Bzzlletin. Jaargang 28

[p. 3]

Louk Fleischhacker
Fantasie in wiskunde en literatuur

Wiskundigen heten de hogepriesters van de wetenschap te zijn, ondanks of misschien juist vanwege hun grote fantasie. Ze leven immers met hun gedachten in een wereld die niet bestaat op de wijze waarop iets bestaat dat voor onze zintuigen waarneembaar is. Wiskunde gaat weliswaar in zekere zin over het waarneembare, ‘maar niet als waarneembaar,’ zoals Aristoteles het uitdrukte. Een belangrijke eigenschap van de waarneembare wereld - de structureerbaarheid ervan - wordt door het verstand opgevat en op abstracte wijze tot grondslag gemaakt van een denkbeeldige wereld waarin de werkelijkheden zuivere, ideale structuren zijn. Deze ideale structuren - lijnen zonder dikte, punten zonder grootte, abstracte verzamelingen - zijn alleen voor het denken toegankelijk. Juist daardoor zijn ze objectiever dan de waarneembare voorwerpen. Ze zijn niet gekleurd door de persoonlijke levensgeschiedenis van de beschouwer en hun eigenschappen zijn perfect uit te drukken in een symbolisch formalisme dat zelf weer uit een structurering van waar neembare tekens bestaat.

De wiskundige fantasie is in beginsel door ieder die dat wil volmaakt mee te voltrekken. Ook de auteur van een literair werk schept een fantasiewereld die in tekens wordt uitgedrukt en die door anderen kan worden meebeleefd. We treden, bij het lezen van zo'n werk, binnen in een wereld die zich verder lijkt uit te strekken dan wat erover op papier staat. De veelbe-spotte vraag: ‘How many children had lady Macbeth?’ komt heel natuurlijk bij de lezer op, al geeft Shakespeares toneelstuk er geen antwoord op. Dit fenomeen heeft zijn exacte pendant in de wiskunde. De mathematisch-logische stelling van Skolem en Löwenheim vertelt ons dat een axiomatisch systeem oneindig veel mogelijke interpretaties toelaat, die structureel verschillen. Toch hebben we het gevoel dat de gewone rekenkunde van de natuurlijke getallen een volstrekt vastliggend terrein is, waarover we zinvol alle wiskundige vragen kunnen stellen die maar in ons opkomen. De vijf axioma's die Guiseppe Peano voor deze rekenkunde heeft opgesteld zijn meer dan een formalisme. Ze drukken een intuïtieve visie uit op een zekere structuur - die van de natuurlijke getallen - waarvan de wiskundige Kronecker zelfs vermoed heeft dat ze van God afkomstig is, terwijl hij de rest van de wiskunde ‘mensenwerk’ noemde. Met een wiskundige gedachte treden we, evenals bij het lezen van een literair werk, een geheel eigen wereld binnen. En wie verzekert ons eigenlijk dat de wereld van de dingen die we waarnemen zich wél verder uitstrekt dan de horizon van wat binnen ons waarnemingsbereik is? Ook hier is het een begrensd gebied van gegevens dat ons een heel universum doet vermoeden. En hoe we ook ons best doen om ons strikt tot het gegevene te beperken, onze fantasie laat zich niet aan banden leggen. Ze is gebaseerd op een zekerheid die het houvast van het hier en nu gegevene ver achter zich laat. De zekerheid dat elk gegeven slechts een begin is van de werkelijke kennis van wat er in waarheid is. Een grafentheoreticus - dat is een wiskundige die zich bezighoudt met structuren die ontstaan door denkbeeldige punten twee aan twee met elkaar te verbinden - begon eens zijn college met de opmerking dat hij alle structuren die ter sprake zouden komen in een oneindig-dimensionale ruimte ingebed zou denken, want: ‘Dan hebben we wat armslag.’ Dit is de houding bij uitstek van de wiskundige. Geef datgene waar je over denkt de ruimte, zie het als een inperking van iets algemeners. Dat verruimt je horizon en geeft je misschien antwoord op een vraag die je anders niet eens zou kunnen of durven stellen. Op deze wijze kan men vaak wiskundige vermoedens controleren. Men vraagt zich dan af of er een structuur denkbaar is waarvoor het vermoeden niet opgaat.

Een tegenvoorbeeld. Het doet daarbij niet terzake of dit tegenvoorbeeld enig verband vertoont met iets dat elders in de wiskunde voorkomt en ook niet of het ergens toepassing kan vinden. Al is het nog zo ver gezocht, het vervult de functie aan te tonen dat ons vermoeden niet logisch volgt uit wat we over het ter-

[p. 4]

rein in kwestie hebben aangenomen. Zo is er een formule die ongeveer aangeeft hoeveel priemgetallen beneden een gegeven getal liggen. Voor de getallen die we gewoonlijk tegenkomen geeft deze formule een onderschatting, dat wil zeggen: ze geeft een waarde die iets kleiner is dan het werkelijke aantal priemgetallen. Wiskundigen vragen zich nu af of dit algemeen geldt. Na lang onderzoek is gebleken dat dit niet het geval is. De waarde van de formule schommelt oneindig vaak tussen een iets te klein en een iets te groot aantal. Er blijkt dus een getal te bestaan waar voorbij de formule een bovenschatting geeft. Dit getal is echter zo groot, dat het geen enkele zin heeft te proberen het met welke computer dan ook uit te rekenen. Het wordt alleen bereikt door de ideële armslag van de wiskundige.

