Oeuvres complètes. Tome I. Correspondance 1638-1656

N^o 223.
Christiaan Huygens à Fr. van Schooten.
5 juin 1655.¹⁾

La lettre, la minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens.
Elle est la réponse au No. 220.

Clarissimo Viro Domino Francisco Schotenio Christianus Hugenius S.

Librorum negotium vellem ut minus scrupuloso commisisses, sed jam conqueri serum est. De Kepleri institutionibus fratris mei nomine tibi gratias ago et praetium restituo, ipse enim Amstelodamum profectus est. Domini Wallis literis quoniam alicubi me tangit video mihi respondendum fore; at quam vellem priores literas ipsius te non perdidisse, nam me quidem tibi eas remisisse certò scio²⁾. Nunc ex ijs quas tunc temporis ad te dedi repetenda erunt quae ad novas istas Quadratices

1) La minute porte cette date.

2) Voir la Lettre N^o. 144.

[p. 330]

lineas attinent. Equidem non multo meliora Gregorianis à novo hoc Cyclometra expecto, sed tamen videndum. Domini Ordines quid statuerint circa Examen tuum meumve, non comperi. Veruntamen quia ne verbum quidem renunciari mihi aut gratias agi voluere, dabo operam ut resciscam quo consilio id fecerint.

Cardani regularum inventio per Algebram nostram, quam tantopere exponi tibi desideras, ea est hujusmodi³⁾. Proponatur aequatio x³ ∞ - px + q, hoc est, x³ + px - q ∞ o sitque invenienda quantitas x. Augeatur radix quantitate aliqua incognita z ut sit x + z ∞ y, hoc est x ∞ y - z. Ergo x³ ∞ y³ - 3yyz + 3yzz - z³ et loco prius expositae aequationis quae erat x³ + px - q ∞ o erit ista y³ - 3yyz + 3yzz - z³ + py - pz - q ∞ o. Hic quoniam - 3yyz + 3yzz fit ex ductu y - z in - 3yz; et rursus quod habetur + py - pz fit ex y - z in + p, apparet quod si 3yz sit ∞ p, tum se mutuo tollent dicti termini - 3yyz + 3yzz et + py - pz, solique restabunt y³ - z³ - q ∞ o. Sit igitur 3yz ∞ p. Ergo z ∞ ⅓ p/y. Et aequatio erit y³ - 1/27 p³ / y³ - q ∞ o. Unde y⁶ ∞ qy³ + 1/27 p³, quae quadrata aequatio est, fitque y³ ∞ ½ q + . Quare y ∞ . Cognita jam quantitate y non ignorabitur z, quae erat ∞ ⅓ p/y. Erat autem x ∞ y - z. Ergo Quae regula facilior videri possit quam Cardani illa, quoniam semel tantum radicem cubicam extrahere opus sit. Caeterum ut ipsam Cardani regulam exhibeamus, quantitatem z similiter ut y ex praecedentibus inveniemus. Nimirum ex eo quod ponebatur 3yz ∞ p fit y ∞ ⅓ p/z. Unde loco superioris aequationis y³ - z³ - q ∞ o erit 1/27 p³ / z³ - z³ - q ∞ o. hoc est z⁶ ∞ - qz³ + 1/27 p³. Unde z ∞ . Cum itaque fuerit x ∞ y - z. Erit jam x ∞ . Quae Cardani regularum una est. Altera simili methodo invenitur in hunc modum. Detur x³ ∞ px + q, sive x³ - px - q ∞ o. Diminuatur radix quantitate incognita z, ut sit x - z ∞ y, hoc est, x ∞ y + z. Eritque prioris aequationis loco ista y³ + 3yyz + 3yzz + z³ - py - pz - q ∞ o. Hic rursus si ponatur 3yz ∞ p, tollent se mutuo quantitates istae + 3yyz + 3yzz et - py - pz, tantumque supererunt y³ + z³ - q ∞ o. Sit ergo 3yz ∞ p, hoc⁴⁾

3) Voyez aussi la Lettre N^o. 147.

4) Le signe ÷ n'est autre que celui de soustraction.

[p. 331]

est z ∞ ⅓ p/y. Ergo aequatio erit y³ + 1/27 p³ / y³ - q ∞ o. Unde y⁶ ∞ qy³ - 1/27 p³. Cujus aequationis ambigua est radix. Fit nimirum y ∞ vely y ∞ . Quod si porro quaeratur etiam z ex eo quod 3yz ∞ p, uti in prioris regulae inventione quaesita fuit, rursus ambigua radix aequationis invenietur, utque modo y ita nunc erit z ∞ , vel z ∞ . Itaque alteram radicem sumendo pro z alteram pro y, (etenim ponendum est alteram altera majorem esse) fiet y + z, hoc est, x ∞ .