Bzzlletin. Jaargang 28

[p. 33]

PalimΨest

Imre Toth

[p. 34]

Péter Várdy
Inleiding bij Palimpsest van Imre Toth

Nog nooit eerder is een tekst van Imre Toth in het Nederlands verschenen. Toch is hij geen onbekende in de Lage Landen. In 1977, 1978 en 1983 gaf hij gast-colleges aan de toenmalige Technische Hogeschool Twente. Op hetzelfde instituut zijn ook in maart 1978 zijn Metafysische collages voor het eerst tentoongesteld Begin jaren tachtig heeft de Universiteit van Amsterdam hem voor haar leerstoel Wetenschapsgeschiedenis voorgedragen. Zijn Twentse gastcolleges gingen over de niet-Euclidische meetkunde, de paradoxen van Zeno, Plato's Parmenides en de zogenaamde ‘Arische Physik’, de Nazi-fysica. Het zijn terugkerende thema's van zijn leven en werk. Het gaat hem steeds om de scheppende vrijheid van de menselijke geest. Er bestaan geen wiskundig dwingende redenen om het bestaan te poneren van één, oneindig vele of géén equiplanare parallellen aan een gegeven rechte lijn door een punt buiten deze rechte lijn. Afhankelijk van de vrije menselijke wil kunnen zij en met hen de Euclidische, hyperbolische of elliptische meet-kunde worden gesteld. Er bestaan geen dwingende wiskundige redenen om het bestaan van overaftelbaar oneindige machtigheden, van willekeurige punten op de. reële rechte lijn te stellen: het is alleen de sprong in het oneindige die het voor onze geest inzichtelijk maakt dat Achilles de schildpad bereikt. Er zijn geen redenen die mensen dwingen om ‘nee’ te zeggen tegen het kwaad in een wereld waar vervolging, geweld en moord de alledaagse werkelijkheid is. Alleen door de menselijke vrijheid wordt het oneindige tegendraads tot leven geroepen.

Imre Toth is in 1921 in Szatmár, Noord Transylvanië geboren. Hij heeft de vroomheid van de Joodse orthodoxie van zijn ouders vroeg verruild voor kunst, wetenschap en politieke activiteit. De Hongaars-Roemeens-Joodse omgeving van zijn jeugd was van een grote culturele openheid. Joodse jongeren lazen met elkaar in de salons of vochtige kelderwoningen Spinoza, Nietzsche, Engels' Anti-Düring, Franse en Duitse letteren en Hongaarse, Transylvaanse en Franse tijdschriften. Voor het werk in de communistische jeugdbeweging is Toth na het eindexamen tot acht jaar gevangenisstraf veroordeeld. Dit bleek zijn redding. De gevangenen ontkwamen aan de deportatie door een combinatie van toeval en de menselijkheid van enkelingen.

Na de bevrijding studeert Imre Toth wiskunde en komt als docent terecht aan de universiteit van Boekarest. Korte tijd na 1956 wordt hij in een sfeer van herontluikend Roemeens nationalisme als Jood en tevens als Hongaar weggezuiverd. Er begint een leven van ingetogen en geobsedeerde studie die hij in een verwisseling van dag en nacht tot op heden monomaan vervolgt. In 1969 ontkomt Toth naar West-Duitsland. De Universiteit van Regensburg benoemt hem op een aanbevelingsbrief van Popper op de leerstoel voor de Geschiedenis en wijsbegeerte van de wiskunde. Sinds zijn emeritaat in 1990 woont en werkt Imre Toth in Parijs.

In 1967 verschijnt het werk dat hem in kleine kring beroemd maakt. Het is zijn Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum waarin hij de ontdekking van een achttiental niet-Euclidische fragmenten in het werk van Aristoteles publiceert. Het bewijst dat men zich in de Academie van Plato bewust was van de wiskundige onmogelijkheid om de Euclidische meetkunde te funderen. Deze ontdekking wierp een nieuw licht op de geschiedenis van de wiskunde, met name op de omwenteling die de hyperbolische meetkunde in de wiskunde heeft veroorzaakt. Wat deze ontdekking eigenlijk betekent, is een van de vragen die Imre Toth in zijn werk bezig houden. De wijze waarop hij deze vraag stelt en behandelt is kenmerkend. Het gaat hem niet om een geïsoleerde ontdekking in een vreemd vak, de meetkunde. Voor hem staat de niet-Euclidische meetkunde voor de schepping uit vrijheid, de autonomie van de menselijke geest, voor maatschappelijke vrijheid. Waarom gebruikt Aristoteles de Euclidiciteit of niet-Euclidiciteit van de vlakke meetkunde als paradigma voor de schoonheid en verrukking

[p. 35]

over de waarheid en voor fundamentele morele beslissingen omtrent goed en kwaad? Hoe kan Saccheri ten bewijze van de onbestaanbaarheid van de hyperbolische meetkunde in 1733 een volledig anti-Euclidisch systeem van theorema's afleiden waaraan hij vervolgens het bestaansrecht ontzegt? Waarom schrijft de historiografie de ontdekking van de niet Euclidische meetkunde niet toe aan Lambert, Taurinus of Wachter, anti-Euclidici van de achttiende en negentiende eeuw, maar aan Gauss, Bolyai en Lobasjevsky? Hoe is het mogelijk dat juist dichters als Thomas Reid of Edgar Allen Poe de strekking van de niet-Euclidische ruimte in hun utopieën verwerken, terwijl verder in de hele negentiende eeuw amper vijf of zes wiskundigen de niet-Euclidische meetkunde hebben aanvaard, en nog in onze eeuw wiskundigen van het formaat van Frege haar hebben verfoeid en afgewezen? Wat is de filosofische lading van zulk een technisch vraagstuk als de driehoekssom?

Inderdaad, de vraag of God kan maken dat een corrupta weer jonkvrouw wordt, of Hij het gebeurde ongedaan kan maken, of Hij in Zijn almacht kan willen dat de som van een driehoek kleiner is dan 180 graden: dit zijn zoal vragen waarmee de filosofische theologie zich sinds de middeleeuwen bezig houdt.

Imre Toth kan het weten, want hij kent zijn klassieken. Hij leest ze al een leven lang gedreven en onverbiddelijk, bezeten door iets als de door James Joyce aanbevolen ideal insomnia. Imre Toth wil dit op zijn beurt ook aan anderen aanbevelen: ‘Als je een vrije woensdagmiddag hebt, lees dan de wereldliteratuur door. Ik heb het gedaan. Het loont de moeite.’ Het is er wat mij betreft nog steeds niet van gekomen.

Het gevaar van zulk een tekstcollage is dat het uit een omgevallen boekenkast afkomstig zou kunnen zijn. Deze Palimpsest is echter het werk van een grote kunstenaar-denker en juist zo interessant door de verbijsterende samenhang die de tekstsnippers, knipsels en mystificaties bijeenhoudt. Hier beluisteren we de Europese geest in een nachtelijk zelfgesprek, een soort Onder het Melkwoud in het werelddorp Europa, waarin Kratylos met Simone Weil, Tristan Tzara met de Sowjetrussische geleerd Alexandroff, Paul Valéry met Plato, Pierre Bayle met Maurice Maeterlinck, Nicolas Bourbaki met Gottfried Wilhelm Leibniz, Hegel met Marx, Charles Lutwidge Dodgson met Lewis Carroll, Harlekijn met Leporello in een tijdloos gesprek gewikkeld zijn. De tekst bestaat uit citaten met hier en daar een minieme verandering, een woordenspel, een mystificatie. Het geheel is een dodelijk serieuze scherts, waarin de vrijheid én de kleinheid van de menselijke geest door de mond van helden en meelopers het woord voeren. Het resultaat is een zelfgesprek van de Absolute geest zelf.

Voorzover ik het kan overzien is deze kosmische dialoog sui generis. Nooit heeft een auteur met meer oorspronkelijkheid de schaar gehanteerd tot besnijdenis van onze geestesgeschiedenis.

Het hier afgedrukte fragment komt uit een werk van een kleine vijfhonderd pagina's, het resultaat van twintig jaar verzamelen en redigeren. De eerste deel-publicatie van een fragment was in 1976 eveneens op Nederlands bodem verschenen, en wel in een Hongaarstalige bundel van de Mikes Kelemen Kör. Het volledige werk is voor het eerst anno 1995 in het Roemeens in Boekarest verschenen en vervolgens in september 1998 in een Italiaanse vertaling Het manuscript staat in het Frans. Elk citaat is precies geboekstaafd. De index noemt niet de auteurs, maar de sprekers, subjecten in een ideële werkelijkheid, bij hun naam: Faustus, niet Marlowe, Leporello, niet Molière, Ubu, niet Jarry

Het met schaar en pen geschreven werk heeft in de afgebeelde collages een pendant. Maar ook hier geen Euclidisch parallel: de collages beelden niet centraal-perspectivisch af wat er is, noch illustreren zij intenties van een wetenschapshistorisch oeuvre. Beide, de tekst- en de beeldcollages zijn verdichtingen van een angstig universum waarin de menselijke geest geknecht en gebukt op zoek blijft naar de heel zeldzame goddelijke gezanten van de absolute geest. Zij zijn de scheppers uit het niets die het transfiniete tot realiteit roepen, profetische zonderlingen die Neen! zeggen tegen het alledaagse moorden. Naar deze verbondenheid van wiskunde en ethiek in de menselijke vrijheid verwijst het ‘Non!’ in de titel van de Palimpsest.

[30 maart 1999]

[p. 36]

Imre Toth
PalimΨest

NEE! VRIJHEID EN WAARHEID - NEGATIE EN CREATIE.

EEN WOORD VOOR EEN DRIEHOEK

Voor Anaïs

De troost van de niet-euclideaan

in de verslagenheid van de euclideaan

De goddelijke driehoek

Guillaume Apollinaire: Ik aanbid je vachtje, die perfecte driehoek van de Godheid.

Plato: Zoals Timon de pythagoreër ons vertelt, is die driehoek Goddelijk waarvan de hypotenusa het dubbele is van de basis en waarvan de hoogte, onbenoembaar en irrationeel als een onberekenbare tiran, toch een uitdrukbare en berekenbare kracht bezit.

Aristoteles: Men noemt het driehoekige principe goddelijk, want dit meetkundige principe wordt beschouwd als soeverein prins, regerend naar het voorbeeld van een godheid. In feite is het wezen van de driehoek goddelijk, en het is de som van zijn hoeken. Maar het driehoekige wezen kan gelijk zijn aan of verschillen van twee rechte hoeken.

Johan Bolyai: Het behoort tot de natuur der dingen dat geen logische redenering over dit alternatief een oordeel kan vellen. Zelfs voor God en voor de engelen blijft het voor altijd onbeslist of de som van de hoeken van een driehoek gelijk is of niet aan twee rechte hoeken.

Thomas Reid: Dankzij de faculteiten waarmee God ons heeft toegerust beschouwen wij de gelijkheid van de som van de hoeken van de driehoek aan die van twee rechte hoeken als noodzakelijk en waar tegelijk. Het is een waarheid van het gezonde verstand en inzake het gezonde verstand moet de minderheid gehoorzamen aan de meerderheid.

Leibniz: En ieder moet ervan overtuigd zijn dat de orthodoxen en de ketters er in gelijke mate in begiftigd zijn. Want, zoals meneer Descartes zo treffend heeft opgemerkt, het gezonde verstand is aan ons allen in gelijke mate toegevallen.

Descartes: Het on-verstand, meneer, is datgene wat op aarde het meest evenredig is verdeeld.

God en meetkunde

René Descartes: Omdat God het heeft gewild is de som van de hoeken van de driehoek gelijk aan die van twee rechte hoeken. Dat is waar en kan niet anders zijn. Maar God heeft zich vrij en onverschillig gevoeld om het niet waar te laten zijn dat de drie hoeken van

[p. 37]

een driehoek gelijk zijn aan twee rechte hoeken, of in het algemeen dat de tegengestelden, - zoals: de som van de hoeken van een driehoek is gelijk, de som van de hoeken van een driehoek is niet gelijk aan twee rechte - niet samen kunnen bestaan. God zou ze mogelijk hebben kunnen laten zijn, maar heeft ze desalniettemin onmogelijk willen maken.

Hans Reichenbach: Dat is een nogal theologisch argument en het is desondanks vreemd dat het is geïntroduceerd door een mathematicus van het kaliber Descartes. Het is de zoektocht naar zekerheid geweest die deze geniaal wiskundige tot dit soort pseudo-logische absurditeiten heeft verleid.