Het is ook een bekend fenomeen in de wiskunde dat een algemenere stelling vaak gemakkelijker te bewijzen is dan haar verbijzonderingen. Eigenlijk is dit ook het recept van de moderne wetenschap: zie je probleem in het perspectief van een algemene theorie die het gehele veld structureert waarbinnen je bezig bent. Waar we de onbeperkte ruimte benutten, die ons denken te bieden heeft, bevrijden we ons van de beperkingen van de toevallige situatie waarin we ons bevinden. Zo bevrijdt de wetenschap zich ook van de door de heersende cultuur voorgegeven structureringen van de ervaringswereld en kan ze nieuwe verschijnselen op het spoor komen. Daarom biedt in de wiskunde een theorie over oneindige structuren - bijvoorbeeld de oneindige rij van natuurlijke getallen of de oneindige ruimte van de Euclidische meetkunde - meer houvast dan een theorie over eindige structuren. Deze laatste kunnen allerlei toevallige eigenaardigheden vertonen waar moeilijk vat op te krijgen is, zoals op het gebied van de getallen bijvoorbeeld de priemgetallen doen. Beschouwen we oneindige structuren, dan abstraheren we van vele van deze eigenaardigheden en wordt de zaak wiskundig veel doorzichtiger. Dit is eigenlijk niets anders dan de idealiserende abstractie die al eerder ter sprake kwam en die in het algemeen de toegangspoort vormt tot het mathematische denken.

Maar we moeten met dit abstraherende verstand natuurlijk niet al te ver van huis gaan. Er is een tegenwicht nodig. In de wiskunde is dit de logische consistentie van onze theorie, in de natuurwetenschap zijn het de experimentele meetgegevens, in de literatuur geldt de eis van stilistische coherentie en consequentie. Hoe weten we echter dat de wiskundige theorie consistent is? Kurt Gödels beroemde stelling leert ons dat we dat in een theorie niet van binnen uit kunnen zien. We weten het dus doordat we met onze intuïtie steeds al verder zijn dan wat we in de theorie hebben kunnen vastleggen. De ruimte van ons denken is geen onverschillige ruimte, zoals de abstracte ruimte van de meetkunde. Ze wordt begeleid door een intuïtie die verder strekt dan wat we kunnen overzien. Zo merken we ook het verschil tussen de werken van de meesters der literatuur en een middelmatig geschrift. De eerste boeien ons omdat zich een vergezicht opent dat iets bijna onnoembaars in ons aanspreekt. Bij het tweede vallen we over stilistische missers en ‘loose ends’, die in de eerste toch ook rijkelijk aanwezig zijn, maar daar merken we ze nauwelijks op. Zo hebben er in bewijzen van belangrijke wiskundige stellingen aanvankelijk ook veel fouten gezeten. Omdat de grondgedachte echter sterk genoeg was, konden de fouten hersteld worden. Een kras voorbeeld hiervan is de beroemde stelling van Fermat, waarvoor deze wiskundige aanvankelijk helemaal geen bewijs heeft gegeven en die pas in onze tijd met veel moeite bewezen kon worden.

De overeenkomst tussen literatuur en wiskunde manifesteert zich in de praktijk op een karakteristieke manier. Op een congres van wiskundigen hoor je iemand over een vakgebied waar je sinds twintig jaar niets aan gedaan hebt een voordracht houden. Tot je verbazing snap je waar hij het over heeft en je kunt nog een vraag stellen ook. Even later ben je in een levendig gesprek gewikkeld over een wiskundig vraagstuk waar je tevoren zelfs het bestaan niet van kende. Zoiets kan je ook overkomen wanneer je iemand tegenkomt die een boek gelezen heeft dat je ook kent, bijvoorbeeld Tolkien's Fellowship of the Ring. Voor je het weet, maak je een gezamenlijke reis door een imaginair landschap waarvan je even tevoren niet wist dat het in je verborgen lag Nu zou men kunnen denken dat dit in alle levensgebieden zo toegaat. Maar dat valt tegen. Op het terrein van de filosofie of de religie bijvoorbeeld kun je uren met elkaar van gedachten wisselen zonder tot enig gevoel van verstandhouding te komen. Je blijft vreemden voor elkaar, want er is hier geen gemeenschappelijke wereld waarin je kunt bin-

[p. 5]

nentreden. Een filosofisch werk, - Wittgensteins Philosophische Untersuchungen bijvoorbeeld, of Hegels Phänomenologie des Geistes - kan je boeien, zonder dat zich een landschap ontrolt waar je je in thuis kunt voelen. Het blijft moeizame arbeid en strijd in je eigen kop. De ruimte van de onverdroten objectiverende fantasie ontbreekt. Je zult met je blote hoofd moeten begrijpen wat hier staat en alles wat daarboven uit gaat is... fantasie.

