|
| |
| |
| |
Boekbeoordeelingen.
Vervolg op de Beginselen der Hoogere Meetkunst, bevattende de Theorie der gebodene oppervlakken en kromme lijnen van dubbele kromming, benevens Formules voor de Hoogere Meetkunst, door J. Jonkhert, Math. et Phil. Nat. Cand.
Breda, Broese en Comp. 1836.
‘There is nothing in this world so hard to get at as truth, and there is nothing in this world but truth that I care for.’
Washington Irving.
Op den titel af zoude men dit Werk voor het Vervolg houden op eenen vroegeren arbeid van denzelfden Schrijver: Beginselen der Hoogere Meetkunst; verkeerdelijk evenwel, blijkens de Voorrede, waarin het heet: ‘In onze taal bezitten wij verscheidene uitmuntende Werken, die de Wiskunde, tot en met de Theorie der vlakke kromme lijnen, zoo volledig behandelen, dat wij althans te dien opzigte onzen toevlugt niet tot buitenlandsche Werken behoeven te nemen. Het is om deze rede(n), dat de Schrijver niet dit gedeelte der Wiskunde behandeld heeft, maar een Vervolg levert op de Beginselen der Hoogere Meetkunst en de Differentiaal-Rekening van onzen te vroeg gestorvenen landgenoot J.R. Schmidt.’ Het onderhavige Boekdeel behandelt dus de gebogen oppervlakken en kromme lijnen van dubbele kromming, en moet ten vervolge strekken op genoemde Werken van Schmidt. Er bestond behoefte aan eene volledige en oorspronkelijke handleiding ter beoefening dier moeijelijke deelen der Wiskunst: de Heer Jonkhert heeft in die behoefte trachten te voorzien, en zich daarbij vooral op beknoptheid toegelegd; ‘menschen toch,’ zegt hij, ‘die geene eerstbeginnenden meer zijn, vinden liever iets, waarbij zij hun oordeel kunnen gebruiken, dan langwijlige redeneringen.’ Volledigheid derhalve, oorspronkelijheid en beknoptheid heeft men hier te verwachten; juistheid en naauwkeurigheid mogen in geen mathematisch Werk gemist worden, en deze zijn dus de hoofdvereischten, waaraan wij het vóór ons liggend Geschrift te toetsen hebben.
| |
| |
In de Inleiding toont de Schrijver aan, hoe men van het eene Coördinatenstelsel in de ruimte tot het andere kan overgaan, en deelt vervolgens zijn Werk in vier Hoofdstukken in.
Het eerste bevat eene beschouwing van de oppervlakken des tweeden graads, afgeleid uit derzelver algemeene vergelijking. Uit dezelve worden de waarden voor de Coördinaten des middelpunts opgemaakt, welke dadelijk een' grond aangeven ter onderscheiding van de bewuste oppervlakken, naardat ze al of geen middelpunt hebben. De vergelijking wordt voorts tot eenvoudiger vormen teruggebragt. De doorsneden met platte vlakken zijn van geene hoogere afmeting dan de tweede; loopen die vlakken evenwijdig, dan zijn de doorsneden gelijksoortig. Nu volgt een onderzoek naar de meetkunstige plaats van de middelpunten dier doorsneden, en wordt eene bepaling gegeven van de assen, waarop de Schrijver overgaat ter geleidelijke beschouwing van de onderscheidene soorten van oppervlakken des tweeden graads met een middelpunt, als: de Ellipsoïde, de Hyperboloïde met één en twee bladen; en zonder middelpunt, als: de Elliptische en Hyperbolische Paraboloïde; terwijl hij behoorlijk acht geeft op derzelver verscheidenheden, anomaliën en asymptotenvlakken, bijaldien er zijn. Vervolgens vindt men beweerd, dat een plat vlak elk der meergenoemde oppervlakken volgens cirkels kan doorsnijden, en wordt de lijn der middelpunten van