Hyperaspistes: God heeft gedaan wat hij kon en hij heeft nooit aan een onmogelijke driehoek gedacht. En u, doorgewinterd in de wetenschap als u bent, meneer, geeft u zelf niet toe dat de som van de hoeken van de driehoek gelijk is aan die van twee rechte hoeken? Wat zou God dan hebben moeten doen om ervoor te zorgen dat deze propositie niet waar was?

Voltaire: God is al-machtig. Hij is niet buitenissig machtig.

Plato: O mijn vriend, de meeste machtigen zijn slecht. Paul Valéry: Macht zonder misbruik verliest zijn aantrekkingskracht.

François la Mothe le Vayer: De Natuur is volledig afhankelijk van de naakte wil van zijn Schepper, & wij begaan geen kleine fout wanneer wij haar willen onderwerpen aan de regels van de Mathematica of aan de fijnzinnige conclusies van de logica. Vanuit welk vlak kunnen we de auteur van de Schepping de faculteit miszeggen om te laten handelen tegen de maximen & de regels van hetzij Aristoteles, hetzij Euclides? John Norris: Maar indien de waarheid niets is dan een product van de goddelijke creatie, hoe zou ik dan kunnen weten of een excellente waarheid bestaat of niet, en welke van de twee tegengestelde proposities waar is, zij die de waarheid bevestigt van de gelijkheid van de drie hoeken van de driehoek aan twee rechte hoeken, of zij die haar ontkent? Hoe zou ik kunnen weten of de geldigheid van het een niet slechts berekend is voor de duur van een seizoen of een jaar, of slechts voor bepaalde lengte- of breedtegraden, indien God ze voortdurend kan veranderen zoals het Hem uitkomt, zonder dat ik het weet?

Plato: Onze ziel sluit een andere Demiurg in zich.

Ralph Cudworth: Het lijkt me meer een kind waardig dan een gevestigd en waarachtig filosoof, zoals René Descartes er zonder twijfel een is, om te geloven dat de aard van ieder ding, het Goed en het Kwaad, het Ware en het Valse, slechts af hankelijk is van de goddelijke wil en al-macht, en dat God, als het hem dat plezier had gedaan, de som van de hoeken van de driehoek niet gelijk had kunnen doen zijn aan die van twee rechte hoeken.

Paul Valéry: Waar het zijn eigen bestaan betreft heeft Descartes altijd de Bedrieger uitgedaagd en gedwarsboomd met de magische formule van de bezwering: ik ben, ik besta. Maar het gaat er hier nu om de mathematische demonstraties te redden, aangezien het mogelijk is dat God ons heeft willen misleiden door onze geometrische redeneringen.

Descartes: Cogito, ergo sum genius malignus.

Plato: In feite bestaat er niet alleen een goede, maar ook een slechte Demiurg. En het foute principe is zijn werk. Hij heeft het aan de basis van de meetkunde gelegd, waarmee hij een vanuit een logisch standpunt volstrekt foutieve, maar volkomen coherente meetkunde construeerde. Wij anderen spreken zijn meetkundig valse taal in de diepe overtuiging dat zij de waarheid zegt, niets dan de waarheid, de volledige en absolute waarheid, zonder er ons rekenschap van te geven dat we, zoals ik al gezegd heb, slechts marionetten zijn in de handen van een god die speelt.

Simone Weil: Heeft Plato niet een voorgevoel gehad van de niet-euclidische meetkundes, maar dan volstrekt anders opgevat?

Paul Carus: Gesteld tegenover de eeuwige waarheden van de geometrie bevinden we ons altijd in de aanwezigheid van God, van de God van een kosmische orde, van de God van de mathematici, van de God van de moraal.

Dokter Eugen Dühring: Waar het de niet-euclidische meetkunde betreft heeft de uitvinder ervan, Zijne Majesteit meneer de ‘Hofrath’ Gauss, zich tot dit meetkundig mysticisme, tot deze metafysische alchimie van het wetenschappelijk bijgeloof - die vandaag de dag een efemere populariteit kent - laten leiden door het diepgewortelde religieuze geloof waarvan hij zijn hele leven lang heeft getuigd. De titel van ‘Hofrath’, van ‘raadgever aan het hof’, die deze zoon van een rondtrekkende metselaar droeg, komt terecht toe aan iedere kosjhere wetenschappers, dat wil zeggen zonder karakter, zoals Gauss. Tegenover deze geprostitu-

[p. 38]

eerde hyper-euclidische, anti-euclidische en feitelijk niet mathematische meetkunde die hij heeft ontwikkeld heb ik mijn eigen mathematica gesteld, waarmee ik voor deze wetenschap nieuwe en beslissende wegen opende.

Matthew Ryan: It is evident that Professor Halsted, of the New Jersey College, Princeton, the non-Euclidean ignoramus and Darwinian, does not want to know anything about God; or about any demonstration of the Euclidean parallel postulate, demonstrating the fact that non-Euclidean Geometers have dark understanding and deluded minds. The Satanic anti-Euclideans hope to discover a triangle whose 3 angles will differ from the sum of two right angles; for then they would claim the ‘non-Euclidean’ nature of space, also the proof of the foolish Darwinian Theory, as advocated in Halsted's ‘Non-Euclidean’ Geometry for teachers. The teaching of ‘imaginary’ or Non-Euclidean' Geometry in colleges and schools would breed an arrogant and imbecile RACE OF STUDENTS, who would endanger SOCIETY by the application of ‘imaginary’ and fallacious reasonings to the most important SUBJECTS, such as human government, labor and capital, Christian doctrine, Christ's miracles, God.

Edgar Allan Poe: We moeten God zelf zijn! De hoogste beginselen hebben een meetkundig aspect, omdat ze een integraal bestanddeel zijn van een omvangrijk meetkundig systeem, waarvan het werkelijk hoogste beginsel, zoals wij het kennen, het maximum aan begrijpelijkheid is. Is dat niet de spirituele Capaciteit van God? De goddelijke toe-eigening is mathematisch exact, van een absolute exactheid. De plannen van God zijn volmaakt. Het Universum is een complot van God.

Voltaire: Ieder van die karakters, die me als essentieel voor God voorkomen, zeggen me niet dat hij het onmogelijke heeft gedaan. Hij zal nooit voorkomen dat de drie hoeken van de driehoek niet gelijk zullen zijn aan twee rechte hoeken. Hij zou er alleen maar voor kunnen zorgen dat twee proposities, die met elkaar in tegenspraak zijn, overeenkomen. En het is met elkaar in tegenspraak dat het kwaad niet bestaat wanneer het goede bestaat.

Het evangelie volgens euclides

Paul Carus: De Elementen van Euclides worden niet gerekend tot de boeken met een goddelijke openbaring. De mathematische waarheden maken desondanks deel uit van het domein van het heilige. Het grote werk van Euclides is het resultaat van een goddelijke inblazing en moet gerekend worden tot de canonieke werken van de mensheid.

Abraham Gottholf Kaestner: Ja! Omdat de Elementen van Euclides niets meer bevatten dan de waarheid. Een voordeel dat dit boek slechts deelt met een ander groot boek - de Bijbel, zo stellen de theologen. Zeker! Maar in tegenstelling tot de Bijbel is geen van de kopiisten, vertalers, exegeten, commentatoren en dogmatici erin geslaagd om in de Elementen een foutieve propositie te laten insluipen, noch om een van zijn gevestigde waarheden te elimineren.

Benedetto Croce: Het is volstrekt onmogelijk om te denken dat de concepten waar en goed niet waar zijn. Maar het is daarentegen onmogelijk te denken dat de mathematische principes waar zijn. Feitelijk blijken die, strikt beschouwd, geheel en al onwaar.

Augustus de Morgan: In England the geometry studied is that of Euclid, and I hope it never will be any other...

Lewis Caroll: ... en de ketters die deze orthodoxie verwerpen bevinden zich aan het uiterste uiteinde van de ketterij. En - zoals mijn vriend Augustus de Morgan heeft onderstreept - zelfs de aartsbisschop Colenso, geëxcommuniceerd vanwege ketterij nadat hij had volgehouden dat voor God de bewoners van Zuid-Afrika gelijkzijn, zelfs de aartsbisschop Colenso heeft een Geometrie doen verschijnen waarin de waarheid van deze propositie over de som van de hoeken van de driehoek onbetwist blijft.

Augustus de Morgan: Een nieuwe Geometrie ontwerpen moet in de Middeleeuwen even ondenkbaar geweest zijn als het schrijven van een nieuw Nieuw Testament.

James Joseph Sylvester: Ik heb Euclides vanaf mijn jeugd af gehaat. Maar bij ons, in Engeland, komt Euclides onmiddellijk ná de Heilige Schrift en hij wordt beschouwd als een voorpost van de Britse Constitutie.

Thomas Beddoes: U bent het dus met me eens dat het tijd wordt om ons te ontdoen van de Elementen van Euclides. Geometry made difficult! In feite is er geen manier te bedenken waarop de wetenschap meer te kakken wordt gezet!

[p. 39]

Thomas Hobbes: Illa Geometriae pestis!

De N.V. Nicolas Bourbaki: Weg met Euclides! Dood aan de driehoeken!

Leibniz: De misdaad is einde noch doel, zij is slechts een conditio sine qua non.

Thomas de Quincey: Een moord als een kunstwerk... René Descartes: ... met metafysische voorbedachte rade.

William Kingdon Clifford: De Elementen van Euclides! Sinds eeuwen de hoogste en onovertrefbare top van perfecte waarheid! Ervoor - de onveranderlijke eeuwigheid. Erna - de toekomst zonder geschiedenis! Maar Euclides zelf is er niet in geslaagd aan het lot van Ptolemeus te ontkomen. Wat Copernicus was voor Ptolemeus was Lobasjevsky voor Euclides.

Ieder was op zijn beurt de auteur van een revolutie die de strikte kaders van de wetenschap doorbrak. Zelfs het oude idee over het universum, over de Macrokosmos als object van menselijke kennis, werd vernietigd.

Paul Valéry: Afgronden van afgrijzen of liefde, streken die op bizarre wijze aan elkaar zijn gelast, ruimten waarin de som van de hoeken van de driehoek verschilt van twee rechte hoeken, niet-archimedische domeinen, oppervlakken die hol worden; inhumane werelden die de wiskundige schetst terwijl hij speelt met axioma's. Hij die ze heeft doorkruist, heeft geen weet van de werkelijke fragiliteit van de wereld die geen betrekking onderhoudt met het alternatief van het zijn en het niet-zijn. Het valt niet te zeggen dat zij reëel zijn; maar ook niet dat ze het niet zijn.

Spinoza: Zoals de lust voorvloeit uit het infame, zo resulteert de gelijkheid van de som van z'n hoeken met dezelfde noodzakelijkheid uit de eigen aard van de driehoek.

Leibniz: Ook Spinoza zocht een metafysische noodzakelijkheid in de verschijnselen. Ik maak nauwelijks moeilijkheden als ik deze subtiele Jood citeer wanneer hij iets goeds zegt, maar hij geloofde niet dat God gedetermineerd was door zijn goedheid en perfectie, maar door de noodzaak van zijn natuur: zoals de driehoek die verplicht is om slechts die hoeken te begrijpen waarvan de som gelijk is aan twee rechte hoeken, zonder er ofwel de kennis ofwel de wil voor te hebben.

De eerwaarde vader A. Poulain: Het vraagstuk van de rest is actueel. Het is met grote levendigheid bediscussieerd op dat mooie wetenschappelijke congres dat de katholieken kort geleden hebben georganiseerd in Parijs, en dat vijfentwintighonderd congresgangers telde. De sessie werd voorgezeten door meneer Mansion, lid van de Koninklijke academie van België en professor aan de universiteit van Gent. Hij heeft voor ons met enthousiasme zijn niet-euclidische overtuigingen ontvouwd. Monseigneur d'Hulst, rector van de universiteit van Parijs, wiens geest op een bewonderenswaardige manier openstaat voor alle wetenschappelijke problemen, achtte het niet beneden zijn waardigheid om zich in de strijd te storten. Hij bracht die fijnzinnigheid van geest in het spel die onmiddellijk die punten onderscheidt waarop een onderscheid nodig is.

Monseigneur d'Hulst: Ik herhaal wat ik in mijn toespraak aan de universiteit van Parijs heb gezegd. Vroeger nam men voor de geometrie de werkelijke ruimte als grondslag, maar heden ten dage bevrijden de meetkundigen zich van deze alledaagse voorwaarden. Zij veronderstellen onderscheiden ruimten, zij passen op deze fantastische hypotheses de mathematische analyse toe en daar zijn ze al vertrokken naar een denkbeeldige wereld, op zoek naar zeer logische gevolgtrekkingen, maar waarbij de geest het spoor bijster raakt. Zij beweren dat de wetten van ons leven en van de traditionele ruimte voor de rede niet meer waarde hebben dan de vreemde ruimten waarbinnen de som van de hoeken van de driehoek verschilt van die van twee rechte hoeken. Het resultaat van deze analytische losbandigheid is het mathematisch scepticisme.

