Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet Simon Stevin GEBRUIKT EXEMPLAAR exemplaar universiteitsbibliotheek Utrecht, signatuur: Mag. P. Fol. 13 ALGEMENE OPMERKINGEN Dit bestand biedt, behoudens een aantal hierna te noemen ingrepen, een diplomatische weergave van Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet van Simon Stevin uit 1605. REDACTIONELE INGREPEN p. 16: het foutieve paginanummer 20 is verbeterd in 16. p. 346: het foutieve paginanummer 30 is verbeterd in 34. Bij de omzetting van de gebruikte bron naar deze publicatie in de dbnl is een aantal delen van de tekst niet overgenomen. Hieronder volgen de tekstgedeelten die wel in het origineel voorkomen maar hier uit de lopende tekst zijn weggelaten. Ook de blanco pagina's (p. 2, 6, 46, 96, 120, 132, 134 en 204) zijn niet opgenomen in de lopende tekst. [pagina 1] TVVEEDE STVCK DER WISCONSTIGHE GHEDACHTNISSEN VANDE MEETDAET.Depraxi Geometriae. Inhoudende t'ghene daer hem in gheoeffent heeft DEN DOORLVCHTICHSTEN Hoochgheboren Vorst ende Heere Mavrits Prince van Oraengien, Grave van Nassau, Catzenellenbogen, Vianden, Moers &c. Marckgraef vander Vere, ende Vlissinghen &c. Heere der Stadt Grave, ende S'landts van Cuyc, St. Vyt, Daesburch &c. Gouverneur van Gelderlant, Hollant, Zeelant, Westvrieslant, Zutphen, Vtrecht, Overyssel &c. Opperste Veltheer vande vereenichde Nederlanden, Admirael Generael vander Zee &c. Beschreven deur Simon Stevin van Brugghe. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} TOT LEYDEN, By Ian Bouwensz. woonende op de hoogelantsche Kerckgraft, Anno cIɔ Iɔ cv. 2010 dbnl stev001wisc02_01 unicode scans Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet. Ian Bouvvensz., Leiden 1605  DBNL-TEI 1 2010-06-03 CB colofon toegevoegd Verantwoording Dit tekstbestand is gebaseerd op een bestand van de Digitale Bibliotheek voor de Nederlandse Letteren (https://www.dbnl.org) Bron: Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet. Ian Bouvvensz., Leiden 1605  Zie: https://www.dbnl.org/tekst/ques002lauw01_01/colofon.php In dit bestand zijn twee typen markeringen opgenomen: paginanummering en illustraties met onderschriften. Deze zijn te onderscheiden van de rest van de tekst door middel van accolades: {==13==} {>>pagina-aanduiding<<} {==Figuur. 1: Onderschrift van de afbeelding.==} {>>afbeelding<<} {==3==} {>>pagina-aanduiding<<} Cort Begryp.Argumentum. Alsoo mybeieghent vvas een Meetdaet te beschrijven om sijn Vorstelicke Ghenade hem in te oeffenē (die ick daer na deur hem oock verbetert en vermeerdert vant, als int volghende blijcken sal) Soo heb ick overleyt de ghemeenschap tusschen grootheyt en ghetalsulcx te vvesen dat vvatmen met d'een doet der ghelijck met d'ander oock can ghedaen vvorden: Hier uyt heb ick my voorghestelt inde selve Meetdaet een oirden te volghen lijckformich mette ghene die ghemeenlick by velen indeArithmetica. Telconst gebruyckt vvort: Hoedanich is die? Ten eersten men leerter talletters maken. Ten tvveeden haer vveerde uytspreken of kennen als dit 7 seven te doen, dat 26 sessent vvintich. Ten derden de vier gemeeneSpecies ut Addere, Subtrahere, Multipticare, Dividere. afcomsten als Vergaren, Aftrecken, Menichvuldighen, en Deelen. Ten vier den de Reghel der† Proportionis. Everedenheyt. Ten vijfden de Reghel der everedelicke deeling. Ten sesten de Verkeering der gebrokens tot een‡ Communem nominatorē. gemeen noemer, vvaer deur sybereyt vvorden om daer mede te vvercken gelijckmen met heele ghetalen doet. VVelcke oirden na t'ghemeen oirdeel natuerlick ende bequaem in ghetalen sijnde, vvaer deurmen een ghemeene gront crijcht, tot afveerdiging van veelQuaestionibus Arithméticis. Telconstighe verschillen ons dickvvils ontmoetende. Soo sullen vvy der ghelijcke met grootheyt in desePraxi Geomeiriae. Meetdaet volgen, achtende alsoo in vveynich gheschrift veel stof te begrijpen ende een ghemeene gront te legghen, vvaer deur den ghenen die verstaende, veelQuaestiones Mathematicae. Meetconstighe verschillen hem te vooren commende salconnen afveerdigen. VVysullen dan eerst beschrijven der grootheden Maecksel of teyckening. Ten tvveeden de manier om haer vveerde uyt te spreken of kennen, als door meting haer begrijp te vinden. Ten derden de vier ghemeeneSpecies. afcomsten als Vergaren, Aftrecken, Menichvuldighen, en Deelen. Ten vierden de Reghel der Everedenheyt. Ten vijfdē de Regel der everedelicke snyding. Ten sesten de verkeering, te vveten onghelijcke grootheden tot gelijcke, om daer mede te vvercken soomen met gelijcke doet, daer afbeschrijvende ses verscheyden boucken. Ende alsoo de grootheyt drie afcomsten heeft, namelick lini, vlack, en lichaem, soo salelck bouck drie deelen hebben; T'eerste van linien, Het tvveede van vlacken: Het derde van lichamen, ende elck deel sijn noodigePropositiones. voorstellen: Noch vervoughende daer de gheleghentheyt voordert, beneven de Meetconstighe vverckinghen door grootheden, oock haer vverckinghen door ghetalen, vvelcke indePraxi. daet, hier eens voor al geseyt, seker der sijn dan de vvisconstighe door de grootheden self; Hoe vvel nochtans de vvisconstighe ghemeenlick gront ende oirsaeck sijn, vvaer uyt de vvercking door ghetalen gheformt vvort. {==4==} {>>pagina-aanduiding<<} Aenden Leser. Aenghesien vvy hier de meetdaet voor hebben, tusschen vvelcke ende deElementa. Beginselen onderscheyt ghemaeckt vvort, ende dat derDefinitionum. bepalinghen plaets eyghentlicker inde beginselen dient, soo en beschrijven vvy hier der grootheden bepalinghen niet, maer nemen die door de beginselen (als van Euclides of dierghelijcke) voor bekent, ofte aldaer te moeten ghehaelt sijn. Ten anderen vvant ettelicke navolghende vverckinghen deur de thiende gedaen sullen vvorden, soo ist noodich dat de ghene diese begheeren te verstaen, kennis vande selve thiende hebben; vvelcke by ons elders beschreven sijnde, en doen daer af hier gheen besonder verclaring. Angaende de lichticheyt daer deur veroirsaeckt, die vvort metter daet sulcx bevonden, als inde voorreden der selve thiende verhaelt is: Waer af sijn Vorstelicke Ghenade (als meer dan na de ghemeene manier daer in ervaren sijnde) oock ghetuyghende, tot verscheyden mael geseyt heeft, daer in sulcke bequaemheyt ende sekerheyt te vinden, dat de vverckinghen by haer daer deur met lichticheyt afgheveerdicht, andersins deur ghebroken ghetalen niet en soude volbrocht vvorden sonder verdrietigen arbeyt, meerder dan oirboir vvaer daer an te besteden. {==5==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste bovck der meetdaet, van het teyckenen der grootheden. {==7==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des eersten bovcx van het teyckenen der linien. 1 Voorstel. Rechte linien te teyckenen. DE rechte linien worden inde daet door verscheyden middelen gheteyckent, elcke na den eysch der omstandighen, waer af de drie voornaemste die my nu te voor commen, ghedaen worden ten eersten met een rechte rije: Ten anderen met een slachtlijn: Ten derden met sichtstralen. 1 Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met een rije. Tghegheven. Laet A B twee punten sijn. Tbegheerde. Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini teyckenen met een rije, welcke manier meest dient op papier ende ander cleene effen gronden. Twerck. Ick neem een rechte rije als C, legghende d'een cant op de punten A, B, treckende daer langs henen een sienlicke lini A B, met een penne, passer, priem, inckt of crijt, na den eysch vanden grondt, ende heb het begheerde. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 2 Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met eenslachlijn. Tghegheven. Laet A B twee punten sijn. Tbegheerde. Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini trecken met een slachlijn, dat is een dun coordeken met crijt bestreken, t'welck ghespannen staende, ende ghetrocken sijnde soo dattet teghen den gront slaet, teyckent daer met luttel moeyte een seer rechte lini. Welcke manier seer ghebruyckt wort onder anderen by timmerluyden, int teyckenen van haer wercken, oock by saghers, om soo wel door cromme als rechte boomen, rechte sneen te saghen. Twerck. Ick neem de voorsz. becrijte slachlijn C D, die mijn tweeder ghespannen stellende over de punten A B, treckse daer na als de peez van een booch, ende crijch de begheerde rechte lini A B. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==8==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Voorbeelt vant teyckenen der rechte linien door sichtstralen. Tghegheven. Laet A B twee baecken int velt beteyckenen. Tbegheerde. Wy moeten van d'een tot d'ander deur t'behulp van sichtstralen een rechte lini teycken en in d'eerde, te weten een ghegraven veure, ontrent een halve voet diep en breet t'welckmen eygentlick in Hollandt kielspit noemt, ende t'werck van dien kielspitten, dienende om erven te scheyden, breeden van sloten en graven, formen van bolwercken, sterckten, en dierghelijcke teteyckenen. De linien in dese sichtstralen bedocht, sonder kielspit, worden oock seer inde landtmeting ghebruyckt, ghelijck wy daer afint 2 bouck eyghentlicker segghen sullen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. De teyckenaer staende an d'een of d'ander baeck A, B, doet eenich persoon een rechte stock of baeck overey nde steken, tusschen de voorschreven A B, ick neem ter plaets van C, alsoo dat hy teyckenaer de drie stocken of baecken A C B in een selfde sichtstrael siet. De manier om die stock C daer te crijghen is dusdanich: Soose na de rechter of slincker sijde moet gestelt sijn de Teyckenaer doet na de rechter of slincker sijde een teycken metter handt: Of by aldien de baecksteker soo verre vanden teyckenaer waer, dat hy het teycken vande hant niet genouch en soude meughen mercken, soo doet hy teycken met een neusdouck, hoet, of dierghelijcke: De stock C alsoo op haer rechte plaets sijnde, soo slaet hy sijn handt of ander teycken van boven neerwaert, soo veel te segghen als dat den anderen de stock daer vast moet steken, wel recht overeinde; Alle welcke voorschreven teyckenen de baecksteker van te vooren verstaen moet. Tghene hier gheseyt is ghedaen te worden door t'behulp van een baecksteker, can byden Teyckenaer alleen, alst de plaets toelaet, lichtelicker gedaen worden, in deser voughen: Hy gaet van B na D, stellende daer een baeck, alsoo dat hy de baecken D B A alle drie in een selve sichtstrael siet. Daer is noch een manier om de baeck tusschen A en B t'haerder plaets te crijghen, sonder een ander persoon te moeten gebruycken, te weten sonder de stock C of D te steken, ende dat door t'behulp des Meterscruys, dat een tuych is als de byghevoughde form aenwijst, twelck alsoot inde volghende landtmeting oock ghebesicht sal worden, wy sullen hier met een sijn ghedaente verclaren: Te weten dattet een stock heeft lanck ontrent vijf voeten, onder met een yser pinne om recht overeinde in d'eerde te steken: Op de selve stock worden an d'een sijde gheteyckent soo veel voeten met duymen, ende op een ander sijde soo veel ① en ②, alsse begrijpen can, dienende om daer mede te volmeten de langden die op gheen roeden effen uyt en commen: Op de voorschreven stock staet een plate, ghemeenlick van coper, breet ontrent 8 of 10 duym, waer opghetrocken sijn twee linien, eyndende op de middelpunten vande sijden der plaet, ende malcander opt middelpunt der plaet rechthouckich doorsnyende, sulcx dat die twee linien een recht cruys maken, t'welck de Landtmeters seer ghebruyckende, soo wort dien tuych daer uyt Meterscruys ghenoemt. Op de vier eynden van dese twee linien, worden overeynde gestelt pinnekens met sichtspleetkens daer in, om deur te sien, of sonder sichtspleet kens met haer uyterste cant wijsende, of anders heel dunne met haer eyghen middelt de anwijsing doende, die int ghe- {==9==} {>>pagina-aanduiding<<} meen sichtpinnen ghenoemt worden. Sommighe teyckenen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} oock op de plaet een traprondt met sijn 360 trappen, waer over eenLinia fiducialis. sichtrije draeyt stellende oock int middel een seylnaelde. Nu om deur dit meterscruys de baeck C t'haerder plaets te crijghen, de teyckenaer steket tusschen de twee baecken A B, dat stellende ende herstellende tot dat hy door t'middel van beyde de sichtspleten van d'een en d'ander sijde, beyde de baecken siet, want alsdan stadet meterscruys t'sijnder behoorlicke plaets om aldaer een baeck te stellen. Doch de voorgaende twee eerste wijsen sijn, soo de ervaring leert, de sekerste, Angaende ymant vraghen mocht waerom datmen niet by een manier en blijft die de beste is? Daer wort op gheantwoort datmen elcke wijse ghebruycken mach na gheleghentheyt der omstandighen, want somwijlen en isser gheen bequaem plaets an D, om aldaer een baeck te stellen, deur belet van water, ghestichten, boomen of dierghelijcke, Altemetisser belet tusschen beyden ende niet daer buyten, Elders ghebeuret datmen gheen baecksteker by hem en heeft, ende somwijlen datter de uyterste rechticheyt niet soo seer noodich en is: Als by voorbeelt om langhe rechte linien opt landt te meten, al is de middelbaeck een voet of twee buyten t'strael, dat en can int meten gheen hinderlick verschil bybrenghen, maer alst is om een driehoucx hanghende te vinden, en die te meten, of om erven te scheyden, soo behoufter meerder sekerheyt toe, ghelijck t'sijnder plaets breeder verclaert sal worden: Sulcx datmen, als boven gheseyt is, soodanighe manier mach volghen, als na gheleghentheyt bequaemst valt. Maer alst van A tot B soo verre waer, datmen vant een teecken tottet ander niet sien en conde, doch wel van ontrent het middel (alwaer de boveschreven tweede manier niet int werck ghestelt en mach worden, want canmen van A tot B niet sien veel min tot D) men steeckt dan ontrent dat middel een baeck of baecken, sich daer mede behelpende. Ende om int stellen der middelbaecken, van d'een uyterste baeck d'ander uyterste te meughen sien, soo sentmen een persoon ter plaets van die onsienlicke baeck, alwaer sijn lichaem selfs voor een baeck verstreckt, oft anders neemt hy een lange pertse met een hoet, bondtstroo, mey, oft ander sichtbaer teycken daer op, ende blijft daer soo langhe staende, ofte houdt dat teycken daer soo lang overeynde, tot dat de middelbaken ghestelt sijn. Dit verstaen wesende, te weten de baeck C of D aldus int strael van A B sijnde, soo gadet kielspitten van A na B aldus te werck: Men neemt een seer langhe coorde die ick acht te commen van A tot E, Maer om het eynde E int strael van A B te setten soo crijghmen dat, daermen C op B siet overcommen, daer na gekielspit langs de ghespannen coorde, soo is de lini van A tot E ghedaen, ende alsoo voortgaende comtmen tot B, welverstaende dat alsmen de baeck C voorby gheleden is, soo ghebruycktmen de achterste twee baecken C A, om recht na B te commen: Maer sooder een baeck als D gestelt waer, soo soudemen altijt meughen de twee selve baecken als B D ghebruycken. Tbeslvyt. Wy hebben dan rechte linien gheteyckent na den eysch. {==10==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Alsoo sijn Vorstelicke Ghenade int dadelick teyckenen der rechte linien opt landt, sach dat inde ghemeene ghebruyck eenighe onvolcommenheden waren, heeft my de verbetering van dien by ghedacht doen stellen als volght. Ten eersten ghebeuret dat de baeckhouder sijn baeck niet heel recht houckich op den sichteinder en stelt, en dattet bovenste eynde wel een voet over d'een of d'ander sijde helt, twelck den teyckenaer opt bovenste eynde mickende dwaling veroirsaken can. Maer want de baeckhouder uyter oogh die baeck soo volcomelick recht niet stellen en can, soo salmen, daer de uyterste volcomenheyt der teyckening vereyscht wort; voor baeck nemen een rechte stang met haer hangloot daer an vervought en die daer me altijt met versekerheyt recht stellen. Ten tweeden soo ist ghebeurt dat sijn Vorstelicke Ghenade int legherslaen, begheerde een rechte lini tusschen twee seker teyckens, diemen al warender langhe baken ghestelt van d'een tottet ander niet sien en conde om belet van haghen en bomen tusschen beyden. Maer om de saeck met een by voorbeelt te verclaren laet die twee teyckens sijn A B, en wantmen van A tot B niet sien en can heeft daer toe dese manier veroirdent: Men sal gaen van A na B by der gisse, doch soo recht na B alsmen can, en altijt op een rechte lini deur t'behulp van baken diemen soo dickwils steeckt alst de saeck vereyst. Ist dan datmen eyntlick recht op B uyt comt, soo is die ghebaeckte lini de begeerde. Maer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} comtmen op B niet uyt dan daer nevens als neem ick an C, soo meetmen C B mette grootheyt des houcx C ende A C wiert ghemeten int comen van A na C, sulcx dat de driehouck A C B drie bekende palen heeft, waer me ghesocht den houck A, sy wort ghevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken: Twelck soo sijnde men stelt het metercruys an A en daer op dien ghevonden houck, daer na siet den teyckenaer deur t'een paer sichtgaetkens op de eerste baeck die na C streckt, en t'ghene hy dan deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na B strecken, daerom dat strael ghevolght men comt op de begheerde B. Of andersins soomen de moeyte niet en wilde doen van weerom tot A te commen, men soude in plaets vanden houck A vinden den houck B stellende t'metercruys met dien ghevonden houck an B siende daer na deur t'een paer sichtgaetkens na C, en t'gene hy deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na A strecken. Tis oock te ghedencken dat den houck C recht ghenomen alsmense crijghen can wat lichticheyt int berekenen voorbrengt. Ten derden anghesien de bequaemheyt des wercx vereyscht datmen int kielspitten de rugghe vande spa teghen de ghespannen coorde doet ancomen, soo en is t'middel des kielspits de ware begheerde lini niet, maer den cant die de selve coorde gheraeckt, daerom alsmen de uyterste volcomenheyt der teyckening begheert soo moetmen daer op acht nemen. Als by voorbeelt wanneermen tusschen twee kielspitten de breede eens grachts beteyckent, t'is behoorlick datmense alle beyde over de sijde der coorde steeckt die na de toecommende gracht toe light. {==11==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorstel. Een rechte lini te teyckenen, rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegeven puntinde selve. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn ende C een punt daer in. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt C. Twerck. Ick teycken eenighe twee punten D E {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} inde lini A B, evewijt van C, ende beschrijf op D als middelpunt eenighen booch F G, ende mette selve langde opt punt E den booch H I, snyende F G in K, treck daer na de rechte lini K C, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaen is int 11 voorstel des 1 boucx van Euclides. 2 Voorbeelt, t'vvelck te pas can commen daer t'ghegheven punt opt uyterste der ghegheven lini comt. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt A. Twerck. Ick stel des passers beweghelicke voet opt punt A, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende de vaste buyten de lini A B, als neem ick ter plaets van t'punt C, beschrijvende opt selve als middelpunt den booch D A E grooter dan een halfrondt, treck daer na van D deur C, de rechte lini D F, gherakende den booch in F, ende ten laetsten de lini A F die ick segh de begheerde te wesen. Tbewys. Den houck D A F in een halfrondt wesende, moet daerom recht sijn, deur het 3 voorstel des 3 boucx van Euclides, en vervolghens A F is rechthouckich op A B. {==12==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Voorbeelt met een vvinckelhaeck. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A. Tbegheerde. Wy moeten een rechte {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt A. Twerck. Ick neem een winckelhaeck als C D E, vervoughende den houck D an t'punt A, ende de sijde D E op de lini A B, treckende langs d'ander sijde D C, de lini A F, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de winckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te zijn. 4 Voorbeelt mettet meterscruys. De boveschreven voorbeelden sijn om op papier ende ander cleene effen gronden te ghebruycken, maer opt landt worden de rechthouckige linien mettet meterscruys ghevonden, seer dickwils te vooren commende int landtmeten, teyckeninghen van sterckten, ende meer ander. Tghegheven. Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, gekielspit, of alleenlick bedocht, gelijckt metter daet dickwils toegaet, ende C sy een punt inde selve lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af rechthouckich op A B. Twerck. De teyckenaer stellet meterscruys ter {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} plaets van C, t'selve soo langh keerende ende wendende, tot dat hy door t'een paer sichtpinnen over d'een sijde de baeck A, ende over d'ander de baeck B siet: Daer na siende deur t'ander paer sichtpinnen, hy doet in sijn sichtstrael door een ander persoon een baeck stellen, welcke D sy, daerom gekielspit, of bedocht een rechte lini van C tot D, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs door t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur sichtpinnen strecken, die ghenomen worden op malcander rechthouckich te sijn. 5 Voorbeelt mettet drie vier vijf ghetal. Daer is noch een vijfde manier inde ghebruyck, diemen by ghebreck van meterscruys opt velt te werck stelt, en oock goede sekerheyt hebbende, t'welck aldus toe gaet. Tghegheven. Laet de punten A, B, twee baken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, ghekielspit of alleenlick bedocht, en C sy een punt inde selve lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af rechthouckich op A B. {==13==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Men neemt drie rechte houten reghels hoe langher hoe sekerder werck, als C D, D E, C E, te weten {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C D ghedeelt in drie even deelen, C E doende sulcke vier, E D der selve vijf, dese drie reghels t'saem gheleyt als een drichouck, en soo dattet eynde D comme inde rechte lini C B, soo is C E de begheerde lini rechthouckich op A B. Tbewys. T'viercant van C D 3 doende 9, mettet viercant C E 4 doende 16, maken t'samen 25, die even sijnde an t'viercant van E D 5, soo moet den houck C recht sijn, deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides, en daerom is E C rechthouckich op C D, en vervolghens op A B. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini gheteyckent rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegheven punt inde selve na den eysch. 3 Voorstel. Een rechte lini te teyckenen rechthouckich op een gegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een rechte oneyndelicke lini sijn, ende C een punt buyten de selve. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt C een rechte lini trecken rechthouckich op A B. Twerck. Ick stel de beweeglicke voet des passers op {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C, de vaste erghens inde lini A B, t'welck valt neem ick op D, beschrijf daer mede de booch C E: Stellende daer na de beweeghlicke voet wederom op C, ende de vaste inde lini A B, maer over d'ander sijde van D, twelck ick neem te vallen in F, beschrijf daer op de booch C G, snyende de booch C E in G, treck daer na de lini C G, snyende A B in H: Twelck soo sijnde, ick segh de lini C H de begheerde te wesen rechthouckich op A B, waer af t'bewijs ghedaen is int 12 voorstel des 6 boucx van Euclides. 2 Voorbeelt met een vvinckelhaeck. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende C een punt buyten de selve. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C rechthouckich op A B. {==14==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick neem een winckelhaeck als D E F, vervough de sijde E F op de lini A B, die daer langs henen schuyvende tot dat de sijde D E opt punt C comt, t'welck soo sijnde, ick treck een lini langs de sijde D E van t'punt C tot G, inde lini A B, welcke ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt den wijnckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te sijn. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 3 Voorbeelt mettet meterscruys. Tghegheven. Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden ghekielspit of alleenlick bedocht, ende C een punt buyten de lini AB. Tbegheerde. Wy moeten van C een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B. Twerck. De teyckenaer stelt een baeck int sichtstrael {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} vande twee baecken A, B, tusschen de selve of daer buyten, latet tusschen beyden sijn als D: Brengt daer na sijn meterscruys int sichtstrael B D, als ter plaets van E, sulcx dat hy opt eē paer sichtpinnen siet D B met malcander overcommē, ende op t'ander paer sicht pinnen de bacck C passen, daerom ghekielspit of bedocht een rechte lini als van E tot C, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is. Merckt. Dat alsmen t'punt E wil vinden door t'meterscruys, sonder de baeck als D te stellen, ghelijck daer of gheseyt is int 3 voorbeelt des 1 voorstels van desen, soo ist bequaemst het meterscruys altijt eerst te passen op de ghegheven lini A B, eermen over cruys na de baeck C siet, want anders doende, t'brengt groote twijffeling in, om datmen alsoo in beyde de linien t'samen niet en gheraeckt dan met onscker moeylicke tasting. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini geteyckent, rechthouckich op een ghegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve, na den eysch. 4 Voorstel. Tvvee linien te teyckenen die een houck maken even an een ghegheven houck. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C een houck sijn. Tbegheerde. Wy moeten twee linien teyckenen een houck makende even anden houck A B C. {==15==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck de lini D E, ende beschrijf op B als middelpunt eenighen booch F G, tusschen de linien B A, B C, ende mette selve langde B F, beschrijf ick den booch H I, even anden booch F G, treck daer na de lini D I, t'welck soo sijnde ick segh den houck E D I, even te sijn anden houck A B C, waer af t'bewijs openbaer is deur het 33 voorstel des 6 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 2 Voorbeelt mettet meterscruys. De wercking des 1 voorbeelts dient om op papier, of ander cleene gronden te teyckenen, maer inde velden gadet door tmeterscruys anders toe, daer af wy nu segghen sullen. Tghegheven. Laet A B C een houck sijn begrijpende 50 trappen (hoemen de menichte der trappen eens houcx vindt sal int tweede boeck der meting verclaert worden.) Tbegheerde. Wy moeten opt velt een houck teyckenen, even anden houck A B C. Twerck. Ick neem een meterscruys met sijn traprondt daer in, diens middelpunt D, stellende tusschen een cruyslini D E, ende de wijsrije D E 50 trappen, als de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} booch van E tot F, doe daer na int sichtstrael door de sichtpinnen E G, een baeck H stellen, sghelijcx een baeck I, int sichtstrael door de sichtpinnen der sichterije K F; Twelck soo sijnde, ick segh den houck begrepen tusschen de ghekielspitte of bedochte linien D H, D I, als den houck H D I, de begheerde te wesen, even anden houck A B C; waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur de sichtpinnen strecken, diens houck ghenomen wort van 50 trappen te sijn. Tbeslvyt. Wy hebben dan rwee linien gheteyckent, die een houck maken even an een ghegheven houck, na den eysch. 5 Voorstel. Door een ghegheven punt, tot een ghegheven lini een evevvijdeghe te teyckenen. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende C een punt. Tbegheerde. Wy moeten door t'punt C, mette lini A B een evewijdeghe teyckenen. {==16==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck A C, en B D even met A C, beyde rechthouckich op A B, daer na C D, welcke ick segh evewijdeghe met A B te sijn, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 31 voorstel des 1 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Angaende de teyckening van evewijdeghen opt lant deur t'metercruys, anghesien hier vooren verclaert is de teyckening van rechte linien opt velt, ende van rechthouckighe op de selve, soo is die deur t'boveschreven openbaer ghenouch. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur een ghegheven punt tot een ghegheven lini, een evewijdeghe gheteyckent na den eysch. 6 Voorstel. Omtrecken van ronden te teyckenen. Hoemen cleene omtrecken van ronden teyckent met passers, of tweebeenighe tuych, diens een voet opt middelpunt blijft, ende d'ander omdraeyt, is soo gemeen dat mender gheen verclaring af en behouft. Angaende seer groote omtrecken, meerder dan deur tweebeenighe tuych, of ghespannen ketens als halfmiddellijnen gheteyckent connen worden, by aldien sulcx te vooren quaem, men soude dat meughen te weghe brenghen door sichtstralen, ende met baken, als punten inden omtreck nevens malcander te stellen, al evewijt vant middelpunt, ende in menichte soo veel, dat de booch tusschen beyden een rechte lini ghelijck ghenouch waer. Tbeslvyt. Wy hebben dan ronden van omtrecken gheteyckent, na den eysch. 7 Voorstel. Inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C D den omtreck eens rondts sijn. Tbegheerde. Wy moeten daer in de middellijn teyckenen. Twerck. Ick treck eenighe rechte lini int rondt als D B, ende deur t'middel der selve de lini C A rechthouckich op D B, welcke C A de begheerde middellijn is deur het 1 voorstel des 3 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wy hebben dan inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn geteyckent na den eysch. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Vervolgh. Hier uyt is kennelick hoe eens rondts middelpunt ghevonden wort, want nadien A C de middellijn is, soo moet het middel der selve als F, des rondts middelpunt sijn. {==17==} {>>pagina-aanduiding<<} 8 Voorstel. Wesende ghegeven een deel vanden om treck des rondts, den heelen omtreck te volteyckenen. Tghegheven. Laet den booch A B C deel vanden omtreck eens rondts sijn. Tbegheerde. Wy moeten den heelen omtreck volteyckenen. Twerck. Ick stel inden ghegheven booch eenighe drie punten, welcke {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ick neem D, B, E, te wesen, en de treck de rechte lini D B, daer na op haer middel F, de lini F G rechthouckich op D B; Sgelijcx treck ick B E, ende op haer middel H de lini H I, rechthouckich op B E ende ghenakende F G in I: Twelck soo sijnde, I is middelpunt des begheerden o ntrecx, daerom opt selve beschreven den booch C K A, men heeft den heelen begeerden omtreck A B C K, waer af t'bewijs openbaer is deur het 25 voorstel des 3 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des rondts, wy hebben den heelen omtreck volteyckent na den eysch. Vervolgh. Hier uyt is kennelick hoemen door alle drie ghegheven punten die in gheen rechte lini en staen, een rondts omtreck sal schrijven. 9 Voorstel. Op de ghegheven grootste ende cleinste middellijn desEllipsis. lanckrondts sijn omtreck te teyckenen. Het teyckenen van desen omtreck heeft onder onder anderen sijn gebruyck in Platclootsche tuyghen, als voornaemlick des ghemeenen Platcloots daer Guido Vbaldus af handelt, oock int teyckenen der overwelfsels van ghestichten. Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn wesen, ende C D de cleenste, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen. Twerck. Ghelijckmen metten passer den omtreck des rondts beschrijft, alsoo den omtreck des lanckrondts metten byghestelden tuych, van deser ghedaente sijnde: FG is een beweghende rye met een spleet int middel, waer in twee stijlkens H, I gheschrouft worden: Ant eynde by F is een punt, daermen den omtreck me teyckent, K L een kruck, oock met een spleet M N. Het teyckenen des begheerden omtrecx met desen tuych gaet aldus toe: De punt vant stijlken H, wort soo wijt vanden punt F ghehecht, als van E tot C, ende het stijlken I soo verre vande selvepunt F, als van E tot A: Daer na steltmen de pinne F op den punt C, ende het stijlken H, opt punt N, alsoo dat de rye F G opt middel der kruck comt, passende de lini K L op A B; Daer na strijckmen het stijlken H teghen de sijde K L, latende het stijlken I sijn loop {==18==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} nemen inde spleet M N: Twelck soo sijnde de pinne F beschrijft den halven begheerden omtreck: Ende doende der ghelijcke over d'ander sijde, men heeft den heelen omtreck. Tbewys. Hier af is ghedaen na mijn onthoudt deur Guido Vbaldus in eenich boucxken dat ick verloren heb. Ander manier van vvercking. Tghegheven. Laet A B de grootste, C D de cleenste middellijn wesen, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen. {==19==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck C D voortwaert tot F, alsoo dat C F even sy an E A, neem daer na metten passer de langde E F, en de stel d'een voet in E F daert valt, ick neem ant punt G, d'ander in E A welcke daer comt neem ick an t'punt H, treck daer na {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} G H voortwaert tot I, sulcx dat H I even sijn an E G; Twelck soo wesende, I is een punt inden omtreck des lanckrondts, vallende, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch gevonden, sulcx datmen van d'een tot d'ander rechte linikens treckende, de selve vanden waren omtreck geen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den omtreck A I C B D. Tbewys. Anghesien dat inde voorgaende eerste manier der wercking, de langde F H des tuychs aldaer beschreven, even was an C, E, ende F I even an A E, ende dat alsdoen t'punt F in des begheerden lanckrondts omtreck was, soo moet in dese tweede manier der wercking t'punt I, oock inden omtreck des begeerden lanckrondts wesen, ghemerckt de selve reden der wercking hier ghevolght is, want ghelijck ginder F H even was an haer C E, alsoo hier I H an haer C E, ende ghelijck ginder H I even was an t'verschil tusschen de grootste en cleenste half middellijn, alsoo is hier oock H G, even an t'verschil tusschen de grooste en cleenste halfmiddellijn. Derde manier van vvercking. Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn wesen, C D de cleenste, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen. Twerck. Ick vervough de langde A E van D tot F, oock van D tot G, inde lini A B, teyckenende beyde de uyterste punten F G, neem daer na een draet soo lanck als {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B, die echtende met haer uytersten inde punten F G; Ick stel daer na een penne of priem daer toe bereyt, teghen den draet rechthouckich opt plat daer de form in gheteyckent wort, welcke priem ick hier neem te wesen ter plaets van H, alsoo dat de twee deelen des draets G H, H F ghespannen staen, de priem daerna voortghetrocken sijnde van A over C tot B (welverstaende dat den draet G H F altijt soo even stijf ghespannen blijft sonder recken als doenlick is) soo wort daer mede beschrevenden halven omtreck A C B. {==20==} {>>pagina-aanduiding<<} Ende der gelijcken halven omtreck over d'ander sijde oock beschreven sijnde als B D A, men heeft het begheerde: Dese manier van wercking mettet bewijs meyn ick beschreven ghesien te hebben by Guido V baldus int voorseyde verloren boucxken daer hy noch by verclaerde dat hy sulcx ghevonden had in eenighe oude handtschriften. Vierde manier van vvercking. Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn C D de cleynste wesen, malcander deursnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen. Twerck. Ick treck B F rechthouckich op A B, ende even an E C, treck oock A B voorwaert tot G, daer op beschrijvende het vierendeelrondts B F G: Deel daer na B G {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in eenighe even deelen, ick neem in vieren, ter plaetsen van H, I, K, treckende H L, I M, K N evewijdeghe met B F, ende alsoo dat de uytersten L, M, N, commen inden booch F G, deel daer na E B in soo veel even deelen als B G gedeelt wiert, te weten in vieren, ter plaetsen van O, P, Q, treck voort O R even an H L, en P S even an I M, oock Q T even an K N, ende alle drie evewijdeghe met E C: Twelck soo sijnde de drie punten R, S, T, commen inden begheerden omtreck, daerom soomen B G en E B in veel meer even deelen ghedeelt had dan vier, sulcx dat de rechte lini tusschen twee punten gheen merckelick verschil van haer booch en had, men soude dan deur drie en drie punten boghen meughen trecken, (na de leering des vervolghs vant 8 voorstel) ende t'vierendeel hebben des begheerden omtrecx: Voleyndende d'ander drie vierendeelen op de selve wijse. Tbereytsel. Laet A B C D eenCylind. seul wesen diens grondts middellijn sy D C: Dese seul sy deursneen met een plat E F scheef houckich op de uyterste lini A D, welck plat E F als verclaert wort int eerste bouck van Serenus een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lanckront is, diens grootste middellijn E F, en cleen ste een lini even an C D. Laet andermael de seul gesneen worden met een plat G H evewijdich vande grondt, en sal die sne een rondt wesen, t'welck overcant ghesien de lini G H sy, snyende E F in I, sulcx dat I F doe een vierendeel van E F, en sal die G H oock sijn des selfden rondts middellijn: Op dese middellijn G H sy beschreven het rondt G K H L rechthouckich op de grondt D C, en oock opt lanckrondt E F. Daer na sy M N een plat overcant ghesien streckende deur t'punt I rechthouckich opt rondt G K H L. Tbewys. Want G F evewijdeghe is met E H, soo moet den driehouck G I F ghelijck sijn anden driehouck H I E, en daerom ghelijck F I tot I E, alsoo G I tot I H: Maer F I is een derdendeel van I E, of een vierendeel van F E deur t'bereytsel, daerom G I is oock een derdendeel van I H, of een vierendeel van G H: Voort soo is de lini {==21==} {>>pagina-aanduiding<<} I L even ande lini int plat des lanckrondts van I tot in des lanckrondts omtreck (want de middellijn G H vast blijvende, en het rondt daer op ghedraeyt tot dattet evewijdich is mette grondt des seuls, soo is dan I L mette voorschreven lini al een selve) daerom alsmen ghelijck int werck ghedaen is, op de lini even ande cleenste middellijn eens lanckrondts een rondt beschrijft, en datmen opt vierendeel der selve een lini rechthouckich treckt tot inden omtreck, en datmen daer na even sulcken lini treckt rechthouckich op de langste middellijn des voorschreven lanckrondts, soo moet het uyterste punt der selve in des lanckrondts omtreck commen. En ghelijck dit hier bewesen is op der middellijn vierendeelen, alsoo ist openbaer de reghel plaets te houden over alle ander haer deelen, waer deur alle punten alsoo ghevonden in des lanckrondts omtreck vallen. Tbeslvyt. Wy hebben dan op de ghegheven grootste en cleenste middellijn des lanckrondts sijn omtreck gheteyckent na den eysch. Merckt. Daer can noch een 5 manier van wercking ghedaen worden, deur de teyckening der keghelshe daer wy int 12 voorstel af segghen sullen. 10 Voorstel. Inde ghegheven omtreck eens Ianckrondts, de grootste en cleenste middellijn te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C D den omtreck eens lanckrondts sijn. Tbegheerde. Wy moeten daer in de grootste en cleynste middellijn teyckenen. Twerck. Ick treck inde gegeven omtreck eenige twee evewijdege, die ick neem C E, B F te wesen, ende door haer middelt de rechte lini A D, welcke een middellijn sijnde soo moet haer middel G des lanckrondts middelpunt wesen: Maer niet nootsakelick en isse de grootste of cleenste middellijn: Om nu die te vinden, ick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} schrijf opt middelpunt G, mette halfmiddellijn soot valt een rondt H I K L, snyende het lanckrondt inde vier punten H I K L: Treck daer na deur M middel des boochs K L, ende deur N middel des boochs H I, de lini O P, voor begheerde grootste middellijn; Ende Q R rechthouckich op O P is de cleenste, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan inde ghegheven omtreck eens lanckrondts, de grootste en cleynste middellijn gheteyckent na den eysch. Vervolgh. Tis hier door kennelick hoe t'middelpunt vanden omtreck des lanckrondts ghevonden wort. 11 Voorstel. Wesende ghegeven een deel vanden omtreck des lanckrondts, ende de grootste of cleynste middellijn: De ghebrekende middellijn te teyckenen. {==22==} {>>pagina-aanduiding<<} Tghegheven. Laet den booch A B C deel vanden omtreck eens lanckrondts wesen, ende de langste middellijn sy D E. Tbegheerde. Wy moeten de cleynste middellijn teyckenen. Twerck. Ick treck door t'punt F middel van D E, de rechte lini G H rechthouckich op D E, vervoughende daer na de langde D F van eenich punt des ghegheven {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} boochs, ick neem van B tot inde lini F H, welcke langde ick neem te vallen van B tot I, ende treck B I, snyende D F in K; Daer na teycken ick de langde B K inde lini F G, welcke ick neem te vallen van F tot L, stel daer na inde lini F H t'punt M, alsoo dat F M even sy an F L, t'welck soo wesende L M is de begheerde cleynste middellijn waer af t'bewijs volght uyt de tweede manier der wercking des 9 voorstels. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des lanckrondts ende de grootste middellijn, wy hebben de cleynste middellijn geteyckent, na den eysch. 1 Vervolgh. Deur verkeerde wech der voorgaende wercking is oock kennelick hoemen de grootste middellijn sal teyckenen van een ghegheven deel des omtrecx, ende de ghegheven cleynste middellijn. Laet by voorbeelt A B C het ghegeven deel ende L M de cleynste middellijn sijn. Om hier deur de grootste middellijn te teyckenen, ick treck door t'punt F middel van L M, de rechte oneyndelicke lini D E rechthouckich op L M, vervoughende daer na de langde L F van eenich punt des ghegheven boochs, ick neem van B, tot inde lini D E, welcke langde ick neem te vallen van B tot K, treek daer na B K voorwaert tot datse L M gheraeckt, t'welck sy in I, Daer na teycken ick de langde B I inde oneyndelicke lini F D, welcke ick neem te vallen van F tot D, stel daer na inde oneyndelicke F E t'punt E, alsoo dat F E even syan F D, t'welck soo wesende D E is openbaerlick de begheerde grootste middellijn. 2 Vervolgh. Deur t'voorgaende is kennelick hoemen nyt een ghegheven booch ende grootste of cleynste middellijn den heelen omtreck des lanckrondts volteyckenen sal. 12 Voorstel. Den omtreck van eenConisectione. keghelsne te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C een keghel bedien, wiens gronts middellijn B C, ende as A D, welcke keghel ghesneen is met een plat E F, rchthouckich opt plat A B C, begrepen tusschen de sijden ende middellijn des grondts vanden keghel. Tbegheerde. Wy moeten een keghelsneens omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette gene die in dat snyende plat is. {==23==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick schrijf op D als middelpunt, ende met D B als halfmiddellijn, het rondt B G C H, daer in treckende G H deur t'punt F rechthouckich op B C, daer na I K even an E F, ende K L, K M, rechthouckich op I K, ende elck even an F H: Daer na inden driehouck A B C eenighe lini N O, evewijdeghe met B C, ende snyende E F daert valt als in P, ende A D in Q, beschrijvende wederom op Q als middelpunt, ende met Q N als halfmiddellijn een rondt N R O S, daer in treckende R S deur t'punt P rechthouckich op N O, Voorts teycken ick inde lini I K t'punt T, alsoo dat I T even syan E P, daer na T V, T X, rechthoukich op I K, ende elck even an P S. Dit soo sijnde, I is des begheerden keghelsneens sop, L M gront, ende de punten V X, inden omtreck, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch ghevonden, sulcx dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, vanden waren omtreck gheen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den keghelsneens omtreck L V I X M. Tbewys. Tront B G C, is evenanden gront des kegels, ende G H even anden gront der keghelsne, alsoo oock is L M met G H deur t'werck; Daerom sijn de twee uyterste punten L M inden omtreck der keghelsne. Nu t'ghene hier bethoont is vande keghel A B C, wort oock alsoo verstaen vande keghel A N O, want haer keghelsneens gront oock even is an R S, ende vervolghens an V X, waer deur V X punten sijn inde keghelsnees omtreck: Ende sal dergelijcke oock bewesen worden van alle punten alsoo ghevonden, uyt welcke punten den omtreck L V I X M bestaende soo isse de begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan den omtreck van een keghelsne gheteyckent na den eysch. Merckt. Als de lini E F wijder vande lini A B is, opt eynde F, dan opt eynde E, soo wort die keghelsne gheheetenHyperbole. wassendesne: Maer aldaer nauwer sijnde, soo ist een rondt ofEllipsis. lanckrondt. De lini E F evewijdeghe met A B sijnde, soo heet die sneParabola. Brantsne. Doch soo is de wercking van alle sneen lijckformich mette voorgaende: welverstaende dat als de kegelsne een lanckrondt valt, soo vintmen haer {==24==} {>>pagina-aanduiding<<} langste en cortste middellijn aldus: Laet A B C een keghel sijn, diens as A D, welcke keghel deursneen sy alsoo dat E F de langste middellijn beteyckent: Om nu de cortste te hebben, ick teycken t'punt G middel van E F, en treck daer deur H I evewijdeghe met B C, snyende den as in K, Beschrijf op K als middelpunt, met K H halfmiddellijn, het rondt H L I M en daer in de rechte lini L G M, evewijdeghe met A D, welcke de langde der cortste middellijn moet sijn, om de redenen int voorgaende bewijs verclaert, daerom alsmen een lanckrondts omtreck teyckent diens grootste middellijn even is an E F, en kleenste even an L M, na de manier des 9 voorstels, men heeft t'begheerde. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 13 Voorstel. Den omtreck van eenSectio sphaerosdis. clootsche sne van een ghegheven clootsche te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn, diens grootste as is A C, ende ghesneen met een plat B D rechthouckich opt plat A B C D. Tbegheerde. Wy moeten een clootsche snees omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette ghene die in dat snyende plat bestaet. Twerck. Ick teycken t'punt E int middel van B D, t reck daer na de lini F G, rechthouckich op A C, eyndende op beyden sijden inden ghegeven omtreck ende snyende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A C in H: Beschrijf daer na opt punt H als middelpunt, het rondt F I G K, daer in treckende I K deut t'punt E rechthouckich op F G; Twelck soo sijnde D B is de grootste middellijn, ende I K de cleynste des begheerden omtrecx der clootsche; welcke altijt een rondt, of, als hier in dese form, een lanckront sijnde, soo en rester niet dan op twee middellijnen even an D B, I K een lanckrondt te teyckenen na de manier des 9 voorstels t'welck L sy ende men heeft t'begheerde; waer af t'bewijs ghelijck is ant bewijs des boveschreven 12 voorstels. Tbeslvyt. Wy hebben dan den omtreck van een clootsche sne gheteyckent na den eysch. 14 Voorstel. Een slangtreck te teyckenen op een ghegheven eerste lini. Vitruvius beschrijft int 3 hooftstick sijns 3 boucx, de teyckening eens slangtrecx, doch en is ons mening niet soodanighe hier tevolghen, maer na de bepaling van Archimedes: Ende dat om de meetconstighe spieghelinghen die daet in vallen, als tsijnder plaets int volghende blijcken sal. {==25==} {>>pagina-aanduiding<<} Tghegheven. Laet A B een eerste lini wesen. Tbegheerde. Wy moeten een slangtreck teyckenen wiens eerste lini sy A B. Twerck. Ick beschrijf opt punt A als middelpunt, eenich rondts omtreck C D E F, deyl t'selve in ettelicke even deelen, Ick neem voorbeeltsche wijse in 12, mette punten C G, H, D, I, K, E, L, M, F, N, O, Treck daer na E C, L G, M H, F D, N I, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} O K, die malcander al doorsnien int middelpunt A. Voort, in soo veel deelen als den omtreck ghedeelt is, in soo veel deel ick oock de lini A C, te weten in 12, als inde punten P, Q, R, en dierghelijcke: Teycken daer na de langde A P van A tot S inde lini A G, ende de langde A Q vervouch ick van A tot T inde lini A H, sghelijcx stel ick de langde A R van A tot V inde lini A D; Ende derghelijcke doende met d'ander punten tot datmen comt an B, soo staen al de punten A, S, T, V, B, met dier ghelijcke inde begheerde slangtrecx omtreck. Om nu te crijghen het deel des slangtrecx A S T, die vant ware weynich verschillen sal, men vindt een punt daermen des passers vaste voet op stelt, sulcx dat de beweeghlicke deur de drie punten A S T, streckt, ende derghelijcke doende met noch drie ander punten, ende dat soo dickmael datmen tot B comt, men heeft den eersten omtreck. Maer wilmen den slangtreck voorder beschrijvē, men teyckent van B na C t'punt X, alsoo dat B X even sy an A P, vervoughende daer na de langde A X van A tot Y inde lini A G: Ende derghelijcke met d'ander doende, men {==26==} {>>pagina-aanduiding<<} maeckt soo veel slangtrecxkeeren alsmen wil. Merckt wijder dat ghelijck het rondt C D E F hier gedeelt is in 12, alsoo machment deel en in 24 of 48, of meer even deelen, ende sal de wercking dan te sekerder vallen. T'bewijs hier af is gegrondt op de bepaling des slangtrecxplat van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een slangtreck op een ghegheven eerste lini gheteyckent na den eysch. 