Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet

[p. 175]

Tweede deel des sesten bovcx van t'verkeeren der vlacken.

5 Voorstel.

Een vierhouckich rechthouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegheven rechthouck.

Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck sijn, ende E F een lini.

Tbegheerde. Wy moeten een rechthouck teyckenen even met A B C D ende diens langde sy E F.

Twerck.

Ick vinde de vierde everedenighe der drie E F A B, A D welcke sy F G: Mette selve ende met E F gheteyckent den rechthouck E F G H, ick segh hem den begeerden te wesen; waer af t'bewijs ghedaen is int 14 voorstel des 6 boucx van Euclides.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet met voeten E F die bevindende neem ick van 6, A B van 3, A D van 4: Segh daer na E F 6 gheeft A B 3 wat A D 4? Comt 2: Daerom ghetrocken F G van 2 voeten rechthouckich op E F, ende daer mede volmaeckt den rechthouck E F G H ick segh hem den begheerden te wesen. Proef. Elcke rechthouck doet 12 deur het 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een vierhouckich rechthouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegheven rechthouck na den eysch.

Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen vervoughen.

A B C D doende 12 mach sijn een vlack bultich of plat en van form soo valt, wanneermen die 12 deelt deur E F 6 datter uyt comt als 2 is voor de sijde E H om den rechthouck E H G F even te hebben mettet ander vlack.

6 Voorstel.

Een viercant te teyckenen even an een ghegeven rechthouck.

Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck sijn.

Tbegheerde. Wy moeten een viercant teyckenen even anden selven rechthouck.

[p. 176]

Twerck.

Ick vinde deur het 3 voorstel des 4 boucx de middeleveredenighe tusschen A B en A D welcke sy E F, uyt de selve beschreven het viercant E F G H ick segh t'selve t'begheerde te wesen; waer af t'bewijs openbaer is deur het 14 voorstel des 2 boucx van Euclides.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B bevinde die neem ick van 4 voeten, A D van 9, ende neem tusschen die twee ghetalen een middeleveredenich t'welck is 6. Daerom ghetrocken een lini als E F lanck 6 voeten, ende daer mede volmaeckt het viercant E F G H, ick segh t'selve t'begeerde te wesen. Proef. A B C D ende E F G H doen elck 36 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rechthouck na den eysch.

7 Voorstel.

Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde ende even an een ghegheven driehouck.

Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn ende D E een lini.

Tbegheerde. Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even anden driehouck A B C ende soo lanck als D E.

Twerck.

Ick treck de hanghende van eenighen houck op haer teghenoversijde als A F op B C, vinde daer na de vierde everedenighe der drie als D E, den helft van C B, ende A F, welcke vierde sy E G, vande selve ende E D beschreven sijnde dē rechthouck D E G H, ick seghse t'begheerde te wesen waer af t'bewijs ghedaen is int 44 voorstel des 1 boucx van Euclides.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet D E die bevindende neem ick van 8 voeten, den helft van C B 2, ende A F 12, segh daer na D E 8, gheeft den helft van C B 2, wat A F 12? Comt 3: Daerom ghetrocken E G 3 voeten rechthouckich op D E, ende daer mede voltrocken den rechthouck D E G H, men heeft t'begheerde. Proef. De driehouck ende vierhouck doen elck 24 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegheven driehouck.

[p. 177]

8 Voorstel.

Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegheven rechtlinich plat.

Tghegheven. Laet A B C D een rechtlinich plat sijn ende E F een lini.

Tbegheerde. Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even met A B C D, ende soo lanck als E F.

Twerck.

Ick deyl eerst de ghegheven vierhouck mette lini D B in twee driehoucken A B D, B C D: Daer mede teycken ick op de lini E F deur het 7 voorstel van desen den rechthouck E F G H, even anden driehouck B D C: S'ghelijcx op de lini H G den rechthouck H G I K even andē driehouck A B D:



T'welck soo sijnde ick segh dat den rechthouckighen vierhouck E F I K even is ant rechtlinich plat A B C D, waer af t'bewijs ghedaen is int 45 voorstel des 1 boucx van Euclides.

Angaende wercking met ghetalen die is deur de wercking des 7 voorstels van desen kennelick ghenouch. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde, ende even an een ghegeven rechtlinich plat, na den eysch.

Vervolgh.