evenwijdige cirkeldoorsneden bepaald. Daarop toont de Schr. aan, hetwelk later meer te zijner plaatse ware, hoe eene omwentelingshyperboloïde wordt voortgebragt door de omwenteling eener regte lijn. Dan volgt een vraagstuk, om de meetkunstige plaats te bepalen der brandpunten van evenwijdige vlakke doorsneden van eenig oppervlak des tweeden graads. De raakvlakken en normalen worden thans behandeld. De algemeene differentiaal-vergelijking voor het raakvlak van eenig geboden oppervlak wordt eerst opgemaakt, en daarna bijzonder toegepast op en gewijzigd naar dat van den tweeden graad, waarvoor het vervolgens ook onmiddellijk bepaald wordt. Denzelfden gang houdt het onderzoek naar de normaal. Het beschrijven van een rakend vlak aan eenig oppervlak van den tweeden graad door een willekeurig punt, voert als van zelf het betoog met zich, dat zulk een oppervlak door een' kegel volgens het beloop eener kegelsnede omvat wordt; zijn er nu meer omvattende kegels, en hebben de vlakken van gemelde aanrakingskrommen een punt met elkander gemeen, dan liggen de toppunten van al die kegels in één en hetzelfde platte vlak, enz. Een viertal vraagstukken leert ons de meelkunstige plaats kennen van het hoekpunt eens vlakkigen regten hoeks, waarvan óf de zijvlakken óf de ribben een oppervlak des tweeden graads, met of zonder middelpunt, aan- | |
| |
raken. De Schr. besluit eindelijk het Hoofdstuk met de beschouwing der onderling toegevoegde middellijnen en derzelver hoofdeigenschappen.
Het tweede Hoofdstuk aan de oppervlakken gewijd, die ontstaan door de beweging van eene regte lijn en een' cirkel, bevat achtereenvolgens dezulke, die beschreven worden door eene regte lijn, welke door een bepaald punt gaat en óf langs eene andere regte lijn glijdt, óf langs een' cirkel, óf eene gegeven Ellipsoïde aanraakt. Wijders wordt de voortbrengende regte lijn aangenomen te glijden langs twee andere gegeven regte lijnen, in dier voege, dat óf het tusschen beide begrepen stuk eene gegevene lengte heeft, óf dat hare rigting altijd evenwijdig blijft aan een gegeven vlak. Vervolgens zijn de rigtende lijnen drie in aantal en loopen niet en al evenwijdig aan één zelfde vlak. Nog wordt de voortbrengende regte lijn, die gedurig eene Ellipsoïde moet aanraken, hetzij evenwijdig aan zich zelve bewogen of altijd loodregt op de rigting van eene as der Ellipsoïde. De Schr. behandelt nu nog eens afzonderlijk de kegel- en cylinderoppervlakken; geeft derzelver differentiaalvergelijking op, die alle bijzondere soorten in zich sluit, en gaat voorts over tot eene algemeene beschouwing van ontvouwbare en scheeve oppervlakken. Ook voor de omwentelingsoppervlakken wordt eene algemeene differentiaalvergelijking opgemaakt, en daaraan de algemeene vergelijking voor oppervlakken van den tweeden graad getoetst, waardoor dan de voorwaarden kenbaar worden, wier vervulling noodig is, zullen dit tevens omwentelingsoppervlakken zijn. Na nog de ringvormige oppervlakken, en meer bijzonder den ellipsvormigen ring, beschouwd te hebben, komt de Schr. nog eens op ontvouwbare en scheeve oppervlakken terug, terwijl hij de eerste aanmerkt als ontstaan door de beweging van een plat vlak op eene bepaalde wijze. Het Hoofdstuk eindigt met een onderzoek naar de aanraking van twee oppervlakken onderling, grootste en kleinste kromtestralen en krommingslijnen.
