Bzzlletin. Jaargang 28

[p. 10]

Gerard Janssen
Wiskunde, waanzin en genialiteit

Nergens lijken waanzin en genialiteit zo dicht bij elkaar te liggen als in de geschiedenis van de exacte wiskunde. De leer van de getallen heeft altijd buitengewone personen aangetrokken. Onder de grootste wiskundigen van deze eeuw bevonden zich de speed-junk Paul Erdös, de mysterieuze Srinivasa Ramanujan, de psychotische Paul Nash, de paranoïde Kurt Gödel en de depressieve Alan Turing.

‘Ik zou niet durven zeggen dat er een directe relatie is tussen wiskunde en waanzin, maar er is geen twijfel dat grote wiskundigen leiden aan maniakale karakteristieken, delirium en symptomen van schizofrenie.’ Deze woorden zijn afkomstig uit de mond van John Nash, zelf een grote wiskundige die lange tijd worstelde met zijn geestelijke gezondheid.

Nash was een wonderkind, die in 1958, door het tijdschrift Fortune, werd uitgeroepen tot ‘America's briljant young star of the New Mathematics’. Legendarisch is het verhaal dat hij in Princeton, waar hij als geniaal student te boek stond, werd uitgedaagd door een oudere professor om een moeilijk, op het eerste gezicht onmogelijk wiskundig probleem op te lossen. Een klassiek vraagstuk dat voortkwam uit het werk van de negentiende-eeuwse wiskundige Riemann, en dat implicaties had op het gebied van de algemene relativiteitstheorie van Einstein. Nash kraakte het probleem door een eigen oplosmethode te ontwikkelen, die een heel nieuw gebied van de wiskunde opende. Zijn aanpak was zo ongewoon dat wanneer Nash indertijd zijn resultaten presenteerde, er altijd wel iemand onder de toehoorders die uitriep: ‘Ik geloof er geen woord van.’

Een proefschrift van zevenentwintig pagina's

Het werk staat nog steeds zeer hoog aangeschreven binnen de wiskundige gemeenschap. Maar het meest bekend werd Nash door zijn inzichten op het gebied van de speltheorie. Een proefschrift van zevenentwintig pagina's dat hij op eenentwintigjarige leeftijd schreef, veranderde het aanzien van de economie.

De speltheorie is een onderdeel van de getaltheorie, en beschrijft de structuur van ‘spelletjes’. Een goede illustratie van een speltheoretisch probleem is het ‘truel’. Drie mannen mogen om de beurt naar elkaar schieten. Meneer A is de slechtste schutter, die maar één op de drie keer zijn doel treft, meneer B schiet beter en raakt één op de twee keer zijn slachtoffer. Meneer C schiet altijd raak. Als meneer A mag beginnen, op wie moet hij dan het eerste schieten?

Dergelijke vragen worden behandeld door de speltheorie en de antwoorden zijn vaak tegen-intuïtief. (Zo kan meneer A in het bovenstaand voorbeeld het beste in de lucht schieten, zodat meneer B en meneer C op elkaar gaan schieten.) Het is het soort wiskunde waar Milosovic en Clinton van houden.

Nash produceerde baanbrekend werk op het gebied van dergelijke vraagstukken. Maar dat wiskundig genie en waanzin dicht bij elkaar liggen, bleek in 1959 toen John Nash ineens van de aardbodem verdwenen leek te zijn. Het gerucht ging dat hij een hersenoperatie had gehad, en sommigen dachten dat hij dood was. Op Princeton wist men beter. Het was een publiek geheim dat hij gek geworden was. Nash werd een paar keer zonder succes opgenomen in een psychiatrische inrichting en heeft een periode door Europa gereisd, op de vluchtvoor onduidelijke personen. Uiteindelijk keerde hij terug naar Princeton, waar hij bekend werd als ‘the Phantom of the Fine Hall’, zoals wordt beschreven in de roman The Mind-Body Problem van Rebecca Goldstein.

Als een spook dwaalde Nash door de gangen van de universiteit. Soms liep hij een lokaal binnen om vreemde vergelijkingen op borden te kalken. Angstvallig zocht hij naar geheime boodschappen in nummers. Vrienden kregen telefoontjes met teksten als: ‘Vandaag zat ik in bus 17, en dat getal deed me aan jou denken.’ Nash: ‘Ik zag ineens overal cryptocommunisten. [...] Ik begon te denken dat ik een man van

[p. 11]

grote religieuze importantie was, en hoorde continu stemmen. Een soort telefoontjes in mijn hoofd van mensen die bezwaar maakten tegen mijn ideeën [...] Het was als een droom waaruit ik niet meer ontwaakte.’