Vyt het voorgaende is kennelick hoemen vinden sal de reden in rechte linien van ghegheven rechtlinighe platten. Als by voorbeelt om te vinden de reden in rechte linien vanden driehouck A B D, totten driehouck B C D, want die verkeert sijnde in rechthoucken alsvooren, ick segh dat ghelijck de rechte lini F G tot G I, alsoo den driehouck B C D totten driehouck A B D. Maer sooder begheert waer de reden des vierhoucx A B C D tot eenich ander veelsijdich rechtlinich plat, men soude t'selve rechtlinich plat oock verkeeren in een rechthouck onder de selve hooghde E F, en segghen daer na dat ghelijck F I tot dien anderen gront des verkeerden rechthoucx, alsoo den vierhouck A B C D tot dat ander veelsijdich plat.

9 Voorstel.

Wesende ghegheven tvvee onghelijcke rechtlinighe platten: Een plat te teyckenen even ant een, ende ghelijck mettet ander.

Tghegheven. Laet A en B twee onghelijcke rechtlinighe platten sijn.

Tbegheerde. Wy moeten een derde plat teyckenen even an A, ende ghelijck met B.

[p. 178]

Twerck.

Ick maeck twee rechthoucken deur het 8 voorstel d'een even an A, d'ander an B en onder een selve hooghde: Segh voort, den gront vanden rechthouck even mettet naformelick plat B, gheeft den gront van d'ander rechthouck, wat eenighe sijde van B, ick



neem E F? Comt neem ick (deur het 2 voorstel des 4 boucx) C D. Vinde daer na een middeleveredenighe tusschen E F ende C D, welcke sy G H: Op de selve als lijckstandighe met E F, gheteyckent t'plat I ghelijck met B men heeft t'begeerde.

Tbewys.

Want G H middeleveredenige is tusschen E F en C D deur t'werck, so sijn de drie linien E F, G H, C D in ghedeurighe everedenheyt: daerom ghelijck E F tot C D, alsoo t'plat op E F gheteyckent, te weten t'plat B, tot sijns ghelijcke plat op G H, te weten t'plat I: Maer ghelijck E F tot C D, alsoo t'plat B tottet plat A deur t'werck: Daerom t'plat B heeft tottet t'plat A ende I een selve reden, waer deur A ende I even sijn.

Derghelijcke vvercking deurghetalen.

Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van	368.
Daer na t'plat A	170.
Ende eenige sijde des na formelicken plats B, als, neem ick, de sijde E F	11.
Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden? comt	5 15/184.
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden en 5 15/184 vierde in d'oirden, t'welck is	√ 55 165/184.

Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde.

Proef. Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van E F, gheeft 55 165/184 viercant van G H, wat het plat B 368? Comt voor t'plat I 170 even an t'plat A.

De selve vvercking deur de thiende.

Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van	368.
Daer na t'plat A	170.
Ende eenighe sijde des naformlicken plats B, als de sijde E F	11.
Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden? Comt	508 ②.
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden, ende 508 ② vierde in d'oirden, t'welck is	748 ②.

Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op als lijck-

[p. 179]

standighe met E F gheteyckent het plat I, men heeft t'begeerde. Proef. Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van E F, gheeft 559504 ④ viercant van G H, wat het plat B 368? Comt voor t'plat van I 170 voeten en 16 ② welcke doen 170 4/25 voet: Ende soude moeten sijn 170 sulcx datter alleenlick 4/25 voets te veel comt: Diet inde daet naerder begheert mach met ③ of ④ rekenen ghelijck wy boven maer tot ② ghecommen en sijn.

Ander corter vvercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade.

B 368, gheeft het viercant van E F 121, wat A 170? Comt viercant 558967 ④, diens sijde 748 ②: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, en daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ongelijcke rechtlinighe platten, wy hebben een plat gheteyckent even ant een, ende ghelijck mettet ander.

10 Voorstel.

Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven rondt.

Tghegheven. Laet A B C D een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn A C. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen even an t'selve rondt.

Twerck.

Ick treck de lini C F rechthouckich op E C ende even anden omtreck ABCD deur het 1 voorstel deses 6 boucx. Daer na E F: T'welck soo sijnde ick segh, den driehouck E F C even te sijn ant ront A B C D, waer af t'bewijs ghedaen is int 1 voorstel des



boucx der rondtsmeting van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet E C die bevindende neem ick van 7 voeten, volghende t'welck den omtreck A B C D doet (deur het 8 voorstel des 2 boucx) 44: Daerom treck ick C F van 44 voeten rechthouckich op C E, daer na E F, ende heb den begheerden driehouck E F C. Proef. T'ront A B C D, ende den driehouck E F C, doen elck 154 voeten deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een driehouck gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch.