Men zegt wel eens dat een nieuw wetenschapsgebied begint met een gewaagde hypothese die alles volkomen helder lijkt te maken. We kunnen bijvoorbeeld denken aan Chomsky's hypothese van de aangeboren taalstructuren of aan Lombroso's theorie van de erfelijke criminele aanleg. Gaandeweg blijkt dan dat het geldigheidsgebied van de hypothese moet worden ingeperkt en de inhoud ervan moet worden genuanceerd. In de loop van dit proces wordt de overeenstemming van de theorie met de feiten steeds beter, maar de theorie verliest helaas haar inzichtelijkheid. Bij voortzetting van dit proces houden we op het laatst alleen nog maar een droge opsomming van feiten over. Maar gelukkig verschijnt er voor die tijd meestal alweer een nieuwe baanbrekende hypothese die het proces van voren af aan op gang brengt. Zo zijn ook in de filosofie de meest radicale standpunten gewoonlijk voor ons denken het meest bevredigend, maar het minst in overeenstemming met de ervaring. De begrijpelijkheid van de wereld krijgen we niet cadeau. Ze moet veroverd worden in een strijd tussen fantasie en nuchterheid. Wiskunde en literatuur zijn echter reservaten voor de fantasie. De fantasie kan zich er even bevrijd voelen van de dwingende eis tot nuchterheid en haar eigen armslag onbelemmerd uitoefenen. Evenals in de beeldende kunst en in de muziek vraagt in de literatuur en de wiskunde het uitdrukkingsmedium de vaardigheid van beheersing. Maar anders dan in deze kunsten wordt de mate van beheersing hier alleen begrensd door de vermogens van de beoefenaar en niet ook nog eens door de eigenschappen van het materiaal zelf. Het materiaal is als het ware onbeperkt flexibel, al wordt deze flexibiliteit betaald met een zekere mate van onwerkelijkheid. ‘What can be said in prose, can be said better in prose,’ schreef T.S. Elliot, waarmee hij tevens aangaf dat de dichtkunst een tussenpositie inneemt. De taal fungeert daar niet slechts als het flexibele medium, maar ook reeds als weerbarstig materiaal. De restricties van logische, respectievelijk stilistische consistentie vormen ten aanzien van wiskunde en literatuur geen beperking van de uitdrukkingsmogelijkheid. Wat niet in een consistente wiskundige theorie is uit te drukken, is in het geheel geen mogelijke wiskundige inhoud en wat niet stilistisch consequent te beschrijven is, is in het geheel geen literaire inhoud. De weerbarstigheid van de poëtische taal doet hier niets aan af, maar voegt eerder nog iets aan de uitdrukkingsmogelijkheid toe. Niet voor niets verzuchtte Wittgenstein dat men filosofie eigenlijk zou moeten kunnen dichten.

Dit brengt ons op de gedachte dat de onbeperkte flexibiliteit niet in alle opzichten een voordeel genoemd kan worden. De weerstand van het materiaal brengt ons terug naar de werkelijkheid. Wiskunde en literaire verbeelding hebben ook iets van drugs. Men kan er aan verslaafd raken en dat komt de realiteitszin niet ten goede. Wiskundigen moeten er soms aan herinnerd worden dat niet alles wiskunde is en ook in de mathematische wetenschappen ligt altijd het gevaar op de loer dat het ideële mathematische model voor de werkelijkheid gehouden wordt. Op het literaire vlak kan men deze verleiding romantiek noemen. De verleiding om ‘[...] een gevoelsmatige inhoud in een fantastische vorm’ - zoals de gebroeders Schlegel in de achttiende eeuw het begrip ‘romantiek’ voor het eerst definieerden -, voor de werkelijkheid te houden. Dit is de ware grens van de inwendig onbegrensde werelden van wiskunde en literatuur. Ondanks de moderne wetenschap is de wereld geen mathematische structuur en ondanks de postmoderne filosofie is de werkelijkheid geen verhaal.

Dr. Louk E. Fleischhacker (1936) is universitair docent bij de vakgroep systematische wijsbegeerte van de faculteit wijsbegeerte en maatschappijwetenschappen van de Universiteit Twente. Hij studeerde wiskunde, mathematische logica en filosofie aan de universiteit van Amsterdam en werkte enige jaren bij het Mathematisch Centrum. In 1982 promoveerde hij op een dissertatie over de wijsbegeerte van het wiskundig denken bij Aristoteles en Hegel, getiteld Over de grenzen van de kwantiteit. Hij publiceerde voornamelijk over de wijsbegeerte van het wiskundig denken, o.a. Beyond Structure, The Power and limitations of Mathematical Thought in Common Sense, Science and Philosophy, Peter Lang, Frankfurt a/M. 1995, maar ook over Hegels natuurfilosofie en logica.