Iedereen had Nash afgeschreven, toen hij rond zijn vijftigste ineens weer bij zinnen kwam. De dingen die hij op het bord schreef, begonnen op ‘gewone’ wiskunde te lijken. Nash werd langzaam maar zeker weer ‘normaal’ en ontving in 1994 zelfs de Nobelprijs voor de economie. (Een Nobelprijs voor wiskunde bestaat er curieus genoeg niet. Over de reden hiervan worden interessante dingen gefluisterd, waaronder dat Alfred Nobels vrouw ooit vreemd ging met een wiskundige.)

Opperste fascist

Een andere grote mathematicus die immer op het randje van de waanzin balanceerde, was Paul Erdös (spreek uit Erdisj). Erdös verschilde in niets van een zwerver. Hij had geen vaste woon- of verblijfplaats, en geen baan. Zijn bezittingen droeg hij mee in twee reistassen. Het enige dat hij nodig had, waren een potlood, een stukje papier en amfetamine. Het grootste deel van zijn leven vertrouwde hij op de gastvrijheid van zijn collega's. ‘Another roof, another proof’, zo luidde zijn levensmotto.

Geen wiskundig probleem was veilig voor deze mathematische junk.

Erdös had een curieus wereldbeeld. Hij geloofde in een God, die hij de Opperste Fascist noemde (O.F.). Vrouwen noemde hij bazinnen, en mannen slaven. Zelf had hij nooit een vrouw en was hij slaaf van wiskunde. De enige manier waarop hij contact kon hebben met anderen was via de taal van de getallen en de abstracte symbolen. Een bevriend wiskundige moest niet raar opkijken als er midden in de nacht gebeld werd en Erdös op de stoep stond, om samen met het slachtoffer een probleem op te gaan lossen. Hij bleef dan dagen hangen, net zolang tot er weer een wiskundige stelling bewezen was.

Vreemd genoeg waren de meeste van deze wiskundigen blij met een bezoek van de zonderling. Velen bewaarden zelfs problemen, totdat ‘ome Paul’ hen erbij kon helpen. Een publicatie samen met de grote Erdös geldt nog steeds als een grote eer in de wetenschappelijke wereld. Er bestaat zelfs zoiets als het Erdös-nummer. Wanneer je ooit een artikel samen met de meester publiceerde, heb je het Erdös-nummer 1, als je met iemand publiceerde die ooit een artikel met de meester publiceerde heb je Erdös-nummer 2, enzovoort. Het hoogste bekende Erdös-nummer van een nog actieve wiskundige is 7.

‘Een wiskundige is een machine die van koffie wiskundige stellingen maakt,’ zei Erdös ooit. In zijn eigen machine gooide hij echter niet alleen koffie, maar ook amfetamine. De Hongaarse wiskundige genereerde daarom maar liefst vijftienhonderd artikelen, met vierhonderdvijfentachtig co-auteurs.

In september 1996 treurde de wiskundige gemeenschap om het verlies van de drieëntachtigjarige thuisloze, werkeloze amfetaminejunk Paul Erdös, een van de scherpste denkers van de twintigste eeuw.

Priemgetallen

Het vakgebied van Erdös was dat van de getaltheorie, een van de meest fundamentele takken van de wiskunde. De getaltheorie houdt zich bezig met de getallen, met name met de priemgetallen, die altijd een magische aantrekkingskracht hebben gehad op wiskundigen. Priemgetallen zijn de gehele getallen die slechts deelbaar zijn door zichzelf of door 1, zoals 2, 3, 5, 7, 11, 13 en 17.

Priemgetallen hebben bijzondere eigenschappen, waarvan de meeste ongrijpbaar zijn. Veel elementaire vragen zijn nog steeds onbeantwoord. Zo is er is het nog onbewezen vermoeden van Goldbach, dat ieder even geheel getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

[...]

Er is nog nooit een tegenvoorbeeld gevonden. Ook de verdeling van de priemgetallen is onbekend. Er bestaat geen formule die louter priemgetallen genereert. Een van de meest mysterieuze wiskundigen die zich met priemgetallen bezig hield, was Srinivasa Ramanujan. Een jongen zonder academische opleiding, die werkzaam was als kantoorklerk in Madras. Hij bezat

[p. 12]

een verouderd wiskundeboek, waarin problemen stonden, met de oplossingen ernaast.