Het derde Hoofdstuk heeft tot opschrift: over de kromme lijnen van dubbele kromming. Na voorafgaande bepaling wordt aangetoond, hoe de lijnen van dubbele kromming hieraan kunnen worden erkend, dat derzelver raaklijnen geen plat vlak, maar een ontvouwbaar gebogen oppervlak vormen; hoe men de vergelijking van het krommings- en normaalvlak voor eenig punt der kromme lijn vinden kan; hoe de achtereenvolgende doorsneden der normaalvlakken een ontvouwbaar oppervlak vormen; hoe alle kromme lijnen, zoowel vlakke als van dubbele kromming, eene menigte ontwondenen hebben. De lengte van den kortsten of volstrekten kromtestraal wordt nu bepaald, en de vergelijking opgemaakt van
| |
| |
de lijn der middelpunten van kromming. Na den zin der benaming, lijnen van dubbele kromming, te hebben leeren inzien, wordt men opmerkzaam gemaakt op het ontvouwbaar oppervlak, dat ontstaat door de achtereenvolgende doorsneden der krommingsvlakken. Vervolgens wordt het verband nagegaan tusschen eene kromme lijn, welke op een cylinder-, kegel- of ander ontvouwbaar oppervlak beschreven is, en die, waarin ze overgaat, wanneer dat oppervlak ontrold wordt; daarna worden de voorwaarden onderzocht, wanneer eene kromme lijn geheel op eenig oppervlak ligt, alsmede wanneer ze vlak is, en eindelijk eene Theorie gegeven van de Spiralen van dubbele kromming.
Het vierde en laatste Hoofdstuk, over de transversalen en harmonische snijdingen, benevens derzelver toepassing op de gebogene oppervlakken, bevat, behalve eenige daartoe betrekkelijke bepalingen, stellingen over de transversalen, de toegevoegde middellijnen en de middelpunten van gemiddelde afstanden.
Eindelijk vindt men als toegift een aantal Formules voor de Hoogere Meetkunst, gelijk het heet, bijeengebragt, die niet enkel betrekking hebben op den inhoud des Boeks, maar grootendeels meer elementaire kundigheden betreffen, door den Schr. blijkens de Voorrede voorondersteld; dezulke zoude men daarom hier minder hebben verwacht.
Uit deze korte inhoudsopgave kan genoegzaam blijken, dat het Werk rijk is aan behandelde zaken; maar ook is het rijk aan zinstorende drukfouten, getuigen van eene allerslordigste correctie, die de lezing bijzonder lastig maken. In de algemeene vergelijking der oppervlakken des tweeden graads bijv., bl 3, r. 5 v.o., moeten E en F worden verwisseld, ofschoon dan de gewoonlijk in acht genomen alphabetische orde wegvalt; in den laatsten regel dierzelfde bl. staat ½ A in plaats van 1/2A; bl. 4, r. 14 v.o., staat F z voor F x; bl. 7, r. 7 v.o. is in form. (8) binnen de vierkante haken de coefficiënt 2 van F(B-A) uitgevallen; Bl. 15, r. 8 staat xy, moet zijn xz; bl. 21, r. 7 staat a, lees d; bl. 24, r. 15 staat Lz2, moet zijn Nz2; bl. 29, r. 11 staat xz, in plaats van xy, en r. 16 xy voor xz, r. 1 en 3 v.o. mist men den coefficiënt ½ in het tweede lid der vergelijking; bl. 30, r. 1 en 2 staat N'/M'', moet zijn N'/2M'', en r. 1 en 3 N'/M''', in stede van N'/2M'''; r. 4 v.o. staat M'CO, lees M'CR; bl. 50, r. 15 staat hyperboloïde, lees hyperbolische; bl. 54, r. 15 staat 3/2 L, lees 3/2L. Dan wij mogen onzen gedienstigen Gids niet met meer ballast van dien aard bezwaren, te meer, daar toch deze onvolkomenheid elk wiskunstig
| |
| |