De eerwaarde Paul Mansion: Monseigneur, deze mening vindt zijn grond in een misverstand. Het is waar dat, wanneer men een mathematicus de vraag stelt welke van de meetkunden - ieder van de drie volstrekt rigoureus en ideaal - die van Euclides, van Lobasjevsky en van Riemann, in de natuur zijn grondslag vindt, hij moet antwoorden: Ik heb geen idee. Maar dat impliceert geen scepticisme. Geen enkel experiment voldoet om ten faveure van de euclidische meetkunde te beslissen. Desalniettemin hebben de meetkundigen door de Metageometrie te creëren, de basisaannames van de wiskundige zekerheid eerder geconsolideerd dan aan het wankelen gebracht. En wat meer is: door aan de euclidische, lobasjevskiaanse en riemanniaanse meetkunde een gelijke logische waarde

[p. 40]

toe te kennen hebben zij, meer dan Gauss het heeft gedaan - en ik verwijs hier naar een voetnoot in het tweede deel van zijn Werken - afdoende de zinloosheid van de kantiaanse conceptie van de ruimte aangetoond.

Voltaire: Ik raad u aan aan alles te twijfelen, behalve aan het feit dat de drie hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee rechte hoeken.

Sint Augustijn: Om eerlijk te zijn, indien men me liet zien dat het fout is, zou er niets meer zijn waarvan ik me zeker wist.

Joseph Bertrand: Geen enkele meetkundige sinds Euclides heeft serieuze twijfels kunnen voorzien ten aanzien van de waarde van de som van de hoeken van een driehoek. Iedere geest van goed vertrouwen...

Valéry: ... van goed vertrouwen en slechte wil...

Joseph Bertrand: ... accepteert die en de dialectici die kien zijn om te discussiëren, maar niet om zich te informeren, mogen als enigen de waarheid ervan tegenspreken.

Georg Christoph Lichtenberg: Wat zou de reden kunnen zijn om een driehoek waarvan de drie hoeken geen twee rechte hoeken maken te verwerpen? Het overtuigen van sceptici? Maar welk argument zou hen kunnen overtuigen die absoluut willen blijven geloven aan absurditeiten?

Johann Gottfried Herder: De loop van de geschiedenis toont aan dat met de evolutie van de Mensheid de Demon van de vernietiging van de menselijke soort werkelijk terrein heeft verloren. En dat volgens de natuurlijke wetten van de politieke rede. Dit is net zo zeker als niet te betwijfelen valt dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken.

Benedetto Croce: Het is voor welke driehoek dan ook onmogelijk om een som te hebben van hoeken die gelijk is aan twee rechte hoeken, want geen enkele driehoek beschikt over een bestaan.

Cicero: Er kan geen enkele absurditeit uitgevonden worden die een meetkundige al niet heeft bevestigd. Frederik II, koning van Pruisen: De wiskundigen kunnen het zich permitteren om zoveel paradoxen te produceren als hun belieft. Iedere sofisterij is gesanctioneerd door de wiskundige geest.

Alfred North Whitehead: Een visie waarvan de vruchtbaarheid de verbeelding overtroeft, voorziet universa

[p. 41]

met een orde die niet met andere overeenstemt. De notie van één enkele en unieke perfecte orde die naar ik meen wordt onderwezen door de doctrine van Plato moet het toneel ruimen, net zoals het idee van één enkele en unieke meetkunde dat moet doen. Het universum, het universum van de meetkunde, is veel gevarieerder en veel hegeliaanser.

De mystieke driehoek

Plutarchus: Volgens Xenocrates is de gelijkbenige driehoek de Toegangspoort tot de Hel, de plek waar de demonen wonen.

Maelduin van Eoganacht: ... haenach demna, overal demonen, ut dixit.

Cleonissa: Zeg toch eens, lieve Lysistrata, hoe maken we een eind aan die verschrikkelijke oorlog der driehoeken?

Lysistrata: Bij de twee godinnen! Niets is gemakkelijker! Toon jezelf aan die geharde strijders gehuld in je behaagzieke doorzichtige tuniekje en laat, mooi opgemaakt, hen je ravissante, gelijkbenige Driehoek bewonderen, maar stel je teweer tegen iedere driehoeksmeting. Ze zullen allemaal gek worden, die geduchte strijders, ze zullen het hoofd kwijtraken, hun verstand, ze zullen hun zwaarden laten vallen zoals Menelaos deed toen hij de ontblote bollen zag van de schone Helena, en ze zullen snel vrede sluiten, dat verzeker ik je. Vanuit liefde voor de meetkunde, wel te verstaan!

Louis-Ferdinand Céline: Dat is fraai! Ik speel weken achtereen triangel...

Drugpa Kunley, Boeddhistenmeester: Ook al is de pubis driehoekig, zij vormt toch een onacceptabele offerande voor de aanbidding van een god.

Descartes: In zijn Thesaurus mathematicus, een werk dat, voor de tweede keer, is aangeboden aan geleerden van de gehele wereld, heeft de beroemde Polybius de Kosmopoliet, lid van de Vereniging van de illustere Rozenkruisers van Duitsland aangetoond, dat geen ander dan het teken van de driehoek het hiëroglyfisch symbool van de Godheid kan representeren.

Ralph Cudworth: Volgens de gedenkwaardige getuigenis van Plutarchus Bevestigde Thespius Solensis, nadat hij na Drie dagen Dood was verklaard, eenmaal Opgewekt onder andere dat hij de indruk had dat hij in zijn Extase van die tijd had gezien of gehoord dat er Drie Goden waren in de Vorm van een Driehoek, die onderling licht in Stralen uitzonden, Precies als beschreven staat in de Getuigenissen van de Orfische Kabbala.

Ibicrates de meetkundige: Ja, maar de drie Personages mogen niet worden opgevat als de tophoeken noch als de zijden ervan. Het zijn de drie hoogtelijnen van een andere gelijkzijdige driehoek die de gebruikelijke omgeeft. Zijn drie hoogtelijnen van een oneindige lengte komen samen op een punt in het midden van de driehoek, waarvan de zijden oneindig zijn en onderling parallel. Deze hypothese komt overeen met de revelaties van Anna-Catherina Emmerich, die het kruis dat wij beschouwen als symbool van het Woord van God, zag in de vorm van een Y, en dat slechts middels deze fysische reden verklaart dat geen arm van menselijke lengte zou kunnen worden uitgestrekt tot de takken van een Tau. Dus: DEFINITIE: God is de kortste weg van nul naar oneindig Waaruit uiteindelijk volgt: God is het raakpunt tussen nul en oneindig.

Georg Christoph Lichtenberg: Als de engelen konden praten, zouden ze ons verhalen vertellen over driehoeken waarvan de hoeken niet gelijk zijn aan twee rechte hoeken.

Spinoza: Als de driehoek kon praten, zou hij zeggen dat het wezen van God driehoekig is en dat, derhalve, zijn drie hoeken samen twee rechte hoeken vormen. Thomas van Aquino: We moeten de Heilige Uni-Drie-eenheid vergelijken met een Driehoek. Sed contra errores graecorum, met een driehoek waarvan de hoeken samen twee rechte hoeken vormen.

Nicolaas van Cuse: Anderen, meer ervaren, vergelijken de Drie-eenheid met een driehoek waarvan de drie hoeken gelijk zijn en geheel recht.

Plato: Timon, de Pythagoreër uit de zo fijnbeschaafde Stad Locres, die naar mijn idee de top heeft bereikt van de gehele filosofie, leert ons dat de goddelijke driehoek een unieke Een is, een Unidrie-eenheid, een drie-eenheid die door z'n drie hoeken ondeelbaar is,..., en die samen een vlakke hoek vormen, limiet van het geheel van stompe hoeken, gelijk aan twee rechte hoeken.

Allain de Lille: Zodoende is de Drie-eenheid een bovenhemels getal, zoals Boëthius zei. Het is het getal waarover Claudius sprak in zijn boek over de Geest, waar hij schrijft: Deus impressit suum triangulum in mundo. Het is het getal dat, in zijn driehoekige hy-

[p. 42]

postase, aanwezig was in de geest van de Schepper, als het belangrijkste model bij de schepping van de wereld. En daar de mens werd geschapen naar Gods evenbeeld draagt hij de indruk van die driehoek in zijn geest en intellect mee: drie-eenheid van je ellende, o mens, drie-eenheid van je schuld, van je zonde, drieeenheid van je straf, maar ook drie-eenheid van je genade.

Vergilius Tapsensis: Maledictus, qui unitam plenitudinem divinitatis incomparabilem trigonium Patri en Filio et sancto Spiritui comparat.

Ibicrates de meetkundige: De transcendentale god is driehoekig en de transcendentale ziel is theogoon en bijgevolg eveneens driehoekig.

Raymond Lulle: Maar volgens de Latijnen, loquendo mathematice, is deze driehoek recht omdat ze drie hoeken heeft, namelijk inter Patrem & Filium, en Patrem & Spiritum sanctum en Filium & Spiritum sanctum.

Sir Isaac Newton: Het trinitarianisme is de Grote godslasterlijke Apostasie van de romeinse Kerk, deze geestelijk overspelige, gelijk aan de afgoderij van de homoousianen, erfgoed van de heidnese theologie van de oude Egyptenaren. Het is een lering die teruggaat op puur bijgeloof dat Athenasius van Alexandrië en de eerste monniken hebben verheven tot de rang van dogma.

Abt Marigny: Volgens Het leven van Adam en Eva, bevestigd door de Apocalyps van Mozes, boeken waarvan de ware auteurs zeker joodse gnostici zijn, zou God de tombe van Adam hebben verzegeld met een zegel van apotropische steen in de vorm van een gelijkbenige driehoek, en begiftigd met de magische kracht om er slechte geesten en demonen van te weren.

Charles de Bovelles: De driehoek is het teken van het intellect. Hoe scherper dat intellect, hoe scherper de hoeken. Het geheugen is een cirkel: de meest stompe van alle mogelijke figuren.

Abt Marigny: Het teken van de duivel is - volgens de getuigenis van de Praeparatio evangelica van Eusebius, de gelijkbenige driehoek, de magische Delta van de vrouwelijke aidoion in de hippocratische traditie, symbool van de afgrond van de zonde, de vorm ook van de poorten van de hel.

Proclus van Lycië: De oude pythagoreërs hebben al diverse hoeken aan diverse goden opgedragen. En Philolaos de pythagoreër heeft de hoeken van de driehoek met zekere goden verbonden. Dat was ook, naar mijn mening, de leidende gedachte van Theodorus de Grote, de Filosoof van Asineus, waar hij spreekt van de demiurgische driehoek als de eerste oorzaak van iedere kosmische orde. Zo leidt ook de classificatie van de hoeken ons denken onvermijdelijk naar de contemplatie van het Zijn. Alleen de rechte hoek is het beeld van wat tot stand is gebracht, van het onveranderlijke, de rechte alleen is in staat om de identiteit van het wezen, het Zelfde, te bewaren, terwijl de stompe en de scherpe hoek onderworpen zijn aan de goden van de variatie, van de onophoudelijke verandering, van de verwording van de dingen. De som van de hoeken van de driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken: dat is een eeuwige, onveranderlijke, onwrikbare waarheid. Orthogonie impliceert Orthodoxie.

Leibniz: Proclus was een goed Meetkundige, maar het heeft er veel van dat hij een ander mens is wanneer hij spreekt over Filosofie.

Isidorus, aartsbisschop van Sevilla: Buiten de achtenzestig hoofdvormen van ketterij die ik in mijn De fide catholica contra ludaeos en in De haeresibus heb opgesomd, zijn er ontelbaar minder ernstige vormen van ketterij zoals bijvoorbeeld die waarin wordt gesteld dat de Heilige Drie-eenheid een driehoek is.

Luca Pacioli: Er zijn drie hoofdzonden: Vrekkigheid, Ontucht, Trots. Tria sunt pericula mundi: rijden, varen, leven onder tirannie.

Abraham Benveniste: De wereld rust op drie steunpilaren: de Wet, de aanbidding van God, de Liefdadigheid.

Luca Pacioli: Er zijn drie belangrijkste vormen van vergiffenis: de Vasten, de Barmhartigheid, het Gebed. Abraham Benveniste: Er zijn drie stenen die aan de wereld ten grondslag liggen: het Recht, de Waarheid, de Vrede.