Ramanujan vond op eigen wijze dezelfde oplossingen en creëerde zijn eigen wiskundige methoden. Hij stuurde de resultaten rond en werd in het Madrasgebied al snel gekend als een wiskundig genie. Een paar brieven zond hij naar wiskundigen in Engeland. Slechts een daarvan nam zijn werk serieus, maar dat was dan ook niemand minder dan G.H. Hardy, een beroemde Britse wiskundige. Hardy herkende onmiddellijk het talent, maar de onconventionele afleidingen van Ramanujan kon hij niet volgen. Hij haalde de Indiër naar Engeland, om samen met hem zijn stellingen volgens een rigoureuze manier af te leiden.

Het bleek een onmogelijke opgave. In de woorden van Hardy: ‘Zijn kennis was even beperkt als diepzinnig.’ Steeds als men Ramanujan iets probeerde uit te leggen, reageerde de Indiër met een waterval aan originele ideeën. Het was onmogelijk om hem op het traditionele spoor te krijgen. Het leek wel of de jongen in contact stond met een hogere waarheid.

Helaas kon de wiskundige gemeenschap maar kort van Ramanujans irrationele talent genieten. Aan de Engelse cultuur kon Ramanujan zich moeilijk aanpassen. Hij werd ernstig ziek, vertrok weer naar India, en stierf op drieëndertigjarige leeftijd.

Wat hij achterliet, waren een paar aantekeningboeken, die samen met de brieven en het werk in Cambridge zijn oeuvre vervolmaakten.

Ramanujans werk zat boordevol belangrijke resultaten, maar bevatte ook een paar - in conventionele ogen - stuitende missers. Ramanujan en Erdös bewezen onafhankelijk van elkaar de stelling van Tsjebysjev, dat er tussen ieder getal en het dubbele ervan een priemgetal kon worden gevonden. Toen Erdös kennis nam van het bewijs van Ramanujan was hij onder de indruk van de schoonheid ervan. Ramanujan was iemand die de oplossingen ‘zag’, of in zijn eigen woorden: ‘Voor mij heeft een vergelijking geen betekenis tenzij ze een gedachte van God uitdrukt.’ Om met Erdös te spreken leek het alsof Ramanujan soms toegang had tot het boek van de Opperste Fascist.

De schoonheid van getallen

Net zoals dat het geval was bij Nash en Erdös waren de getallen Ramanujans vrienden. Toen Hardy Ramanujan eens opzocht in het ziekenhuis, vermeldde hij terloops dat hij met taxi nummer 1729 was gekomen. Ramanujan antwoordde onmiddellijk dat dit een speciaal getal was, namelijk het kleinste gehele getal dat op twee manieren te schrijven was als de som van twee derde machten.

1729 = 1³ + 12³ = 9³+ 10³

‘Waarom zijn getallen zo mooi?’, vroeg Erdös zich ooit hardop af. ‘Het is als vragen waarom de negende van Beethoven mooi is. Als je niet ziet waarom, kan niemand het je vertellen. Ik weet dat getallen mooi zijn. Als getallen niet mooi zijn, is niks mooi.’ Voor veel wiskundigen is de getaltheorie een kunstvorm, of zelfs een religie. Het begon al bij Pythagoras, die getallen niet alleen beschouwde als hulpmiddelen bij het tellen, maar ook als slechte, vriendelijke of goede entiteiten. Toen een van zijn volgelingen erachter kwam dat de wortel van 2 niet te schrijven was als een breuk, eiste Pythagoras volledige geheimhouding. Het verhaal gaat dat een van zijn leerlingen het verbod overtrad en ter dood werd veroordeeld. Nog steeds hebben veel wiskundigen een religieus ontzag voor hun droomwereld waarin de ideale cirkel, de ideale rechte lijn en de ideale getallen bestaan. De wiskunde biedt een ogenschijnlijk ideaal, Platonisch rijk.