15 Voorstel. Te teyckenen een lini ghelijck met een ghegheven cromme lini van onbepaelde ghedaente. Tghegheven. Laet A B C D E een cromme lini sijn van ongeschickte form, niet wesende van ghedaente als eenighe der voorgaende, maer onbepaelt; Voort sijn F, G, twee punten lijckstandich mette punten A, E. Tbegheerde. Wy moeten van F tot G een lini teyckenen, gelijck mette lini A B C D E. Twerck. Ick neem voor al dat de verborghen of verdochte rechte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verborghen of verdochte van A tot E, want waerse soo niet ghegheven, men soudese soo meughen verstellen. Teycken daer na inde ghegeven {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lini eenich punt daert valt, latet C sijn, treckende de twee verborghen linien A C, C E, daer na de verborghen oneyndelicke F H evewijdege met A C, en een lini van G evewijdege met E C, ontmoetende die oneyndelicke in H; t'welck soo sijnde, H is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C, inde ghegheven. Nu ghelijck hier ghevonden is t'punt H, salmen vinden meer ander punten, en soo veel, tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander ghetrocken, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebbē vande cromme diese eyghentlick souden wesen; T'welck soo sijnde, men heeft de begheerde lini F H G. Tbewys. H lijckstandich punt met C te wesen, blijckt int 18 voorstel des 6 boucx van Euclides, waer deur de rest openbaer is. {==27==} {>>pagina-aanduiding<<} Ander manier van vverck. Sijn Vorstelicke Ghenade heeft hier toe noch verdocht en doen opteyckenen een ander manier van wercking deur trecking van seker linien uyt een punt buyten de form: Om welcke by voorbeelt te verclaren laet andermael A B C D E een cromme lini sijn alsvooren; F, G, twee lijckstandighe punten mette punten A, E, wederom alsoo ghestelt dat de verdochte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verdochte van A tot E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick treck deur de twee lijckstandighe punten F, A, een oneyndelicke rechte lini F A H, sghelijcx een ander rechte lini deur de twee lijckstandighe punten G, E, ontmoetende die oneyndelicke in H: Ghenomen nu dat ick inde begeerde lini van F tot G, wil vinden een lijckstandich punt met C, ick treck deur C de oneyndelicke lini H I, daer na A C, en uyt t'pvnt F, een evewijdeghe mette selve A C ontmoetende die oneyndelicke in H: T'welck soo sijnde, I is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C inde ghegheven. Nu ghelijck hier gevonden is t'punt I, salmen vinden meer ander punten, als neem ick K, L, lijckstandighe met B D, en ander dierghelijcke, soo veel tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebben vande cromme diese eyghentlick souden wesen, en men heeft t'begheerde. De lichticheyt des wercx hier uyt volghende, is datmen in alle oneyndelicke linien ghetrocken van H deur de ghegeven lini daert valt, altijt heeft een begheert lijckstandich punt, mettet punt der ghemeene sne vande ghegheven cromme lini, en die oneyndelicke, waer af t'bewijs is als t'voorgaende. Tbeslvyt. Wy hebben dan gheteyckent een lini ghelijck met een ghegheven crommelini van onbepaelde ghedaente na den eysch. {==28==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede deel des eersten bovcx van het teyckenen der vlacken. 16 Voorstel. Rechtlinighe platten van begeerde form te teyckenen. Merckt. Want de grootteyckening der steden, sterckten, velden, en landen, een vande besonder punten is, daer sijn Vorsteligke Ghenade indeMathematicis artibus. wisconsten merck op neemt, daer in hy oock meer dan na de ghemeene manier hem ernstelick geoeffent heeft, als voorderlick wesende onder ander, tot der sterckten oirdening, en der Steden beleghering, dat daerbeneven dit voorstel als voor ghemeene gront verstreckt, waer op sulcke stof ghebouwet wort, soo hebben wy hier acht op ghenomen ende de voorbeelden van dien (even ghelijckse door sijn Vorstelicke Ghenade self, soo wisconstelick als werckelick opt velt afgheveerdicht sijn) overvloedelicker ende met meerder onderscheyt beschreven, dan wy anders souden ghedaen hebben. Om welcker voorbeelden oirden hier als inArgumente. cortbegrijp te vervaten, soo is te weten dat de teyckeninge der rechtlinighe platten van begheerde form, na ons voornemen op tweederley wijse geschiet, d'eeneMathematicè. wisconstelick met louter grootheden, d'anderMechanicè. werckelick ghemengt met ghetalen. De voorbeelden der wisconstige wijse sijn ten eersten optpapier van een driehouck, ende rechtlinich plat: Ten anderen opt landt uyt het cleen int groot, daer na uyt het groot int cleen. De werckelicke teyckening gheschiet door t'nemen van rechthoucken, of onseker houcken: Door t'nemen van rechthoucken commender voorbeelden in driehoucken die rechthouckich of scheefhouckich sijn, ende in rechtlinighe platten: De teyckening door t'nemen van onseker houcken gheschiet deur t'nemen van inwendighe houcken na eenighe reghel ghetrocken, ende door uytwendighe houcken. Van welcke verscheyden manieren men in voorcomende teyckeninghen de bequaemste verkiesen mach, na gheleghentheyt der omstandighen. Ende tot noch meerder claerheyt, sullen wy de boveschreven verspreyding tafelwijs vervaten, als hier onder. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==29==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerst vande vvisconstighe vvyse. 1 Voorbeelt opt papier, van een driehouck die gheteyckent moet sijn uyt drie rechte linien even an drie ghegheven rechte linien, midts dat elcke tvvee alsins grooter sijn dan de derde. Tghegheven. Laet A B C drie rechte linien sijn, welcker twee alsins grooter sijn dan de derde, want anders waert onmeughelick een driehouck daer af te maken. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen, van drie rechte linien even ande ghegheven. Twerck. Ick treck de lini D E, even an een der drie als an A, neem voorts op de passer de langde van B, beschrijf daer me opt punt E als middelpunt de booch F G groot ghenouch, daer na op de selve passer de langde C, daer mede beschrijvende op D als middelpunt de booch H I snyende F G in K, ende treck D K, E K. Twelck soo sijnde ick segh K D E de begheerde driehouck te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 22 voorstel des 1 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 2 Voorbeelt van een rechtlinich plat soot valt, op papier. Tghegheven. Laet A B C D een plat sijn, ende E F een toecommende lijckstandighe sijde met A E. Tbegheerde. Wy moeten op E F een plat teyckenen ghelijck met A B C D E. Twerck. Ick deyl den ghegheven vijfhouck in haer driehoucken mette linien E B, E C, treck daer na F G evewijdeghe met A B, ende alsoo dattet punt G sy inde lini E B: S'ghelijcx G H evewijdeghe met B C, ende alsoo dattet punt H sy inde lini E C: Ten laetsten H I evewijdeghe met C D, ende alsoo dattet punt I sy inde lini E D. T'welck soo wesende ick segh {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} den vijfhouck F G H I E t'begheerde plat te sijn ghelijck met A B C D E, op de sijde E F lijckstandighe met E A. T'boveschreven voorbeelt is uyt het groot int cleen gheteyckent, maer soo den eysch waer uyt het cleen int groot, als dat des begheerden plats lijckstandige met A E grooter waer dan de selve A E, als neem ick E K, de manier der wercking is alsboven, want men soude dan trecken K L, L M, M N, evewijdeghe mette voorschreven A B, B C, C D, buyten de form A B C D E, sulcx dattet begheerde plat soude wesen K L M N E, waer af t'bewijs openbaer is deur het 18 voorstel des 6 boucx van Euclides. {==30==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. De lini E F toecommende lijckstandighe met E A, wiert hier ghestelt inde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} selve E A, maer soose daer buyten waer, als neem ick dese O P, men soude dan inde lini E A teyckenen de lini E F, even an O P, vindende den vijfhouck F G H I E alsvooren. Maer om alsdan een ander even derghelijcke vijfhouck op O P te crijghen, men soude (sooment met deursteking des papiers niet doen en wilde) trecken P Q even an F G, ende den houck O P Q even anden houck E F G, ende der ghelijcke doende met d'ander sijden en houcken, men heeft den begheerden vijfhouck. 3 Voorbeelt uyt het cleen int groot. Tghegheven. Laet A B C D een vierhouckich papier sijn, ende daer op een rechtlinich plat E F G H, ende een lini opt landt vande voorschreven G tot I. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat G I lijckstandighe sy met G H. Twerck. Ick stel het punt G des vierhoucx E F G H opt punt G der lini G I int landt, ende deur t'behulp der sichtrije vervough ick G H op de landtlini G I, keer daer na de selve sichtrije draeyende opt punt G, tot datse light over t'punt E, ende doe int strael van G over E stellen eenighe baeck als K, ende sghelijcx een baeck L {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} over t'punt F: Commende daer na mettet papier ter plaets I des tweeden stants, ick stel t'punt H des vierhoucx H E F G opt punt I, ende deur t'behulp der sichtrije vervough ick H G des papiers, wederom op de lantlini I G, keer daer na de {==31==} {>>pagina-aanduiding<<} selve sichtrije draeyende opt punt I, tot datse light over F, ende doe int strael van I over F stellen eenighe baeck als M: Daer na com ick ter plaets van N, ende stel daer een baeck alsoo dat ickse sie in een rechte rije mette twee baecken I, M, oock inde rije der twee baecken L, G: Twelck soo sijnde, ick neem de twee baecken L, M wech om geen dwaling te veroirsaken, ende t'punt N bediet my t'lijckstandich punt met F, ende op de selve voughe vinde ick t'punt O lijckstandich met E, sulcx dat den vierhouck G I O N begrepen tusschen ghekielspitte linien, ofte alleenlick tusschen bedochte sichtstralen van d'een baeck tot d'ander, t'begheerde plat is, waer af t'bewijs sijn sal als t'voorgaende. 4 Voorbeelt uyt het groot int cleen. Tghegheven. Laet A B C D vier baecken, torren, of teyckens optlant sijn, een vierhouck begrijpende, ende E F G H een papier, met een lini daer op H I. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt papier teyckenen, sulcx dat A I lijckstandighe sy met A D. Twerck. Keerende de sichtrije opt punt A, ick doe A I overcommen met A D, keer voort de selve sichtrije na C, ende treck daer langs henen soo verre t'papier strect de lini A K: Daer na keer ick de sichtrije tot B, ende teycken opt papier de lini A L: Commende daer na mettet papier, ter plaets van D des tweeden stants, ick stel t'punt I der lini I A opt punt D, ende deur t'behulp der sichtrye vervough ick de lini I A des papiers op de lini D A des landts, keer daer na de selve sichtrye {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} drayende opt punt D, tot dat ick de baeck B sie, ende treck langs de sichtrye een lini welcke de lini D L int punt M doorsnijt: T'selve punt M is lijckstandich mettet punt B; keer daer na de sichtrye soo verre dat ick de baeck C sie, ende treck langs de sichtrye een lini welcke de lini A K int punt N doorsnijt, t'selve punt is {==32==} {>>pagina-aanduiding<<} lijckstandich mettet punt C: Daerom ghetrocken de lini M N, ick segh den vierhouck A M N I de begheerde te wesen, waer af t'bewijs is als t'voorgaende. Merckt Datmen door dese manier lichtelick sal connen afteyckenen eens landtschaps steden, dorpen, huysen en dier gelijcke int ghesicht vallende, alsoo punten vindende die met alle omligghende teyckens lijckstandich sijn, ende dat alleenelick deur twee standen, want ghelijck hier de twee punten B C van vooren afgheteyckent sijn, alsoo canmen derghelijcke punten op de selve twee standen van achter vinden. Nv vande werckelicke vvyse door ghetalen. Eerst vande teyckening door t'nemen van rechthovcken. 5 Voorbeelt van een rechthouckich driehouck. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn int cleen op papier, diens houck B recht is, ende D E sy een lini opt landt, lanck 46 roen. Tbegheerde. Wy moeten een soodanighen driehouck opt landt teyckenen, sulcx dat D E lijckstandighe sy met C B. Twerck. Ick meet op een leer de sijde B C, die bevindende neem ick van 81 ⓪, ende A B 65 ⓪, die elck an haer sijde schrijvende als inde form blijckt, Segh daer na C B 81 ⓪, gheeft B A 65 ⓪, wat D E 46 roen?comt voor de lijckstandighe met {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} B A 3691 ②, die stel ick ande form onder de 65 ⓪, ende de 46 roeden onder de 81 ⓪, als inde form blijckt, sulcx dat de buytenste getalen altijt de sijden des begheerden forms beteyckenen. Met dit papier com ick ter plaets opt velt, stellende opt punt E een meterscruys, ende siende deur de sichtpinnen ter eender sijde de baeck D, ick doe int strael van d'ander sichtpinnen stellen eenighe baeck als {==33==} {>>pagina-aanduiding<<} F, ende noch een als G, om int meten recht te gaen. Ick meet daer na van E na G toe 3691 ②, welcke strecken neem ick tot H: Dit soo sijnde, ick segh den driehouck opt landt als H E D, den begheerden te wesen. Proef. Ick meet C A op de leer, bevinde die neem ick van 10387 ②, segh daer na C B 81 ⓪, geven C A 10387 ②, wat D E 46 roen? comt voor D H 5899 ②: Daerom alsmen de selve D H meet, men soudese moeten van dier langde bevinden. Andersins mochtmen, om dattet een rechthouckich driehouck is, t'viercant van D E 46 roen, doende 2116 ⓪, vergaren tottet viercant van E H 3691 ②, doende 13643481, ②, tsamen 34783481 ②, wiens viercantssijde voor D H, doet alsboven 5899 ②. Ende alsulcke proeven verstaen sich op d'ander volghende voorbeelden ghedaen te menghen worden. Merckt. Wy hebben in dit 4 voorbeelt wat manier van meting der linien angeroert, gelijck wy oock noch doen sullen in d'ander voorbeelden deses voorstels: waer op ymant segghen mocht de plaets van meting niet te wesen in dit 1 bouck der teyckening, maer eyghentlicker int volghende tweede der meting: Hier op wort gheantwoort dat alsoo dese manier van teyckening niet gheschien en can sonder meting, noch sulcke meting sonder teyckening, soo werden wy ghedronghen t'een oft'ander eerst an te roeren sonder voorgaende leering. 6 Voorbeelt van een driehouck soot valt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn int cleen op papier, ende D E sy een lini opt landt, lanck 60 roen. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke driehouck opt landt teyckenen, sulcx dat D E lijckstandighe sy met C B. Twerck. Ick treck A F rechthouckich op de lijckstandighe met D E, dat is op C B, meet C F op de leer, die bevinden de neem ick van 56 ⓪, F B 16 ⓪, A F 42 ⓪, welcke ghetalen ick elck op haer lini schrijf: Segh daer na C B 72 ⓪, gheeft C F 56 ⓪, wat D E 60 roen? comt voor de lijckstandighe met C F 4667 ②: Ende alsoo sal voor lijckstandighe met F B commen 1333 ②, ende voor de lijckstandighe met A F 35 ⓪, of roen, die ick al opt papier inde form t'haerder plaets stelle, als blijckt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Met dit papier comme ick ter plaets opt velt, metende van D na E 4667 ②, welcke vallen, neem ick, van D tot G:Daer na stel ick de baeck H, soo dat G H doet 35 roen, ende rechthouckich comme op D G, na de manier als int 5 voorbeelt gheseyt is: Twelck soo sijnde H E D is den begheerden driehouck. {==34==} {>>pagina-aanduiding<<} 7 Voorbeelt van een rechtlinich plat soot valt. Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier, van form soot valt, ende F G een lini opt landt lanck 40 roen. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat FG lijckstandighe sy met A E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick treck de lijckstandighe met F G, als A E, op beyden sijden ghenouch voorwaert, als tot H, l, ende treck op H I rechthouckich B K, C L, D M meet daer na op de leer de linien K A, A L, L E, E M, B K, C L, D M, die bevindende neem ick van 19 ⓪, 21 ⓪, 29 ⓪, 21 ⓪, 29 ⓪, 62 ⓪, 23 ⓪, welcke ghetalen ick elck op haer lini schrijf als blijckt, Segh daer na A E 50 ⓪, gheeft K A 19 ⓪, wat F G 40 roen? comt voor lijckstandighe met K A 152 ①, die ick onder de selve lini K A schrijf: Voorts A E 50, gheeft A L 21, wat F G 40 roen? comt voor lijckstandighe met A L 168 ①, die ick oock onder de selve A L schrijf: Ende doende der ghelijcke met al d'ander, de ghetalen vallen als inde form te sien is: Met dit papier comme ick ter plaets opt velt metende van F tot N 152 ① (welverstaende dat N comt in een recht lini of strael daer de baecken F G in sijn) daer na van F tot O 168 ①, ende ghemerckt F G 40 roen doet, soo moet O G nootsakelick de 232 ① lanck sijn: Daer na G P 168 ①, voorts N Q 232 ①, O R 496 ①, PS 184 ①, alle drie rechthouckich op NP: T'welck soo sijnde, de vijfhouck F Q R S G is t'begheerde plat. Merckt. Hoe wel de teyckening opt landt der gheschickte platten (teweten diens sijden en houcken al even groot sijn, diemen oock evesijdeghe platten int rondt beschrijvelick noemt) deur de voorgaende ghemeene reghel can ghedaen worden, nochtans alsoo de linien daer in vallende, tot haer sijden in alle derghelijcke platten een selve reden hebben, soo connen haer langden oock ghevonden worden sonder leer, te weten deur de tafel der houckmaten, daer afwy met een wat segghen sullen, te liever dat soodanighe formen int teyckenen der sterckten deses tijts, haer merckelicke ghebruyck connen hebben. Laet by voorbeelt A B C D E een gheschickte vijf houck sijn int cleen op papier, diemen int groot opt lant na maken wil. De linien daer in vallende na de voorgaende wercking {==35==} {>>pagina-aanduiding<<} noodich, sijn F A, A G, G E, E H ende de drie B F, C G, D H rechthouckich op F H. Om nu deur de tafel der houckmaten haer redens te vinden, men siet A G houckmaet te wesen van 36 tr. doēde (inde tafel diens halfmiddellijn 10000000) 5877852:F G even ande houckmaet van 72 tr. doende 95 10565, daer af ghetrocken A G 5877852, blijft voor F A 3632713: C G bestaet uyt de halfmiddellijn {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C I, doende 10000000, met I G evē ande houckmaet van 54 tr. doende 8090170, t'samen voor C G 18090170. Om nu B F te vinden, ick treck K I rechthouckich op C G, ende snyende B F in L: Twelck soo sijnde, C K is een booch van 90 trappen, ende B C van 72, de selve ghetrocken vande 90, blijft K B 18 tr. diens houckmaet B L doet 3090170, daer toe L F even an I G 8090170, maken t'samen voor B F 11180340. Voort anghesien G E, E H, D H, even sijn an A G, A F, B F, soo sijn die linien oock bekent. Ende derghelijcke sal den voortganck sijn in ander gheschickte platten. Nv vande teyckening door t'nemen van inwendighe hovcken. 8 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier van form soot valt, ende F G een lini opt landt lanck 40 roen. Tbegheerde. Wy moeten deur t'nemen van inwendighe houcken een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat F G lijckstandighe sy met A E. {==36==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick treck linien uyt eenighen houck tot al d'ander houcken, als A D, A C, ende meet A E, A D, A C, A B op eenighe leer die bevindende neem ick van 50 ⓪, 75 ⓪, 66 ⓪, 34 ⓪, welcke ick elck op haer lini stel, ende onder A E de 40 roen: Segh daer na A E 50 ⓪, gheeft A D 75 ⓪, wat F G 40 ⓪? comt voor lijckstandighe met A D 60 ⓪, die ick onder de selve A D schrijf: Ende doende der ghelijcke met d'ander, de ghetalen vallen als inde form te sien is. Ick beschrijf daer na op A als middelpunt eenighe booch inde form, als B H, snyende A C in I, A D in K, A E in H, meet daer na met een traprondt de grootheyt des houcx E A D, of boochs H K, die bevindende neem ick, van 17 tr. Sghelijcx des houcx D A C, of boochs K I van 53 tr. ende des houcx C A B, of boochs I B van 51 tr. die ick elck op haer booch schrijf. Met dit papier comme ick ter plaets opt velt, stellende het middelpunt eens traprondts dat ghemeenlick ant meterscruys vervought is, opt punt F, ende brenghende op G F een houck G F L van 17 tr. ghelijck den booch H K anwijst, ick meet int slinckerstrael F L de 60 roen die onder A D staen, welcke commen, neem ick, van F tot L: S'ghelijcx doende met d'ander twee sijden F M, F N, ick heb t'begheerde plat opt landt F N M L G. 1 Merck. Wy hebben hier boven gheseyt van t'vinden des houcx B A C met een traprondt: Maer hoe die deur de drie bekende sijden eens driehoucx oock bekent wort, is openbaer int 8 voorstel der platte driehoucken. 2 Merck. Inde geschickte platten sijn sulckehoucken altijt evegroot, ende bekent. Laet by voorbeelt A B C D E een gheschickt vijfhouck sijn: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Om hier te vinden de grootheyt van yder houck der drie E A D, D A C, C A B, Ick segh aldus: de vijfhoucken des vijfhoucx doen tsamen 540 tr. deur het 1 voorstel vande byvough der platte veelhoucken int 2 bouck des weereltschrifts. Het vijfdedeel der selve is 108 tr. voor een houck als E A B: Ende want de voorschreven driehoucken E A D, D A C, C A B, al even groot sijn, deur het 21 voorstel des 3 boucx van Euclides soo moet elcke der selve doen het derdendeel der voorschreven 108 tr. dats 36 tr. {==37==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Merck. De gheschickte rechtlinige platten connen oock bequamelick opt lant gheteyckent worden deur inwendighe houcken opt middelpunt vergarende. Laet by voorbeelt A B andermael een lini opt velt sijn, lanck 60 roen, waer op een gheschickt vijfhouck moet geteyckent sijn, sulcx dat A B sy een der sijden: Voor al ick sie dat de lini vant middelpunt als C, tot A, mette lini A B een houck moet begrijpen groot (om de redenen int 2 merck verclaert) den helft van 108 tr. te weten 54 tr. voort dat A C lanckmoet sijn 5104 ② (want {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ghelijckmen deur de tafel der houckmaten bevint, A B heeft sulcken reden tot A C als 11755704 tot 10000000, daerom segghende 11755704 gheeft 10000000, wat A B 60 roen? comt voor A C als boven 5104 ②) Ghestelt daer na t'middelpunt des traprondts op C, ende aldaer afghesien den houck A C D van 72 tr.ende int strael C D ghemeten 5104 ②, ende desghelijcx oock ghedaen van C tot E, ende van C tot F, men heeft den begeerden geschickten vijfhouck A D E F B, op de ghegheven sijde A B. Nv vande teyckening door t'nemem van vytwendighe hovcken. 9 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier, van form soot valt, ende F G een lini opt lant lanck 40 roen. Tbegheerde. Wy moeten deur t'nemen van uytwendige houcken een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat F G lijckstandighe sy met A E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick meet op een leer de twee sijden A E, A B, die bevindende neem ick van 50 ⓪, en 34 ⓪, daerom segh ick, A E 50 ⓪, gheeft A B 34 ⓪, wat F G 40 roen? comt voor begheerde lijckstandighe met A B, 272 ①. Ende inder selver vougen {==38==} {>>pagina-aanduiding<<} vind ick de ghetalen van d'ander drie linien B C, C D, D E, metsgaders de ghetalen van haer begheerde lijckstandige, die elck onder haer lini teyckenende ghelijck inde form te sien is: Beschrijf daer na op elcken houck haer booch, metende t'begrijp der trappen vande selve, als den booch des houcx A van 121 tr. ende soo voort van d'ander gelijck de form uytwijst. Met dit papier com ick ter plaets opt velt, stellende het middelpunt eens traprondts, dat ghemeenlick ant meterscruys vervought is, opt punt F, ende brenghende op G F, een houck G F H van 121 tr. ghelijck de booch op A ghetrocken anwijst, ick meet int sichtstrael F H de 272 ①, die onder AB staen, welcke commen, neem ick, van F tot H. Sgelijcx doende met d'ander houcken en sijden, ick heb t'begheerde plat opt landt F H I K G. Proef mach op sulcke wercking gade gheslaghen worden in deser voughen: Ten eersten de houcken opt papier ghemeten ende gheteyckent wesende, sy moeten deur het 1 voorstel des Byvoughs der platte veelhoucken, t'samen 540 tr. uytbrenghen, t'welck met dese vijf houcken oock alsoo bevonden wort, want anders commende het handtwerck heeft ghemist. Ten tweeden, de drie baecken H, I, K, opt velt ghestelt sijnde als boven, soo moet dan den houck K even soo groot vallen als den houck D, te weten van 84 tr. 26 ①, ende de lini KG soo lanck als onder ED staet dat is 2468 ②, want anders commende daer is seyl inde wercking, of opt papier, of opt landt, of op alle beyde. Tbeslvyt. Wy hebben dan rechtlinighe platten van begheerde form gheteyckent na den eysch. 