Luca Pacioli: Er zijn drie toppunten van boetedoening, drie hoekstenen van de Strijdbare Kerk. Drie toppunten van de goddelijke driehoek: Pater, Verbum, Spiritus sanctus.

G.W.F. Hegel: These, antithese, synthese - ziedaar de drie toppunten van de dialectische Heilige Drie-eenheid.

Meetkundig hedonisme

Aristoteles: Niet alleen de vervaardiging van parfums,

[p. 43]

maar ook het verkrijgen van wetenschappelijke kennis is een bron van plezier. Er bestaat dus ook een mathematisch hedonisme. Want het is het zoeken naar plezier dat de meetkunde verleidelijk maakt en de beste onder de meetkundigen zijn zij die aan meetkunde doen vanwege de vreugde die zij erin vinden. Henri Poincaré: De meetkundige beleeft in zijn werk een bevrediging even groot als die van de kunstenaar en van dezelfde aard.

Aristoteles: Want het is de filosofie die ons het meest pure en standvastige plezier verschaft, een wonderbaarlijk plezier.

Eudoxus van Cnidus: Of men ons nu onze overwinning bij de Olympische Spelen in herinnering roept of dat men denkt aan de zeeslag die morgen bij Salamis zal plaatshebben, men ondergaat vandaag een levendig plezier vanaf het moment dat men hoopt dat de onzen de overwinning zullen behalen. Men zal daarentegen spijt voelen als men rekent op een over-winning van de tegenstander. Maar in afwachting van de naumachie van de driehoeken, die, wellicht, morgen zal plaatsvinden...

Plato: Admiraal of schout-bij-nacht, de strateeg moet een meetkundige zijn.

Eudoxus van Cnidus: ... beleeft men vandaag geen enkele vreugde als men hoopt dat, morgen, de som van de hoeken gelijk zal blijken te zijn aan twee rechte hoeken.

Aristoteles: Waarom?

Eudoxus van Cnidus: Omdat men met evenveel plezier ook het tegenovergestelde zal beschouwen, de niet-gelijkheid van de hoeken aan twee rechte hoeken, als die het is die conform de natuur en de waarheid zal blijken te zijn.

Aristoteles: Niet als het vierkant, waarbinnen niets dan de beschouwing van de onmeetbaarheid van de diagonaal gepaard gaat met plezier, van een bevrediging zonder dat er iets tegenover staat, als die van het bedrijven van de lichamelijke liefde.

Johann Wolfgang Goethe: Ik heb al vroeg ondervonden dat de meetkunde een bron van plezier is. Ze bood me het plezier er gemakkelijk mijn handigheid in het gebruik van maatlat en kompas in te kunnen beoefenen. Maar ik ben niet voor een eeuwigheid aan meetkundige lichamen blijven plakken...

Pierre Albert-Birot:

[p. 44]

DE DICHTER ZAL GEEN OBJECTEN IN ZIJN GEDICHT ZETTEN

WANT ALLES VERDWIJNT WANNEER DE ZWARTE DRIE

HOEK DE LYRISCHE DRIEHOEK DE CENTRALE DRIE

HOEK VERSCHIJNT EN DE STOMME DRIEHOEK

ZINGT HARTSTOCHTELIJK EEN VERLANGEN

ZONDER HAND GOD GEKRULD IS HET

OP IEDER MOMENT HET EIND

VAN EEN WERELD DIE EX

PLODEERT IN DE

RUIM

TEN

Carl Friedrich Hindenburg: Zij is onweerstaanbaar, de macht van de waarheid, maar het is uit de waarheid alleen dat in al zijn puurheid en onschuld de maagdelijke schoonheid voortkomt van de meetkunde van Euclides.

Mefistofeles: Ja, de waarheid, niets dan de waarheid! En naakt, geheel naakt, niet?

Carl Friedrich Hindenburg: Ah! Zij zou de bovenaardse godin kunnen zijn, mooi als de naaktheid van het ondermaans jonge meisje, zoals bezongen door de poëet! Ah! Indien zij maar niet was bezoedeld door een vlek, die eeuwige waarheid, de waarheid van de gelijkheid van de som van de hoeken van de driehoek aan twee rechte!

Edna St. Vincent Milay: Oh blinding hour, o holy, terrible day, / Euclid alone has looked on Beauty bare.

Christian Huygens: Ick wist heel goet wie Mejoffrou de l'Enclos was, en Meneer de abt van Boisrobert, Aelmoesenier van de koningck, heeft me meer dan drie keer beloofd me er mee naer toe te nemen, maar altyd is er een of ander beletsel geweest. Hij toonde my een schildery waarop zy geheel naeckt was afgeschildert, als de waerheit. Toen was zy nog redelyck, maer op dit moment is zy verleden, opnieu als de waerheit. Nadat de leeftyt haer dwong haer eerste vack te verlaeten verkeert zy, naer men zegt, met eerbaere vrouwen. Myn Vaeder siet haer onbetwyfelbaer vanwege de liefde voor de muziek en de waerheid en ick wil er geen andere gedagte aan wyden.

Voltaire: Meneer Huygens, Hollands filosoof, bestudeerde Saturnus in Frankrijk, ontdekte een van zijn manen en stelde een theorema op. Hij hield zich ook bezig met het bestuderen van Venus en ontdekte Mejuffrouw Ninon Lenclos die hem haar waarheid onthulde en hem in een galant en een dichter omtoverde. Hij maakte voor haar deze verzen die een weinig meetkundig zijn: Zij bezit vijf werktuigen die op mijn liefde kunnen bogen, / als beide eerste haar handen, de twee andere haar ogen / voor het schoonste van alle, het vijfde van die liefde mijn / moet men zwierig en behendig zijn. Johann Bolyai: De oneindige liefde voor de vrouwelijke schoonheid en de oneindige liefde voor de meetkundige en morele waarheid, ziedaar de twee hoofdlijnen die mijn leven hebben bepaald.

Plotinus: Vandaar de liefde die wij voelen voor ieder van de vormen en voor de pure objecten waarmee zij overeenkomen. Feitelijk houdt iemand, wanneer hij een dergelijke driehoek ziet, van die driehoek omdat die op een eenvoudige en absolute wijze driehoek is. Lynch: Het is slechts de kunst die het plezier oproept. Stephen Dedalus: Wat? Je gaat me toch niet vertellen dat jouw verlangen opgewekt wordt door de hypotenusa van de rechthoekige driehoek van Euclides?

Lynch: Nee. Maar geef mij de hypotenusa van de Venus van Praxiteles...

Anaïs Nin: ... van de Delta van Venus.

De jonge Socrates: Maar op welke wijze?

De vreemdeling van Elis: Naar de diagonaal. En daarna opnieuw naar de diagonaal van de diagonaal.

Niet-Euclidische meetkunde: hoe is het onmogelijke mogelijk?

Carl Friedrich Gauss: Mijn onderzoekingen, waaraan ik bijkans veertig jaar heb gewerkt, hebben me naar een meetkunde gevoerd waarin de sommen van de hoeken van de driehoek kleiner is dan van twee rechte hoeken. De theorema's van deze meetkunde hebben voor de niet-ingewijde een schijn van paradox, ja zelfs van absurditeit. Desondanks zijn al mijn pogingen

[p. 45]

om er een tegenspraak in te vinden ijdel gebleken. Sterker nog, zij is interessant, ze daagt me uit, ik vind er niets absurds in en soms verlang ik er zelfs naar dat de meetkunde van Euclides niet waar is.

Paul Valéry: ... het wachten op het woord dat het onmogelijke in een voldongen feit zal veranderen.

Gerolamo Saccheri s.j.: Hic incipit diuturnum proelium - Hier begint het hardnekkige gevecht tegen l'inimica hypothesis van een monsterlijke driehoek waarvan de hoeken, gezamenlijk genomen, minder zijn dan twee rechte hoeken.

Gerrit Mannoury: Met luide stem riep Saccheri ‘Nee’ tegen de meetkunde die tegen die van Euclides in ging. Maar wie weet of dat niet alleen maar gebeurde uit angstvoor vervolging en of hij, in zijn hart, niet ‘Ja’ zei tegen de meetkunde die hij opbouwde?

Sir Roger Penrose F.R.S.: Mijn eigen betrokkenheid bij die onmogelijke dingen dateert van 1954, toen op het Internationaal congres van wiskundigen, gehouden in Amsterdam, een van de deelnemers me meenam naar een tentoonstelling van de Hollandse kunstenaar M.C. Escher. Wat ik toen mocht zien, het oeuvre van Escher, fascineerde me mateloos. Terug in Engeland besloot ik om zelf ook te proberen iets te maken dat de belichaming zou kunnen zijn van de onmogelijkheid zelf. Na enkele pogingen lukte het me eindelijk om de onmogelijke driehoek te construeren, die tegenwoordig bekend is onder de naam tribar en die, naar mijn mening, de volstrekte onmogelijkheid belichaamt.

Herman Lotze: Het is alleen maar een logisch grapje om dergelijke quadridimensionale en niet-euclidische systemen ruimten te noemen. Een zinloos bon mot!

Paul Valéry: Mooie woorden verbergen slechte gedachten.

J.P.N. Land: Indien men een dergelijk kunstwerk, ontsproten aan het menselijk denken, ruimte noemt, is dat vast en zeker niet meer dan een benaming uit hoffelijkheid.

Lotze: Het zijn de grillen van de wetenschap, futiele paradoxen, ruimtelijkheden die zijn geconstrueerd om het normale geweten te intimideren.

Edmund Husserl: De opvatting van Lotze is fout. De niet-euclidische meetkunde is zeer zeker onwaarschijnlijk, maar niet totaal uitgesloten.

Gottlob Frege: De niet-euclidische, niet arguesische, niet-pascalliaanse, niet-archimedische meetkundes...

L.E.J. Brouwer: ... de pathologische meetkundes van meneer Hilbert...

Gottlob Frege: ... nee, nee en nee, dat zijn geen wetenschappelijke theorieën, maar kunstwerken. De meetkunde van meneer Hilbert houdt op wetenschap te wezen, kennis van de enige en onwrikbare waarheid, en is veel meer een kunst, zonder waarheidswaarde. Het is de morbus mathematicum recens - een kunst naar de mode van de modernen, naar die mode die beschikt over de kwaliteit om de meest afgrijselijke kledingstukken als mooi af te doen, waarvan meneer Hilbert de rechter van eleganties is.

Comte de Lautréamont: De poëzie is de meetkunde bij uitstek.

Frederik II, koning van Pruisen: De poëzie is niet eenvoudigweg fantasie, mijne heren mathematici, maar imitatie.

Diotimus: Maar weet je niet heel goed welke veelvoud van betekenis het idee van de poëzie bezit? Poëzie is altijd en overal daar waar het niet-zijn aan het zijn voorafgaat!

Novalis: De sublieme vorm van de wetenschap moet poëtisch zijn. Hoe poëtischer, hoe meer waar.

Gottlob Frege: Men zou grenzen moeten stellen aan het poëtisch arbitraire van de mathematische creatie. Paul Valéry: Er bestaan slechts twee exacte wetenschappen, meneer, de roman en de meetkunde - mathesis et poesis.

Charles Renouvier: De denkbeeldige Meetkunde heeft zelfs geen betrekking op iets bedachts of voorstelbaars. Men kan feitelijk zelfs niet dromen van een transcendentaal universum, ontoegankelijk voor onze verbeelding. De denkbeeldige Meetkunde is in werkelijkheid een onvoorstelbare meetkunde.

Benedetto Croce: Omdat ze ondenkbaar zijn, zijn de mathematische principes ook onvoorstelbaar. Het is dus onjuist dat men ze denkbeeldig noemt.

Johann Bolyai: Wat onvoorstelbaar is, is uitsluitend dat een dergelijke meetkunde zou kunnen worden uitgewerkt in een land waar iedere, ook maar een beetje gewaagde en vrije gedachte wordt verstikt, waar het onmogelijk is om zelfs maar te bewegen en waar, gelijk aan het traject van de beitel van de Egyptische beeldhouwers, alles is voorgeschreven en van te voren opgelegd, waar het, op straffe van de dood, verboden is

[p. 46]

aan het genie dat zich had kunnen manifesteren om zich ervan te verwijderen: Rusland - dat slangenhoofd van de mondiale reactie.

Paul Valéry: De afwijkende modes van het bestaan, werelden die de meetkundige schetst terwijl hij speelt met axioma's.

Plato: Laten we de hypothese stellen van het zijn en daarvan de gevolgtrekkingen bestuderen. Laten we ook de hypothese van het niet-zijn stellen en zien wat de gevolgtrekkingen zijn die daaruit voortvloeien. Een weinig dialectische gymnastiek, o Parmenides. Een spel.