Het wiskundig bewijs

Een van de meest heilige huisjes van de wiskundigen is het wiskundige bewijs (zie kader), dat volgens logische gevolgtrekking is ‘gebouwd’ op elementaire axioma's: De ‘triviale’ oerstellingen zoals a + b = b + a, of de aanname dat twee evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden. De grondvesten, waarop alle andere stellingen zouden moeten steunen. Ze leken voor eens en altijd te zijn vastgelegd in Freges boek Die Grundlagen der Arithmetik, dat aan het begin van deze eeuw verscheen, totdat Bertrand Russell ontdekte dat er problemen bleven optreden bij bepaalde wiskundige formuleringen. Stel je een papiertje voor met op beide kanten de tekst: ‘De bewering op de andere kant van dit papiertje is onwaar.’ Een kinderachtig grapje, maar dit soort geintjes bleken ook met wiskundige stellingen uit te halen te zijn. Stellingen die zogenaamd goed afgeleid waren, bleken onzinnig te kun-

[p. 13]

nen zijn, en op zichzelf terug te slaan, als een slang die in zijn eigen staart bijt. Zoals de paradox van de barbier van Sevilla: De barbier van Sevilla scheert iedere man die zichzelf niet scheert. Scheert de barbier van Sevilla zichzelf? Als hij zichzelf scheert, zou hij zichzelf niet mogen scheren, en als hij zichzelf niet scheert, zou hij zichzelf wel moeten scheren.

De wiskundige David Hilbert stelde dat de uitgangspunten van de wiskunde zodanig geformuleerd dienden te worden, dat dergelijke paradoxen niet meer op zouden treden. De logici Russell en Whitebread stelden zich tot doel om dit onfeilbaar systeem te vinden. Weinigen twijfelden eraan dat het zou lukken de wiskunde degelijk te funderen, maar het ging moeizamer dan verwacht. En alle hoop op een goede afloop verdween toen de vijfentwintigjarige Kurt Gödel in 1931 een resultaat presenteerde dat door velen wordt beschouwd als een van de belangrijkste van deze eeuw. Gödel liet zien dat er, ongeacht welke axioma's je kiest, stellingen te formuleren zijn, waarvan binnen het systeem de juistheid niet kan worden aangetoond. Gödel ging zelfs nog verder door aan te tonen dat het onmogelijk was om te bewijzen dat een complex wiskundesysteem tegenspraakvrij was. Zijn werk trapte de fundamenten onder de wiskunde vandaan.

Homerun

Gödel was ook weer zo'n vreemd genie. Hij werd geobsedeerd door geesten en demonen, zag meerdere sanatoria van binnen, en weigerde van iemand anders dan zijn vrouw Adele eten aan te nemen, omdat hij dacht dat anderen hem in het geheim probeerden te vergiftigen. In een van zijn heldere momenten liet hij echter de wiskunde op haar grondvesten schudden, en bracht een zware slag toe aan hen die de wiskunde beschouwden als het meest logische van alle logische systemen. Russell bijvoorbeeld, was een gebroken man toen hij besefte dat Gödel gelijk had.

De meeste wiskundigen lieten zich echter niet zo makkelijk uit het veld slaan, en hielden na het werk van Gödel vast aan een soort religieus geloof dat de wiskunde tegenspraakvrij was, ook al was dit dan misschien niet te bewijzen. De getallentheoreticus André Weil formuleerde het als volgt: ‘God bestaat omdat de wiskunde consistent is, en de duivel bestaat omdat we het niet kunnen bewijzen.’

Ook Erdös hield vast aan het geloof dat Het Boek van de Opperste Fascist onfeilbaar was. Hij beleefde teveel plezier aan de problemen die wel op te lossen waren, om zich zorgen te maken over de problemen die niet op te lossen waren.

Of een probleem zinvol was, maakte hem niet uit. Sterker nog, hoe zinlozer hoe beter, zo blijkt uit het voorbeeld van de Ruth-Aaron-paren. In april 1974 sloeg Hank Aaron zijn 715e homerun, en sloeg daarmee het record van Babe Ruth uit 1938 aan gort. De getallen 714 en 715 gonsden al geruime tijd onder de sportfans. De wiskundige Carl Pomerance, indertijd werkzaam bij de universiteit van Georgia, zat verveeld met deze getallen te spelen, en merkte dat het product van de twee getallen ook het product was van de eerste zeven priemgetallen:

714 × 715 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17

Ook vond hij nog een andere eigenschap De som van de priemfactoren van 714 was gelijk aan de som van de priemfactoren van 715. Immers

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13

Twee opeenvolgende getallen met deze eigenschap werden Ruth-Aaronparen genoemd. Hoewel dergelijke paren moeilijk te vinden zijn, poneerde Pomerance het vermoeden dat er een oneindig aantal van dergelijke paren bestaan. Binnen een week werd dit vermoeden bewezen door Paul Erdös.