1 Merck. Ghenomen dat dese ghegheven form A B C D E, even ende gelijck sy mette form A B C D E des 8 voorbeelts, soo moeten de houcken en sijden soo groot vallen als hier ghestelt is, want wy de selve deur de reghelen van dien der platte driehoucken, alsoo berekent hebben. 2 Merck. Wy en stellen hier gheen voorbeelt van gheschickte platten, want na dien al de uytwendighe houcken en sijden even sijn, soo is de wercking daer af openbaer en licht. 3 Merck. Sooder een cleene form uyt een groote moest gheteyckent sijn, deur t'nemen van inwendighe of uytwendighe houcken, soodanighe wercking is daer in gelijck ghenouch mette voorgaende, sulcx datse gheen besonder voorbeelden en behouft. 4 Merck. Angaende het teyckenen der ronden, lanckronden, keghelsneen en slangtreckplatten, dat en is hier niet noodich gemerckt de omtrecken van dien haer vlacken begrijpen, welcker omtrecken teyckeninghen ghenouch verclaert sijn inde voorstellen des 1 deels vande linien. 5 Merck. By aldiender een plat te teyckenen waer gelijck met een ghegheven plat, hebbende cromme sijden van onbepaelde ghedaente, ghemerckt dier sijden teyckening verclaert is int 15 voorstel, soo is de teyckening van sulck plat daer deur openbaer. {==39==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde deel des eersten bovcx van het teyckenen der lichamen. WY nemen voor ons hier te beschrijven de teyckening van lichamen diens maecksel, om op de maet te commen, eenighe wetenschap vereyscht, meer als de ghene die int wilde na der wercklieden inval gheformt worden. Hier toe sullen wy verkiesen de teyckening der plattighe lichamen van begheerde form: De vijf gheschickte lichamen, met haer vercortinghen, op seker lijcksijdicheyt vallende: metgaders den cloot. 17 Voorstel. Een plattich lichaem van begheerde form te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C D E F G een plattich lichaem sijn, ick neem een viercante pylaer ende E H een lini. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke lichaem teyckenen, sulcx dat E H lijckstandighe sy met E F. Wisconstich werck. Ick treck vanden houck E, linien tot al d'ander noodighe houcken A, B, G, C, daer na H I evewijdeghe met F A, ende I K met A B, ende K L met B G, daer na de lini H L, voorts L Mevewijdege met H E, M N {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} met D C, ende ten laetsten N K, wel verstaen de dat de punten I, K, L, M, N, commen in haer behoirlicke linien ghelijck de form anwijst: T'welck soo sijnde I K N M E H L is t'begheerde lichaem. Tvychwerckelick werck. T'voorbeelt hier boven ghestelt, bestaet meer inTheorid. spiegheling (wiens gebruyck inde volgh ende meting ende verkeering des 2 ende 6 boucx plaets heeft) dan in daetlicke wercking: Om van welcke nu te segghen, tis inde ghebruyck, datmen om een groot lichaem lijckformich int cleen te maken, als om eenich groot ghesticht in cleen na te botsen: Of ter contrari een cleen int groot, daer mede aldus toe gaet: Latet groot lichaem A B C D E F G, na te botsen sijn int cleen, met poteerder, was, hout, of ander stof, alsoo dat de lijckstandighe lini met E F, even sy an E H: Men meet E F, mette voetmaet van langde na landts ghebruyck, wort bevonden, neem ick, van 8 voeten, F G 4 voeten: Twelck soo sijnde, men deelt een maetken vande langde E H, in 8 even deelen, twelckmen de cleene voet maet noemt, ende wilmender meer sulcke voeten byvoughen, men macht doen: Daer uyt dan ghenomen 4 voet voor H L, lijckstandighe met F G, die oock 4 voeten bevonden wiert, men heeft de behoirlicke langde H L:Ende soo voort met d'ander, welverstaende datmen deur t'behulp des wijnckelhaecx, die platten des cleenen lichaems rechthouckich stelt, ghelijck die vant groot lichaem sijn. {==40==} {>>pagina-aanduiding<<} Vervolgh. Tis kennelick dattet voorbeelt hier ghestelt van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} een viercante pylaer, hem alsoo verstaet met alle plattighe lichamen, midts datmen int dadelick werck tot scheefhoucken te teyckenen, in plaets van een wijnckelhaeck, den tuych ghebruyckt by de timmerlieden Leughenswee gheheeten, ghelijck de form hier nevens, welcke als een passer open en toe gaet, om soo wel de houcken scherp en plomp, als recht te formen. Tbeslvyt. Wy hebben dan een plattich lichaem van begheerde form gheteyckent, na den eysch. 18 Voorstel. De vijf gheschickte lichamen te teyckenen. Lichamen t'eenemael om vanghen in ghelijcke ende even gheschickte platten, heeten gheschickte lichamen, welcke, ghelijck de gheschickte platten int rondt beschrijvelick sijn, alsoo dese inden cloot: Ende wort bethoont datmender sulcke alleenelick vijf vindt: Tis wel waer dat seker afsnijdinghen der selve verscheyden lichamen voortbrengt (welcke int volghende 19 voorstel sullen verclaert worden) die groote gheschicktheyt hebben, Als ten eersten datse inden cloot beschrijvelick sijn. Ten tweeden datse al haer sijden even hebben. Ten derden dat alle ghelijcke platten eens lichaems even sijn, ende alle even gelijck. Ten vierden dat tusschen alle even tegenoverstaende platten, even assen bevonden worden. Ten vijfden datmen alle platten evesijdich ende evenhouckich bevint. Ten sesten dat de platten een lijckstandighe ghedaente hebben, behaeghlick int ghesicht. Doch alsoo eenighe der platten eens lichaems onghelijck sijn, en wordense, volghende de bepaling der gheschickte lichamen, voor gheen geschickte gherekent. Haer meeste ghebruyck schijnt tot cyraet te strecken. De ouden pleghen eertijts vande gheschickte, dobbelsteenen te maken, t'welck sommighe deses tijts noch navolghen, teyckenende oock Sonwijsers op verscheyden platten die tot den voorgesteldenHorizontem. sichteinder connen beschenen worden. Tottet sormen deser lichamen wort ghemeenlick ghenomen platte stof, als ghepapt papier, plat coper, of dierghelijcke, daermen soo veel platten af maeckt, als t'lichaem hebben moet, welcke oirdentlick by malcander vervought ende ghevouden na t'behooren, men crijcht holle lichamen na de begheerte. Of andersins maeckmense van volle lichamelicke stof. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Nu om van d'eerste manier eerst te segghen, sullen mettet viergrondich lichaem beginnen, waer toeTetrahedrum. vier driecanten van stof alsvoren, an malcander vervought worden, gelijck hier nevens: De selve voorts toe ghevouden na den eysch, maken t'begeerde viergrondich lichaem, t'welck in afcomst een naelde is. {==41==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ses viercanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toe ghevouden na den eysch, maken het sesgrondich lichaem, t'welck in afcomst een teerlinck is. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Acht driecanten by malcander vervought als hierOctohedrum. nevens, ende voorts toe ghevouden na den eysch, maken het achtgrondich lichaem. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twelf vijfcanten by malcander vervought als hierDodecahedrum. nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken het twelfgrondich lichaem. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twintich driecantē by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, makenIcosahedrum. het twintich grondich lichaem. Angaende het formen deser gheschickte lichamen deur vollijveghe stof: Soodanighe holle ghemaeckt sijnde van gevouden platten als boven, meughen dan naghebotst worden mette vollijveghe stof deur de ghemeene manier der plattighe lichamen des 17 voorstels: Tbeslvyt. Wy hebben dan de vijf gheschickte lichamen gheteyckent na den eysch. 19 Voorstel. De gheschickte ghesneen lichamen te teyckenen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 4 sescanten en 4 driecanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken het gesneen viergrondich deur der sijden derdendeelen. {==42==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 6 achtcanten ende 8 driecanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken den ghesneen teerlinck deur der sijden derdendeelen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 6 viercanten ende 8 driecanten by malcander vervougt als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken den ghesneen teerlinck deur der sijden middel. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 6 viercanten en 32 driecanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken dengesneen teerlinck op een derde manier. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 18 viercanten en 8 driecanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken den gesneen teerlinck op een vierde manier. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 6 achtcanten 8 sescanten en 12 viercanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken den gesneen teerlinck op een vijfde manier. {==43==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 6 viercanten ende 8 sescanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken het ghesneen achtgrondich lichaem deur der sijden derdenddelen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 12 vijfcanten en 20 driecanten by malcander vervought als hier nevens, ende voorts toeghevouden na den eysch, maken het ghesneen twelfgrondich deur der sijden middel: Of anders het gesneen twintichgrondich deur der sijden middel, want die beyde ghelijcke lichamen voortbrenghen. Tbeslvyt. Wy hebben dan de gheschickte ghesneen lichamen gheteyckent na den eysch. 20 Voorstel. Den cloot te teyckenen. Tghegheven. Laet A B C D een rou stuck houts sijn, ende E F een rondt diens middellijn E F. Tbegheerde. Wy moeten van t'selve hout A B C D een cloot maken, diens grootste rondt even sy ant rondt E F. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Het formen des cloots gaet op twee ghemeene manieren toe, als int cleen op een draeybanck, ende int groot met een malle. Op den draeybanck gadet be- {==44==} {>>pagina-aanduiding<<} quamelick aldus te werck: Men draeyt eerst (draeyende het hout op eenige twee punten, als neem ick A, C, die op de pinnen des draeybancx overcommen) een ront gelijck B G D H, soo diep tot dat sijn as even is ande middellijn E F, t'welckmen meet mette crombeenighe passer die de draeyers daer toe bereyt hebben. Voorts deelmen t'boveschreven rondt B G D H in vier of ses even ghedeelten, ende daer af verkiesende tweePuncta opposita reghestandige {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} punten als neem ick B D men vervoughtse of doetse overcommen op des draeybancx twee pinnen: Ende alsdan alle overvloedige stof afghedraeyt sijnde tot dattet rondt B G D H even af is sonder daer in eenich teycken te blijven, oock sonder meer als t'rondt af ghenomen te wesen, men heeft den begheerden cloot. Maer groote ronden die opgeē banck ghedraeyt en connen worden, die formtmen bequaemlick met eē halfronde malle, als A B C draeyende op de aspunten A C, alwaermen over al vervult datter int halfrondt ghebreeckt, of wegh neemt datter te veel is. Tbeslvyt. Wy hebben een cloot geteyckent na den eysch. Vervolgh. Hier uyt is ghenouch te verstaen hoeSpheroides Coni & Conoides. clootsche keghels, en keghelschen, deur mallen connen ghemaeckt worden, daer afwy hier alleenelick de formen stellende en beschrijvender gheen besonder voorstellen of, als daer me de saeck claer ghenouch schijnende. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==45==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede bovck der meetdaet, van het meten der grootheden. {==47==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des tweeden Bovcx vant meten der linien. Tmeten der linien na dit teghenwoordich voornemen valt op driedetley wijse: Ten eersten deur overgheleyde mate: Ten tweeden deur sichtstralen: Ten derdē deur ander bystaende bekende linien: Van welcke verscheydenheden wy verscheyden voorstellen sullen beschrijven, ende eerst Vant meten der linien door overgheleyde mate. 1 Voorstel. Een rechte lini deur overgheleyde maet te meten. Wy nemen voor ons hier te beschrijven dese meting int cleen met leeren, als op papier, of cleene platten; Ende int groot, als opt landt met ketens, daer af twee voorbeelden stellende. 1 Voorbeelt vant met en int cleen met leeren. Tghegheven. Laet A B, B C, C A, drie linien des driehoucx A B C wesen, ende D E een leer: Om welcx ghedaente met een te verclaren, soois te weten inde ghebruyck te sijn, by de ghene die metselrijen, timmeragien, sterckten, landtcaerten, zeecaerten, en dierghelijcke teyckenen, daer benevens een maet te stellen als de voorschreven D E, die om haer lijckformicheydt met een leer, oock leer ghenoemt wort, ende als haer ghedeelten niet seker voeten, roeden, mijlen, of dierghelijcke en beteyckenen, soo heetmense int ghemeen, oock om de lijckformicheyts wil, trappen. Laet dan elck ghedeelte van D tot F een voet beteyckenen, sulcx dat D F thien voeten doet, sghelijcx F G, G H, H E, elck oock 10 voeten, ende vervolghens(ghelijck de byghestelde ghetalen anwijsen) F H 20, F E 30, ende soo voort by aldien de leer langher waer. Tbegheerde. Wy moeten meten hoe veel voeten elcke lini des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} driehoucx A B C lanck is. Twerck. Ick neem op een passer de langde A B, stel d'een voet op een der punten F, G, H, of E, te weten soo dat d'ander voet comt tusschen de punten D F, ofte op een van beyden. Ghenomen dan dat d'een voet ghestelt op H, d'ander comt opt vierde punt van F na D, t'welck my t'ghetal {==48==} {>>pagina-aanduiding<<} onder H anwijst te doen 20, die met d'ander 4 maken 24. Ende alsoo ghemeten d'ander linien, men heeft het begheerde. Tot hier toe is vande ghemeene maniere der leer gheseyt: Doch op dat wy noch wat bequaems daer in verclaren, soo is te weten dat sijn Vorstelicke Ghenade, om int meten der linien en platten op papier, oock der lichamen int cleen deur de thiende te wercken, dat is deur heele getalen sonder ghebrokens, heeft inde ghebruyck de langden als F G, G H, H E, beginselen te noemen, dat sijn ⓪, sulcx dat F E doet 3 beginselen, ende de deelen D F eersten, als ①, welverstaende datse in plaets der trappen thien punten stelt, malcander soo na als sy met sienlick onderscheyt bequaemlick vallen connen. Ende soo de passer int meten opt middel tusschen twee punten valt, voor dien helft worden 5 ② gherekent; Maer soo t'ghesicht can oirdeelen opt derdendeel van 1 ①, men schrijft daer voor 3 ②, of 4 ②, na gheleghentheyt, ende soo voort met d'ander ghedeelten, waer deur sijn Vorstelicke Ghenade verscheyden metinghen der grootheden, als de naervolghende sijn, met soo groot gherief, lichticheyt ende sekerheyt ghedaen heeft, dat de proeven van dien haer gheen cleene vernoughing en gaven. Vervolgh. Deur t'ghene wy hier gheseyt hebben vant meten der sijden des driehoucx, is kennelick ghenoch al t'ghene deur vercleende maet met leeren gemeten wort. 2 Voorbeelt vant meten der linien int groot met ket ens en roen. Tghegheven. Laet de twee punten A, B, twee baecken opt landt beteyckenen, diens langde tusschen beyden met een keten ghemeten moet sijn. Twerck. Tis by veel Landtmeters inde ghebruyck een keten te hebben van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} yserdraet, of coperdraet, om ghelijck coorden wel doen, niet langher uyt te recken, ghemeenelick lanck vijf roeden. De schakels worden na yders sinlickheyt vervought: Doch om voor de ghene die sulcke ketens niet ghesien en hebben eenich voorbeelt te stellen, soo sal ick hier by voughen een ghebruyckelicke maniere die my niet qualick en bevalt, ghelijck de volghende form anwijst, beteyckenende des keten s een schakel, met noch twee eynden van schakels, die met een cleen rijncxken an malcander vervought sijn, wesende t'selve rijncxken ende de ooghen ofte omcromselen der schaeckels wel vast ghesaudeert. Voort oock verstaen dat elcke schaeckel lanck sal sijn vande middel vant een cleen rijncxken totte middel van t'ander, effen een voet, maer van roede tot roede, is onderscheyts halven een grooter rijnck. Sulcken keten valt licht en sterck, niet haest verwarrende, ende can, alsmense niet en besicht, bequamelick by een vervought worden, op de langde van een voet. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Angaende de roe die is in Hollant van 12 voeten, en elcke voet van 12 duym, waer af de drie dats een vierendeel voets Rijnlantsche maet sijn van dese langde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Beneven dese 12 voeten en duymen die op een sijde der roe gheteyckent sijn, soo wort de roe op een ander sijde noch ghedeelt in 10 even deelen die wy eer- {==49==} {>>pagina-aanduiding<<} sten noemen en elcke eerste andermael in thien, t'welck tweeden sijn. Tghebruyck der boveschreven keten en roe is dusdanich: Men stelt, om van A tot B recht te gaen, een baeck tusschen beyden als C, int sichtstrael der baecken A, B, na de leering des 1 voorstels vant 1 bouck. Daer na gaet de meter mettet een eynde des ketens voor, ende doende hem een ander navolghen mettet ander eynde, steeckt alsoo op elcke langde des ketens, tamelick ghespannen staende, een stocxken, of pinne, lanck ontrent een voet, of soo veel langer alst de noot vereyscht, van weghen lanck cruyt, ghewas, of dierghelijcke tot welcke pinne de navolgher ghecommen sijnde trecktse uyt ende brengtse mede. Soodanighe pinnen heefter den meter somwijlen tot vijf, somwijlen tot thien, waer mede gade ghesleghen wort hoe dickwils die overghebrocht worden, want elcke reyse der vijf doet 25 roen, of der thien pinnen 50 roen. Ghenomen dan dat 5 pinnen int meten van dese langde A B vijfmael overghebrocht worden, soo ist van A tot B 125 roen. En sooder yet overschoot gheen keten verstreckende, dat wort mette roe ghemeten, als by voorbeelt noch overschietende 2 roen 7 ① 6 ②. de heele lini soude lanck sijn 127 roen 7 ① 6 ②, of wilmen de ghedeelten der roe deur voeten en duymen uytspreken, dat machmen oock doen. Nv vant meten der linien door sichstr alen. Wanter een ghemeene wijse van meting is sonder te moeten overgaen de wech daermen de langde af begheert te weten, namelick deur sichtstralen, welcke langden met een ghebruyckelick woort ongherakelicke langden ghenoemt worden, soo sullen wy vande selve wat segghen. Daer sijn tot desen handel bereyt ettelickeInstrumenta mathematica. Planimetrum. Scala altimetra. Quadrans, geometricus cum regula fiduciale. Quadrans, geometricus cum perpendiculare. Radius geometricus. Holometrum Triquetrum. wisconsttuyghen, wiens namen wel verscheyden sijn, als Platmeter, Hoochmetingsleer, Meetconstich viercant met een sichtregel, Meetconstich viercant met een hangsnoer, Meetstrael, Almeter, Drieroe, ende meer ander: Doch makense altemael driehoucken, welcke deur een of meer beweghende sijden verscheydelick verandert worden lijckformich metten grooten meetbaren driehouck, sulcx dattet ghebruyck vant een wel verstaen sijnde, ghenouchsaem kennis van allen gheeft. Twelck aenghemerckt wy sullen hier inde plaets van velen de drieroe verkiesen: Ende na dien verscheyden persoonen de deelen der selve verscheydelick vervoughen, elck na dat hem totte ghebruyck bequaemst dunckt, ghevende yder sijn tuych een naem na dat hy acht de saecke te vereysschen, soo sal ick mijn ghevoelen van dies hier oock beschrijven, doch by de ghemeene naem drieroe blijven, daer af verclarende de form ende schicking der deelen ghelijckse voor sijn Vorstelicke Ghenade ende ander ghemaeckt is. Verclaring vande ghedaente der drieroe. A B, B C, A D, sijn inde volghende form drie roen, waer af den tuych oock soo bequamelick op duytsch schijnt drieroe te meugen heeten, alsmen een stoel van weghen haer drie voeten drievoet noemt: A B wort grontroe gheseyt, B C rechterroe, A D slinckerroe. Den as by B daer de rechterroe op draeyt heet rechteras, d'ander by A slinckeras. {==50==} {>>pagina-aanduiding<<} Den halven rinck E met haer 180 trappen, is om de rechterroe met een schroefken by F daer op te hechten, alsoo dat den houck A B C vast blijve inde ghestalt soomense begheert. De slinckerroe A D wort met een schuyverken inde grontroe A B verschoven daermense hebben wil, alsoo dattet middelpunt vande slinckeras altijt passe op den cant des gronts teghen de eynden der trappen daer op gheteyckent, want de selve grontroe heeft van binnen een hollicheyt daer het hooft der slinckerroe mettet schuyverken in loopt. De grontroe A B is soo dick als d'ander twee roen tsamen, ende noch soo veel meer als de dickte des bovecants daer het schuyverken onder loopt: Sulcx dat de slinckerroe wanneermen den tuych niet en besicht, op de rechterroe comt te passen gherievich om te verdraghen. Noch isser een winckelhaeck (daer t'ghebruyck t'sijnder plaets af blijcken sal) die alsmen den tuych niet en besicht, gesteken wort inde hollicheyt daer het schuyverken in loopt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Alle drie de roen ende wijnckelhaeck worden ghedeelt met even ghedeelten, soo na malcander als t'ghesicht bequaemlick onderscheyden can, ghelijck hier onder by voorbeelt in grooter form anghewesen wort. De ervaring leert datmen alsoo op een delfsche voet ontrent de vier hondert sichtbaer punten of gedeelten brenghen can. Ick heb elcke roe lanck ghenomen ontrent drie Delfsche voeten: Ende om de lichticheyts wil, sijn de rechterroe ende slinckerroe van binnen hol ghemaeckt. {==51==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} De roen die om sekerlick me te wercken groote rechticheyt vereysschen, en laetmen niet mette vijle bereyden, maer men doetse deur een schrijnwercker schaven, soo recht dat d'een teghen d'ander gheleyt sijnde over al geraeckt want hem t'lattoen tottet schaven wel ghevought. Elcke roe heeft twee sichtpinnen, als ter plaets van G, H, I, K, L, M, welcke neerliggende even plat commen metter opperste vlack der roen, hebbende elck de ghedeelten die daer op vallen, ende om die recht overeynde te stellen, soe draeyense op seker carnieren binnen de roeden tot datse daer op rechthouckich staen. Sy sijn oock op d'een sijde crom uytghevijlt om datmen sich int ghebruyck der selve niet misgrijpen en soude, ghelijckmen mocht by aldiense daer recht waren, nemende lichtelick sijn ghesicht op verkeerde sijden. Dese drieroe wort int eyghentlick werckop een tuych gheleyt als hier na volght, welck is een viercant bart breet ontrent een voet, ghehecht op een stock ghelijck de plaet vant meterscruys: Ende heeft maniere van twee clemhaecken, daermen de drieroe vast onder leght, ende die voorwaert achterwaert ter eender ende ander sijde verschuyven mach: Welcke manier inde ghebruyck bequamer valt dan de drieroe ande stock vast te wesen, om datmen den as der rechterroe ende slinckerroe aldus lichtelicker passen can opt punt des eersten en tweeden stants; sonder den voet herwaerts en derwaerts dickwils te moeten versteken, ghelijckmen andersins doet: Alle welcke dinghen noch claerlicker sullen connen verstaen worden deur de navolghende voorbeelden. Om nu wat vande stof te segghen, lattoen wort voor veel meetconstige tuyghen de bequaemste gheacht, want hoe wel goudt schoonder is daer teghen ist weycker ende cromt haest. Boven dien eenich tuych van goudt of silver wel gemaeckt sijnde, t'staet in perikel van by noot ghebroken te worden om sich daer mede te behelpen; Yfer verroest: Loot en tin sijn te sacht: Angaende hout t'is onbequaem voor dinghen die recht ende in standt moeten blijven, deur dient inde sonne crom ghetrocken wort, oock in vochtich weer opswelt, ende sommighe deelen die schuy ven of draeyen moeten soo stijf doet clemmen, datmense qua- {==52==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lick van een can crijghen, die ter contrari in drooch weer van selfs uyt malcander vallen: Sulcx dat lattoen niet t'onrecht en schijnt (als boven gheseyt is) voor de bequaemste stof ghehouden te worden, te meer datment voor de ghene die t'cyraet begheeren met cleene cost schoon vergulden mach. Tot hier toe dan de ghedaente der drieroe verclaert sijnde, wy sullen tottet ghebruyck commen. 2 Voorstel. Deur sichtstralen onghenakelicke sichteindersche langden te meten. 