Parmenides: Je suis jeu.

Plato: Een moeilijk en arbeidsvretend spel.

Paul Valéry: Het is een ernstig spel! Deze autonome neiging naar de verandering van vorm is een van de motoren geworden voor de verbreiding van de mathematica.

Aristoteles: De driehoek waarvan de som van de hoeken anders is dan twee rechte hoeken is, vanwege z'n wezen, tegennatuurlijk. De kennis die ze ons brengt is een niet-meetkundige kennis, of eerder, een specifiek meetkundig niet-weten. In feite is haar principe er een van een geperverteerde en gedegenereerde meetkundigheid. Het is het meetkundig kwaad.

G.W. Leibniz: Het is de allerhoogste Rede zelf die, in zijn oneindige goedheid, God verplicht het kwaad toe te staan. Die gedrochten...

Paul Valéry: Die gedrochten van stilte en doorzichtigheid, oneindig kalm, oneindig opgewekt en op het oog begiftigd met een dreiging of met een aanstaande soepelheid, verschijnen als de Intelligentie zelf...

Leibniz: ... die gedrochten zijn zodoende binnen de regels, ze zijn nuttig en conform Zijn wil. Zij zijn gesmeed om verslagen te worden. Zo vinden de verschijningsvormen van de onregelmatigheid in de mathematica hun einde in een grote orde.

Meester Pangloss: ... van te voren vastgelegd door de wet van de universele disharmonie.

Paul Valéry: ... het zijn gedrochten vol lessen, net als die monsters van het begrip!

Maurice Maeterlinck: Driehoeken waarvan de zijden collineair zijn, of, daarentegen, parallel, hecatonoctedroïdes die lijken voortgesprongen uit een nachtmerrie van een scholier van de Polytechnische school of uit de familie van Vader Ubu - een Ruimte waarvan het Leven onvoorstelbare gedrochten oproept, een gehele multitriangulaire en hyperkubische fauna - insecten, draken, inktvissen, larven, lemuren, spoken waar de ongelukkige meetkundigen die hen achtervolgen vergeefs naar zoeken.

Plinius de Oudere: Wie heeft deze gruwelen uitgevonden, als jij het niet bent, Ostanes? O verwoester van de wetten van de mensheid, vervaardiger van gedrochten...

Henri Poincaré: Soms brengt de logica monsters voort. Indien de logica de enige gids van de onderwijzer was, zou de beginner zich gedwongen zien een teratologisch museum te trotseren.

Leibniz: Maar indien dit Monster, waarover Licetus spreekt in Boek i, hoofdstuk 3, dat het hoofd van een man had en het lichaam van een varken, of andere gedrochten die op mensenlijven hondenkoppen en paardenhoofden enzovoort droegen het leven hadden gehouden en hadden kunnen praten, dan zou het probleem groter zijn geweest.

Aristoteles: Maar waar leeft de sfinx, waar, en welke plaats houdt de centaur?

Bertrand Russell: De Centaur behoort toe aan de lege klasse. Zijn naam duidt op geen enkel element van wat voor verzameling ook, hij duidt volstrekt niets aan. Het is een non-ens en als zodanig zou hij geen grammaticaal onderwerp van een prepositie kunnen vormen. Het geval van de Nectar en de Ambrozijn is uiteraard wat ingewikkelder, dunkt me.

Edmund Husserl: Dat is tevens de mening van meneer Marty: De centaur Chiron, over wie ik het net heb, bestaat niet - zoals een vierdimensionale ruimte niet bestaat, niet meer dan een rond vierkant. Een dergelijke positie is, naar mijn mening, onhoudbaar.

Ludwig Wittgenstein: Zeggen dat wiskundige proposities iets van een mathematische werkelijkheid bevestigen is net zo ongerijmd als zeggen dat zoölogische proposities iets over dieren bevestigt.

Bertrand Russell: En waar, in welk land, leeft de eenhoorn? De logica, ik hecht eraan dat te onderstrepen, verdraagt net zo min een eenhoorn als de zoölogie, waarbinnen ze evenmin toelaatbaar is. Want de logica gaat de reële wereld aan, precies zoals de zoölogie, zelfs indien de logische wezens meer algemeen en abstract zijn.

Koning David: O heer, red mij van de eenhoorn, van zijn afschrikwekkende hoorn.

Bertrand Russell: Zelfs indien ik deze Dame van voor-

[p. 47]

heen had ontmoet, die met een sirenenstem zong: ‘Ik heb de eenhoorn ontmoet’, dan zou ik haar zeggen: De propositie, mevrouw, heeft een betekenis, op die voorwaarde dat z'n onderwerp een goed omschreven concept is, op de voorwaarde dat ik weet dat het om dit fabeldier gaat; maar ook al heeft ze een betekenis, ze is beslist fout, deze propositie, aangezien er geen plaats is, zelfs niet in het koninkrijk der schaduwen, waar...

Job: Vindt zij een plek in uw stal om er de nacht door te brengen, zal zij klaar staan om u van dienst te wezen, de eenhoorn?

Bertrand Russell: Nee, er bestaat zelfs geen irreëel object dat men ‘eenhoorn’ kan noemen. Een platonisch ‘idee’ wellicht, maar zeker ergens in de mythische hemelen gesitueerd, in meine Gedankenwelt, zoals meneer Dedekind de wereld van zijn gedachten noemt.

Hans Freudenthal: Als het een historische noodzakelijkheid was om op eenhoorns te jagen, is het niet minder waar dat wij het in het leven niet zonder hen kunnen stellen. We bedienen ons van hen als wij aan hen denken, al is het maar om aan te tonen dat zij niet bestaan. De schitterende theorie van Russell is nooit buiten het domein toegepast waarbinnen zij is uitgevonden.

Benoît Mandelbrot: Een tovenaar creëert een monster, niet omdat hij er een nodig heeft of uit slechtheid, maar eenvoudig om te bewijzen dat het beest helemaal niet ondenkbaar was. De boeren verbieden hem de toegang tot hun dorp, want ze schrikken evenveel van zijn gezicht als ze hun ongeloof proberen te forceren. De eerste van deze monsters was de niet-euclidische meetkunde. En toen op een dag verklaarde deze tot ‘rechtschapen man’.

Gian-Carlo Rota: Topologen en meetkundigen, die zich steeds weer laten afleiden tot het uitvinden van monsters, vergelijkbaar met die, die Francisco de Goya y Lucientes zag schitteren in de slaap van de rede.

Francisco Goya: De slaap van de rede brengt monsters voort.

Athenasios Karagiannides: De formules van de niet-euclidische meetkunde komen overeen met het concept van de ‘meetkundige figuur’, precies op dezelfde manier als wij, wanneer we zijn ontwaakt, vaststellen dat onze dromen overeenkomen met de werkelijkheid. De niet-euclidische meetkunde is een onirische meetkunde.

Aristoteles: De slapende meetkundige beschikt over de potentiële meetkunde. In zijn geest liggen de theorema's opgesloten zoals in het sperma de geest, zelf geest in potentie, ligt opgesloten.

Paul Valéry: Tijdens de droomfase van de slaap herstelt het geweten zich, maar als niet-euclidisch. Zij is er onderworpen aan andere axioma's dan in wakende toestand.

Edmund Husserl: Het is desondanks een feit dat deze gedurfde inval in het domein van het absurde nooit tot een foutief resultaat heeft geleid.

Hugh Maccoll: Er bestaan twee universa: die van de realiteit en die van de irrealiteit. Onder de elementen van dat laatste vindt men entiteiten als centaur, nectar, ambrozijn, de vierkante cirkel, het ronde vierkant, de sprookjesverhalen. En ik ben bang dat de niet-euclidische meetkunde er ook deel van uitmaakt.

Bertrand Russell: Er bestaan geen twee meetkundes, er bestaan geen twee universa, meneer. Er bestaat er slechts één: die van het bestaan. De propositie: X is een filosoof aan de kant van de aristos is waar wanneer men X vervangt door Plato. Daarentegen is de propositie X is een Centaur altijd fout, wat ook de eigennaam is die men voor de variabele X invult. Vice versa.

Professor Friedrich Pietzker: De theorema's van Lobasjevsky zijn slechts onbeduidende uitspraken, luchtfietserij. Het arbitraire van zijn conceptie is duidelijk. De niet-euclidische meetkunde is, meer dan monsterlijk, absoluut nutteloos.

Arthur Schopenhauer: De deductieve methode van Euclides heeft uit zijn eigen wezen zelfs zijn eigen karikatuur en parodie doen ontstaan; de strijd rond de parallelle lijnen en de som van de hoeken van de driehoek. Hier is de logische methode afgezakt naar het niveau van totale onbenulligheid.

Hegel: De onwrikbaarheid van haar waarheden, waarop de wiskunde zo trots is, is niet meer dan de uitdrukking van armoe, het teken van de dood. Want zij realiseert nooit de overgang naar het tegenovergestelde, zij is niet onderworpen aan zelfbeweging. Het Foutieve is de Ander, de Negativiteit van de substantie, en dat is het, deze Negativiteit, die als haar wezen het Ware is.

Edgar Allan Poe: Het axiomatisch principe zelf is ontvankelijk voor variatie en, uiteraard, zijn de axioma's

[p. 48]

ontvankelijk voor een vergelijkbare verandering. Daar ze variabel zijn, zijn de waarheiden die ze het licht doen zien, ook noodzakelijkerwijs variabel. Het alternatief is niet de keuze tussen twee moeilijkheden. We moeten kiezen tussen twee onmogelijkheden.

Paul Valéry: Het onmogelijke weegt zwaar op het werkelijke.

Simone Weil: Meetkunde - onderzoek naar onmogelijke zaken?

Paul Valéry: En de meesters zijn zij die ons tonen wat mogelijk is in de orde van de onmogelijkheid.

François Arago: Degene die, buiten de mathematica, het woord onmogelijk uitspreekt, ontbreekt het aan voorzichtigheid.

Charles Renouvier: Het niet-euclidische axioma is een tegen-vraag, dus een non-sens. De juiste gevolgtrekking die de metameetkundigen leidt naar de niet-euclidische meetkunde is een juiste gevolgtrekking in de non-sens.

Paul Valéry: Een non-sens met een prachtige weerklank. Onmogelijk om te denken is dat negatief bewonderenswaardig.

James Joseph Sylvester: Dat de mathematische geest op een dag verlevendigd en verlicht moge zijn, en zijn geloof opgewekt door een in het denkbare en onvatbare verwachte inwijding!

Albert Camus: Je moet het onacceptabele accepteren en je houden aan het onhoudbare.

Paul Valéry: De meetkunde is een wetenschap in die zin dat de ruimte een schepping is van de meetkunde. De materie van haar daden wordt bepaald door de definities. En dat is waarom er een veelvoud aan meetkunden bestaat.

Michel de Montaigne: Ik had veel liever de effecten willen volgen dan de rede. Het zijn dingen die vaak op elkaar botsen: & men heeft mij gezegd dat in de Meetkunde, waarbinnen men denkt het allerhoogste niveau van zekerheid te hebben bereikt van alle wetenschappen, er onvermijdelijke demonstraties bestaan, die de waarheid aan de ervaring ondergeschikt maken: zoals Jacques Peletier me bij mij zei, dat hij twee lijnen had gevonden die elkaar naderden om in elkaar over te lopen, iets wat hij nooit zou kunnen verifiëren, totdat ze in de oneindigheid erin zouden slagen om elkaar te raken. Ptolemeus, die een zeer groot mens was, heeft de grenzen van onze wereld vastgesteld: iedere oude filosoof heeft gedacht dat hij er de maat van kon nemen. Er is iemand als Pyrrho voor nodig geweest om, duizend jaar geleden, te twijfelen aan ieders geaccepteerde meningen; het was ketterij om het bestaan van Antipoden te erkennen, & ziedaar hoe in onze eeuw een oneindige hoeveelheid vast land is ontdekt. De Kosmografen uit die tijd hielden niet op om te verzekeren dat alles was gevonden & alles was gezien; rest nu slechts te weten of, indien Ptolemeus zich eerder heeft vergist waar het de fundamenten van zijn redenering betreft, het geen dwaasheid zou zijn wanneer ik zou vertrouwen op wat die-daar zeggen: En wie weet of niet een derde mening, over duizend jaar, de twee voorafgaande zal omverwerpen; en of het niet waarschijnlijker is dat dat grote lichaam dat wij de wereld noemen iets heel anders is dan wij denken.