[p. 180]

Vervolgh.

Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven driehouck: Want gheteyckent een driehouck ghelijck met E C F ende even anden ghegheven driehouck deur het 9 voorstel van desen, ende met dien driehoucx cortste sijde als halfmiddellijn een rondt beschreven, men heeft t'begheerde.

Ander voorbeelt verbonden an een ghegevenformghevonden en berekent van sijn Vorstelicke Ghenade.

Tghegheven. Laet beneven t'voorgaende rondt A B C D noch ghestelt sijn dit rechtlinich plat, soot valt G H I K L groot neem ick van 60, en doende eenighe sijde als G H 7.

Tbegheerde. Wy moeten een plat teyckenen ghelijck met G H I K L, en even ant rondt A B C D.

Twerck.

T'plat G H I K L 60, gheeft het viercant van G H 49, wat het plat ABCD 154? Comt viercant 1257667 ④, diens sijde 1121 ②: Daerom ghetrocken van dier langde een lini als M N, en daer op als lijckstandighe met G H gheteyckent het plat M N O P Q, men heeft t'begeerde.

11 Voorstel.

Een viercant te teyckenen even an een ghegheven rondt.

Tghegheven. Laet A B C D een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn A C. Tbegheerde. Wy moeten een viercant teyckenen even an t'selve rondt.

Twerck.

Ick vinde de lini F, even anden helft des omtrecx A B C D, daer na de middeleveredenige tusschen F en E C, welcke sy G H, waer mede beschreven het viercant G H I K, ick segh t'selve t'begheerde te wesen.

Tbewys.

Na dien t'rondt A B C D even is anden rechthouckighen driehouck diens hooghde de halfmiddellijn ende den grondt even anden omtreck, soo is t'selve rondt even anden rechthouckigen vierhouck, diens hooghde de halfmiddellijn is ende den gront even anden helft des omtrecx, daerom t'viercant beschreven uyt de middeleveredenighe van die twee is t'begheerde.

[p. 181]

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C die bevindende neem ick van 14 voeten, t'welck soo sijnde den omtreck A B C D doet 44, diens helft 22, tusschen de selve ende E C 7 ghesocht het middeleveredenich ghetal, wort bevonden van √ 154: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op beschreven t'viercant G H I K, men heeft t'begheerde. Proef. Het rondt ende viercant doen elck 154 voeten, deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx.

Opt selve ander vvercking ende lichter.

Ick meet het rondt A B C D, dat bevindende van 154, diens viercantssijde doet 1241 ②, daerom een lini van dier langde ghetrocken als G H, ende daer mede beschreven het viercant G H I K men heeft t'begheerde. Proef. Het rondt ende viercant worden elck van 154 bevonden als boven.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch.

Vervolgh.

Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven viercant, want deelende t'ghetal des plats vant viercant altijt deur 22, datter uyt comt is de halfmiddellijn.

12 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt.

Tghegheven. Laet A B C D een lanckrondt sijn, diens langste middellijn A C, ende cortste D B. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even an t'ghegheven lanckrondt.

Twerck.

Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A C en D B welcke sy E F, daer op als middellijn een rondt gheteyckent, ick segh t'selve t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 6 voorstel der keghelsche en clootsche van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C die bevindende neem ick van 30 voeten, D B 10, tusschen de selve 30 en 10 vind ick het middeleveredenich ghetal doende √ 300, oft anders 1732 ②: Daerom een lini van dier langde ghetrocken als E F, ende daer op

[p. 182]

als middellijn een rondt gheteyckent, men heeft t'begheerde. Proef. T'een en t'ander doet 23572 ② deur het 12 ende 15 voorstel des 2 boucx.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegeven lanckrondt.

13 Voorstel.

Op een ghegheven grootste of cleynste middellijn een lanckrondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt.

Tghegheven. Laet A B C D een lanckrondt sijn, diens grootste middellijn A C, ende cleynste D B, ende de grootste of cleenste middellijn eens begheerden scheefrondts even mettet scheefrondt A B C D sy E F.

Tbegheerde. Wy moeten daer op een scheefront maken even ant scheefront A B C D.

Twerck.