Geen praktisch nut

Traditioneel zijn getaltheoretici er trots op, zich bezig te houden met problemen die volstrekt zinloos lijken te zijn. Toen Euclides de priemgetallen onderzocht, stond hij zich erop voor dat ze niets bruikbaars aan het Griekse leven bijdroegen. Hardy zei graag: ‘Ik heb nooit iets nuttigs gedaan.’ Hij stelde dat de getal theorie, zijn specialisatie, nooit door het leger gebruikt zou worden. Hiermee een impliciete sneer gevend aan het adres van natuurkundigen als Einstein, wiens relativiteitstheorie onder meer een aanzet gaf tot de ontwikkeling van de atoombom.

[p. 14]

Het wiskundig bewijs

Een bewijs is voor eens en altijd waar. Neem het voorbeeld van een schaakbord dat moet worden belegd met dominostenen. Het is niet moeilijk om een schaakbord geheel met dominostenen te bedekken zodanig dat iedere dominosteen zowel een wit vlak als een zwart vlak afdekt.
Een schaakbord heeft twee witte en twee zwarte hoekvlakken. Als nu van een schaakbord de twee witte hoekvlakken worden verwijderd, is het dan nog steeds mogelijk om schaakbord met dominostenen te bedekken, waarbij iedere dominosteen een zwart en een wit vlak bedekt?
Een menselijke aanpak is om het gewoon te proberen. Een wiskundige zal echter gaan redeneren:
 
- De twee verwijderde hoekvlakken van het schaakbord waren wit. Er zijn nu dus 32 zwarte velden en maar 30 witte velden.
-Elke dominosteen bedekt twee aanliggende velden, en aanliggende velden hebben altijd een andere kleur, dat wil zeggen zwart en wit.
-Derhalve moeten, ongeacht de manier waarop ze zijn geschikt, de eerste 30 op het bord gelegde stenen 30 witte en 30 zwarte velden bedekken.
-Dientengevolge blijven er altijd een dominosteen en twee zwarte velden over.
- Alle dominostenen bedekken twee aanliggende velden, en aanliggende velden zijn verschillend van kleur, en kunnen dus niet worden bedekt door een resterende dominosteen. Daaruit volgt dat het bord bedekken onmogelijk is.
 
Tegen een wiskundig bewijs is niets in te brengen. Wanneer het er is hoef je niet meer alle mogelijkheden uit te proberen.

[p. 15]

Maar Hardy had het mis. De beste beveiligingscodes, zoals ze gebruikt worden in het Pentagon, zijn gebaseerd op getaltheoretische trucs met priemgetallen. En de speltheorie waar John Nash zijn naam aan verbond, heeft haar weg gevonden naar alle militaire academies. Getallentheoretici werden in de tweede wereldoorlog door de Engelsen ingezet om de Enigmacode te breken. De vertaalslag die de Duitsers gebruikte om boodschappen in geheimtaal om te zetten. Er waren miljarden manieren waarop dit mogelijk was, en de vertaalslag veranderde dagelijks. Toch slaagden Britse wiskundigen, onder leiding van Alan Turing, er vaak in om de code te breken. Turing, die leed aan depressies, en in 1954 zelfmoord pleegde, bouwde voort op het werk van Gödel, en stond aan de wieg van de moderne computertechnologie.

Het is de opmerkelijke paradox van de wiskunde: hoe vastberaden de beoefenaars ook de wereld negeren, en haar soms helemaal verliezen, ze leveren consequent de beste middelen voor het begrijpen en het hanteren ervan ervan. John Nash zei, na decennia lang in een psychose geleefd te hebben: ‘Ik mag dan tegenwoordig weer rationeel denken, maar dit is niet alleen maar een plezierige zaak, zoals dat is voor iemand die beter wordt na een lange ziekte. Rationele gedachten leggen een beperking op iemands concept van zijn relatie met de kosmos.’

Literatuur

Paul Hofman, De man die van getallen hield. Amsterdam, Bert Bakker 1999.

Simon Singh, Het laatste raadsel van Fermat. Amsterdam, De Arbeiderspers, 1998

Gerard Jansen (1967) studeerde Technische Natuurkunde en werkte gedurende vier jaar aan de Universiteit Utrecht aan een promotieonderzoek op het gebied van de fysische oceanografie. Op dit moment maakt hij als disk-jockey deel uit van het dj-duo de easy aloha' s. Dit duo verzorgt onder dezelfde naam ook een wekelijkse society-rubriek in het Parool. Gerard Jansen publiceerde o.m. in de Volkskrant, Het Parool, de Groene Amsterdammer, Rails, de VPRO-gids en het Utrechts Universiteitsblad.

[p. 16]