Oeuvres complètes. Tome VIII. Correspondance 1676-1684

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N^o 2261.
L'Abbé de Catelan.
Appendice II au No. 2259.

La pièce a été publiée dans le Journal des Sçavans¹⁾.

Examen Mathematique du Centre d'Oscillation par Mr. l'Abbé de Catelan.

La Question du Centre d'Oscillation ou de balancement estant bien conceuë n'est pas si difficile à resoudre qu'on pourroit croire. Ce qu'on appelle Centre d'Oscillation est un point mobile scitué dans un Pendule à une telle distance de l'axe ou du centre de suspension, que quand mesme toutes les autres parties de ce pendule viendroient à s'anéantir, celle-là seule continûroit ses balancemens comme auparavant, c'est à dire dans le mesme temps que le pendule entier: Ce qui n'arriveroit pas à l'égard des autres parties prises chacune séparément, car celles qui sont plus proches de l'Axe, auroient des balancemens plus courts & plus frequens que celles qui en sont plus eloignées²⁾: Dont la raison est que les plus proches décrivent de plus petits arcs & acquierent des vitesses plus grandes à proportion de ces arcs que les plus eloignées; car ces arcs sont proportionels à des quarrez & ses vitesses à leurs racines; Or plus les racines sont petites entre elles, & plus elles sont grandes à l'égard de leurs quarrez.

Dans un mesme Pendule toutes les parties ne pouvant se mouvoir qu'à la fois à cause de leur union, le balancement des moins distantes de l'axe est tellement retardé par celuy des plus éloignées, & celuy des plus éloignées, est tellement acceleré par le balancement des autres qu'il se fait entre elles une compensation de vitesses proportionelle aux Arcs qu'elles décrivent: En sorte que le temps du balancement de tout le Pendule est moyen entre les temps des balancemens de ses parties détachées les unes des autres, c'est à dire qu'il est égal à la somme de ces temps divisée par le nombre de ces parties, que la précision Mathematique demande que l'on considere comme reduites à des points. On sçait par l'experience & on peut démontrer par les principes de la Philosophie de Des-Cartes, que tous

1) Dans le faux N^o. xxix de l'édition d'Amsterdam, du Lundy 15. Decemb. m.dc.lxxxi. Consultez la Lettre N^o. 2262, note 3.
La pièce, de même que le N^o. 2260, a été imprimée pour la seconde fois dans le Journal des Sçavans, contrefaçon d'Amsterdam, comme deuxième article en tête de l'année 1682. Consultez la pièce N^o. 2260, note 1.
Nous donnons encore, dans les notes, les variantes de cette seconde impression.

2) La seconde édition de l'édition d'Amsterdam ajoute: supposé qu'elles descendent d'un mesme plan horizontal ou incliné à l'Horizon, & que l'air ne leur fasse aucune resistance.

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les corps pesants tombent vers la terre dans des temps en raison soûdoublée ou comme les racines des hauteurs d'où ils descendent³⁾. Ces hauteurs dans les pendules sont les distances de l'axe, autour duquel ils se meuvent⁴⁾. La question proposée se reduit donc à diviser par le nombre des parties d'un pendule la somme des racines de leurs distances de l'Axe⁵⁾, pour avoir une ligne droite qui soit la mesure du temps du balancement de ces pendules de laquelle par consequent le quarré ou la troisiéme proportionelle sera la distance d'entre l'Axe & le Centre d'Oscillation. L'application de ce principe aux trois grandeurs que la Geometrie a pour objet est assez facile.

1. Pour determiner le Centre d'Oscillation d'une Ligne⁶⁾, il faut la concevoir divisée en des parties égales infiniment petites ou dans tous ses points; Et aprés avoir décrit sur la plus longue distance de cette Ligne à l'Axe une Parabole qui ait pour sommet le point de l'Axe où se termine cette distance, & pour parametre une ligne qui soit l'unité à son égard, il faut tirer de chaque point de la Ligne une parallele à l'Axe jusqu'à ce qu'elle rencontre la Parabole & luy soit appliquée: La somme de toutes les appliquées semblables est égale à un rectangle dont la hauteur est la Ligne proposée, & la base la racine de la distance de l'Axe au Centre d'Oscillation cherché⁷⁾.