Werk schier onvermijdelijk schijnt aan te kleven; maar de Schr. heeft zich op beknoptheid en kortheid van uitdrukking toegelegd, en had dienvolgens bijzonder toe te zien op juistheid en naauwkeurigheid van taal. Zonder nu nog te vallen op ontsieringen als: eene der regthoeken, aangeduidt, namentlijk, zij den hoek, de lengte der bogen zijn, enz. treffen wij meermalen lamme herhalingen aan, b.v.: ‘als men aan eenige kromme lijn een raaklijn trekt, en door het raakpunt een vlak loodregt op de raaklijn trekt,’ woorden, dáár, waar ze voorkomen, zonder eenige de minste beteekenis; wat toch beduidt op bl. 1: ‘als de assen van het tweede Coördinatenstelsel evenwijdig aan die van het eerste blijven loopen,’ daar in het geheel niet is aangenomen, dat ze reeds daaraan evenwijdig liepen? of geheel en al misplaatst, zoodat men lang en soms te vergeefs naar den zin raadt. Zoo leest men, bl. 34, r. 10: ‘als men dan in de vergelijking der doorsnede x=x' en omdat z gelijk aan den halven parameter is verkrijgt men,’ hetwelk zal moeten heeten: ‘als men dan in de vergelijking der doorsnede x=x' neemt, verkrijgt men, omdat in dat geval z gelijk aan den halven parameter is;’ op bl. 60: ‘uit de vergelijkingen (7) blijkt dadelijk, dat wanneer men uit den top van eene der toegevoegde middellijnen loodlijnen op eene der vlakken van de hoofddoorsneden des oppervlaks trekt, dan is de som van de vierkanten dezer loodlijnen gelijk aan het vierkant van de halve as waarmede zij evenwijdig loopen.’ De meening is deze: dat, wanneer men uit een' der toppen van elke der toegevoegde middellijnen eene loodlijn op een der vlakken van de hoofddoorsneden des oppervlaks laat vallen, dan de som van de vierkanten dezer loodlijnen gelijk is aan het vierkant van de halve as, waaraan zij evenwijdig loopen. Op het volgende, dat voorkomt op bl. 91, leed onze uitlegkunde schipbreuk: ‘De krommingsrib is de lijn, waarin de snijpunten der opeenvolgende karakteristieke lijnen gelegen zijn, en die deze laatste regthoekig snijdt. Bij de kegelvlakken snijden de karakteristieke lijnen elkander in den top, derhalve is bij deze de krommingsrib door een vlak regthoekig door de karakteristieken te laten gaan, alsdan wordt zij door de gemeene doorsnede aangeduid, zoo is bij den cirkelvormigen cilinder de krommingsrib een cirkel.’ Dit alles evenwel laat zich nog aan overhaaste redactie toeschrijven; doch hoe zal men verschooning vinden voor onjuiste bepalingen, terwijl het in de Wiskunst vooral dáárop aankomt? en dat ook hieraan de Heer J. zich schuldig maakt, valt niet te loochenen. Aan het einde van § 4, bl. 4, worden de twee symmetrieke stukken, waarin eenig diametraal vlak een oppervlak van den tweeden graad verdeelt, de bladen van dat oppervlak genoemd; maar hiermede is ten
| |
| |
eenenmale onbestaanbaar de onderscheiding der Hyperboloïden in die met één en twee bladen, door den Schrijver zelven, zie § 15 en 19, aangenomen, onderscheiding baarblijkelijk gegrond op eene naar den aard des oppervlaks, en geenszins naar willekeur, niet of al bestaande solutio continui. Een raakvlak heet een vlak, dat slechts één punt met eenig oppervlak gemeen heeft; maar is dit zoo, dan is er volstrekt geen raakvlak denkbaar aan een cylinderoppervlak; aan een kegeloppervlak bestaat er geen dan enkel door het toppunt, en door geen punt op eenig oppervlak, welks voorname kromtestralen van teeken verschillen, b.v. een der toppunten van de Hyperboloïde met één blad, of een binnenwaarts gelegen punt eens ringvormigen oppervlaks, is een raakvlak mogelijk! Waarom juist twee woorden, buigingsrib en krommingsrib voor arête de rebroussement, buigingsvlak en krommingsvlak voor plan osculateur, zijn aangenomen, betuigen wij niet in te zien; welligt zal het de duidelijkheid moeten bevorderen?