Ick vinde de vierde everedenighe lini van E F, A C, D B deur het 2 voorstel des 4 boucx, welcke sy G H, de selve vervought als cleenste middellijn op E F, ende het scheefrondt daer op geteyckent als E H F G, is t'begheerde, waer af t'bewijs openbaer is deur het 15 voorstel des 2 boucx.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet E F die bevindende neem ick van 56 voeten, A C 28, D B 14; Segh daer na 56 geeft 28 wat 14? Comt 7: Daerom getrocken een lini van dier langde welcke sy G H, en de selve vervought als cleenste middellijn op de grootste E F, ende het scheefront daer op gheteyckent als E H F G is t'begheerde.

Proef. Elck lanckront doet 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx.

Tbeslvyt. Wy hebben dan op een ghegheven grootste of cleenste middellijn een lanckrondt gheteyckent even an een ghegheven lanckrondt na den eysch.

Vervolgh.

Waer het ghegheven A B C D in plaets des lanckrondts gheweest een ront, t'is kennelick dat de voortganck soude sijn als boven, want de tweemiddellijnen A C, D B, souden alsdan even vallen, waer mede men alsvooren segghen soude E F gheeft A C, wat D B?commende met die vierde tottet begheeren: Oft andersins mochtmen vinden de derde everedenighe van E F, ende de middellijn des rondts, waer af een selfde soude uytcommen.

[p. 183]

14 Voorstel.

Wesende ghegheven tvvee onghelijcke lanckronden: Een derde te teyckenen, even mettet een ende ghelijck mettet ander.

Tghegheven. Laet A B C D, E F G H twee onghelijcke lanckronden



sijn, diens grootste middellijn A C, E G, ende cleynste D B, H F. Tbegeerde. Wy moeten een derde lanckrondt teyckenen even an A B C D, ende ghelijck met E F G H.

Twerck.

Ick verkeer deur het 12 voorstel van desen het lancront ABCD in een rondt IK L M, diens middellijn I L ende t'lancront EFGH in een rondt N O P Q diens middellijn N P. Segh daer na N P geeft I L wat I L? Comt neem ick R. Voorts N P geeft R, wat E G? Comt neem ick S: Vinde daer na de middeleveredenighe lini tusschen S en E G welcke sy T V: Op de selve als lijck standighe met E F gheteyckent het lanckrondt T X V Y, gelijck met E F G H, men heeft t'begheerde: Waer af t'bewijs te verstaen is deur het 9 voorstel deses 6 boucx.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C met voeten die bevindende neem ick van 56, ende D B 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor I L doet	198 ①.
Bevinde daer na E G van 14, en H F 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor N P doet	99 ①.

[p. 184]

Segh daer na 99 ① tweede in d'oirden, gheeft 198 ① eerste in d'oirden, wat de selve 198 ①? Comt voor R	396 ①.
Voorts 99 ① tweede in d'oirden, gheeft 396 ① derde in d'oirden, wat E G 14? Comt voor S	56.
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 56 vierde in d'oirden, ende E G 14, Comt	28.

Daerom ghetrocken een lini van dier langde als T V, ende daer op als lijckstandighe met E G gheteyckent het lanckrondt T X V Y, men heeft t'begeerde.

Proef. T'lanckrondt A B C D ende T X V Y, worden elck bevonden van 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx.

Ander lichter vvercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade.

Het lanckront A B C D gemeten sijnde wort bevonden deur het 15 voorstel des 2 boucx van 308, en E F G H van 77: Hier me segh ick aldus E F G H 77, geeft het viercant van E G 196, wat A B C D 308? Comt viercant 784; diens sijde 28: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als T V, en daer op als lijckstandighe met E G gheteyckent het lanckrondt T X V Y, ghelijck met E F G H, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ongelijcke lanckronden, wy hebben een derde gheteyckent even mettet een ende ghelijck mettet ander.

Vervolgh.

Soo het een der ghegheven een rondt waer, t'is kennelick dat de wercking soude sijn als vooren, doende mette twee even middellijnen des rondts sulcx als boven mette oneven des scheefrondts ghedaen is.

15 Voorstel.

Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven brantsne.

Tghegheven. Laet A B C een brantsne sijn, diens sop B, ende gront A C. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen even ande brantsne A B C.

Twerck.