Maurice Maeterlinck: Het is nogal waarschijnlijk dat er zich in onze gewoonten een verandering zal voordoen wanneer wij volledig zullen overgaan van de euclidische meetkunde, van de aristotelische logica naar een hyper-meetkunde en een logica over het universum waarvan we nu nog geen weet hebben. Vanaf tegenwoordig waart onze schaduw, die aan onze werkelijke aanwezigheid voorafgaat, in die dimensie rond; ook al twijfelen wij er nauwelijks aan en weten we niet tot op welk punt zij tussenbeide zal komen, onder andere namen, met name onder de naam van ideaal, in onze gedachten, in onze esthetiek, in ons onderbewustzijn waar zoveel zaken onverklaard blijven. Wanneer ons lichaam die schaduw zou kunnen volgen die het voorafgaat, zouden we werkelijk beginnen op deze aarde te leven. En het is heel goed mogelijk dat dat moment minder ver van ons ligt dan we denken.

Aristoteles: Want, zoals Philolaos de pythagoreër zei, er bestaan ideeën die sterker zijn dan wij.

Woorden: het ras, de klasse

Prof. dr. Bruno Thüring: Onder die omstandigheden deed zich in de geschiedenis van het meetkundig denken een gebeurtenis vol ernstige consequenties voor: men ontdekte de mogelijkheid van een zogenaamde niet-euclidische meetkunde. Plotseling had men, in plaats van een unieke, geldige en overal en altijd toepasbare meetkunde er meerdere, een willekeurig hoe-

[p. 49]

veelheid van meetkundige systemen. De grondslagen van de wetenschap zijn wankel geworden.

Gottlob Frege: In de mathematica botst de geschiedenis met de logica.

G.W.F. Hegel: Jammer voor de logica!

L.E.J. Brouwer: De filosofische wijsheid is vreemd aan de logica. In het wetenschappelijk onderzoek is de logica vaak geschikt, maar niet altijd. Het is niet zeker dat in de mathematica de logica in zijn totaliteit toelaatbaar is. En het is helemaal niet zeker dat de logica zelf in zijn totaliteit toelaatbaar is.

De Blätter für das Bayerische Gymnasial- und Realschulwesen: De absolute meetkunde, de niet-euclidische meetkunde en andere fantasmagorische meetkundes maken zonder twijfel deel uit van dat decadente en verdorven fenomeen dat de wiskunde bedreigt. Opmerkelijke toevalligheid: op hetzelfde moment dat men de morele grondslagen van de menselijke maatschappij in twijfel trekt, loopt de meetkunde, de meest zekere van de wetenschappen, het gevaar om de waardigheid waartoe zij werd verheven door Plato te verliezen.

Gottlob Frege: De geestelijke ontbinding, die heeft geleid tot de nederlaag, is voor het merendeel het werk van de Joden. Ik doe een oproep aan u, kinderen van Duitsland!

Bertold Brecht: O Duitsland! Bleke moeder!

Ernst Jünger: De Jood is niet de vader, hij is de zoon van het liberalisme. In het algemeen en in goed en kwaad is hij niet in staat tot creativiteit. Om z'n gehele destructieve kracht te kunnen ontplooien, had hij een staat nodig die hem die mogelijkheid biedt onder het masker van Zivilisationsjude. Die staat werd gecreëerd door het liberalisme en zal z'n einde vinden met het bankroet van het gehele liberalisme.

Prof. dr. Hugo Dingler: De arische geest, aangetrokken door diepten, is noodzakelijkerwijs langzamer. Z'n sterke kant heeft betrekking op de intuïtie voor de meetkundige ruimte met z'n zichtbare en tastbare figuren, met z'n manuele constructies. De joden zijn steriel, zijn slecht in meetkunde - identiek aan de unieke wetenschap van de meetkunde, die van Euclides, en op zichzelf de exclusieve schepping van de arische geest.

Prof. dr. Bruno Thüring: Gauss lijkt al de schokkende consequenties te hebben voorzien die de fysica had te ondergaan na de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde en, tot aan zijn dood, heeft hij de publicatie ervan tegengehouden. Maar wie heeft het uiteindelijk op zich genomen om de verspreiding ervan te verzorgen? Hij aan wie, klaarblijkelijk, de mensheid dank kan betuigen voor de ineenstorting van al het andere in het leven: de Jood!

John L. Synge: De joden zijn, zoals de oude grieken, goed in staat om in kosmische termen te denken. Einstein schoot in een goed resultaat niet tekort.

Alexander von Humboldt: Ja, meneer Gauss, onze grote mathematicus Jacobi houdt ervan op te scheppen in het tonen van zijn sympathieën voor Hegel en vooral in het provoceren van de wereld met zijn republikeinse excentriciteiten, zijn rode of driekleurige sjerp. Dat is wat voorheen uw eigen beschermeling deed, het jonge genie Gotthold Eisenstein, die u zelf beschouwt als de enige die u waardig is. Een nieuwe eeuw, mijn beste meneer Gauss, nieuwe rassen - maar ook nieuwe dimensies!

Gottlob Frege: Emancipatie van de Joden! Recht op staatsburgerschap! Gleichberechtigung! Nog een mooi cadeau van Frankrijk! Ik ben geen antisemiet, maar vandaag ben ik me er ten volle van bewust in welke mate de Joden hebben bijgedragen aan de ineenstorting van Duitsland. En ik wil niets dan de waarheid en alleen de waarheid!

A.D. Aleksandrov, lid van de Academie: Aangezien iedere poging van bougeois-wiskundigen om hun moeilijkheden op te lossen uitgingen van, en noodzakelijkerwijs moesten uitgaan van idealistische stellingnamen, is de crisis binnen de wiskunde niet opgelost. Het is zelfs heel goed mogelijk om de crisis in de wiskunde op te lossen binnen de condities van het kapitalisme, zoals ook de komst van die crisis onvermijdelijk was. De idealistische deformatie van de wetenschap dient de belangen van de klasse van de bourgeoisie, betaald door de politieke en filosofische reactie. Ziedaar de werkelijke bron van de bourgeoiswetenschap. In weerwil van al die goede bedoelingen van zekere idealistische mathematici leidt hun filosofie hen onvermijdelijk een modderig moeras binnen waar, tussen de giftige bloemen van het idealisme, de dinosaurussen van de filosofie - de eddingtons en de russells - rondwaren en waar, naast de subtiele falsificatie van de wetenschap, de filosofie van de nucleaire strategie, de strijd tegen de vrede en de democratie en andere verdorvenheden van de imperialistische

[p. 50]

ideologie zich verschuilen. De crisis van de bourgeoiswetenschap zal geen einde nemen dan met de ineenstorting van het kapitalisme.

Prof. dr. Philipp Lenard: Ik heb de eer, meneer de minister, om in uw welwillende aandacht aan te bevelen het diepgaand onderzoek van meneer professor Hugo Dingler betreffende ‘De degeneratieverschïjnselen binnen het domein van het mathematisch onderwijs in de laatste helft van deze eeuw’. Het is absoluut noodzakelijk om degenen die verantwoordelijk zijn voor deze erbarmelijke situatie op het spoor te komen. In Duitsland moeten de fysische en wiskundige wetenschappen opnieuw het exclusief erfgoed worden van de arische mens. Dus weg met de overheersing van de Joden! Heil Hitler!

Prof. A K. Timariazev: De praktijk geeft in zijn geheel Euclides gelijk. Seismologen, astronomen, fysici bedienen zich tot aan vandaag de dag van de goede oude euclidische meetkunde. De niet-euclidische meetkunde dient nergens toe. Zeker niet in de fysica. Zij is, zoals de grote Duitse fysicus professor Lenard heeft aangetoond, in tegenspraak met de experimentele, empirische feiten, en dat u zich daarvan op dit moment bewust bent, dat bid ik u!

Kameraad A. Goltzmann: Waar het de sociologische kant van de zaak betreft, aangestipt door kameraad Maksimov in volledige overeenstemming met kameraad Timiriazev, veroorloof ik me opnieuw eraan te herinneren dat de meest hardnekkige vijand van de relativiteitstheorie, professor Lenard, belangrijkste getuige van Maksimov en Timiriazev, een ultrareactionair en antisemitisch katholiek is. Een mooie alliantie is dat! De materialistische, marxistische en revolutionaire filosoof loopt innig gearmd op met een katholieke en ultrareactionaire Duitser.

Kameraad A. Theilheimer: Ik ben verbaasd over wat u zegt, kameraad Timiriazev. Want waar het het verband aangaat tussen meetkunde en werkelijkheid komen de ideeën van Einstein overeen met die van Engels, en de theorie van Riemann betekent een briljante bevestiging van het dialectisch materialisme.

Prof. AK. Timiriazev: Hij die kan aantonen dat het noodzakelijk is om de euclidische meetkunde te verwerpen heeft nog geen gelijk. De niet-euclidische meetkunde heeft geen nut en is volkomen overbodig. André Lhote: De ondankbare rol van scheppers is dat ze iets aan de wereld aanbieden waarvan niemand op het idee kwam om het te vragen, maar waar niemand meer buiten kan als het eenmaal is geaccepteerd.

David Hilbert: Einstein heeft de noodzaak van de niet-euclidische meetkunde aangetoond. Sindsdien kan niemand er meer buiten.

Prof. dr. Hugo Dingler: Het is de daadwerkelijke praktijk, de Handlung, die, bevorderd tot de waardigheid van epistemologische categorie, de meetkundige waarheid als uniek en euclidisch omschrijft.

Charles de Bovelles: Nihil est in sensu quin prius fuerit in intellectu.

Prof. dr. Bruno Thüring: De fakkel die deze grote meester-denker en strijder, de Parteigenosse Hugo Dingler tot nu toe alleen droeg, verspreidt op dit moment zijn licht, het licht van zijn karakter als compromisloos ariër. Dingler, de filosoof - de soldaat van het denken! Het is een grote persoonlijkheid van het arische ras die naar voren komt uit de pagina's van zijn grote boek De fundamenten van de meetkunde, gepubliceerd in Stuttgart in 1933. Het is de triomf kreet van de arische wetenschap.

Lady Mary Delany: A very absurd, bad book, and written by an Arian.

Bertold Brecht: Daar komen de heren geleerden, / met valse teutonenbaarden, / zij willen de ware / de arisch geaarde / de geoorloofde Duitse natuur- en wiskunde!

Gottlob Frege: Orde en wet, helderheid en systeem - enig en uniek en gehoorzamend aan eeuwige wetten, onwrikbaar: ziedaar de enige manier om de mathematica uit de malaise van de verwarring en de wanorde te bevrijden!

Prof. dr. Eduard May: Het komt me voor dat men het wezenlijke verschil tussen de arische en de niet arische wil niet beter zou kunnen illustreren.

Prof. dr. Bruno Thüring: Dankzij het niet aflatende gevecht dat Hugo Dingler, die grote meester-denker - zoals Lenard hem noemt - voert, heeft de wetenschap sinds 1936 zijn gezondheid terug gekregen. Het is dankzij Dingier dat de wetenschap heeft kunnen ontsnappen aan de chaos en het verval om de weg terug te vinden die leidt naar orde in de wereld.

Ludwig Wittgenstein: Deine Welt is alles, was der Abfall ist.

Prof. dr. Bruno Thüring: Het jodendom is zich uitstekend bewust van de taak die haar ras haar oplegt en, zoals de jood Theodor Lessing het publiekelijk heeft

[p. 51]

toegegeven, herkent zich volledig in het werk van de ontmanteling van de wetenschap: de nieuwe domeinen van het weten die zijn opengelegd door de niet-euclidische meetkunde, de oneindige macht van de theorieën van de gehelen en de paradoxen van het oneindige waartoe zij de aanzetten geven, de relativering van de laatste concrete gegevenheden van de intuïtie - dat alles was het werk van wezenlijke joodse geesten, zoals Georg Cantor, Adolf Fränkel, Alfred Pringsheim - overigens de schoonvader van Thomas Mann - Arthur Schoenfliess, Felix Hausdorf, Leopold Kronecker, Arnold Sommerfeld, tot aan het moment waarop Michelson, Minkovski en Einstein, allen joden, de universele omwenteling teweeg hebben gebracht door Euclides en Aristoteles, Newton en Kant opzij te schuiven.

A.D. Aleksandrov, lid van de Academie: Einstein, Minkovski vertegenwoordigen, in persoon, de incarnatie van de decadentie van niet alleen de hedendaagse wetenschap, maar tevens van de kapitalistische maatschappij in z'n geheel. Het mysterie dat de relativiteitstheorie omhult, is de getrouwe uitdrukking van de verwarring van het bourgeois-Duitsland dat uit elkaar aan het vallen is.