Het wordt thans tijd, het Boek eens geregeld door te loopen en deze en gene redenering van wat nader bij te bezien. De aanmerking, die § 5 besluit, bevat eene valsche gevolgtrekking. Daarin wordt gezegd, dat, bijaldien de gemeenschappelijke noemer der drie gebroken waarden van x', y', z' (de coördinaten des middelpunts) = o is, deze drie waarden alsdan oneindig groot worden. Dit is geen noodzakelijk gevolg; want één of twee der tellers kunnen mede = o zijn, waardoor dan ééne of twee dier waarden onbepaald worden: en ziedaar eene derde soort van oppervlakken mede in de vergelijking begrepen, voor welke het aantal middelpunten oneindig groot is; men vindt voor de meetkunstige plaats van die middelpunten eene regte lijn, of een plat vlak.
De op bl. 10 aangegeven verplaatsing van den oorsprong van het coördinatenstelsel in het xy vlak is te onbepaald; waarom niet volgens de x of y as?
§ 25 is gewijd aan een onderzoek, of en wanneer een plat vlak een gebogen oppervlak des tweeden graads volgens een' cirkel doorsnijden kan, en het resultaat van dat onderzoek is, dat zulk eene snijding algemeen kan geschieden. Het ontging den Heer Jonkhert, dat de Hyperbolische Paraboloïde hier eene uitzondering maakt. Immers wil men voor deze de algemeene vergelijking van bl. 27 wijzigen, dan is het niet genoeg M' = N'' = N''' = o te stellen, maar men heeft bovendien, zie bl. 23, een der beide coëfficiënten M'' of M''' negatief te nemen, waardoor de twee eerste vooronderstellingen van bl. 27, te weten: sin. p = o en tang.2 q = M''' - M''/M' - M''', sin. q = o en tang.2 p = M'' - M'''/M' - M'', al terstond vervallen; de derde en laatste, cos. q = o
| |
| |
en tang.2 p = M' - M'''/M'' - M', schijnt zeker te kunnen bestaan; maar wanneer men cos. q werkelijk substitueert, dan vindt men de gelijke coëfficiënten van y2 en z2, = o te zijn, zoodat er van den cirkel niets wordt.
Bij de oplossing van het vraagstuk in § 28, is voor het vierkant op de Excentriciteit der Ellips aangenomen de som, in plaats van het verschil van de vierkanten op de halve assen; deze fout heeft invloed op al de dáár ter plaatse verkregen vergelijkingen.
De twee paren vergelijkingen op bl. 40, boven aan, voldoen niet aan de vereischte voorwaarde van onderling loodregten stand van twee regte lijnen (zie bl. 191); de Schrijver schijnt in den waan te verkeeren, dat de projectiën van twee regte lijnen in dien stand mede loodregt op elkander staan, iets dat zoo niet is. Maar waartoe dit alles? De zaak komt eenvoudig hierop neder. De vergelijkingen eener regte lijn, die door een punt (x, y, z) gaat, zijn in het algemeen:
x' - x = a (z' - z), en y' - y = b (z' - z);
deze lijn nu moet loodregt staan op het raakvlak, dus hare projectiën loodregt op deszelfs doorsneden met de coördinatenvlakken; bijgevolg is:
a = 2 M' x + N'/2 M''' z + N''', en b = 2 M'' y + N''/2 M''' z + N''',
welke waarden gesubstituëerd, de verlangde vergelijking der normaal geven.
De vergelijking op bl. 57 moet, in plaats van zoo als dáár staat, wezen:
y2 + z2 - (p + p') (x + pp'/4 (p + p')) = o,
en dienovereenkomstig de omschrijving, welke volgt, gewijzigd worden, waarin bovendien abusievelijk van de parameters der omwentelingsparaboloïde gesproken wordt.