Ick treck A C voorwaert tot D, also dat CD even sy andē helft van A C, daer na de twee linien B A, B D: T'welc soo sijnde,

[p. 185]

ick segh den driehouck A B D even te wesen ande brantsne A B C.

Tbewys.

Chetrocken sijnde de lini B C, soo is de brantsne A B C in sulcken reden totten driehouck A B C, als 3 tot 2 deur het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes, maer den driehouck A B D is oock in sulcken reden totten selven driehouck A B C als 3 tot 2, daerom de brantsne A B C is even anden driehouck A B D.

Ander voorbeelt verbonden an een ghegheven form, ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade.

Tghegheven. Laet de voorgaende brantsne A B C ghemeten wesense, deur het 16 voorstel des 2 boucx, bevonden sijn van 180. Hier benevens sy noch ghestelt dit rechtlinich plat E F G H I, groot neem ick van 20, en doende eenighe sijde als E F 4. Tbegheerde. Wy moeten een plat teyckenen gelijck met E F G H I, en even mette brantsne A B C.

Twerck.

Het plat E F G H I 20, gheeft het viercant van E F 16, wat de brantsne A B C 180? Comt viercant 144, diens sijde 12. Daerom getrocken van dier langde een lini als K L, en daer op als lijckstandighe met E F geteyckent het plat KLMNO, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan een driehouck gheteyckent, even an een ghegheven brantsne, na den eysch.

16 Voorstel.

Wesende ghegheven een slangtrecxplat bestaende in een of meer volcommen keeren: Een rondt te teyckenen even an t'ghegheven slangtrecxplat.

Tghegheven. Laet A B C een eerste slangtrecxplat sijn, diens eerste lini A C.

Tbegheerde. Wymoeten een rondt teyckenen even ant plat A B C.

Twerck.

Ick vinde tusschen A C ende haer derdendeel een middeleveredenige D F, daer mede als halfmiddellijn beschrijvende t'ront

[p. 186]

D F G, t'welck ick segh t'begheerde te sijn, even an t'ghegheven slangtrecxplat.

Tbewys.

By aldienmen met A C als halfmiddellijn beschrijft een eerste rondt, soo sal het eerste slangtrecxplat A B C even sijn ant derdendeel van dat eerste rondt, deur het 25 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes: Maer t'rondt D F G is oock even an dat derdendeel deur t'werck; daerom t'rondt D F G is even ant slangtrecxplat A B C.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C die bevindende neem ick van 7 voeten, de selve ghemenichvuldicht met haer derdendeel 2⅓, doen 16⅓, diens viercantssijde √16⅓, of 404 ②: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D E, ende daer me als halfmiddellijn een ront beschrijvende, men heeft t'begeerde. Proef. Het rondt doet 5131 ②, ende het slangtrecxplat doet het ⅓ van 154, dats 5133 ②, die nagenouch schijnen: Doch die volcommen proef begheert sal die bevinden nemende D E te doen √16⅓.

Angaende het teyckenen eens rondts even ant slangtrecxplat van twee of meer heele keeren: Ghemerckt de everedenheyt der selver deur Archimedes bewesen is, als gheseyt is int 17 voorstel des 2 boucx, namelick dattet tweede slangtrecxplat 6 mael soo groot is alst eerste, ende het derde 12 mael soo groot alst eerste, ende het vierde 18 mael soo groot alst eerste, ende alsoo int oneyndelick, van d'ander altijt met 6 vermeerderende, voor yder keer, soo is daer uyt de reden van yder slangtrecxplats keer tot haer rondt bekent, ende vervolghens de ghemeenheyt van dit voorstel. Tbeslvyt. Wesende dan ghegh even een slangtreck plat bestaende in een of meer volcommen keeren: Wy hebben een rondt gheteyckent even an t'ghegheven slangtrecxplat na den eysch.

17 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even ant vlack eens ghegheven cloots.

Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C.

Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant vlack des cloots.

Twerck.

Ick beschrijf mette langde A C als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheeerde te wesen: Waer af t'bewijs ghedaen is int 31 voorstel vant eerste bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C die bevindende neem ick van 14 voeten, beschrijf daer mede als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheerde te wesen.

Proef. Het clootvlack A B C D, ende t'ront E doen elck 616 voeten, deur

[p. 187]

het 18 ende 12 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant vlack eens ghegheven cloots na den eysch.

18 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots.

Tghegheven. Laet A B C eens cloots coordsne sijn, diens as B D, ende sop B, ende middellijn des gronts A C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven coordsnees.