2. Pour avoir la longueur dont le Centre d'Oscillation d'un Plan est éloigné de son Axe il faut concevoir une portion d'un solide Parabolique dont les Paraboles ayent pour Diametres les plus longues distances d'entre l'Axe & chacune des Lignes paralleles qui remplissent ce Plan. Ce solide est égal à un Prisme ayant le Plan pour base, & pour hauteur la racine de la distance de l'Axe au Centre d'Oscillation de ce plan⁸⁾.

3) La nouvelle édition ajoute: lorsque leurs chute est perpendiculaire à l'Horizon, & on le peut démontrer par les principes de Galilée lorsque la chute se fait par des arcs semblables qui commencent tous d'un même plan.

4) Au lieu de cette phrase, la seconde édition a: Ces hauteurs dans les Pendules qui descrivent des arcs semblables sur un Axe avec lequel ils font un même plan, sont entre elles comme les distances de l'Axe, autour duquel ils se meuvent.

5) La nouvelle éditîon ajoute: ou en general, la somme des lignes droites qui representent les temps de balancemens de ces parties prises séparement.

6) Au lieu de Ligne, la nouvelle édition a: ligne droite suspenduë à un axe.

7) La nouvelle édition fait suivre: Car cette somme est une Parabole ou Portion de Parabole ayant pour Diametre la Ligne donnée & pour Parametre la troisiéme proportionelle aprés cette ligne & la plus longue distance de l'Axe, ou bien la 4^e proportionelle aprés la ligne, la plus longue distance & sa difference d'avec la plus petite.

8) Au lieu de cette phrase, la nouvelle édition a ce qui suit: Ce solide estant divisé par la moitié le long de l'Axe, & l'une des moitiez estant coupée dans les appliquées aux distances de l'Axe & dans les costez du Plan, le segment est égal à un Prisme ayant le Plan pour base, & pour hauteur la racine de la distance de l'Axe au Centre d'Oscillation de ce plan. Si le balancement se fait autour d'un point on bien si se faisant autour d'un Axe le Pendule est composè de parties qui soient dans divers plans au regard de l'Axe, on déterminera de la maniere que l'on vient de dire chaque Centre d'Oscillation des parties qui sont dans une mesme ligne droite passant par le point de suspenfion, ou dans un mesme plan passant par l'Axe; tous ces Centres d'Oscillation feront un Pendule beaucoup plus simple & ayant le mesme centre de balancement que le prémier. Le centre de balancement se trouvera en divisant par le nombre des autres centres d'Oscillation la somme des lignes droites qui représentent les temps qu'ils emploiroient dans leurs balancemens particuliers. Ces temps dépendent des arcs, ou portions de courbes, décrits par tous ces centres d'Oscillation dans le balancement du pendule; lesquels arcs doivent estre considerez chacun comme une infinité de plans différemment inclinez à l'Horizon.

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3. Pour les solides, les ayant divisez par la pensée en des surfaces paralleles il faut faire un plan des distances de leurs centres d'Oscillation à l'Axe: Le Centre d'Oscillation de ce Plan sera le mesme que celuy de ces solides. Si ce sont des Prismes, ils ont le mesme Centre d'Oscillation que leur base⁹⁾.

9) Dans la nouvelle édition le paragraphe 3 a été remplacé par le suivant: Pour les solides les ayant divisez par la pensée en des surfaces paralleles entre elles & perpendiculaires à l'Axe il faut faire parune seconde section un plan ou une surface courbe des distances de leurs centres d'Oscillation à cet Axe, sur les poins du quel elles se meuvent. Ainsi on aura dans la somme de ces centres qui terminent d'un costé les lignes droites dont ce plan, ou cette surface courbe est composée, un pendule plus simple que les solides, & dont le balancement sera de mesme durée. Le centre d'Oscillation de ce nouveau Pendule se déterminera en transportant tous ces centres d'Oscillation particuliers sur l'Axe qui est leur nombre, & en supposant que cet Axe s'est mû de telle sorte que ses poins ont parcourû les mesmes arcs que ces centres. Si les solides sont des Prismes droits, il ont le mesme centre d'Oscillation que leur base, pourveu qu'elle soit perpendiculaire à l'Axe.
Ainsi le centre d'Oscillation d'un solide dépend des centres d'Oscillation de certaines surfaces mûës autour d'un point, dont le centre d'Oscillation commun est celuy d'une ligne droite mûë autour d'une autre droite ou courbe; de sorte qu'il ne faut point d'autres regles pour le Corps que pour les lignes & les surfaces.
La rédaction du premier de ces alinéas a encore été sensiblement modifiée dans la nouvelle édition, faite à Amsterdam en 1740, du Journal des Sçavans.