Kameraad A Goltzmann: Onder de wapens waarvan de bourgeois-wetenschap zich op dit moment bedient om de vooruitgang van het materialisme te belemmeren neemt de nieuwe conceptie van de wereld zoals die is uitgewerkt door Minkovski en Einstein een vooraanstaande plaats in.

Prof. AK. Timiriazev: Zoals ik in 1922 al duidelijk heb aangegeven in mijn rapport aan het Moskouse comité van de Russische Communistische Partij onderdrukt de theorie van Einstein het materialisme.

Onder de banier van het Marxisme: De introductie van de niet-euclidische meetkunde in het fysisch onderzoek heeft bij de marxisten voor veel onrust gezorgd. Zij lijkt feitelijk aan te tonen dat de fysica, door tussenkomst van de axiomatica, zich heeft laten vangen in het net van metafysische en mystieke speculaties. Kameraad A.K. Timiriazev, professor in de fysica aan de universiteit van Moskou en eminent marxist, heeft de relativiteitstheorie van Einstein aan een strenge kritiek onderworpen. Kameraad Goltzmann bevestigt categorisch het dialectisch karakter van de relativiteit van Einstein en de toepasbaarheid van de niet-euclidische meetkunde in de studie van de fysische ruimte. Maar kameraad Timiriazev heeft de stellingen van Goltzmann onherroepelijk verworpen. Naar onze mening is de plaatsbepaling van kameraad Timiriazev volkomen juist.

Nikolai Gavrilovitsj Tsjernysjevski: Merk vooral op, beste vriend, dat een driehoek waarvan de som van de hoeken een andere is dan twee rechte geen toevallige combinatie is van lege woorden, losgeslagen hallucinatie van Gauss, Helmholtz & co en ook, zo blijkt, van een zekere Lobasjevsky. Het is een schande!

Mikhail Vassilevitsj Ostrogradski, lid van de Academie: De meetkunde van meneer Lobasjevsky, titulair professor in de mathematica, is niet meer dan een farce. In plaats van te bevestigen dat de som van de hoeken van de driehoek niet gelijk is aan twee rechte hoeken, zou hij ook heel goed hebben kunnen volhouden dat wit zwart is, of het vierkant rond! Men vraagt zich af waarom dergelijke absurde hersenspinsels worden geschreven of, erger nog, worden gepubliceerd? En waarom heeft professor Lobasjevsky in plaats van Grondslagen van de meetkunde als titel voor zijn werk, dat de laatste van de onderwijzers onwaardig is, niet Satire van de meetkunde of beter nog, Karikatuur van de meetkunde gekozen?

Velimir Chlebnikov: Ik zal de revolutie leiden onder het vaandel van Lobasjevsky!

Vrijheid & waarheid

Aristoteles: Maar de mens is vrij. Zijn vrijheid bestaat uit de keuze tussen goed en kwaad en de afwezigheid van iedere dwang. Hij zal dus voor een van de driehoeken kiezen als het goede en de andere afwijzen als het kwade.

Spinoza: Geometria more ethico.

Jean Lerond d'Alembert: De meetkunde is wellicht het enige middel waarmee, in bepaalde streken van Europa, het juk van onderdrukking & onwetendheid waaronder men zucht, langzaam maar zeker kan worden afgeschud. Laat wanneer dat mogelijk is onder die volkeren meetkundigen geboren worden. Dan zal de studie van de meetkunde snel leiden tot de ware Filosofie, die door het algemene & onmiddellijke licht dat zij verspreidt weldra machtiger zal zijn dan welke vorm van bijgeloof ook.

Comte de Lautréamont: Wiskunde! Algebra! Meetkunde! Grandioze drie-eenheid! Lichtgevende drie-

[p. 52]

hoek, onwrikbaar. Hij die u niet heeft gekend is een ongevoelige! Gebogen over de afgrond van een fataal punt van onderzoek vraagt mijn ontstelde geest zich af hoe het mogelijk is dat de mathematica, de meetkunde zoveel indrukwekkende grandeur bezit en zoveel onbetwistbare waarheden, terwijl er, wanneer die worden vergeleken met de mens, in die laatste slechts valse trots en schijn te vinden zijn. De Al-Machtige heeft zich volledig blootgegeven, hij en zijn attributen, in die gedenkwaardige driehoek en heeft uit de schoot van de chaos jouw schat aan theorema's en je pracht en praal doen ontstaan. Ik neigde ervan kindsbeen af naar om me te laven aan jouw bron, ouder dan de zon. Sinds die tijd heb ik uw laconieke theorema's en uw meetkundige lijnen zien zetelen aan de wrekende rechterkant van de Al-Machtige, terwijl de mensheid, grimlachend, ervan droomt om af te rekenen met het laatste oordeel. U gaf me de logica, en met z'n syllogismen, waarvan het ingewikkelde labyrint nietverder samen te vatten is, voelde mijn intelligentie zich vermeerderen tot het dubbele van haar gedurfde kracht. Dankzij dat verschrikkelijk hulpmiddel ontdekte ik, in de mensheid, de duistere en afschuwwekkende slechtheid die rottend te midden van giftige dampen haar navel zat te bewonderen. Als eerste ontdekte ik, in die kronkelende duisternis, die rampzalige ondeugd, het kwaad, in zich superieur aan het goed. Met deze vergiftigde geest die u me leende, liet ik de schepper zelf van zijn voetstuk afdalen, hem gebouwd door de lafheid van de mens. Ik gebruikte hem om de verderfelijke listen te omzeilen van mijn doodsvijand, de mens, en om een scherpe dolk in zijn ingewanden te planten die voor altijd in zijn lichaam gestoken zal blijven. Want de meetkunde is een wonde waarvan hij nooit zal herstellen. Dank voor de onbekende kwaliteiten waarmee u mijn intelligentie hebt verrijkt. Zonder u zou ik waarschijnlijk in mijn strijd tegen de mens het onderspit hebben moeten delven. Mijn wezen buigt voor jou bedroefd het hoofd en zijn aanbidding brengt een eerbetoon aan je goddelijke aanschijn, als aan het evenbeeld van de Al-Machtige.

Thomas van Aquino: Item kan God, het enige absoluut vrije wezen, ook al is hij almachtig, geen rechtbenige driehoek produceren waarvan de som van de hoeken anders is dan die van twee rechte. De Theologische Som van de driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken.

Johann Bolyai: Het behoort aan de natuur der dingen dat geen logische redenering kan beslissen over dit alternatief. Zelfs voor God en voor de engelen blijft het voor eeuwig onbesloten of de som van de hoeken van de driehoek gelijk is of niet aan twee rechte.

Plato: Waar het de laatste principes betreft, God alleen kent die, en, onder de stervelingen, hij die door hem bemind wordt.

Kardinaal Giacinto Sigismundo Gerdil: De meetkunde levert het meest onomstotelijke bewijs tegen het atheïsme.

David Hilbert: De mens is vrij om welke axiomatische propositie dan ook te ontkennen! En zelfs als men ons daarvan met de tong van een engel probeerde te overtuigen, dan nog zou niemand ons kunnen beletten om een onafhankelijke propositie af te wijzen!

Georg Cantor: Waar het dat laatste punt aangaat, daar ga ik volledig mee akkoord, omdat het niet anders kan zijn. Want de formule van Spinoza: omnis negatio est determination, bezit voor mij geen schaduw van twijfel.

[p. 53]

Georg Wilhelm Friedrich Hegel: Het grote theorema van Spinoza! De overweldigende kracht van de negativiteit, de energie van het denken, van het pure Ik!

Bertrand Russell: Waar het mij aangaat, ik ben dezelfde mening toegedaan als meneer Meinong: de negatie zegt niets, volstrekt niets, zij kan geen object van presentatie zijn. Gezien vanuit een logisch standpunt is de negatie van een propositie onbloot van iedere betekenis.

Albert Camus: Een mens die nee zegt: ziedaar de mens in opstand. Maar zijn nee is bevestiging, heeft inhoud. Het betekent bijvoorbeeld...

Bertrand Russell: Niets. Want niet-A is geen goed gefundeerd object. Bijgevolg is het helemaal geen object. James Joseph Sylvester: Enantiotropie! Ziedaar het belangrijkste postulaat van de wiskundige schepping. De heraclitiaanse conversie van een eerste gegevenheid in z'n tegengestelde.

Bertrand Russell: De geest van de negatie, dat is Satan, Prins der Duisternis, der Geist der stets verneint, zoals Goethe het zegt. Ik heb hem in persoon ontmoet en ik heb me ervan kunnen overtuigen dat zijn lichaam negatief is en zijn geest is eveneens van een pure negativiteit. Ik was getroffen door dit voorval: hij is dus de pure Niets, het perfecte niet-zijn! Het is De Nachtmerrie van de Metafysicus. Iedere negatie komt uit hem voort. Hij wordt omgeven door een koor van spionerende filosofen die het pantheïsme hebben vervangen door het pandiabolisme. In mijn boekje Nightmares of Eminent Persons ontmasker ik hem echter als niet meer dan een slechte linguïstische gewoonte. Retro me Satanas! Ooit bedien ik me niet meer van het woord ‘nee’. Luister naar dit grote gebod. ‘Gij zult het woord NEE niet meer gebruiken!’ Vermijd het woord ‘nee’ en het rijk van Satan zal plotsklaps, als door toverij, een einde vinden.

Charles de Bovelles: Tegenover alles en gericht tegen alles: ziedaar de positie van de mens in het Universum. Hij vindt zich overal in het centrum van de wereld, waarvan de omtrek nergens is, en hij vult de leegte van het zijn met de wezens van zijn rede, zijn creaties.

Hermann Lotze: De niet-euclidische meetkunden doen ons denken aan de dromen van de aanhangers van Fourier die geloofden dat de sociale vooruitgang zou leiden tot de veradelijking van de menselijke soort. Wat zal het leven mooi zijn in hun utopische maatschappij! Op de rug van getemde walvissen zullen wij reizen over de zoete wateren van de Oceanen die de vierde dimensie van de ruimte vullen!

Alfred Fouillée: Lobasjevksy is de Thomas More van de mathematica, de dromer van meetkundige utopiieën.

Johann Bolyai: Het staat vast dat alle tirannen met hun gekroonde hoofden ogenblikkelijk zullen verbleken wanneer ze mijn woorden horen. Zij zullen bang worden, als wanneer ze de trompetten horen van het laatste oordeel. Een algemene en voortdurende revolutie vindt op aarde plaats, en zo lang als het hart van een enkel Lid van de Mensheid zal worden doorwond door ongeluk - de revolutie zal een noodzakelijkheid blijven.

William Fischer: Het is niet zozeer de uitvinding van de niet-euclidische meetkunde die ons verbijstert - in werkelijkheid produceren de bewoners van de Ivoren Toren als sinds eeuwen voldoende onzin - maar eerder de verkenning waarvan zij geniet in de officiële wetenschap. Het is de uitdrukking van de geest, van een slechte geest, zou ik zeggen, van onze eeuw: van de verwerpelijke revolutionaire dementie van de democratische Gelijkheid, dat wil zeggen, van de gelijkheid van het wijze en het onwijze. Is het aanvaardbaar om twee zuiver-meetkundige systemen toe te laten die elkaar tegenspreken?

Vissarion Bielinsky: De negatie is mijn god, zoals voorheen de realiteit. Mijn helden zijn de vernietigers van het oude.

Negatie & creatie

Joseph Delboeuf: Niet-euclidische ruimten: ruimten met een bizarre oorsprong, irreële ruimten, onbestaanbaarheden van verschillende gradaties - die soorten van ruimten, zijn dat geen spelingen van de geest die chimerisch zijn dan de chimera?

Charles Renouvier: Het niet-euclidische axioma is een tegen-vraag, dus een non-sens. De juiste gevolgtrekking die de metameetkundes naar de niet-euclidische meetkunde leidt is een juiste gevolgtrekking in de non-sens.

Paul Valéry: Een non-sens met een prachtige weerklank. Onmogelijk om te denken is dat negatief bewonderenswaardig.

Bertrand Russell: Die meetkundes zijn in principe

[p. 54]

niet met elkaar in overeenstemming te brengen. The straight lines of the one space cannot be put into the other. Henri Poincaré: Waarom niet, meneer Russell? Integendeel! De rechte is in de niet-euclidische dezelfde als in de euclidische meetkunde. Er bestaat geen enkele eigenschap van de euclidische rechte die niet ook een eigenschap is van de niet-euclidische rechte en vice versa.

Robert M. Pirsig: Maar een mathematica die een interne logische tegenspraak toegeeft, is geen mathematica meer. In laatste instantie blijkt de niet-euclidische meetkunde niets meer te zijn dan een goocheltrucje waar de geloofwaardigheid door niets meer wordt gesteund dan door puur geloof.