Twerck.

Ick beschrijf mette langde AB als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begeerde te wesen; waer af t'bewijs ghedaen is int 40 ende 41 voorstel vant bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B die bevindende neem ick van 7 voeten, beschrijf daer me t'begheerde rondt E. Proef. Het ghegheven bultich vlack A B C, ende het rondt E, doen elck 154 deur het 19 ende 12 voorstel des 2 boucx.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent, even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots, na den eysch.

19 Voorstel.

Wesende ghegheuen tvvee onghelijcke clootscoordsneen: Een derde coordsne te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander.

Tghegheven. Laet A B C D een clootscoordsne sijn, diens sop D, as D B, ende middellijn des gronts A C: D'ander clootscoordsne E F G H, diens sop H, as H F, ende middellijn des gronts E G. Tbegheerde. Wy moeten een clootscoordsne teyckenen, diens bultich vlack even sy an t'bultich vlack van A B C D, ende ghelijck mettet bultich vlack van E F G H.

Twerck.

Ick vinde den heelen as H I, des coordsnees E F G H, treckende C D, ende H G: Vinde daer na de vierde everedenige der drie G H, D C, H I welcke sy K L: Op de selve als middellijn beschrijf ick een rondt, daer in vervoughende K M, even an D C, treck daer na M N rechthouckich op K L, ende van daer voort tot O inden omtreck: T'welck soo sijnde ick segh het bultich vlack van O N M K

[p. 188]

even te sijn an t'bultich vlac van A B C D, ende gelijck mettet bultich vlack van E F G H; waer af t'bewijs ghedaen is int 6 voorstel vant 2 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet G H die bevindende neem ick van 20 voeten, D C van 10, H I 25, ende vinde haer vierde everedenich ghetal 12½. Daerom ghetrocken een lini K L van 12½ voeten, ende daer op als lijckstandighe met H I gheteyckent een clootcoordsne O N M K, gelijck met E F G H, men heeft t'begeerde. Proef. Anghesien K L lijckstandige is met H I, ende K M met H G, soo segh ick H I 25, gheeft G H 20, wat K L 12½? Comt voor K M 10: Maer doende K M 10 soo doet het bultich vlack O N M K 314 2/7: Ende soo veel doet oock het bultich vlack van A B C D deur het 19 voorstel des 2 boucx.

Ander vvercking deur ghetalen hier by ghevought deur sijn Vorstelicke Ghenade.

Anghesien G H doet 20, en D C 10, soo doet het bultich vlack E H G 1257 1/7. en t'bultich vlack A D C 314 2/7. deur het 19 voorstel des 2 boucx: Daerom segh ick t'bultich vlack E H G 1257 1/7. gheeft het viercant van H G 400, wat het bultich vlack A D C 314 2/7? comt viercant 100, diens sijde 10. Daerom ghetrocken K M 10, en daer op als lijckstandighe met H G gheteyckent het clootvlack O K M, ghelijck met E H G, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee onghelijcke clootscoordsneen, wy hebben een derde clootscoordsne gheteyckent, diens bultich vlack even is ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander.

20 Voorstel.

Een seul te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant vlack eens ghegheven cloots.

Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens middellijn A C.

Tbegheerde. Wy moeten een seul teyckenen: diens bultich vlack even sy ant clootvlack A B C D.

Twerck.

Men sal teyckenen een seul E F G H, diens hooghde E H, ende oock de middellijn des gronts E F, even sy an A C. T'welck soo wesende, ick segh het bultich vlack des seuls E F G H, even te sijn ant clootvlack A B C D.

[p. 189]

Tbereytsel. Laet I een rondt sijn, diens halfmiddellijn even is an A C, of dattet selve is an H E.

Tbewys.

T'clootvlack A B C D is even ant rondt I, ende het bultich seulsvlack van E F G H is oock even an t'rondt I, deur het 13 voorstel vant 1 bouck des cloots ende seuls van Archimedes, daerom t'bultich seulsvlack E F G H, is even ant clootvlack A B C D.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A C, die bevindende neem ick van 14 voeten, teycken daer na een seul diens hooghde ende grondts middellijn elck oock 14 als de seul E F G H: T'welck soo sijnde ick segh t'bultich vlack des selfden even te sijn ant ghegheven clootvlack. Proef. Het bultich seulsvlack plat ontvouden sijnde, is een recthhouck soo breet als E F 14, ende soo lanck als den omtreck des grondts 44, daerom doet de selve rechthouck 616: Ende soo veel doet oock het clootvlack A B C D, deur het 18 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een seul gheteyckent diens bultich vlack even is ant vlack eens ghegeven cloots, na den eysch.