Duidelijkheidshalve hadden bij de opgave van het vraagstuk in § 43, zoowel om het geval van een plat vlak uit te sluiten, als om het vraagstuk altijd mogelijk te doen zijn, de gegeven regte lijnen in diervoege nader bepaald moeten worden, dat ze niet in één zelfde vlak mogten liggen, en geene van beide evenwijdig loopen aan het gegeven vlak. Voorts is de vereenvoudiging der verkregen uitkomst, ten einde toe, niet behoorlijk volvoerd. De vergelijking (A) is nog goed; maar de Schr. heeft niet gemerkt, dat, wanneer hij het coördinatenstelsel om de y as laat omdraaijen, zoodat de nieuwe x en z assen met de eerste hoeken β maken, de nieuwe vergelijking, waarin (A) dan overgaat, wel degelijk x in de eerste magt bevat, en er dus in de vergelijking
| |
| |
op de volgende bladzijde, r. 7, waarin men bovendien y2 in z2 moet veranderen, nog een term, 2 Lx b.v., in te voegen is. Om nu tot de eindvergelijking (waarin mede y en z verwisseld zijn) te geraken, is het nog noodig den oorsprong van het coördinatenstelsel in het vlak xz, en daarna, wegens den op nieuw ontstanen bekenden term, op de y as te verleggen; het blijkt dan tevens, dat het aanvankelijk verplaatsen daarvan in het yz vlak, op bl. 68, een nuttelooze arbeid was. In het vraagstuk, dat volgt, had ten aanzien van de drie rigtlijnen insgelijks eene nadere bepaling moeten gemaakt zijn, namelijk: dat er geene twee in één zelfde vlak mogten liggen. Dit toch is hoogst noodzakelijk, zal de snijding, waarvan al dadelijk gewag wordt gemaakt, algemeen plaats kunnen grijpen.
Tot § 55 toe, troffen wij niets bijzonders aan, dat wij niet reeds bij Fransche Schrijvers duidelijker en vollediger ontwikkeld gelezen hadden, behalve de oplossingen der vier vraagstukken van § 35-§ 38, die zeer fraai en beknopt zijn. Van hier af tot § 86 toe, heeft men eene bijna woordelijke vertaling van Lacroix, Traité du calcul différentiel et intégral, T. I, van § 313-§ 328, en verv. van § 344-§ 363. De Heer J. heeft het onnoodig geoordeeld hiervan melding te maken; was dit misschien uit vreeze zijne Lezers te zullen beleedigen, met onkunde bij hen te vooronderstellen omtrent dat voortreffelijke Werk? Hij laat anders geregtigheid wedervaren aan Horn, den schranderen Schrijver van het opstel over de Spiralen van dubbele kromming, niet minder getrouw door hem overgenomen, waardoor het hem waarschijnlijk ontgaan is, dat de vrij omslagtige formule, op bl. 152 en 153, alvorens van een paar drukfouten gezuiverd, voor groote vereenvoudiging vatbaar is, vermits de noemer van de eerste breuk binnen de haken stelkunstig deelbaar is in den teller, welke deeling voor de waarde dier breuk geeft:
2 πs. sin.α V (4 π2s.2 sin.2α + (a - e)2).
Zonderling is de overeenkomst tusschen de eerste bladzijden van het IVe of laatste Hoofdstuk en de XII eerste stellingen van Prof. De Gelder's Beginselen der Meetkunst, IIe Deel, XIVe Boek. Dengenen, wien het teekenen van de figuur bij § 106 eenigzins bezwaarlijk mogt vallen, diene tot narigt, dat hij dezelve vinden kan op Plaat No. V van voornoemd Boekdeel. Op de gelithographiëerde Plaat van onzen Schrijver valt juist niet zeer te roemen, zie fig. 10, 18, 21 en andere. Papier en druk zijn niet meer dan redelijk; maar lof verdienen de Uitgevers om hunne huishoudelijkheid, want zelfs de keerzijde van de laatste bladzijde des Werks hebben zij zich tot het doen van nieuwe aankondigingen ten nutte gemaakt.
S.
|
|
Auteursrechtvrij