Rudolf Carnap: In feite kan er, wanneer de twee meetkundes elkaar wederzijds uitsluiten, een en slechts één van beide waar zijn.

Benedetto Croce: Ja, zonder twijfel zijn deze axioma's a priori gegevenheden, maar ze beschikken niet over waarheidswaarde: georganiseerde tegenspraken. Indien de mathematica ten onder zou gaan tengevolge van de tegenspraken waarvan ze vol is, zou ze allang gestorven zijn. Maar ze sterft niet, net zoals een gifslang niet sterft aan haar eigen gif, want ze slikt het zelf niet. Maar op het moment dat de mathematica erin slaagt haar eigen tegenspraken te denken en ze als waarheden te presenteren, dan onthult ze in één klap haar gehele onwaarheid.

Gottlob Frege: Dat je lijfspreuk zij: ja-ja, nee-nee. Men kan geen twee meesters tegelijk dienen: ofwel men accepteert als waarheid de gelijkheid van de hoeken van de driehoek aan twee rechte, en dan verwerpt men de tegengestelde bevestiging als vals, ofwel men neemt de waarheid aan de ongelijkheid van de som van de twee rechte, maar dan is het de bevestiging van de gelijkheid die noodzakelijk vals is. In de wetenschap is het de neiging naar de waarheid die regel, een strenge regel, moet zijn. Dus binnen of buiten, dat is de kwestie! We moeten er een buiten de deur zetten, maar welke? De euclidische meetkunde of de niet-euclidische meetkunde? Welke van de twee moeten we schrappen uit de wereld van de wetenschap? We moeten dus beslissen welke als een relict terugverwezen moet worden naar de rangen van de alchimie en de astrologie. Maar zou iemand de meetkunde van Euclides, die sinds meer dan duizend jaar een waarde heeft gehad die niemand ooit heeft aangevochten, als astrologie durven afdoen? Zo niet, dan zijn we dus gedwongen om de niet-euclidische meetkunde te rekenen tot de veelvoud van pseudo-wetenschappen en haar niet meer dan de onbetekenende aandacht te schenken die ieder andere historische curiositeit verdient.

Paul Carus: De niet-euclidische meetkunde is niets meer dan een mentale hersengymnastiek, een pseudo-meetkunde...

Gottlob Frege: ... gebaseerd op pseudo-axioma's à la Hilbert, leeg aan gedachten!

Arthur Cayley:... een quasi-meetkunde...

Aristoteles: ...niet meetkundige meetkunde, als een niet-dichterlijk gedicht, een niet-muzikale muziek...

Paul Valéry: De ideeën ontstaan plotseling uit NIETS. Niets gaat eraan vooraf, voorzegt ze, wordt ervoor vereist...

Johann Bolyai: Maar ik, ik heb een andere wereld uit het niets geschapen, een nieuwe wereld waarbinnen de hoeken van de driehoek kleiner zijn dan van twee rechte.

Edgar Allan Poe: Diezelfde daad zal zich nog herhalen, nog eens en eeuwig. Een nieuw Universum zal in het bestaan ontploffen met iedere zucht van het Hart van de Godheid. En dat Goddelijke hart, wat is het? Het is het onze!

Paul Valéry: Seductio ad absurdum - onbevlekte ontvangenis van nieuwe waarheden.

Hermann von Helmholtz: Onbevlekte ontvangenis, de enige: de niet-euclidische meetkunde deed zijn intrede in de wereld zoals Pallas Athene uit het hoofd van Jupiter tevoorschijn kwam!

Prof. Johann Joseph Gilles: Onbevlekte ontvangenis! De niet-euclidische meetkunde is een bastaard! Haar moeder is de logische immoraliteit van de negatie.

Paul Valéry: Haar eerste woord was NEE!

G.W.F. Hegel: Negatie! De vrijheid bevestigt haar bestaan.

Edward Nelson: De heersende opinie, Vanuit niets kan men niets creëren, is bijgeloof. Naar de getuigenis van het niet-standaard evangelie schiep de God van Abraham - Robinson - van Isaac en van Jacob het allerallerkleinste uit niets.

Franz Rosenzweig: Het niet-zijn gaat aan het zijn vooraf.

Picasso: Het ‘tegen’ komt voor het ‘voor’.

Franz Rosenzweig: Maar het is een omweg die van een specifiek niet-zijn gaat naar z'n eigen zijn, een over-

[p. 55]

gang die vertrekt vanuit een niets, van ‘zijn’ eigen niet-zijn waar het ding zelf zich in een staat van niet-zijn bevindt, en dat laatste is het leidend principe dat de vespreiding omschrijft en bepaalt van een enkele en unieke wetenschap: de mathematica. En dat is juist de reden waarom de mathematica, en zij alleen, ons de weg toont om de bron van het zijnde in het niets te herkennen.

Paul Valéry: ... veelheid van het niets, perfectie van het niets...

Charles de Bovelles: Ieder van die werelden is geschapen vanuit het niets en alle zijn samen in dezelfde leegte van het zijn besloten, in het niets, zo dat deze matrix zich nooit vult.

G.W.F. Hegel: Het denken schept een wereld en schepping is niets dan een term die is bedacht vanuit de verbreiding van de vrijheid, vanuit de absolute zelfbeweging in de geschiedenis.

Bertrand Russell: Ik zie niet graag dat de wereld wordt geconstitueerd naar de hersenspinsels van Hegel, niet meer dan naar zijn Hemels Prototype.

Charles Renouvier: Hoe kunnen we twee meetkundige denkbeelden serieus met elkaar in evenwicht brengen als die van de euclidische vanzelfsprekendheid en die van de abstraheerders van het wezenlijke? Empirisme, scepticisme, mysticisme - hoe zouden we de methode, die zich in de meetkunde vestigt, moeten omschrijven indien de ideeën van de neomeetkundigen de boventoon zullen voeren? De neomeetkundigen hebben de logica onvoldoende bestudeerd. Er bestaan geen schijnbare tegenspraken in de ene of in de andere meetkunde, maar er bestaan een reële tegenspraak tussen beide.

François Hemsterhuis: Wanneer we het universum als intellectueel zien, vormt zich, door een verplaatsing van het universum, een ander universum, denkbeeldig, maar mogelijk. En indien dat Zijn aan de verbeelding en aan het intellect het actieve principe van de vrijheid paart, kan het dat denkbeeldig universum realiseren, en kan het totaliteiten vormen naar ratio van de kracht en de verspreiding van zijn vrije daad. Hans Freudenthal: In feite onderscheiden de opvattingen van de moderne meetkundigen zich radicaal van die van de antieken. Tegenover Euclides zijn de eerste noties ontbloot van iedere omschrijving, die ze, elders, totaal niet nodig hebben. Ze representeren benamingen die geen enkel eerder bestaand object benoemen.

De vraag of dergelijke objecten bestaan, laat zich niet stellen. En indien de vraag zich voordoet - dan zal men als puur formeel antwoord en zonder rekening te houden met de werkelijkheid zeggen dat essentie van de eerste noties geheel en al wordt bepaald door de eerste proposities die hen omvatten.

P. Hoenen s.j.: Cum elucubrationibus clarissimo Hoenen, professori matheseos in universitate ultrajectensis in Neerlandia, consentire non possum. Ik denk integendeel dat de euclidische structuur fundamenteler is voor de verbreiding quam ullam non-Euclidiam - en, wat meer is, dat zij ook de unieke basisstructuur vormt extensions ut talis.

Hans Freudenthal: Consentimus tamen cum clarissimo Hoenen, dum castigat recentissimos censentes de realitate et veritate primarum notionum atque propositionum proprie non disputandum esse. Maar men bedriegt zichzelf als men wil negare theorias geometricas usque ad maxime pathologicas abstractione phantasmatis creari. Want er zijn wetten, quae ardorem tempérant geometrae, in het bijzonder die van de logische consistentie...

Edgar Allan Poe: De grootste, de rechtste en de meest gemakkelijke van alle wegen, de grote weg, ziedaar! Het is de majesteitelijke koninklijke weg van de Consistentie. Is het niet verbazingwekkend dat arme fanatici uit de werken van God niet deze consideratie van vitaal belang hebben kunnen trekken, dat een perfecte consistentie niets anders kan zijn dan een absolute waarheid? Dankzij haar is de functie van het onderzoek ontrukt aan die mollen en, als een plicht meer dan als een taak, toevertrouwd aan de ware, enig ware denkers, aan hen met een algemene cultuur en met een brandende verbeelding, aan hen die zich overgeven aan speculatie en aan theorie. Dat is het devies! Hoe gemakkelijk zal onze vooruitgang sinds de komst van deze propositie zijn en hoe snel!

Hans Freudenthal: Men kan niet ad libidinem zomaar een nieuwe meetkunde uitdenken. Contra gustum geometricum cum geometria non creatur.

Benedictus Spinoza: De vrijheid is niet de afwezigheid van dwang, maar een deugd - quod ex fortitudine animi oritur - de macht van het intellect, potentia intellectus, die voorkomt uit moed en uit zielskracht. De vrijheid is het weet hebben van het noodzakelijke: Amor intellectualis erga Deum, seu Libertas.

Georg Cantor: Het weet hebben van een zekere noodza-

[p. 56]

kelijkheid heeft mij, tegen mijn eigen wil in, ertoe gedwongen de tot stand gebrachte creatie van een onbegrensde hiërarchie van nieuwe getallen te erkennen als vastgesteld feit.

Albert Camus: De vrije geest houdt van wat noodzakelijk is.

Gottlob Frege: De waarheid markeert de grenzen van de vrijheid.

Jacques Prévert: Waar de waarheid niet vrij is, is de vrijheid niet waar.

Serenus Epstein-Roth: De waarheid is vrijheid - de creatie is negatie!

Paul Valéry: Deze vrijheid van haar kunst, het zich bewust worden van de eigenwaarde van haar ontwikkeling leek de mathematica ver van de realiteit te moeten leiden, naar de wereld van spel, van moeilijkheden en onnutte sierlijkheden, maar zij heeft haar op wonderbaarlijke wijze versoepeld.

Iwan Karamazov: Welnu, ik accepteer God zonder omhaal, ik verwerp alleen de wereld die hij heeft geschapen. Indien God bestaat en als hij werkelijk de wereld heeft geschapen, dan heeft hij de menselijke intelligentie slechts de capaciteit gegeven om de driehoek te bevatten met hoeken waarvan de som gelijk is aan twee rechte. Maar ziedaar mathematici en filosofen - zelfs onder de besten van hen - die toegeven dat de som van de hoeken van de driehoek niet gelijk is aan twee rechte. Maar indien ik me onmogelijk een dergelijke driehoek kan voorstellen, hoe dan, mijn beste Aljosja, zou ik me God kunnen voorstellen? Ik beschik over niet meer dan een nederig euclidisch verstand. En indien de driehoek hoeken heeft waarvan de som niet gelijk is aan twee rechte, zelfs als ik de mogelijkheid had om die te zien met mijn eigen ogen, dan zou ik het toch niet willen erkennen.

Pascal: Ieder van hun principes is waar. Maar de tegengestelde principes zijn ook waar. Er bestaat dus een grote hoeveelheid meetkundige, geloofs- en morele waarheden die afstotelijk lijken en die in een bewonderswaardige orde alle bestaan.

Haïmeric de gnosticus: De propositie die bevestigt dat de som van de hoeken van de driehoek gelijk is aan twee rechte is waar. Dus bestaat God en hij is oneindig goed. Het tegengestelde, de bevestiging dat de som van de hoeken van de driehoek kleiner is dan twee rechte, is ook waar. Dus bestaat God en hij is oneindig slecht. De twee meetkundes die hieruit voortvloeien spreken elkaar tegen, en toch is ieder van beide samenhangend. Ze bestaan naast elkaar en zijn allebei reëel en waar tegelijk. Dus bestaat de Duivel en hij is oneindig machtig.

Sganarelle: Hemel! Dat is het dus, de Heilige meetkundige Drie-eenheid, de Perfecte Driehoek van de Godheid, de absolute Driehoek van de gevaarlijke logische Bocht. Mijn zekerheden, mijn zekerheden!

Einde

[vertaling: Pieter de Nijs]

Noot van de vertaler: omdat de auteur teksten en tekstcitaten soms moedwillig heeft veranderd en heeft aangepast, leek het de vertaler raadzaam zo nauwgezet mogelijk het originele manuscript, dat in het Frans is gesteld, te volgen. Deze vertaling gaat dus niet terug op de bronteksten.