21 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack eens ghegheven seuls.

Tghegheven. Laet A B C een seul sijn, diens hoogde A B, ende gronts middellijn B C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich seulvlack.

Twerck.

Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A B en B C, welcke sy D E, daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, t'welck ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 13 voorstel vant 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende B C 7: T'welck so sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14. Daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten als D E, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde. Proef. Het bultich seulvlack plat ontvouden sijnde, is een rechthouck, soo lanck als A B 28, ende soo breet als den omtreck des ronts B C, dats 22, daerom doet de selve rechthouck 616, ende vervolghens t'bultich seulvlack doet 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn 14 deur het 12 voorstel des 2 boucx sy sijn dan even.

[p. 190]

Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen vervoughen.

Hoe wel de voorgaende reghel corter is als de volghende, nochtans dese ghemeen sijnde op alle ghegheven vlack van form soot valt. Ten anderen op dat sijn Vorstelicke Ghenade te meer voorbeelden hebbe van t'ghemeen ghebruyck sijns reghels, en deur t'bedencken van welcke onnoodich is t'ghedacht met veel verscheyden reghelen te beswaren, heeft dit hier by laten voughen als volght: Ick neem deur t'ghedacht eenich rondt, als diens halfmiddellijn 7 en sie wat reden datter is van t'plat tottet viercant, der selve halfmiddellijn bevinde van 154 tot 49. Hier me segh ick aldus, A B C doende 616 mach sijn even vlack van form soot valt, wanneermen seght 154 gheeft viercant 49, wat 616? comt 196, diens sijde 14 voor D E. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack eens ghegeven seuls na den eysch.

22 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even an een ghegheven bultich keghelvlack.

Tghegheven. Laet A B C een keghel sijn, diens sijde is A B, ende gronts middelpunt D, ende grondts halfmiddellijn B D.

Tbecheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich keghelvlack.

Twerck.

Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A B en B D, welcke sy E F, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begeerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 14 voorstel vant 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende B D van 7; T'welck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14, daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten, als E F, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde.

Proef. Het bultich keghelvlack ontvouwen sijnde is de middellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn A B 28 doet, ende de booch is soo lanck als den omtreck des ronts B C 44, daerom doet de selve middellijnsne ende vervolgens t'bultich keghelvlack 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn E F 14, sy sijn dan even. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegheven bultich keghelvlack, na den eysch.

[p. 191]

23 Voorstel.

Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack van een ghegheven corte keghel.

Tghegheven. Laet ABCDEF een corte keghel sijn, diens sijde is C D, ende de halfmiddellijn des gronts F E, ende halfmiddellijn des decsels A C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven corten keghels.

Twerck.

Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A F ende een lini even an A B met F E, welcke middeleveredenighe sy G H, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaē is int 16 voorstel vant 2 bouc des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke vvercking deur ghetalen.

Ick meet A F, die bevindende neem ick van 84 voeten, A B 7, E F 14: Twelck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen A F 84 ende 21, wesende de selve 21 de somme van A B 7 ende F E 14: T'selve middeleveredenich ghetal is 42: Daerom ghetrocken een lini van 42 voeten als G H, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft tbegheerde.

Tbereytselder Proef: Laet F A en D C beyde voortgetrockē worden tot datse vergaren in I, sulcx dat I F D ghenomen wort voor den volcommen keghel. Proef. Het bultich vlack des corten keghels plat ontvouden sijnde, is de middellijnsne eens ronts, diens halfmiddellijn I F doet 168, deur het 6 voorstel des 2 boucx, ende de booch soo lanck als den omtreck des rondts F D 88, min de halfmiddellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn I A 84, ende booch soo lanck als den omtreck des rondts A C 44: Maer die eerste middellijnsne doet 7392, daer af ghetrocken d'ander middellijnsne, doende 1848, blijft voor t'begheerde bultich vlack 5544: Maer soo veel doet oock het ront beschreven vande halfmiddellijn G H 42, sy sijn dan even. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack van een ghegeven corte keghel na den eysch.