne suppose pas seulement cet axiome incontestable, que le tout est plus grand que sa partie, mais outre cela, la verité de certain principe qu'il s'est fait touchant le mouvement des pendules. Je feray voir que cela est ainsi, & pour resoudre son objection de la maniere qu'elle a esté reformée, je demonstrerai que ce principe qu'il suppose ne peut estre vray. Je feray voir de plus que son autre principe general dont il se sert dans sa veritable resolution Mathematique du Probleme des Centres de balancement⁴⁾ l'est aussi peu; & qu'enfin ces deux principes sont contraires l'un à l'autre. Je ne desespere pas que Monsr. l'Abbé Catelan n'en convienne luy même aprés avoir consideré ce qui s'en suit⁵⁾.

Nostre question selon luy, se reduit à cette proposition. Ayant deux grandeurs inegales aa & bb. & la somme de leurs racines a + b, estant divisée en deux parties qui soient entre elles, comme aa est à bb, lesquelles parties sont par consequent quent a³+aab/aa+bb, & b³+abb/aa+bb, comme l'on trouve facilement par Algebre, demonstrer, que la somme des grandeurs aa & bb, qui representent les hauteurs d'où descendent deux poids égaux attachez ensemble dans un même pendule, ne peut estre égale à la somme des quarrez de a³+aab/aa+bb, & de b³+abb/aa+bb, lesquels quarrez representent les hauteurs où ces deux poids remontent aprés s'estre détachez par quelque choc, si la partie aa n'est égale à bb, c'est à dire (comme ces grandeurs sont inégales dans la question proposée) si la partie n'est aussi grande que le tout.

C'est là la proposition de Mr. l'Abbé, que j'ay seulement taché de rendre un peu plus claire; laquelle estant demonstrée comme il est aisé, en comparant ensemble ces deux sommes par le calcul algebraique, il pretend que ma proposition fondamentale des centres d'agitation tombe en ruïne.

3) Consultez, sur cette manoeuvre de l'abbé de Catelan, la Lettre N^o. 2260, note 1.

4) La pièce N^o. 2261.

5) L'abbé de Catelan n'a plus répliqué directement à Huygens. Cependant, on voit par la pièce N^o. 2365, qu'il n'a pas voulu reconnaître son tort.

[p. 499]

Mais il n'est pas même besoin d'Algebre pour cette demonstration; car posant aa égal à 1, & bb égal à 4; la somme des racines a + b est 3. & les parties proportionnelles de cette somme sont 3/5 & 12/5, car elles sont ensemble 15/5 ou 3, & elles sont entre elles comme 1 à 4. Les quarrez des mêmes parties sont 9/25 & 144/25. Il saudroit donc seulement demonstrer que la somme de 1 & 4, n'est point égal à la somme de 9/25 & 144/25, c'est à dire que 5 n'est pas égal à 6 3/25 ce qui est évident de soy-même.

Tout va donc bien dans la proposition de Mr. l'Abbé, si ce n'est quand il dit que les quarrez de a³+aab/aa+bb, & de b³+abb/aa+bb, qui sont icy 9/25 & 144/25, representent les hauteurs où remontent les poids detachez. Il ne disconviendra pas, & je pourrois le faire voir facilement, qu'il a trouvé cela par le Principe qu'il s'est fait et qu'il apporte pour fondement à sa proposition, sçavoir que la vitesse totale d'un pendule composé, laquelle est repanduë dans ses parties proportionnellement aux arcs qu'elles descrivent, est toûjours égale à la somme des vitesses qui seroient acquises par les mêmes parties, si estant détachées les unes des autres, elles descendoient separément des mêmes hauteurs & dans les mêmes distances de l'axe qu'aupar avant.

Il suppose donc pour me refuter, la verité de ce Principe que je dis estre faux, & voici comme je le prouve en me servant du même calcul qui vient d'estre fait. Monsr. l'Abbé sçait & avoue que si l'on divise la somme des hauteurs 1 & 4, (d'où les deux poids égaux sont descendus estant attachez ensemble) par 2, nombre des poids, l'on aura la hauteur dont leur commun centre de gravité est descendu, sçavoir 5/2. Il avoüe de même que si l'on divise la somme des hauteurs 9/25 & 144/25, où remontent les poids, aprés s'estre detachez par quelque choc, par leur nombre 2, l'on aura la hauteur à laquelle monte leur commun centre de gravité, sçavoir 153/50 ou 3 3/50. Donc ce centre de gravité montera plus haut que d'où il estoit descendu d'autant que 3 3/50 excede 2½, ce qui est contre le grand Principe des mechaniques; & si Mr. l'Abbé peut faire en sorte qu'il soit vray, il aura trouvé le mouvement perpetuel. Son Principe estant donc faux puisqu'il meine à une fausse conclusion, il n'en peut rien inferer contre ma proposition qui ne soit faux aussi.

Pour son autre Principe qui sert de fondement à sa regle generale des centres de balancement, l'on verra qu'il conduit à la même erreur. Ce Principe est que le temps du balancement du pendule composé, est moyen entre les temps des balancemens de ses parties, c'est à dire qu'il est égal à la somme des temps divisée par le

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nombre de ces parties. Suivant cela, dans un pendule tel que nous avons consideré, où les distances des poids, depuis le point de suspension sont 1 & 4, si l'on pose le temps de la moindre des deux parties separées, estre 1. (d'ou s'ensuit que le temps de l'autre partie agitée separément sera 2.) suivant son Principe dis-je, la somme de ces temps, qui est 3, divisée par 2. nombre des parties, sera le temps du pendule composé, sçavoir 3/2 ce qui estant, on trouve en ne supposant rien dont Monsr. l'Abbé ne tombe d'acord que les Hauteurs où remonteroient les poids aprés s'estre détachez du pendule composé, seroient 4/9 & 64/9; dont la somme 68/9 divisée par 2, nombre des poids, donne 34/9 ou 3 7/9 pour la hauteur à la quelle monteroit le centre commun de leur pesanteur, qui surpasse derechef de beaucoup 5/2 ou 2½, dont nous avons montré que ce centre est descendu. Je n'ajoûte point la maniere de ce calcul qui est assez aisée. Monsieur l'Abbé donc en cherchant un principe a mal deviné par deux fois; car ce n'est proprement que deviner, que d'avancer des principes fondez sur quelque legere apparence: & il auroit raison en disant que la question du centre d'oscillation n'est pas difficile à resoudre, si comme il fait, il ne falloit que supposer ce qui determine d'abord la chose que l'on cherche.

Au reste la contrarieté de ses deux principes entre eux est manifeste par ce qui a déja esté dit; puis qu'il paroît qu'ils menent à des conclusions differentes, l'un donnant 3 3/50 & l'autre 3 7/9, pour la hauteur ou le centre commun de gravité monteroit.

J'ajoûte encore ce mot pour répondre à la difficulté que Monsr. l'Abbé forme & qu'il a fait inserer dans le Journal du 7 Sept. 1682. Contrefait à Amsterdam, contre le mouvement en cycloide⁶⁾, qu'il auroit pû voir que j'ay resolu cette difficulté dans mon traité même du centre d'oscillation; en montrant dans la propos. 24.⁷⁾ comment on peut faire que tous les points du poids d'un pendule se meuvent dans des Cycloides égales; quoy que dans la pratique cette correction ne soit point du tout necessaire.

6) La pièce N^o. 2280.

7) La proposition XXIV de la Pars Quarta de l'Horologium Oscillatorium est formulée comme il suit: Centrum oscillationis rationem haberi non posse in pendulis inter Cycloides suspensis; & quomodo hinc orta difficultas tollatur.