1 Voorbeelt van een metelicke lang de tusschen den meter ende een onghenakelicke baeck, ghemeten mette drieroe. Tghegheven. Laet A B een onghenakelicke langde sijn evewijdich vanden sichteinder. Tbegheerde. Men wil weten hoe lanck die is, sonder vande baeck B tot A te gaen. Twerck. Voor al soo is te weten datmen twee verscheyden plaetsen behouft daermen int wercken op staet, diemen daerom oock Standen noemt, de selve twee standen moeten mettet punt A een driehouck maken: Tot desen eynde, stel ick de rechteras der drieroe (die altijt in d'eerste standt, ghebruyckt wort) opt punt B als eerste standt: Sie voort na de slinckersijde op de sichtpinnen der grontroe eenighe baeck dieder staet, of die icker doe stellen, om aldaer mijn tweede standt te nemen, als de baeck C: Blijvende alsdan de grontroe alsoo onbeweeghlick, ick {==53==} {>>pagina-aanduiding<<} keer de rechterroe na A, tot dat ick op de sichtpinnen der selve de baeck A sie: T'welck soo sijnde, ick schroef de rechterroe daer vast opt halfrondt, alsoo dat den houck diese mette grontroe maeckt onverandert blijft. Ick breng daer na de drieroe totte tweede standt C, metende int overcommen de langde BC, die ick vinde, neem ick, van 150 roen: Ick passe daer na de slinckeras recht opt baeckpunt C, ende blijvende de voorschreven houck der grontroe ende rechterroe welcke hier sy D E C altijt onverandert: Ick verschuyf daer na de slinckerroe op, neem ick 1000 ⓪ der grontroe, te weten op een bequame plaets, alsoo datmender der daer na een groote merckelicke driehouck af crijghe: Keer voorts de grontroe na de baeck B des eersten standts (welverstaende dat de slinckeras opt baeckpunt C blijft) tot dat ick op de sichtpinnen des selfden de baeck B sie: De grontroe ende rechterroe alsoo onbeweeghlick blijvende, ick keer de slinckerroe tot dat ick op haer sichtpinnen de baeck A sie, ende alsdan wort de rechterroe ghesneen vande slincker int punt F, sulcx dat F E doet, neem ick, 700 ⓪. T'welck soo sijnde de cleene driehouck C E F, is gelijck anden grootē driehouck C B A, want F E is evewijdeghe met A B: Daerom segh ick C E 1000 ⓪, gheeft E F 700 ⓪, wat C B 150 roen? (soo veel wierterint overcommen ghemeten, als boven {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} gheseyt is) comt voor de begeerde langde van B A 105 roen. Tbewys. De cleenen driehouck C E F is ghelijck anden grooten driehouck C B A, daerom haer sijden E C, E F, lijckstandige met B C, B A, sijn everednich, waer deur ghelijck EC 1000 ⓪, tot E F 700 ⓪, alsoo B C 150 roē, tot B A 105 roen: B A dan doet 105 roen. Merckt. Soomen met een wilde weten de langde van C tot A, men soude letten op de deelen der slinckerroe tusschen C en F: Ghenomen dan datter waren 80 ⓪: Ick segh C E 100 ⓪, gheeft C F 80 ⓪, wat C B 150 roen? comt voor C A 120 roen. By aldienmen de langde AB had willen vinden sonder eenighe rekening te maken, men soude het aspunt der slinckerroe op het 150 ②, der grontroe verschoven hebben, ende dan souden de deelen der rechterroe selfsonder eenige rekening te behouven soo veel roen beteyckenen. Maer alsoo en canmen de grootste driehoucken niet crijghen dieder op de drieroe vallen connen, waer deur de uytcomst onghewisser is, Daerom die sekerder begheert te wercken, sal de grootste driehoucken nemen die hy bequamelick op de drieroe crijgen can, ende deur reghel van drien als boven t'begheerde soucken. Soo de slinckerroe int overlegghen na A, de rechterroe niet en conde raken, men salse soo na de rechterroe schuyven tot datse die gheraken can. {==54==} {>>pagina-aanduiding<<} Als de rechterroe in d'eerste standt ghepast is op A, soomen dan de selve roe ende de grontroe wilde t'samen voughen, sonder de rechterroe aldaer tegen het halfrondt te schroeven, ende sonder ghehouden te sijn den ghevonden houck als D E C in die ghestalt te moeten bewaren, t'welck te pas comt ende vereyscht wort wanneermen verscheyden langden wil vinden alleenlick met eenmael te vergaen na de tweede standt, daer wy terstont af segghen sullen: Ten anderen standen die verrer van malcander ligghen als drie of vier uyren gaens, ghelijckt int teyckenen van landtcaerten ghebeurt, alwaert moeyelick mocht vallen dien houck sonder veranderen soo wijt te brenghen: Oock om te sien of een houck alsoo verbrocht gheen verandering ghecreghen en heeft, en dierghelijcke: De manier om sulcx te weghe te brenghen is tweederhande, d'een datmen acht neemt op wat trap ende ghedeelte des traps die int halfrondt staen, de rechterroe in d'eerste standt valt, die daer op wederom stellende alsmen totte tweede standt comt. D'ander manier diemen voor noch sekerder houden mach is dusdanich: Om den houck B weder volcommelick te vinden alsmen comt ter plaets des tweeden standts C, men sal cenich punt der slinckerroe, ick neem het 800 ⓪, legghen op eenich t'punt der rechterroe daert bequamelick op commen can, ick neem opt 700 ⓪, sien oock onder wat punt der grontroe t'middelpunt der slinckeras comt, ick neem opt 900 ⓪, diemen alle drie by ghedachtenis opteyckenen sal, want ghecommen sijnde ter plaets des tweeden stants, ende die punten wederom alsoo vervoughende men heeft den eersten houck. Soomen alleenelick met twee standen verscheyden langden wilde vinden, soo van achter als van vooren, de manier der wercking is deur t'voorgaende openbaer. 2 Voorbeelt deur rekeninghen der platte driehoucken. Alsoo sijn Vors telicke Ghenade een besonder behagen neemt, int seltsaem groot en ghemeen ghebruyck der platte en clootsche driehoucken in veel meetconstighe werckinghen die ons ontmoeten, heeft hier dit voorbeelt doen vervoughen: Laet andermael te meten sijn de ongerakelicke langde A B: Tot dien eynde neem ick eenighen tuych daermen alleenelick de trappen eens voorghestelden houcx deur meet, als een metercruys met sijn wijslijn, of ander dierghelijcke: Daer me gevonden de grootheyt der twee houcken A B C, A C B, en ghemeten sijnde de lini tusschen de twee standen B, C, soo heeft de driehouck A B C drie bekende palen, daer me wort ghevonden de begheerde sijde A B deur het 4 voorstel der platte driehoucken. Noch staet hier te bedencken dat soo wel na d'ander wijse mette drieroe, als na dese, een rekening valt van een reghel van drien. Ander voorbeelt sonder meetconstighen tuych. Laet te meten sijn de ongerakelicke langde van A tot B. Om daer toe te commen ick stel an B een baeck, en meet van B tot C, een lini liever soo lanck of langher dan A B, soot de plaets toelaet, dan corterslatet sijn van 20 roen, en stel an C een baeck, welverstaende soo, dat C, B, A, in een recht strael staen. Ick meet daer na van C tot D andermael 20 roen, stellende an D een baeck, en soo dat C D bycansuyter oogh rechthouckich comme op A C, daer na van D tot E {==55==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} weerom 20 roen, stellende een baeck in E, en soo dat D E uyter oogh bycans evewijdich sy met B C, daer na meet ick van B na E andermael 20 roen, welcke soose byghevalle op E effen uyt quamen, dat selden ghebeurt, soo laetmen de baeck E t'haerder plaets, maer wat verschillende men steeckse soo veel achterwaert of voorwaert als de maet vereyscht: Ten laetsten stel ick de baeck F alsoo, datse recht stae int strael F E A, en oock int strael F D C. Dit soo wesende ick meet F D, en segh F D gheeft D E 20 roen, wat EB 20 roen? T'ghene daer uyt comt is voor de begheerde B A: Vyt oirsaeck dat den driehouck F D E, ghelijck is metten driehouck E B A, want daerom sijn de twee sijden F D, D E everedenich met haer lijckstandighe E B, B A. 3 Voorbeelt van een metelicke langde tusschen tvvee ongherakelicke baecken. Tghegheven. Laet A B een onghenakelicke langde sijn. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbegheerde. Men wil weten hoe lanck die is, sonder an eenighe der baecken A B te commen. Twerck. Ick stel tot eenighe bequame plaets een punt als C, ende meet hoe verre het is van A ende B, bevinde, neem ick, deur het 1 voórbeelt C A 500 voeten, C B 600 voeten, C B 600 voeten, welcke twee langden bekent sijnde, ick stel de rechteras opt punt C, de grontroe C D na A, ende de rechterroe C E na B, verschuyf daer na de slinckerroe F G alsoo dat tusschen de slincker as F ende rechteras C sijn 500 ①, legh daer na de {==56==} {>>pagina-aanduiding<<} selve slinckerroe op de 600 ① H der rechterroe CE: T'welck soo sijnde, van F tot H sijn, neem ick, 300 ①, waer uyt ick besluyt AB te doen 300 voeten. Maer wilmen om meerder sekerheyt een meerder driehouck nemen dan C F H, men mach het slincker aspunt F meer na D verschuyven, ick neem opt 800 ⓪, als tot I, en de segghen C A 500 voeten, gheven C B 600 voeten, wat 800 ⓪? comt 960 ⓪, daerom van C na E soo veel ⓪ ghetelt welcke commen, neem ick tot K, ende de slinckerroe dan gheleyt van I tot op K, soo sijn de ghedeelten I K neem ick 480 ⓪: Om nu te weten hoe veel voeten die beteeckenen ick segh C I 800 ⓪, gheeft I K 480 ⓪, wat C A 500? Comt voor A B 300 voeten. Of andersins C K 960 ⓪, gheven I K 480 ⓪, wat C B 600 voeten? Comt voor A B als boven 300 voeten. Tbewys. Want I C sulcken reden heeft tot K C, als A C tot A B, ende dat den houck I C K ende A C B al een selfde is, soo sijn de twee drichoucken I C K, A C B beyde ghelijck, ende haerHomologa latera pro pertionalia. lijckstandighe sijden everedenich, te weten ghelijck C I 800 ⓪, tot I K 480 ⓪, alsoo C A 500 voeten, tot A B 300 voeten. Merckt. Alsmen dit 3 voorbeelt wilde afveerdighen deur rekeninghen der platte driehoucken, men vint de twee linien A C en B C deur het 1 voorbeelt, en den houck A C B wort dadelick bekent ter plaets van C: Sulcx dat den driehouck A B C drie bekende palen heeft, daer me ghesocht de onbekende sijde A B, wort ghevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur sichtstralen ongherakelicke langden ghemeten na den eysch. 3 Voorstel. Deur sichtstralen ongherakelicke hooghde en diepte te meten. 1 Voorbeelt vant meten der hoochden rechthouckich op den sichteinder. Tghegheven. Laet A B een ongherakelicke hoochde sijn, rechthouckich op den sichteinder. Tbegheerde. Men wil weten hoe veel voeten A B lanck is, deur sichtstralen mette drieroe. Twerck. Ick stel tot eenighe bequame plaets als C, de grontroe D E recht overeynde, deur een lootsnoer, Sie daer na op de sichtpinnen der rechterroe E F t'punt A, ende schroef die roe daer vast teghen het halfrondt breng daer na de slinckerroe D G soo hooch, tot dat ick op haer sichtpinnen t'punt B sie, Maer op dat de selve roe D G t'elcken blijve staende daermense set, soo isser ant eynde van dien een lootsnoer als H, alsoo dattet met een keer over de rechterroe te gheven, de slinckerroe in sulcken plaets houdt alsmense stelt. De slinckerroe DG alsoo sijnde, datmen langs haer sichtpinnen t'punt B siet, ende langs de pinnen der rechterroe t'punt A, soo snyense malcander, neem ick, int punt I. Twelck soo sijnde, ick {==57==} {>>pagina-aanduiding<<} meet de langde van I tot A met een maet, als keten of roe soo icker commen can, maer canmen om eenich belet van wateren, huysen, vyanden, of dierghelijcke, de langde van I tot A alsoo niet meten, men salse vinden deur een tweede standt, na de leering des 2 voorstels: De selve wort bevonden, neem ick, van 275 voeten: Ick sie daer na hoe veel trappen datter sijn op de roe E F, van E tot I, ick neem 1100 ⓪, ende op de grontroe tusschen E en D 800 ⓪, daerom segh ick, I E 1100 ⓪, gheeft E D 800 ⓪, wat I A 275 voeten? comt voor de hooghde van A tot B, ofte dattet selve is voor de diepte van B tot A, 200 voeten. Tbewys. Anghesien A B ende E D beyde rechthouckich op den sichteinder sijn, soo wordense in sulcke werckelicke voorbeelden voor evewijdeghe ghehouden {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} (ick segh in sulcke werckelicke voorbeelden, want om naTheoricê. spiegelingsche wijse heel eyghentlick te spreken en sijn sijt niet, deur diense, ghenouch voortghetrocken wesende, int werelts middelpunt vergaren ende vervolghens onder malcander naerder commen dan boven) daerom de driehouck D E I, is ghelijck metten driehouck B A I, ende vervolghens ghelijck I E 1100 ⓪, tot E D 800 ⓪, alsoo I A 275 voeten, tot A B 200 voeten. A B dan doet 200 voeten. Merckt ten 1. Soomen wilde weten hoe veel t'punt B hoogher is dan t'punt A, Men sal de rechterroe E F rechthouckich op de grontroe stellen, ende t'punt datmen dan inde lini A B siet overcommen op de sichtpinnen vande roe E F, t'welck ick {==58==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} neem K te wesen, is inde selfde hoochde van E: Daerom ghesocht alsdan na de leering des 1 voorbeelts de langde K B ghelijck de form van dien anwijst, men comt tottet begheerde. Merckt ten 2. Maer om de diepte K A te vinden, men sal de rechterroe boven brenghen; die op de gronttoe rechthouckich stellende, ende voort daer mede doende na de voorgaende leering, ende ghelijck de volghende form noch opentlick anwijst men comt tottet begheerde. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==59==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt ten 3. Wy hebben hier vooren gheseyt dat als de langde tusschen den meter ende de metel icke hooghde, niet en can ghemeten worden met opgeleyde maet, deur t'belet tusschen beyden sijnde, datmen die vinden sal deur een tweede stant na de leering des 2 voorstels, welcke tweede standt soude moeten ter slincker of {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} rechter sijde ghenomen werden: Doch wantter een ander lichter manier is om de hooghde te meten deur twee standen die mette metelicke langhde in een selve plat sijn, soo sullen wy die verclaren. Tghegheven. Laet andermael tot dien eynde A B een ongherakelicke hooghde sijn rechthouckich op den sichteinder. Tbegheerde. Men wil weten hoe veel voeten A B lanck is. Twerck. Ick stel de grontroe C D recht overeynde, ende de rechterroe D E daer op rechthouckich als boven, voort de slinckeras C soo hooch ende wijt vande rechteras D, dat ick een grooote driehouck crijch, t'welck vallen can neem ick op 550 ⓪. Daer na op de slinckerroe C F ghesien hebbende t'sop A, sy doorsnijt D E in G op, neem ick 1000 ⓪. Ick com daer na totte tweede stant, die ick soo neem datse met d'eerste ende de metelicke hooghde in een selfde plat of sichtstrael sijn, oock alsoo dat de rechterroe inde selfde hooghde com alsvooren, ende latende de twee aspuntē van malcander inde selve wijde van 550 ⓪, eerste in d'oirden, ick sie andermael het top A op de slinckerroe H I, welcke alsdan de rechterroe in K doorsnijt op, neem ick 560 ⓪. {==60==} {>>pagina-aanduiding<<} Die ghetrocken van 1000 ⓪ tweede in d'oirden blijft 440 ⓪. Ick meet daer na de langde tusschen de twee standen G K, die bevindende neem ick van 40 voet. Segh voorts 440 ⓪ vierde in d'oirden, gheeft C D 550 ⓪ eerste in d'oirden, wat G K 40 voet vijfde in d'oirden? comt A L 50 voet. Daer toe noch de hooghde G M even an L B doende neem ick 5 voet. Comt voor de begheerde hooghde A B 55 voet. Tbereytsel. Laet getrocken worden H N op de voorschreven 1000 ⓪ der rechterroe, dat is evewijdeghe met C G of met A G, ende O sy het aspunt der rechterroe des tweeden standts. Tbewys. Want H N evewijdeghe is met A G deur t'bereytsel, ende H K in A K, soo is den cleenen driehouck H K N, ghelijck metten grooten A K G, ende vervolghens (want H O oock evewijdeghe is met A L) den heelen cleenen driehouck H O N, ghelijck metten heelen grooten A L G, wiens linien K N, H O lijckstandighe sijnde met K G, A L, soo heeft K N 440 ⓪, sulcken reden tot H O 550 ⓪, ghelijck K G 40 voeten, tot A L 50 voeten. A L dan doet 50 voet, die mette 5 L B maken 55 voet voor A B. Merckt. De reden waerom datmen sichteindersche langden als des 2 voorstels op dese corter manier van wercking niet vinden en can, is dat hier de begheerde hooghde als A B, altijt evewijdeghe is mette grontroe der drieroe, want sy beyde rechthouckich op den sichteinder sijn: Maer inde sichteindersche langden en is de meetbaer langde mette gront gheen evewijdeghe dan by ghevalle, waer af de meter noch kennis noch sekerheyt en heeft; ten waer de plaets toeliete te doen t'ghene wy nu segghen sullen: Laet A P twee baecken opt velt sijn, ende ghenomen dat my de plaets toelaet te meughen commen int strael van A P, als ter plaets van L: T'welck soo sijnde, men sal int strael L E rechthouckich op A L nemen twee standen, als ter plaets van G en K, vervoughende de drieroe ghelijckse daer staet, te weten mette grontroe na het metelick, ende rechthouckich op L E, de rest als boven, want ghelijck dese form op papier ghetey ckent, t'sy datse overeynde staet of plat neer light, al een selfde reden heeft, alsoo t'plat daer in de meting opt velt bedocht wort, of dat rechthouckich op den sichteinder comt of niet deTheorioe. spieghelinghen vallen daer afde selve: Merckt noch dat hoe wel het vry staet de tweede stant naerder of verder vant meetbaer te nemen dan d'eerste, doch ist beter de selve tweede standt naerder te nemen als boven ghedaen is, om datmen alsoo in d'eerste standt den grootsten driehouck mach nemen dieder op de drieroe vallen can, t'welck anders soo niet lucken en soude. Sooder een hoochde te meten waer daer afhet onderste punt hoogher waer dan t'ghesicht des meters, als neem ick de hoochde A P, men soude eerst vinden de hoochde A L als boven, daer na op de selve wijse P L, welcke ghetrocken van A L, blijft de begheerde A P: Deur t'verkeerde van t'selve is oock te verstaen, hoemen doen sal als het hoochste punt der meetbaer langde leegher waer dan t'ghesicht des meters. {==61==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt deur rekening der platte driehoucken. Laet andermael begheert sijn de hooghde K B der form int 1 merck: Tot dien eynde meetmen met eenighen tuych daer toe bequaem den houck B I K, voort soo is den houck B K I recht, en de sijde I K ghemeten, sulcx dat den driehouck B K I drie bekende palen heeft, hier me ghesocht de begheerde B K, sy wort gevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken. Ende ghelijck hier deur rekening der platte driehoucken ghevonden is de hoochte B K, alsoo ist kennelick hoe ghevonden sal worden de leechte K A int 2 merck. Maer deseleeghte K A des tweeden mercx, vergaert totte hoochte K B des 1 mercx, soo ist kennelick hoemen vindt deur rekeninghen der platte driehoucken de hoochte A B der 1 form des 1 voorbeelts. Om nu deur rekening der platte driehoucken te hebben de hoochte L A inde form des 3 mercx, soo sijn daer toe ghevonden des driehoucx A K G twee houcken A G K, ende A K G, wesende halfrondtvervulling des ghevonden houcx A K L, en de sijde G K is dadelick ghemeten, sulcx dat den driehouck A K G drie bekende palen heeft, waer me ghesocht de lini A K, sy wort gevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken. En hier me heeft de driehouck A K L drie bekende palen, te weten beneven de sijde A K, noch den houck A K L, en den rechthouck A L K, hier me ghesocht de begheerde sijde L A, sy wort ghevonden deur het 3 voorstel der platte driehoucken. 3 Voorbeelt vant ghebruyckelick meten der hooghde van dijcken en vvallen. T'ghebeurt dickwils in bedijckte landen, oock in sterckten, dattet noodich is de hooghde der dijcken wallen en bolwercken te weten, soo wel in haer gedeurich onderhoudt, als int opnemen wanneerse eerst ghemaeckt sijn. Ende te wijle wy hier het meten der hooghden voor hebben, soo sullen wy met een verclaren de manier die over sulcx in Hollandt ghebruyckt wort, om datse wat lichtieheyt ende bequaemheyt in heeft. Laet tot desen eynde A een dijck of wal sijn, B de sloot, C D t'bovenste des waters inde sloot, E een pael of peyl daermen de hooghde des dijcx op berekent, stekende een voet neem ick buyten t'water ter tijt datmen de hooghde des dijcx meten wil: Ende den dijck moet boven t'voors. peyl E overal hooch sijn neem ick 15 voeten. Om dese hooghde bequamelick te meten, men neemt een langhe stock als F G, stellende een teycken H by t'onderste eynde, ontrent een voet of een halve boven F, daer na meetmen van H tot I 16 voeten (te weten 15 voor de hooghde des dijcx ende een voet die t'peyl bvyten t'water steeckt) stellende an I een kerf, ende eenich sichtbaer teycken daer op, als een ghewronghen neusdouck daer an ghecnocht gelijck een rinck diemen hooger en leegher verschuyven mach. Dese stock F G steeckt een persoon ande cant vande sloot, soo diep in d'eerde tot dattet teycken H t'water gheraeckt. Daer na isser een ander persoon op den dijck mette drieroe K, diens rechterroe op de grontroe rechthouckich ghehecht is teghen het halfrondt, en wort deur t'behulp van een rechtsnoer rechthouckich op den sichteinder ghestelt, daer na siet hy langs de sichtpinnen der grontroe: Ende by aldien hy het teycken I daer mede siet overcommen, soo heeft den dijck tot die plaets haer behoirlicke hooghde: Maer by aldiense daer legher waer, {==62==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende datmen wilde weten hoe veel, soo verstrijckt d'ander persoon het teycken I legher en hoogher, soo dickwils tot dattet mettet sichtstrael overcomt, ende soo veelmen dan siet het teycken I ghedaelt te sijn, soo veel moet den dijck daer gehoocht worden. Nu dan want het water van dien sloot over al even hooch is (ten waer ten tijde van stercke winden daermen in sulcken ghevalle na gheleghentheyt toesicht op neemt) soo wort de behoirlicke hooghde des dijcx daer mede overal met cleene moeyte en groote sekerheyt bequaemelick ghevonden ende onderhouden. Merckt noch datmen in plaets der drieroe die wy by voorbeelt ghestelt hebben, ghemeenelick ghebruyckt een waterpas, of anders een hanghende rondt, met sijn wijslijn evewijdich vandenHorizonte. sichteinder ghestelt, waer me de manier der wercking al de selve is. Doch staet hier te ghedencken, dat de hooghde vant oogh totte wal ghetrocken moet sijn vande ghevonden maet. Tis oock wel int ghebruyck de hooghde I af te sien sonder eenighen tuych, te weten datmen langs de cruyn des wals het selve teycken I, siet overcommen mette schijnbaer versaming van hemel en eerde, t'welckmen hier te lande het hemelteycken noemt, welverstaende dat sulck hemelteycken alleenelick ghebruyckt wort, daer het omligghende landt soo verre men siet heel plat is, of water, sonder berghen, boomen, of verheffing, waer in om bekende oirsaken de reghel gheen plaets en soude houden. Maer sijn Vorstelicke Ghenade overdenckende of in dese manier oock volcommen sekerheyt gheleghen is, heeft om sulcx t'ondersoucken dat by voorbeelt seer nauwe berekent. Maer want de selve voorbeelden eygentlicker leden des Eertschrifts schijnen, soo sijnse int eertschrift vervought, alwaer blijckt dat op groote hooghden, en plaersen verre van malcander, seer groot verschil valt, tusschen de meting deur het boveschreven hemelteycken en d'ander manier. 4 Voorbeelt vant metender hooghden Scheefhouckich op den sichteinder. De voorbeelden des 2 voorstels sijn gheweest van meetbare sichteindersche langden, ende deses 3 voorstels tot hier toe van hooghden rechthouckich op den {==63==} {>>pagina-aanduiding<<} sichteynder. Maer om nu oock te segghen vande ghene dieder scheefhouckich op sijn, soo is te weten dat de manier haerder meting de selve is als van sichteindersche langden des 1 voorbeelts, want het plat streckende deur de drie punten (te weten der twee standen en het metelick) of dat evewijdich light vanden sichteinder of niet dat en gheeft int meten gheen verandering. Doch om wat by voorbeelt daer af te segghen, Laet A B een langde sijn scheefhouckich op den sichteinder soot valt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Om de selve bekent te maken, laet C d'eerste standt sijn, ende deur eenighe ander tweede standt wort C B lanck bevonden van, neem ick, 180 voeten, C A 240 voeten. Neem daer na den houck A C B tusschen de rechterroe C D ende de grontroe C E, neem voorts het uyterste der rechter roe daer de slinckerroe bequamelick een driehouck op can maken, t'welck valt neem ick op D der rechterroe, sulcx dat C D doet 120 ⓪: Segh daer na C A 240 voeten, gheeft C B 180 voeten, wat C D 120 ⓪?comt 90 ⓪: Daerom ghenomen op de grontroe 90 ⓪, als van C tot F, en opt selve punt F vervought het slincker aspunt, en de slinckerroe gebrocht van F tot D, soo wort F D dan lanck bevonden van, neem ick, 60 ⓪: Nu segh ick C F 90 ⓪, gheeft F D 60 ⓪, wat C B 180 voeten? comt voor de begheerde A B 120 voet. Of andersins mochtmen segghen C D 120 ⓪, gheeft D F 60 ⓪, wat C A 240 voeten? Comt als boven voor A B 120 voeten. Waer af t'bewijs openbaer is, want angesien F D evewijdeghe moet vallen met B A, soo is den driehouck D F C ghelijck met A B C, en haer lijckstandighe sijden sijn everedenich. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur de drieroe ongerakelicke hooghde en diepte ghemeten na den eysch. Nv vant meten der linien door bystaende bekende linien. Anghesien int bouck der platte driehoucken, verelaert is de ghemeene reghel der vinding van een rechtlinich plats drie onbekende palen deur d'ander bekende, soo en beschrijven wy hier gheen voorbeelden vande linien die na de selve manier deur ander ghegheven linien en houcken ghevonden worden. Maer want ons int meten met twee standen seker ses linien ontmoeten, waer af men {==64==} {>>pagina-aanduiding<<} deur vijf bekende vindt de seste onbekende, soo sullen wy daer af segghen int 5 voorstel, eerst beschrijvende het 4 voorstel daer toe noodich vant vinden der hanghende, en haer tweeCasus. hangendens gronden, want hoe wel t'selve ten deele begrepen is int 8 voorstel der platte driehoucken, doch alsoo daer de hanghende by ghemeene reghel altijt op de langste sijde ghetrocken wort, en datse ons in dit ansien ontmoeten can op ander sijden vallende, soo ist dat wy daer afhet volghende 4 voorstel beschrijven. Merckt noch dese volghende werckinghen int 5 voorstel, daer in te verschillen vande werckinghen deur platte driehoucken, datse in haer besluyt deurNumeros radicales. wortelen heel volcommen connen sijn, t'welck in d'ander ghemeenlick soo niet en valt. 4 Voorstel. Deur des driehoucx drie bekende sijden, te vinden de tvvee hanghendensgronden ende hanghende. 1 Voorbeelt alvvaer de hanghende binnen den driehouck valt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn diens sijde A B doet 13, B C 21, A C 20, waer in getrocken is de hanghende A D, vallende binnen den driehouck op den gront B C, die deelende inde hanghendensgronden D C, D B: Welcke wy hanghendensgronden noemen om dattet twee gronden sijn daer de hangende op rust: Euclides int 12 ende 13 voorstel sijns 2 boucx en gheeftse gheen eyghen bepaelde namen, maer sommighe ander hebbense casus gheheeten. Tbegheerde. Wy moeten vinden hoe veel de twee hanghendensgronden D B, D C doen, metgaders de hanghende A D. Twerck. T'viercant des gronts C B 21 is 441. Daer toe t'viercant der rechtersijde A B 13 doende 169. Maken t'samen 610. Daer af ghetrocken t'viercant van de slinckersijde A C 20 doende 400. Blijft 210. Den helft 105. Die ghedeelt deur C B 21 comt voorbegheerde rechterhanghendensgront D B. 5. Die ghetrocken van C B 21 blijft voor begheerde slincker hanghendensgront D C. 16. Nu also A D C een rechthouckich driehouck is wiens twee sijden A C, C D bekent sijn so wort deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides bekent de derde sijde A D dat is de begheerde hangende die doen sal 12. {==65==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. De twee viercanten A B, B C sijn t'samen soo veel grooter dan t'viercant van A C, als tweemael den rechthouck begrepen onder C B en B D deur het 13 voorstel des 2 boucx van Euclides. Maer die twee viercanten sijn t'samen 210 grooter dan t'viercant van A C als blijckt int vijfde des oirdens, daerom twee rechthoucken begrepen onder C B en B D doen t'samen 210, en de vervolghens een rechthouck begrepen onder C B en B D doet den helft van 210 dats 103: Maer d'een sijde van dien rechthouck als B C is bekent doende 21, daerom gedeelt 105 deur 21, denQuotiens. mael 5 is voor d'ander sijde B D. De rest der wercking is openbaer. 2 Voorbeelt alvvaer de hanghende buyten den driehouck valt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn diens {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijde A B doet 13, B C 11, A C 20, alwaer ghetrocken is de hangende A D vallende buyten den driehouck op de voortghetrocken C B, makende twee hanghendensgronden D C, D B. Tbegheerde. Wy moeten vinden hoe veel de twee hanghendensgronden D C, D B doen, metgaders de hanghende A D. Twerck. T'viercant des gronts C B 11 is 121. Daer toe t'viercant der cleenste sijde van d'ander twee, als A B 13 doende 169. Maken t'samen 290. Die ghetrocken van t'viercant der grootste sijde A C 20 doende 400. Blijft 110. Den helft 55. Die ghedeelt deur den grondt C B 11, comt voor begheerde cleynste hanghendensgront 5. Die vergaert tot C B 11, comt voor begheerde grootste hanghendensgront D C 16. Maer alsoo A D C een rechthouckich driehouck is, wiens twee sijden A C, C D bekent sijn, soo wort deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides bekent de derde sijde A D, dat is de begheerde hanghende die doen sal 12. Tbewys. T'viercant van A B mettet viercant van B C, is so veel cleender dan t'viercant van A C, als tweemael denrechthouck begrepen onder C B en B D deur het 12 voorstel des 2 boucx van Euclides: Maer die twee viercanten sijn tsamen 110 cleender dan t'viercant van A C als blijckt int vijfde des oirdens, daerom twee rechthoucken elck begrepen onder C B en B D doen 110, ende vervolghens een rechthouck begrepen onder C B en B D doet den helft van 110 dats 55: Maer d'een sijde van dien rechthouck als B C is bekent, doende 11, daerom ghedeelt 55 deur 11 deQuotiens. mael 5 is voor d'ander sijde B D. De rest der wercking is openbaer. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur des driehoucx drie bekende sijden ghevonden de twee hanghendensgronden, ende de hanghende, na den eysch. {==66==} {>>pagina-aanduiding<<} 5 Voorstel. Wesende bekent de vijf linien vallende int meten der verheyt van tvvee punten deur tvvee standen: Te vinden deur ghetalen de langde tusschen de tvvee metelicke punten. Tghegheven. Laet A t'een metelick punt sijn, Ben en C twee standen, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} D het ander metelick punt, en haer vijf linien, als der twee driehoucken A B C, D B C, op een gemeene gront B C sijn bekent, te weten B C dadelick ghemeten, met opgheleyde maet en bevonden van 1400. D'ander viet sijn bekent geworden deur t'werck der drieroe of ander tuych, te weten A B 1615, A C 975, D C 1500, D B 1300. Tbegeerde. Wy moeten vinden deur ghetalen de langde tusschen de twee metelicke punten A, D. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden A B rechthouckich op D F. Twerck. Anghesien my des driehoucx A B C drie sijden bekent sijn deur t'ghegheven, soo souck ick daer me heur hanghendensgront E B, en hanghende A E, bevinde die deur het 4 voorstel te weten de hanghendensgront E B van 1292. En de hanghende A E t'welck oock is voor G F van 969. Wederom anghesien my des driehoucx D B C drie sijden bekent sijn deur t'ghegheven, soo souck ick daer me heur hanghendensgront F B, en hanghende D F, bevinde die deur het 4 voorstel te weten de hanghendensgront F B van 500. En de hanghende D F van 1200. Ghetrocken F B 500 derde in d'oirden, van E B 1292 eerste in d'oirden, blijft E F, t'welck oock is voor A G 792. Ghetrocken F G 969 tweede in d'oirden, van D F 1200 vierde in d'oirden, blijft voor D G. 231. A G D is een driehouck recht an G, met twee bekende sijden, te weten A G 792 vijfde in d'oirden, en D G 231 seste in d'oirden, hier me souck ick de schoensche A D, vergarende de twee viercanten van A G, D G, en uyt de somme viercantsijde treckende comt voor de begheerde A D 825 {==67==} {>>pagina-aanduiding<<} 1 Vervolgh. Deur t'ghene wy hier gheseyt hebben, is oock openbaer dat soo de twee hanghende A E, D F vielen na eenighe vande onderschreven manieren, dat de lini A D over al bekent wort, en dat na de voorgaende manier der wercking, midts datmen over al vergaer en aftreck na t'behooren. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 2 Vervolgh. Deur t'voorgaende is openbaer dat so al de linien deser form A B C D E F G H bekent waren dat daer uyt bekent souden worden de ongeteyckende linien B C, C D, D F, F G, G H, H B want nemende A E als gront waer op commen de twee driehoucken A B E, A C E men vint B C oock mede de linien van elcke der punten B, C, D, F, G, H, tot ald'ander. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} S'ghelijcx nemende A E voor gront waer op commen de twee driehoucken A B E, A D E, men vint B D, en alsoo met d'ander. Hier uyt is kennelick dat by aldien de punten B, C, D, F, G, H, beteyckenden Steden, dorpen, of torens, die op de twee standen A, E, uyt het landt aldus op papier caertschewijse ghebrocht waren, hoemen soude vinden deur ghetalen de langde van d'een tot d'ander. {==68==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Vervolgh. Tis oock openbaer hoemen in alle vierhouck met vier bekende sijden, ende met twee linien tusschen de teghenoverhoucken welcker een bekent is, vinden sal waer de selve twee linien malcander doorsnyen. Laet by voorbeelt A B D C vijfde of seste form des 1 vervolghs ick neem de seste form, een vierhouck sijn, met bekende sijden, diens twee linien tusschen de tegenoverhoucken sijn A D, C B, malcander snyende in H, welcker linien C B bekent is: Vraghe waer t'punt H valt te weten hoe lanck dat sijn H D, H A, H B, H C. Om hier toe te commen machmen aldus voortgaen: A D wort ghevonden als boven. Voort want de driehouck D G A, ghelijck is metten driehouck D F H, soo segh ick, t'ghetal van D G, gheeft t'ghetal van D A, wat t'ghetal van D F? comt t'ghetal vande begeerde H D. Voort segh ick, t'ghetal van D G, gheeft t'ghetal van G A, wat t'ghetal van D F?comt t'ghetal van F H: Daer af ghetrocken t'ghetal van B F, blijft t'ghetal der begheerde H B: T selve ghetrocken van t'ghetal van C B, blijft de begheerde H C. Om te vinden waer twee linien als A B, C D, van eenighe der drie eerste formen des 1 vervolghs malcander doorsnyen, ick neem der 2 form int punt H, te weten hoe lanck H C, H D, H B, H A sijn: Ick treck de twee linien B I, C K rechthouckich op E F, segh daer na, de bekende C F, gheeft de bekende F D, wat C B? comt B I bekent: S'ghelijck de bekende B E gheeft de bekende E A, wat B C; comt C K bekent. Voort anghesien de selve C K evewijdeghe is met I B, soo is den driehouck K H C, ghelijck metten driehouck B H I, ende haer lijckstandighe sijden everedenich: Daerom ghelijck K C tot I B, alsoo C H tot H I, ende K H tot H B. Dit soo sijnde, ick deel t'getal van C I in twee deelen, tot malcander in sulcken reden als t'cleender ghetal van K C, tottet grooter I B, ende het cleender ghedeelte van C I is voor het begheerde deel H C na de cleender sijde K C. T'selve ghetal van H C getrocken vande bekende C D, blijft t'ghetal der begheerde H D. S'ghelijcx deel ick t'ghetal van B K in twee deelen, tot malcander in sulcken reden als t'grooter ghetal van I B, tottet cleender K C, en de het grooter ghedeelte van B K, is voor t'begheerde deel H B na de grooter sijde I B. Merckt. Want de wetenschap van ettelicke ghedaenten des bijls, ons oock tot eenige ghemeene reghelen brenghen, waer deur sommighe ander linien bekent worden, soo sullen wy int volghende voorstel daer af segghen, doch eerst verclaren dat bijl hier ghenoemt wort t'ghene by de Latinen mensa heet, om dat de vierhouck met twee evewijdeghe ende twee onevewijdeghe sijden (ansiende bijlen en tafels soomense nu gemeenelick maeckt) beter een bijl dan een tafel gelijckt. 6 Voorstel. Wesende ghegheven een bijl met vier bekende sijden: Haer hanghende van d'een der evevvijdeghe op d'ander te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een bijl sijn diens A B 25, B C 40, C D 75, D A 30, ende de hanghende van A B op haer evewijdeghe D C sy A E. Tbegheerde. Wy moeten de langde van A E vinden. {==69==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck A F evewijdeghe met B C, sulcx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dat F C even sijnde met A B doet 25, die ghetrocken van D C 75, blijft voor D F 50: Voort A F even sijnde met B C 40 moet oock 40 doen: De driehouck dan A D F heeft drie bekende sijden, waer af de begheerde hanghende A E deur het 4 voorstel bevonden wort van 24, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer ghenouch is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een bijl met vier bekende sijden, wy hebben haer hanghende van d'een der evewijdeghe op d'ander ghevonden, na den eysch. 1 Vervolgh. Tis kennelick hoemen vinden sal de linien tusschen de teghenoverhoucken, als A C, B D, want bekent wesende de twee sijden A D 30, ende A E 24 des rechthouckighen driehoucx A E D, soo doet D E 18, de selve ghetrocken van D C 75, blijft voor E C 57, Nu dan bekent sijnde A E 24, ende E C 57 des rechthouckighen driehoucx A E C, soo wort de begheerde A C bekent ende lanck bevonden van √ 3825, ofte 6185 ②. Ende sgelijcx wort over d'ander sijde ghevonden de lini B D. 2 Vervolgh. Om te weten waer de ghemeene sne G valt der twee linien A C, B D, sulcx is openbaer, deur dien ghelijck de bekende A B, totte bekende D C, alsoo A G, tot G C, ende B G tot G D, deur dient lijckstandighe sijden sijn van twee ghelijcke driehoucken A G B, C G D. 3 Vervolgh. Soo D A, C B voorwaert ghetrocken worden tot datse vergaren in H, sy maken op den gront A B een driehouck H A B, welcke metten bijl A B C D een driehouck H D C makende, soo gheven wy die om datter int volghende af sal geseyt worden een eygen naem, ende heetense des bijls vervullende driehouck, soo veel te segghen als vervullende t'ghene datter ghebreeckt om de bijl tot een driehouck te brenghen. Des selfden vervullenden driehoucx sijden H A, H B, ende hanghende H I, worden aldus ghevonden: Want A D F, H A B, twee gelijcke drichoucken sijn, ende daeromHomologa. lijckstandighe everedenighe sijden hebben: Ick segh D F 50, geeft A D 30, wat A B 25? Comt voor H A 15. Wederom D F 50, gheeft A F 40, wat A B 25? Comt voor H B 20. Ten laetsten D F 50, gheeft A E 24, wat A B 25? Comt voor H I 12. 7 Voorstel. Bekent vvesende de sijde eens gheschickt plats: Te vinden de lini vant middelpunt tot een houck. Merckt. Daer sijn wel volcommen besluytingen sonder int werck tafelen der houckmaten te behouven, ende dat voor ettelicke gheschickte omtrecken, als des drie- {==70==} {>>pagina-aanduiding<<} houcx, vierhoucx, ende vijfhoucx, met alle pezen die uyt haer vergaring aftrecking halving en dobbeling spruyten: Doch want daer af elders eyghentlick gheseyt wort, namelick int houckmaetmaecksel, soo laten wy die stof hier ongheroert, ende sullen alleenlick beschrijven de ghemeene reghel van alle geschickte formen deur t'behulp van de tafelen der houckmaten als volght. Tghegheven. Laet A B C D E F G een gheschickt veelhouck sijn, te weten een sevenhouck, diens een sijde als A G doet 6, ende de lini vant middelpunt H tot een houck sy H A. Tbegheerde. Men wil weten hoe veel H A doet, Twerck. By aldienmen om den ghegheven sevenhouck een rondt beschreef, soo sal A G bevonden worden de peez des boochs vant sevendedeel {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des omtrecx, daerom deel ick 360 tr. deur 7 comt 51 tr. 25 5/7 ①, den helft daer af is 25 tr. 42 6/7 ①, diens houckmaet inde tafelen (hebbende halfmiddellijn 10000000) bevonden wort van 4338838, het dobbel daer af doende 8677676 is voor A G, sulcx dat ghelijck 8677676 totte heele houckmaet 10000000, alsoo A G tot A H: Daerom segh ick 8677676 gheeft 10000000 wat A G 6?comt voor de begheerde H A 6 7933944/8677676 waer of t'bewijs deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Bekent dan wesende de sijde eens geschickts plats, wy hebben ghevonden de lini vant middelpunt tot een houck na den eysch. 1 Vervolgh. Tis deur verkeerde wech van t'voorgaende openbaer hoemen deur de bekende A H sal vinden A G. 2 Vervolgh. De hanghende H I wort oock bekent ende dat op tweederley wijse, ten eersten overmidts des rechthouckighen driehoucx H I twee sijden A H, A I bekent sijn. Ten anderen deur de tafelen der houckmaten: Want wesende A I houckmaet van 25 tr. 42 6/7 ①, soo is H I haer schilboochs houckmaet. Tot hier toe sijn de voorstellen van rechte linien gheweest, de volghende sullen met omtrecken van ronden sijn. 8 Voorstel. Deur de bekende middellijn des rondts den omtreck te vinden. Tghegheven. Laet A B C D eens rondts omtreck sijn, diens middellijn A C doet 12. Tbegheerde. Wy moeten den omtreck A B C D vinden. Merckt. Soomen desen booch wilde meten met opgheleyde maet, men soude die soo cleen meughen nemen dat de langde der selve, verleken by den booch daer me- {==71==} {>>pagina-aanduiding<<} de overcommende, gheen merckelick verschil en hadde: Doch want ons voornemen hiet niet en is van soo te weten, maer deur omstandighe linien de langde te vinden, soo sullen wy vande laetste manier segghen. Want de reden der middellijn totten omtreck als noch niet volcommelick ghevonden en is, soo moetmen sich hier indeIn praxi. daet behelpen met wercking die op onvolcommenheyt ghegront is: Dese onvolcommen reden heeft Archimedes ghenomen op van 7 tot 22, ende bewesen dat alsmen voor de middellijn 1 stelt, soo is den omtreck corter dan 31/7, maer langher als 3 10/71, dat is deur ghebrokens met een selve noemer, corter dan 3 71/497, langher als 3 70/497, of corter dan 1562/497, langher als 1561/497. Daer benevens soo isser voor de ghene die nauwer rekening begheeren een oneyndelicke naerdering bekent, sulcx dattet verschil vant ware, cleender sal sijn dan eenich gheeynt gheral hoe cleen het is. Den hoochgheleerden Adrianus Romanus in Idea Mathematica, heeft die reden aldus berekent: Doende de middellijn 10000000000000000, soo is den omtreck corter dan 31415926535897931, langher als 31415926535897930. Meester Ludolf van Ceulen noch voordenrekening makende, heeft de middellijn ghenomen op 100000000000000000000, en daer mede den omtreck corter bevonden dan 314159265358979323847, langher als 314159265358979323846, welcke voorschreven rekeninghen sy ghemaeckt hebben sonder d'een van d'ander te weten. Doch alsoo de reden van 7 tot 22, naerder is als d'ander van 497 tot 1561, ende totter ghene in veel ghemeene dadelicke handel vereyscht wort na ghenouch, soo sullen wy de volgende voorbeelden cortheyts halven deur de selve wercken, die naerder rekening begheert, mach naerder reden volghen. Twerck. 7 gheeft 22, wat A C 12? comt voor den begheerden omtreck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 371/7. T'bewijs daer af is ghedaen int bouck vande meting des rondts van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur de bekende middellijn des rondts, den omtreck ghevonden, na den eysch. 1 Vervolgh. Tis met dit 8 voorstel openbaer, datmen deur verkeerde reden der boveschreven, als van 22 tot 7, vinden can de onbekende middellijn deur den bekenden omtreck. 2 Vervolgh. Oock ist openbaer hoemen vinden sal een uytghesproken deel des omtrecx: Als by voorbeelt A B fy een booch van 120 trappen, om haer langde te vinden ick segh, 360 tr. gheeft 37 5/7, wat 120 tr.? comt voor A B 12 4/7. Oft waerder gheseyt A B de 2/5 des rondts te doen, men soude dan nemen de 2/5 van 37 2/5 van 37 5/7. 9 Voorstel. Wesende bekent eens boochs peez ende haer rondts halfmiddellijn: Dien booch te vinden. Tghegheven. Laet A B C een booch sijn diens peez {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A C doet 6, ende haers rondts halfmiddellijn A D 5. Tbegheerde. Wy moeten de langde des boochs A B C vinden. {==72==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Doende AD 5, den heelen omtreck dats 360 tr. doet, deur het 8 voorstel van desen. 31 9/7. Wy moeten nu vinden wat gedeelte de booch A B C vant heel rondt is, te weten hoe veel trappen A B C begrijpt om daer toe te commen ick seg, A D 5, geeft A C 6, wat heele houckmaet 10000000? comt 12000000. Den helft daer af is 6000000. Diens booch inde tafelen 36 tr. 52 ①. Het dobbel voor A B C 73 tr. 44 ①. Nu segh ick 360 tr. geeft 31 3/7 eerste in d'oirden, wat 73 tr. 44 ① vijfde ind'oirden?comt voor de begheerde booch A B C 6 6608/1512. Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan bekent eens boochspeez, ende haers rondts halfmiddellijn, wy hebben dien booch ghevonden, na den eysch. Vervolgh. Tis deur verkeerde wech openbaer hoemen metten bekenden booch ende haer peez, vinden sal haers rondts halfmiddellijn, oock hoemen deur de bekende booch ende haers rondts halfmiddellijn vinden sal de peez. 10 Voorstel. Wesende bekent de drie sijden eens driehoucx: Te vinden de middellijn haers omschrijvelick rondts. Tghegheven. Laet A B C een driehouck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn diens sijde A B doet 13, A C 20, C B 21, ende het omschrijvelick rondt sy C A B D, diens middellijn A D. Tbegheerde. Wy moeten vinden hoe lanck A D is. Twerck. Ick souck deur het 4 voorstel van desen de hanghende des driehoucx A B C van een houck op haer teghenoversijde, t'welck sy A E op C B, en bevindese van 12. Segh daer na de hanghende A E 12, gheeft rechtersijde of slinckersijde, latet sijn de rechtersijde A B 13, wat d'ander sijde A C 20?Comt voor begheerde middellijn 21 2/3. Tbewys. Want de twee houcken A B C, A D C, der twee driehoucken A B C, A D C, beyde een selve booch des omtrecx A C begrijpen, soo sijnse21 voorst. 3. B.Euc. even. Voort is den houck A E B recht deur t'werck, ende A C D oock recht, als wesende int halfrondt, ende vervolghens soo sijn haer derde houcken oock even, waer deur beyde de twee driehoucken A B E, A D C ghelijck sijn, ende daerom oock haer lijckstandighe sijden everednich, te weten ghelijck A E tot A B, alsoo A C tot A D, waer op de boveschreven wercking claerlick {==73==} {>>pagina-aanduiding<<} ghegront is. Tbeslvyt. Wesende dan bekent de drie sijden eens driehoucx, wy hebben de middellijn haers omschrijvelick rondts ghevonden, na den eysch. Vervolgh. Hier deur is bekent hoemen telconstelick vinden sal de langde der halfmiddellijn om daer mede te beschrijven een rondt streckende deur drie ghegheven punten in gheen rechte lini staende. Tweede deel des tweeden Bovcx vant meten der vlacken. Ons voorghenomen meting der vlacken salsijn van platten die rechtlinich en cromlinich sijn, de cromlinighe als ronden en lanckronden, daer na van clootvlacken. 11 Voorstel. Een ghegheven rechtlinich plat te meten. 1 Voorbeelt vant meten eens driehoucx. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten t'begrijp des selfden vinden. Twerck. Ick meet eenighe sijde als B C, bevinde die neem ick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van 8, en treck A D hanghende op de selve B C die ick bevinde van 6, welcke gemenichvuldicht deur 4 helft van C B, comt voor t'begheerde plat 24, waer af t'bewijs openbaer is deur het 41 voorstel des 1 boucx van Euclides. Maer die hier af eenighe dadelicke proef begheerde te sien, mach vanden houck B trecken een hanghende op A C, die menichvuldighende deur den helft van haer gront A C, wantmen alsoo siet hoe na die verscheyden werckinghen met malcander overcommen. Merckt Dat wy hier boven de hanghende A D ghemenichvuldicht hebben metten helft des gronts C B: Doch machmen oock andersins den helft der hanghende dats 3, menichvuldighen deur den heelen gront 8, en comt oock 24. Oft andersins segghen 6 mael 8 is 48, diens helft alsvooren 24. Ende mach sulcken helft bequamelicxt ghenomen worden van die lini der twee diens ghetal parich is, om wercking int ghebroken te schuwen. {==74==} {>>pagina-aanduiding<<} By aldien de hanghende vanden houck na de gront buyten den driehouck viel, soo machmen dan nemen de hanghende vanden houck op den voortghetrocken gront menichvuldighende de selve deur den helft des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} gronts. Als by voorbeelt, te meten sijnde den driehouck A B C; wiens hanghende vanden houck A op de voortgetrocken C B sy A D, de langde der selve ghemenichvuldicht deur den helft van C B, gheeft het begrijp des driehoucx A B C. 2 Voorbeelt vant met en eens bijls. Tghegheven. Laet A B C D een bijl wesen, diens twee evewijdeghe sijden sijn A B, C D. Tbegheerde. Wy moeten t'begrijp des selfden vinden. Twerck. Men soude de bijl meughen deelen in twee driehoucken met een lini van A tot C, of van B tot D, metende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} elck van dien na de manier des 1 voorbeelts, en de somme dier twee driehoucken soude t'begeerde sijn, maer want de meting corter can vallen, soo sullen wy die verclaren als volght: Ick meet de twee evewijdege sijden, bevinde A B van neem ick 3, en C D van 7, maken t'samen 10, diens helft 5 ghemenichvuldicht dent de hanghende A E doende neem ick 4, comt voor t'begheerde plat des bijls A B C D 20. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden B F rechthouckich op D C, daer na sy t'punt G ghestelt int middel van D E, en ghetrocken G H even en evewijdeghe met E A snyende A D in I, daer na H A: S'ghelijcx sy int middel van F C ghestelt het punt K, en ghetrocken K L, even en evewijdeghe met F B snyende B C in M, daer na L B. Tbewys. Want den driehouck I A H even is anden drichouck I D G, en den driehouck M B L, even anden driehouck M K C, soo is den rechthouck H L K G, even anden bijl A B C D, en H L is even anden helft der twee linien D C, A B, daerom den rechthouck begrepen onder A E, of onder H G en den helft der twee evewijdeghe sijden des bijls, is altijt even anden bijl: En daerom is t'plat alsoo int werck ghevonden voor de begheerde grootheyt der bijl A B C D. 3 Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats soot valt, deur deeling in driehoucken. Tghegheven. Laet A B C D E F een rechtlinich plat sijn, als een seshouck van form soot valt. Tbegheerde. Wy moeten t'begrijp des selfden vinden. {==75==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck de drie linien A C, A D, A E, deelende den seshouck in vier driehoucken: Meet daer na elcke driehouck na de leering des 1 voorbeelts, en de somme der vier driehoucken is t'begheerde. Merckt noch datmen cortheyts halven twee hanghende linien die op een selve {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} gront vallen, t'samen vergaren mach, en daer me den helft des gronts menichvuldighen. Als by voorbeelt om de twee driehoucken A E D, A E F beyde t'samen met een menichvulding te vinden, ick mete de hanghende D G, bevinde die van 4 en F H van 3, welcke alsoose beyde vallen op een selve gront A E, ick vergaerse, maken t'samen 7, daer me ghemenichvuldicht den helft des grondts A E doende neem ick 5, comt voor t'begrijp der boveschreven twee driehoucken 35. S'ghelijcx machmen oock doen met d'ander twee driehoucken, vergarende daer na de twee gevonden vierhoucken A D E F, A D C B. Waer af t'bewijs openbaer is. 4 Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats deur rekening der platte driehoucken. T'ghebeurt int dadelick lantmeten, datmen de langden van ettelicke linien diemen behouft int rekenen na de manier des 3 voorbeelts, niet meten en can, deur belet van water, huysen of dierghelijcke, doch dat eenighe ander linien wel connen ghemeten worden, maer t'werck moet deur rekening der platte driehoucken afgheveerdicht sijn, daer af wy nu segghen sullen, stellende een voorbeelt dat sijn Vorstelicke Ghenade gheteyckent seer nauwe ghemeten en berekent heeft, als volght. Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, te weten een vijfhouck van form soot valt. Tbegheerde. Wy moeten t'begrijp des selfden vinden. Twerck. Ghenomen datmen de inwendighe linien als A C, A D, met hanghende daer op vallende, om eenich belet, opt landt niet meten en can, maer wel de uytwendige sijden, die gevonden sijn gelijck de ghetalen daer op staende anwijsen: Genomē voort dat ick vande baec A, sien can tot d'ander vier baecken B, C, D, E, om daer op te vinden de drie houcken B A C, C A D, D A E, elck van grootheyt ghelijck daer op gheteyckent staet. Dit soo sijnde, den Meter can het inhoudt deses plats berekenen sonder ander kennis daer af te hebben in deser voughen: Voor al om te meten het plat des driehoucx A B C, ick treck B F rechthouckich op A C, en heb inden driehouck A B F drie bekende palen, te weten den houck F A B 47 tr. den houck B F A recht, en de sijde A B van 954 ②. Hier me ghesocht de sijde B F, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van 698 ②. En F A van 650 ②. {==76==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Dit soo sijnde de driehouck B F C heeft drie bekende palen, te weten BC 97 ①, B F 698 ②, en den houck B F C recht: Hier me gesocht de sijde F C, wort bevonden deur het 5 voorstel der platte driehoucken van 674 ②. Daer toe vergaert 650 ② tweede in d'oirden, comt voor A C 1324 ②. Den helft van dien ghemenichvuldicht deur de hanghende B F 698 ② eerste in d'oirden, comt voor t'plat des driehoucx A B C 4621 ②. Om nu te meten het plat des driehoucx A C D, ick treck C G rechthouckich op D A, en heb inden driehouck A C G drie bekende palen, te weten den houck G A C van 37 tr. 20 ①, C G A recht, en de sijde A C 1324 ② vierde in d'oirden, hier me en mette rest voortghevaren alsmen boven ghedaen heeft metten driehouck A B C, men sal t'plat des driehoucx A C D bevinden van 5518 ②. En derghelijcke gedaen metten driehouck A D E, sal bevonden worden van 333 ①. {==77==} {>>pagina-aanduiding<<} En vergaert dese drie driehoucken vijfde seste en sevende in d'oirden, te weten 4621 ②, 5518 ②, 333 ①, maken voor begheert plat des vijfhoucx A B C D E 13469 ②. Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. 1 Merck. Soot niet gheleghen en waer gheweest datmen vande baeck A hadde connen sien tot d'ander vier baecken B, C, D, E, om te vinden de drie houcken B A C, C A D, D A E, maer datmen wel had connen nemen de grootheyt der vijf uytwendighe houcken A, B, C, D, E, tis kennelick datmen daer me oock deur rekening der platte driehoucken t'begheerde soude ghevonden hebben, want de driehouck A B C soude drie bekende palen hebben, te weten de twee sijden A B, B C, mette sijde A C, en hanghende B F, waer me ghevonden wort t'plat des driehoucx A B C. Om daer na te vinden t'plat des driehoucx A C D, men treckt den voorschreven ghevonden houck B C A, vanden ghemeten houck B C D, de rest is voor den houck A C D des driehoucx A C D, die dan oock drie bekende palen heeft, te weten totten selven houck A C D, noch de twee sijden C A, C D, waer me voort gevaren alsmen metten driehouck A B C ghedaen heeft, en derghelijcke oock doende metten driehouck A D E, het heel plat wort bekent alsvooren. 2 Merck. T'mach ghebeuren datmen niet sien en can van een deser vijf baecken A,B,C,D,E, tot al d'ander, maer wel van eenighe seste baeck ontrent het middel des landts ghestelt: Als neem ick in dees {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} vijfhouck A B C D E sy ghestelt een seste baeck F, van waermen d'ander vijf can sien, en meten de vijflinien F A,F B,F C,F D,F E mette vijf houeken A F B, B F C, C F D, D F E, en E F A, T'welck soo sijnde elcke driehouck heeft drie bekende palen, waer me yders hanghende in elcken driehouck, als D G inden driehouck D F E ghevonden wort alleenelick deur een menichvulding sonder deeling, om dat inde evereden heyts reghel d'eerste der drie palen altijt 100000 doet, welcke hanghende ghevonden sijnde, en ghemenichvuldicht deur den helft des gronts, men heeft het plat van dien driehouck, en sulcke vijf driehoucken t'samen maken het heel begheerde plat. 3 Merck. In dit 3 en 4 voorbeelt sijn ghemeene reghelen beschreven om alle rechtlinighe platten te meten deur deyling in driehoucken, doch soo vallender op sekerSpeciebus. afcomsten corter weghen, diemen daert te pas comt gebruycken mach als volght. {==78==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ten eersten, het viercant als A wort gevonden menichvuldighende een sijde in sich. Ten 2, den rechthouck als A B C D wort ghevonden menichvuldighende langde deur breede, dats A B deur A D. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tē 3, de ruyt en scheefruyt, als A B C D, worden ghevonden menichvuldighende den gront D C, deur een hanghende daer op als A E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ten 4, de gheschickte veelhoucken als A, worden ghevonden menichvuldighende de lini A B, vant middelpunt des forms A tot int middel van een der sijden als C D, deur den halven omtreck, of den heelen omtreck deur den helft van A B. Maer hoe men de lini A B in yder gheschickte form deur de bekende C D vindt, is int 7 voorstel van desen verclaert. 5 Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats soot valt deur deeling inbijlen. Tghegheven. Laet A B C D E F G een rechtlinich plat sijn, t'welckmen wil meten deur deeling in bijlen met linien evewijdich streckende vande lini H I. Tbegheerde. Wy moeten deur sulcke manier van meting het inhoudt des ghegheven plats vinden. Twerck. Ick treck evewijdeghe linien met H I, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} uyt al de houcken daer linien uyt commen connen die t'plat snyen als G K, B L, F M, C N, E O, die de ghegheven form deelen in vier bijlen en twee driehoucken, daerom die twee driehoucken ghemeten na de manier des 1 voorbeelts, en de bijlen na de manier des 2 voorbeelts, de somme van als is openbaerlick t'begheerde plat, sulcx dat daer af gheen bewijs en behouft. Dese deyling in bijlen comt dickwils te pas om landen in seker cavels te deelen, diemen met evewijdeghe linien begheert te scheyden. Maer hoemen die cavels alsoo elck van begheerde grootheyt crijcht, sal t'sijnder plaets int 11 voorstel des 5 boucx vande Everedentlicke snyding der grootheden verclaert worden. {==79==} {>>pagina-aanduiding<<} Ymant mocht nu segghen dat onder de bijlen daer t'rechtlinich in ghedeelt wort, formen mochten vallen gheen bijlen sijnde, maer byghevalle viercanten, ruyten, of scheefruyten: T'welck ghebeurende, de voorgaende reghel der bijlen is daer af ghemeen: Want den helft van twee evewijdeghe sijden die even sijn, is een der selve evewijdeghen, welcke ghemenichvuldicht deur de hanghende, gheeft ghelijck inde bijl het inhoudt des plats. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechtlinich plat ghemeten na den eysch. 12 Voorstel. Wesende ghegheven de middellijn eens rondts: Het plat te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een rondt sijn diens middelpunt E is, en de middellijn B D doet 12. Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt des plats vinden. Twerck. Ick vinde den omtreck deur het 8 voorstel deses 2 boucx van 37 5/7 (want segghende 7 gheeft 22 wat 12? comt alsboven 37 5/7) den helft van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dien als 18 6/7. ghemenichvuldicht deur de halfmiddellijn 6, comt voor begheert plat des rondts 113 1/7. T'bewijs daer af is openbaer deur het 1 voorstel der rondtmeting van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven rondt ghemeten, na den eysch. 13 Voorstel. Een ghegheven halfmiddellijndeel des rondts te meten. Daer gheschien int rondt twee besonder vermaerde sneen, d'eene met twee halfmiddellijnen, wiens deel ick halfmiddellijndeel noem, d'ander met een peez ick peezdeel heete: Tis waer datmen daer voor int Latijn seght sector en sectio, dat snijder en sne bediet, maer het onderscheyt en dunckt my niet eyghen ghenouch, welverstaende voor den ghenen die in een beter tael de saken eerst namen gheeft, want anders is de ghewoonte veel toe te laten. Angaende de meting des halfmiddellijndeels, die verclaren wy in dit voorstel, ende des peezdeels sullen wy int volghende beschrijven. Tghegheven. Laet A B C een halfmiddellijndeel sijn diens halfmiddellijn A B doet 6, ende den booch B C 8. Tbegheerde. Wy moeten t'plat vinden. Twerck. Ick menichvuldighe den helft des boochs C B als 4, deur A B 6, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} comt voor begheert plat 24, waer af t'bewijs openbaer is deur dien dat het heel rondt even is anden uytbreng der halfmiddellijn ende des halven omtrecx, deur t'boveschreven bewijs van Archimedes, ende dat boven dien ghelijck des rondts booch totten heelen omtreck, alsoo het middellijndeel tottet heel rondt. {==80==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven halfmiddellijndeel des rondts ghemeten, na den eysch. Merckt. Ghelijck ghemeten wort dit halfmiddellijndeel A C B cleender dant halfrondt, alsoo wort oock ghemeten het grooter deel A C D B, want den helft des boochs C D B, ghemenichvuldicht deur de halfmiddellijn, gheeft het begeerde halfmiddellijndeel. 14 Voorstel. Een ghegeven peezdeel des rondts te meten. Tghegheven. Laet A B C een peezdeel sijn diens booch A B C lanck is 6 6608/15120, ende de peez A C 6. Tbegheerde. Wy moeten t'plat des peezdeels A B C vinden. Twerck. Ick vinde des heelen rondts middel punt D, daer na de langde der halfmiddellijn {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A D, die deur het 8 voorstel sijn sal van 5, ende de hanghende D E (om dat des rechthouckighen driehoucx D E A twee sijden A D 5, A E 3 bekent sijn) van 4. Dit soo sijnde, het halfmiddellijndeel D A B C doet deur het 13 voorstel 16 5/54: Daer af ghetrocken den drichouck D A C doende deur het 11 voorstel van desen 12, blijft voor het begeerde peezdeel 4 5/54: Waer af t'bewijs deur t'werc openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven peezdeel des rondts ghemeten, na den eysch. 1 Vervolgh. T'voorbeelt hier boven is vant peezdeel A B C cleender dant halfrondt, waer deur het peezdeel A F C grooter dant halfrondt openbaer is, want tottet halfmiddellijndeel D A F C, vergaert den driehouck A D C, men heeft t'begheerde. 2 Vervolgh. Sooder te meten waer een deel des rondts, als hier nevens {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} het stuck A B C, men sal meten het peezdeel C B na de leering deses voorstels, daer toe vergarende den rechtlinigen driehouck C B A, ende men sal t'begheerde hebben. 3 Vervolgh. Om te meten een rinck als A, te weten het plat begrepen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tusschen de twee omtrecken, men meet eerst het grootste rondt: Daer afghetrocken het cleenste, t'is kennelick de rest den begheerden rinck te wesen. {==81==} {>>pagina-aanduiding<<} 15 Voorstel. Een ghegheven lanckrondt te meten. Tghegheven. Laet A B C D een lanckrondt sijn, diensgrootste middellijn A C doet 12, ende de cleenste D B 6. Tbegeerde. Wy moeten het plat vinden. Twerck. Ick vinde t'plat eens rondts diens middellijn A C 12, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} t'welck doet deur het 12 voorstel van desen 113 1/7: Segh daer na A C 12, gheeft D B 6, wat 113 1/7? Comt voor begheert plat des lanckrondts 56 4/7. Andersins machmen oock mette cleenste middellijn D B beginnen aldus: Ick vinde t'plat eens rondts diens middellijn D B 6, t'welck doet 28 2/7. Segh daer na D B 6, gheeft A C 12, wat 28 2/7? Comt voor begheert plat des lanckrondts als boven 56 4/7. T'bewijs daer af is openbaer deur het 6 voorstel vant bouck der kegelsche ende clootsche van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een lanckrondt ghemeten na den eysch. 16 Voorstel. Een ghegheven brantsnees plat te meten. Tghegheven. Laet A B C {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} een brantsne sijn, diens sop A, en gront B C. Tbegheerde. Wy moeten het plat vinden. Twerck. Ick treck A B, A C, meet daer na den driehouck A B C, die bevindende neem ick van 20, daer toe by ghemeene regel sijn helft als 10, maeckt voor t'begheerde plat des brantsnees 30; waer af t'bewijs openbaer is deur het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven brantsnees plat ghemeten na den eysch. 17 Voorstel. Te meten een gegheven ⋆ slangtreckplat, bestaende uyt Planum spirale. een of meer heele keeren. Tghegheven. Laet A B C een slangtrecx eersten omkeer sijn, diens eerste lini A C, en t'plat daer in begrepen sy D, Tbegheerde. Wy moeten t'selve plat D vinden. {==82==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick meet d'eerste lini A C, die bevindende neem ick van 21, de selve aenghesien voor halfmiddellijn eens rondts ick souck hoe groot dat soude sijn het plat des rondts daer me beschreven, wort bevonden deur het 12 voorstel 1386; Daer af altijt het derdendeel, comt voor begheert plat D 462. Maer by aldiender meer keeren te meten waren, soo is te weten dattet tweede slangtrecxplat 6 mael soo groot is alst eerste: En het derde 12 mael soo groot als t'eerste: Het vierde 18 mael soo groot als t'eerste, en alsoo int oneyndelick van d'ander, altijt met 6 vermeerderende voor yder keer, waer me elck plat bekent wort. Laet by voorbeelt C E de tweede lini wesen, En den tweeden keer des omtrecx sy C F E, En het tweede plat datter begrepen is tusschen den eersten en tweeden omkeer sy G. Nu volghende de boveschreven ghemeene reghel, soo doet het plat G sesmael soo veel als t'plat D, dats ses mael 462, die doen voor het tweede plat 2772: Daer toe vergaert het eerste plat D 462, maken t'samen voor het heel plat 3234. Maer waerder een derde keer, die soude volghende de voorgaende reghel doen 12 mael 462 dats 5544, daer toe d'ander twee keeren doende alsvooren 3234, souden t'samen maken voor t'gheheel 8778, en soo voort met d'ander: Waer af t'bewijs ghedaen is int 27 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan ghemeten een ghegheven slangtreck, bestaende uyt een of meer heele keeren na den eysch. 18 Voorstel. Een ghegheven clootvlack te meten. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as B D doet 12. Tbegheerde. Wy moeten sijn vlack vinden. {==83==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick menichvuldighe B D 12, metten omtreck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B C D, die deur het 8 voorstel van desen doen sal 37 5/7, comt voor begheert clootvlack 452 4/7, waeraf t'bewijs openbaer is deur het 30 voorstel des 1 boucx vande cloot en seul van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven clootvlack ghemeten na den eysch. 19 Voorstel. Te meten het bultich vlack eens clootdeels, dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is. Tghegheven. Laet A B C D een cloot wesen, diens middelpunt E sy, en den as B D doet 12. Vanden selven cloot sy gesneen met een plat A C, rechthouckich op den as B D, het clootdeel A C D: En het asstick daer in bestaende als F D, sy lanck 3. Tbegheerde. Wy moeten het clootvlack des clootdeels A C D vinden. Twerck. Ick treck of bedenck de lini A D, en die metende, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} bevindse neem ick van 6 voeten: Sie daer na hoe groot een rondt is diens halfmiddellijn 6 voeten, en wort bevonden deur het 12 voorstel van 112½, En so groot is t'begheerde bultich vlack des clootdeels A C D. Tbewys daer af is ghedaen int 40 en 41 voorstel vant bouck des cloots en seuls van Archimedes. 1 Vervolgh. Tis deur t'voorgaende kennelick, dat soomen wilde hebben het clootvlack des grootsten deels A B C, datmen dan den heelen omtreck 37 5/7, souden moeten menich vuldighen deur het asdeel daer in bestaende als F B 9, want den uytbreng als 339 3/7 is t'begheerde. 2 Vervolgh. Soo den cloot doorsneen waer met twee evewijdeghe platten, het clootdeels clootvlack tusschen beyden is oock bekent. Laet by voorbeelt G H een plat sijn snyende des as B D deur t'middelpunt E, ende evewijdich mettet plat A C: Om nu te vinden het clootvlack G H C A, Men menich vuldicht den omtreck des grootsten rondts, deur het asdeel daer in bestaende, als deur E F 3, comt 113 1/7, sulcx dat de riem G H C A, ende het clootvlacxdeel in dit voorbeelt A D C evegroot sijn. 3 Vervolgh. Maer soo de twee snyende platten onevewijdich waren, als I K onevewijdich met A C, men vindt eerst het clootvlack des grootsten deels I A D C K na de {==84==} {>>pagina-aanduiding<<} ghemeene reghel: Daer af ghetrocken het clootvlack des cleensten deels A D C, de rest is t'begheerde. 4 Vervolgh. Men soude hier noch meughen voorstellen beschrijven, van t'meten der bultighe vlacken van seulen en keghels, maer anghesien t'bultichseulvlack ghemeten wort als een platte rechthouck, diens langde is des seuls hooghde, ende de breede des gronts omtreck, soo laten wy dat cortheyts halven daer by blijven. Derghelijcke is oock te verstaen vant bultich keghelvlack, t'welck ghemeten wort als een rondts halfmiddellijndeel, na de leering des 13 voorstels van desen, want een keghelvlack plat ontvouwen of uytghespreyt sijnde, wort van soodanighe form: Daerom ghemenichvuldicht den halven omtreck van des keghels gront, deur de lini van t'sop totten selven omtreck, den uytbreng is t'begheerde. Oft anders soomen int meten des bultich seulvlacx, en bultich keghelvlacx, wilde volghen de vondt van Archimedes int 32 voorstel des 1 boucx vande cloot en seul men sal aldus doen: Om te meten het bultich seul vlack, men sal vinden de middeleveredenighe lini tusschen des seuls hooghde en haer grondts middellijn, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock de grootheydt van des seuls bultich vlack heeft. Maer om des keghels bultich vlack te meten na Archimedes voorschreven vondt, men sal vinden de middeleveredenighe tusschen de keghels sijde en haer gronts halfmiddellijn, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock de grootheyt van des keghels bultich vlack heeft. Maer om des ghecorte keghels bultich vlack te meten na de vondt van Archimedes, men sal vinden de middeleveredenighe tusschen de ghecorte keghels sijde, en een lini even ande halfmiddellijn des gronts, met de halfmiddellijn des decksels, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock heeft de grootheyt des gecorte keghels bultich vlacx. 20 Voorstel. Een stuck landts Lantmetersche vvijse te meten. Wy hebben tot hier toe beschreven het meten der vlacken, dienende int ghemeen tot vlacken van alle stoffen, maer want het meten des landts, een der voornamelicke metinghen is die de menschen indePraxi. daet ontmoeten daer in sijn Vorstelicke Ghenade hem dadelick heeft willen oeffenen, soo sullen wy daer af noch wat int besonder segghen. Tghegheven. Laet A B C drie punten of teycken opt landt sijn, tusschen welcke verdocht worden drie rechte linien van t'een tottet ander. Tbegheerde. Wy moeten vinden de grootheyt des landts tusschen de voorschreven rechte linien begrepen. Twerck. Men sal om te stellen de drie baken an A, B, C, voort om int meten recht te gaen, met ander omstandighen daer by noodich, oversien en volghen t'ghene gheseyt is int 3 voorbeelt des 1 voorstels vant 1 bouck: En doen de meting van een der drie sijden, ick neem B C, na de wijse vant 2 voorbeelt des 1 voorstels {==85==} {>>pagina-aanduiding<<} vant 2 bouck, en dien volgende, soo wort B C bevonden, neem ick, van 1267 ①: Voort om te vinden t'punt D, van t'welck de verdochte lini tot A, rechthouckich valt op B C, men sal oversien t'ghene van dies gheseyt is int 4 voorbeelt des 2 voorstels vant 1 bouck, en die metende alsvooren, wort bevonden, neem ick, van 536 ① deur den helft der selve dats 268 ①, ghemenichvuldicht de boveschreven {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 1267 ①, comt 3395 roen 5 ① 6 ②: Nu gherekent na de hollantsche wijse 600 roen op de morghen, soo is dien driehouck groot 5 morgen 395 roen. 5 ① 6 ②. Maer soomen de 5 ① 6 ② deur voeten en duymen wilde uytspreken na landts ghebruyck, men siet op de roe wat daer me overcomt, en moet sijn 6 voet 8 16/25 duym. En sgelijcx sal den voortganck sijn van alle driehoucken daer de rechtlinighe platten in ghedeelt worden. Doch staet hier te mercken dat de boveschreven 6 voeten 8 16/25 duym, niet en sijn 6 viercante voeten, en 8 viercante duymen, maer tis een rijem landts lanck een roe, breet 6 voet 8 16/25 duym, want nadien de heele viercante roe lanck sijnde 12 voet, doet 144 viercante voeten, soo moet sulcken halve roe van 6 voeten, doen 72 viercante voeten: En hierom ist dat de Lantmeters onderscheyt maken tusschen rijem voeten en viercante voeten. Ander voorbeelt van sticken landts in ongheschickte cromme linien omvanghen. Om landen te meten begrepen in ongheschickte cromme linien, ghelijck inde lantmeting dickwils te vooren commen, men stelt soo veel baecken inden omtreck, tot dat de cromte tusschen twee baecken begrepen, gheen hinderlick verschil by en brengt, daer na meetmen die {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} form als een rechtlinich plat met soo veel houcken alsser baecken staen: Als by voorbeelt inde form A B C D E F te sien is: Soo de saeck nauwer rekening vereyschte, men mochter meer baecken stellen, vereyschtse soo nauwe niet, men macher min steken: Want hier staet te bedencken, dat ettelicke dingen van cleen belanck inde lantmeting by der gisse moghen toegaen. Om t'welck by voorbeelt noch wat breeder te verclaren, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} te metten sijnde een vierhouck A B C D, waer af een sijde C E F D niet recht en is, maer ghetrocken of bedocht sijnde een rechte lini C D, soo heeft die cromme lini een bocht an E binnewaert streckende, en wederom een bocht an F buytewaert streckende, {==86==} {>>pagina-aanduiding<<} doch soo dattet landt tusschen E G seer cleen sijnde, en deur gissing by t'oogh, soo groot als t'landt tusschen F H, inder voughen dat soo veelmen op d'een sijde verliest, soo veel wort op d'ander gewonnen: In sulcken ghevalle wort de rechte lini C D als voor derde sijde ghenomen des driehoucx A C D, en den selven driehouck A C D daer op ghemeten; want anders alles heel volcommelick te willen doen, t'soude dickwils meerder moeyte behouven, dant oirboir waer daer an te besteden. Doch soo t'landt tusschen de voorschreven E G, H F begrepen te groot waer, en meerder sekerheyt vereyschte dan om uytet oogh alsoo gedaen te worden, men stelt verscheyden baecken inde cromme lini alsvooren, soo veel noodich is. 3 Voorbeelt vant meten der berghachtighe Landen. Laet A B C D beteyckenen den omtreck des voets of gronts van een berch: Nu want het verheven bultich vlack des selven berchs op dien grondt staende, een ander en grooter is dan t'plat begrepen in een omtre ck als A B C D, soo {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} moet hier een ander meting toe gebruyckt worden, t'welck geschien mach met op den berch te steken verscheyden baken, welcke hier beteyckent worden mette tippelinghen daer in vervanghen, diem en soo na of verre van malcander stelt als de saeck vereyscht, te weten soo na tot dat elck bultich vlack tusschen vier palen begrepen, geen hinderlick verschil en heeft van een plat, Want alsdan elck dier vierhoucken en ander ghedeelten ghemeten ghelijck platten, en die t'samen vergaert, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan een stuck landts landtmetersche wijse ghemeten, na den eysch. Merckt ten 1. Wanttet lichtelick ghebeuren can, datmen int meten met groote moeyte seer nau gaslaet, dinghen die soo grooten sekerheyt niet en behouven: En weerom verkeert, datmen ettelicke dinghen niet seer nau en meet, die nochtans nauwer maet vereysschen, soo sullen wy daer af wat verclaring doen als volght. Alen valt int metens eens driehoucx opt landt, de hanghende, als neem ick de verdochte A D, int eerste voorbeelt deses voorstels, niet heel rechthouckich op de gront B C, t'is cleen verlanck, midts datse inde lini B C eyndt. Laet by voorbeelt A D de ware hanghende sijn, en A E een weynich daer buyten, doch inde lini B C: Men siet dat de langde A E vande langde A D gheen verschil van belanck en heeft, En om daer af by voorbeelt te spreken, soomen A D neemt op 100 roen, al waer D E dan van een heele roe(ick laet een voet of twee varen) soo en sal A E gheen duym langher sijn als A D, want deur des driehoucx A D E twee rechthoucksijden A D, D E, ghesocht de schoensche A E, wort bevonden seer na van 100 roen 20736/28801 duym daerom dat men dit opt lant tottet alder uyterste heel nauwe en moeylick passen wil, ten is niet noodich: Maer het metercruys, ofte het punt als E niet even inde lini B C sijnde, ghelijck dan de ghedwaelde hanghende totte ware hanghende, alsoo t'ghedwaelde vlack tottet ware, deur het 1 voorstel des 6 boucx van Euclides: Daerom moetmen toesien t'metercruys wel puntelick inde voorschreven grontlini B C te passen, t'welck met groote sekerheyt licht om doen is, deur t'behulp eens baecx als F, ghestelt inde lini B C, also van dergelijcke breeder geseyt is int 3 voorbeelt des 3 voorstels vant 1 bouc. {==87==} {>>pagina-aanduiding<<} Ten anderen soo ist int meten van seer langhe smalle landen, betamelick int meten der cortste sijde, scherper toe te sien dan int meten der langste sijde, want een voet daer ghefeylt, grooter missing int plat veroirsaeckt, dan een voet op de langhe sijde ghefeylt. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, laet een rechtlinich stick lants sijn lanck 800 voeten, en breet alleenelick 10 voeten, het plat sal sijn van 800 viercante voeten: Ghenomen nu datter op de langste sijde, die eyghentlick van 800 voeten is, int meten een voet ghemist wierde, en gheseyt te wesen van 799 voeten, die ghemenichvuldicht deur de breede 10 voet, comt het plat 7690 voet, t'welck eyghentlick moetende sijn 8000, soo isser alleenelick 10 voeten feyls. Maer sooder op de cortste sijde die eyghentlick van 10 voeten is, int meten een voet ghemist wierde, en gheseyt te wesen van 9 voeten, die ghemenich vuldicht deur de langde 800 voet, comt plat 7200 voeten, t'welck eygentlick moetende sijn 8000 voet, soo isser 800 voet feyls: Een voet dan op de langste sijde, veroirsaeckt missing int plat alleenelick van 10 voeten, maer een voet op de cortste sijde ghemist, veroirsaeckt missing int plat van 800 voeten. En daerom ist betamelick ghelijck wy gheseyt hebben, int meten der cortste sijde van seer lang he smalle landen, scherpst toe te sien. Deur dit voorbeelt van een vierhouckighe rechthouck, is te verstaen dat men int meten des driehoucx, scherpst toe moet sien int meten der cortste lini van tween, te weten de hanghende en de grondt, want deur haer menichvulding het plat des drichoucx oock ghevonden wort. Merckt ten 2. Men mach t'begrijp des landts noch vinden sonder landt te meten, of immer deur t'meten van alleenelick een lini, treckende de form des landts tusschen seker palen begrepen op papier, na de manier des 4 voorbeelts vant 16 voorstel des 1 boucx. Die afteyckening daer na op de cleene maet ghemeten sijnde, men seghtten laetsten deur ghemeene reghel daer toe by sijn Vorstelicke Ghenade verdocht: T'viercant van een sijde, gheeft dat ghevonden plat op papier, wat t'viercant vant haer lijckstandighe sijde opt landt ghemeten, en t'gene daer uyt comt is t' begheerde. Om dit by voorbeelt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wat opentlicker te verclaren. Laet A B C D E F een stuck lants sijn datmē metē moet: Hier af sy int cleen op papier gheteyckent het plat G H I K L M, ghelijc met A B C D E F, en dat deur de manier vant 16 voorstel des 1 boucx, Dese form op papier G H I K L M ghemeten sijnde na de manier des 11 voorstels van desen, wort bevonden neem ick van 423567 ②. Dit soo sijnde ick verkies eenighe sijjde als neem ick G H, en bevinde die van, neem ick, 546 ①, diens viercante 298116 ②. {==88==} {>>pagina-aanduiding<<} Ick meet daer na opt landt de lijckstandighe sijde met G H, dats A B, die bevindende, neem ick, van 142 roen 7 ① 5 ②, diens viercant 2037756 ②. Segh daer na, t'viercant van G H 298116 ② tweede in d'oirden, gheeft t'viercant van A B 2037756 derde in d'oirden, wat 423567 ② eerste in d'oirden? comt voor t'begheert plat van A B C D E F dats 28952 roen 7 ①, dats 48 morghen 152 roen 8⅔ riemvoeten. 2895270 ②. Tbewys. Ghelijcke platten sijn in ghedobbelde reden van haerHomologerum. lijckstandighe sijden deur het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides. Maer de twee viercanten der twee sijden A B, G H ghelijck wesende, sijn in ghedobbelde reden der selve sijden: En ghelijck tot malcander die twee viercanten, alsoo deur t'werck de twee platten, waer deur die twee platten hebben ghedobbelde reden haerder lijckstandighe sijden. En daerom t'plat G H I K L M wel ghemeten wesende, soo moetet plat A B C D E F oock wel ghemeten sijn. Tis wel waer dat sulcke wercking meerder sekerheyt heeft uyt het groot int cleen, dan uyt het cleen int groot, als hier, doch de form opt papier ten grootsten ghenomen datse bequamelick vallen mach, en int werck met goe reetschap wel nauwe toeghesien, men souder hem somwijlen me connen behelpen. Derde deel des tweeden bovcx vant meten der lichamen. Ons voorghenomen meting der lichamen sal sijn van pylaren, naelden, plattighe lichamen int ghemeen, ende vande clootsche. 21 Voorstel. Een ghegheven pylaer te meten. Tghegheven. Laet A B C D E F G H een viercante pylaer sijn, diens gront A B C D doe 9, ende hooghde B F 8. Tbegheerde. Wy moeten sijn inhoudt vinden. Twerck. Ick menichvuldighe den gront A B C D 9, deur de hooghde B F 8, comt voor t'begheerde inhoudt des pylaers 72. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Merckt. T'ghene hier gheseyt is vanden pylaer diens gront een viercant is, salmen oock alsoo verstaen van allen: Want den gront een drichouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of {==89==} {>>pagina-aanduiding<<} ongheschickte form wesende (diens platten deur het 2 deel van desen 2 bouck bekent worden) men menich vuldichtse altijt deur de hooghde. Een dijck of wal wiens meting inde bedijckte landen en sterckten genouch te vooren comt, wort int meten aengesien voor een liggende pylaer, diens gront een bijl is, waer deur haer meting de gemeene reghel volght. Laet by voorbeelt A B C D E een dijck sijn, welcke anghesien voor een ligghende pylaer, soo sal de bijl A B C D, des pylaers gront beteeckenen, ende F B rechthouckich op D C, sy de hooghde des dijcx, B E de langde: Nu ghenomen dat D C 36 voeten doet, A B 12, ende F B 15, B E 100, soo sal de bijl groot sijn 360 voeten deur het 2 voorbeelt des 11 voorstels van desen, de selve ghemenichvuldicht mette langde B E 100, comt voor t'begheerde 36000 teerlincksche voeten, waer af t'bewijs openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven pylaer ghemeten na den eysch. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 22 Voorstel. Een ghegheven naelde te meten. Tghegheven. Laet A B C D E een naelde sijn, diens gront B C D E een viercant is, doende 9, ende de hooghde F A 8. Tbegheerde. Wy moeten haer inhoudt vinden. Twerck. Ick menich vuldige de gront B C D E 9, deur de hoochde F A 8, comt 72, diens derdendeel 24 is voor t'begheerde inhoudt der naelde. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Merckt. T'ghene hier gheseyt is van een naelde diens gront een viercant, sal hem oock alsoo verstaen van allen anderen, want den gront een drichouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of ongheschickte form wesende (diens begrijp deur het 2 deel deses 2 boucx bekent wort) men menich vuldichtse altijt deur de hooghde, of hangende, nemende vanden uytbreng het derdendeel, waer af t'bewijs openbaer is deur t'vervolgh van het 7 voorstel des 12 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven naelde gemeten na den eysch. Vervolgh. Tis kennelick dat ghemenichvuldicht de gront eens keghels deur de hooghde, en vande uytbreng het derdendeel genomen, datmen sal hebben den inhout des keghels ghelijck vande naelde. {==90==} {>>pagina-aanduiding<<} 23 Voorstel. Een ghegheven plattich lichaem van form soot valt te meten. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet ten eersten A B een teerlinck wesen diens ses viercanten sijn A C D E, D B F E, F B G H, G H A C, C G B D, A H F E, waer af elcke sijde doet 3. Tbegheerde. Wy moet en het inhoudt des teerlincx vinden, na de ghemeeene reghel der meting van alle plattighe lichamen. Twerck. Het is te weten dat ghelijck een veelhouckich rechtlinich plat, ghedeelt wort deur linien uyt een houck tot d'ander houcken commende, in so veel driehoucken alsser sijden sijn, min soo veel sijden als daer dien eenen houck af gemaeckt is: Alsoo wort een plattich lichaem ghedeelt deur linien uyt een lichamelicken houck tot al d'ander lichamelicke houcken commende in soo veel naelden alsser platten sijn, min de platten daer dien eenen houck af ghemaeckt is. Laet ons by voorbeelt inden teerlinck den lichamelicken houck C, nemen voor ghemeen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sop der naelden, ende noch vier linien trecken of bedencken, als C E, C H, C B, C F mette selve is den teerlinck ghedeelt in drie naelden, als C E D B F, C A E F H, C H F B G diens ghemeen sop C: Daerom ghelijck wy boven gheseyt hebben, dit plattich lichaem is hier mede in soo veel naelden gedeelt alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien lichamelicken houck C af ghemaeckt is, te weten drie, namelick C A H G, C G B D, C D E A, welckegetrocken vande ses platten, blijven noch drie platten voor gronden der drie naelden, als E D B F, A E F H, H F B G. Nu dan dit lichaem aldus ghedeelt wesende in sijn drie naelden, men sal elcke meten na de leering des 22 voorstels in deser voughen: Eerst om te meten de naelde C E D B F, ick menich vuldighe E D 3 in sich, comt voor den gront E D B F 9, die ghemenichvuldicht met haer hooghde D C 3, comt 27, diens derdendeel voor de naelde C E D B F 9. S'gelijcx doende mette naelde C A E F H, menichvuldighende den gront A E F H, deur haer hooghde C A, ende den gront H F B G, der naelde C H B G, oock deur haer hooghde C G, men sal elcke naelde als d'ander van 9 bevinden, welcke drie naelden maken t'samen 27 voor t'begheerde. Tbewys daer af is dat al de deelen even moeten sijn an haer gheheel: Ende de proef dat den ghegheven teerlinck ghemeten als pylaer (gelijckt oock eenSpecies. afcomst des selfden is) na de leering des 21 voorstels men bevintse oock van 27. Nu t'voorbeelt dat wy hier claerheytshalven ghestelt hebben van een gheschickt lichaem, verstaet hem alsoo op alle plattighe lichamen hoe sy sijn, wantse ghelijck vooren gheseyt is, connen ghedeelt worden in soo veel naelden alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien eenen houck af ghemaeckt is, {==91==} {>>pagina-aanduiding<<} welcke naelden al t'samen een ghemeen sop hebben, uytghenomen eenighe form daer afwy int eynde van dit voorstel segghen sullen. 2 Voorbeelt. Int 1 voorbeelt was de hangende oft hooghde der naelden licht om vinden, ja deur t'ghegheven bekent: Maer wantse in ongheschickte lichamen soo wel buyten als binnen t'lichaem vallen, soo sullen wy van t'vinden der selve wat verclaring doen. Men sal hebben van stof daer toe bequaem, een cruys {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} als A B C D ende een rije E F rechthouckich opt selve cruys, sulcx dattet op een platte vloer gheleyt wesende, soo staet die rije E F opt selve plat rechthouckich. Om nu hier mede alsulcke hanghende of hooghden der naelden te vinden, soo is voor al te weten dattet meetbaer lichaem, of beweeghlick is, te weten datment keeren en wenden mach, ende sulcken gront onder brengen alsmen wil: Oft onbeweeghlick, moetende op den gront blijven daert op {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} rust. Soot beweeghlick is, men salt op een effen tafel of platte vloer legghen, metten gront neerwaert, diens naelde men begeert te meten: soo dan de hanghende buyten t'lichaem valt, men sal den voorschreven tuych op de selve tafel stellen daer t'lichaem op rust, ende ant ghemeen sop vervoughen, als in dese form te sien is, daer na de langde als G H ghemeten sijnde, men heeft die naeldens ghesochte hooghde welcke alsoo ghevonden wesende, men sal t'lichaem op een ander naeldensgront keeren, ende meten alsdan haer hanghende alsvooren. Maer soo de ghesochte hanghende int lichaem viel als hier onder I K, hangende des lichaems L M K N O, mettet plat L O op de platte tafel of vloer P Q, men sal nemen een rechte platte rije R S, die legghende opt punt K alsoo dat de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} linien T P, ende V X (die verstaen worden beyde rechthouckich op de platten te wesen) even lanck sijn, want de langde der selve is oock de langde der ghesochte I K. Sulcx dan soo dickwils doende als t'lichaem meetbaer naeldensgronden heeft (dat sijn als boven gheseyt is, al de uytwendighe platten, uytghenomen die den houck des ghemeenen soppuntshelpen maken, want daer op gheen naelden vallen en connen) men vindt al de begheerde hanghende. Maer soo t'lichaem onbeweeghlick waer, ende op sijn gront moest blijven ligghen, men sal teghen d'ander naeldensgronden een plat bart legghen, die gebruyckende als voor de boveschreven tafel of vloer daer t'lichaem op light, vinden de daer op de naeldens hanghende ofte hooghde als boven. {==92==} {>>pagina-aanduiding<<} Wijder valter noch dit te bedencken, soomen de naeldensgront moest meten daer een onbeweeghlick lichaem op rust, alwaermen niet sien en can de linien die t'plat om ghemeten te worden in sijn driehoucken deelt: De manier om tot kennis der selve te commen mach onder anderen dusdanich wesen. Laet A B C D een sulcken onsienlicken gront sijn, daer een lichaem op rust, alwaermen de langde der lini A C begheert: Om hier toe te commen, ick treck op de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tafel van t'punt A af de lini A E, ende C F, daer mede evewijdich: Neem daer na metten passer eenighe langde inde lini A E, als A G, stellende alsulcke langde oock inde lini C F, die valt, neem ick, van C tot H, ende trecke G H, welcke even moet sijn met A C, om datse mette selve A C evewijdeghe is tusschen twee evewijdeghe: Daerom G H ghemeten sijnde, men heeft oock de begheerde langde A C. Maer om int meten niet te dolen, te weten datmen t'ghemeen soppunt altijt kenne, ende t'een voor t'ander niet en neem, oock datmen de meetbaer ende onmeetbaer platten wel onderscheyde, soo salmen ten eersten t'ghemeene soppunt een teycken gheven, met crijt of inckt, na ghelegentheyt: Sien daer na wat vlacken, ende hoe veel vlacken den lichamelicken houck des ghemeenen soppunts maken, ende gheven de selve oock een teycken, als een cruysken of dierghelijcke: T'welcksoo sijnde, al de platten die gheen teycken en hebben verstrecken voor meetbaer naeldensgronden: Daerom een dier platten ghemeten sijnde, men sal haer inhoudt daer op teyckenen, ende voort haer naelde meten, want daer by salmen altijt mercken welcke platten datter ghedaen of noch te doen sijn. In dese manier der meting van ongheschickte plattighe lichamen, die ick meen nieu te wesen, heeft sijn Vorstelicke Ghenade metter daet heur gheoeffent, ende bequaem bevonden. D'oirsaeck heur daer toe bewegende was datse siende datter een ghemeene reghel vande meting der rechtlinighe platten is, achte daer uyt datter oock een der plattighe lichamen moest sijn: Om van welcke nateurliicke voortganck den wech te openen, soo hebben wy daer af dit boveschreven voorstel ghemaeckt. Hier vooren is gheseyt dattet plattich lichaem ghedeelt wort in naelden, die al t'samen een ghemeen sop hebben, doch datter eenighe formen connen vallen daer in de reghel uytneming lijdt: Om t'welck eerst by gelijcknis deur een rechtlinich plat te verclaren, soo laet A B C D E F G H een achtsijdich plat sijn, waer in men siet dat vant punt A, totte drie houcken C, D, E, linien connen ghetrocken worden, die in t'ghegeven plat ettelicke driehoucken afteyckenen, maer van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A totte twee houcken F, G, en canmē sulcke linien niet trecken, deur diense buyten de gegheven form souden loopen, ende driehoucken veroirsaken die gheen deel des ghegeven plats en souden wesen. T'ghene wy hier gheseyt hebben vanden houck A, derghelijcke sietmen an al d'ander ghebeuren te weten onmeughelick te sijn datmen van een houck tot al d'ander houcken, linien soude trecken sonder buyten de ghegheven form te loopen: Daerom die sulcken plat in sijn driehoucken {==93==} {>>pagina-aanduiding<<} wilde deelen, soude ten minsten moeten twee ghemeene houcken stellen. Hier mede willen wy verclaren dat derghelijcke inde plattighe lichamen ghebeurende, soo salmen meer als een ghemeen soppunt der naelden moeten nemen. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven plattich lichaem van form soot valt ghemeten, na den eysch. 24 Voorstel. Een ghegheven cloot te meten. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C doet 12. Tbegheerde. Wy moeten sijn grootheyt vinden. Twerck. Ick vinde het clootvlack deur het 18 voorstel deses 2 boucx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van 452 4/7 t'selve ghemenich vuldicht metten halven as 6, comt 2715 3/7 diens derdendeel by ghemeene reghel 905 1/7 voor t'begheerde: Waer af t'bewijs openbaer is deur het 32 voorstel des 1 boucx vande cloot en seul van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven cloot ghemeten na den eysch. 25 Voorstel. Een ghegheven halfmiddellijnsne des cloots te meten. Halfmiddellijnsne des cloots noemen wy datter begrenst is metten omganck des halven as vast int middelpunt, ende int clootvlack een rondt beschrijvende. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens middel punt E, ende as A C ende E D C B sy de halfmiddellijnsne sulcx dat den booch D C B doet 120 tr. ofte ⅓ des grootsten rondts. Tbegheerde. Wy moeten des halfmiddellijndeels E D C B grootheyt vinden. Twerck Is int deel ghelijck int heel aldus: Ick vinde het clootvlack {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} D C B na de leering des 18 voorstels deses 2 boucx van 113 1/7. t'selve ghemenichvuldicht met 6 der halfmiddellijn comt 678 6/7. diens derdendeel voor t'begheerde 226 2/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 42 voorstel van het 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes. 26 Voorstel. Te meten een clootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, wiens middelpunt E, en as A C doende 12, vande selve cloot sy ghesneen met een plat rechthouckich op {==94==} {>>pagina-aanduiding<<} den as A C, het deel B C D, snyende den as A C in F, soo dat F C doet 3. Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt des deels B C D vinden. Twerck. Anghesien A C doet 12, en F C 3, soo doet E A 6, en F A 9, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} daerom segghende A F 9, gheeft F A met A E t'samen 15, wat de keghel D C B 594/7? (de rekening van die keghel sullen wy hier onder int corte verhalen) comt voor begheert clootdeel 141 3/7. waer af t'bewijs gedaen is int 2 voorstel des 2 boucx vande cloot en seul van Archimedes. De rekening des boveschreven keghels is aldus: Ghemerckt des rechthouckigen driehoucx E F D twee sijden D E 6, E F 3 bekent sijn, soo wort daer deur de derde DF bekent, en bevonden van √27: Maer DF so veel doende als halfmiddellijn vanden gront des keghels C D B, diens hooghde C F 3, soo doet de selve keghel deur het vervolgh des 22 voorstels van desen 594/7 alsvooren. Maerom beneven t'boveschreven bewijs van Archimedes, noch proef te doen deur ander ghemeene manier van wercking, doch wat langher dan de voorgaende, men doet als volght. Ick vinde de grootheyt van des cloots halfmiddellijnsne E D C B deur het 25 voorstel van 226 2/7. Daer af ghetrocken de keghel E D B, doende alsvooren 594/7. blijft voort begheert clootdeel als in d'eerste wercking 141 3/7. Vervolgh. Sooder te meten waer een clootdeel tusschen twee platten als tusschen de platten G H, I K, men vindt eerst de grootheyt des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} meesten peezdeels G I L K H, daer af ghetrocken de grootheyt des minsten peezdeels I L K, de rest is t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven peezdeel des cloots ghemeten, na den eysch. 27 Voorstel. Een gheghevenSphaeroides. clootsche te meten. Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn diens grootste middellijn A C doet 12, ende D B 6. Tbegheerde. Wy moeten sijn grootheyt vinden. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick treck de rechte linien A D, A B, ende vinde de grootheyt des keghels A D B deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx van 56 4/7. diens dobbel 113 1/7 is voor den helft des clootschen A D B, daerom t'gheheel begheerde clootich lichaem doet 226 2/7. T'bewijs daer af is ghedaen int 24 voorstel der keghelsne en clootsche vanDe conoidibus & sphoeroidibus. Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven clootsche ghemeten na den eysch. {==95==} {>>pagina-aanduiding<<} 28 Voorstel. Te meten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is. Tghegheven. Laet A B C D een langcloot sijn diens middelpunt E, waer af gesneen is met een plat het deel D C B, diens as C F doet 3, welcken as totten eynde toe voortgetrocken {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sy C A doende 12: Ende D B middellijn vanden gront des langclootdeels doet 5. Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt des langclootdeels D C B vinden. Twerck. Anghesien A C doet 12, ende F C 3, soo doet E A 6 ende F A 9, daerom segh ick: A F 9, gheeft F A met A E t'samen 15, wat de keghel D C B 19 9/14? (soo veel doetse deur het vervolgh des 22 voorstel van desen) comt voor t'begheerde langclootdeel D C B 32 31/42: Waer af t'bewijs opēbaer is deur het 31 voorstel der keghelsche en clootsche van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan ghemeten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen langcloot ghesneen is, na den eysch. Vervolgh. Soo de sne D B niet en waer rechthouckich op den grootsten as als hier boven, maer dat den cleender as deur haer middelpunt streckte, tis kennelick dat de voorschreven reghel daer in oock plaets houdt. 29 Voorstel. Te meten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighe keghels. Tghegheven. Laet {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B C de kegelsche eens rechthouckighen kegels sijn, diens gronts middellijn B C doet 10, ende de hooghde A D 6. Tbegheerde. Wy moetē haer grootheyt vinden. Twerck. Ick trec A B, A C, ende meet den kegel A B C deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx die bevindende van 157 1/7, daer toe altijt den helft van dien als 78 4/7, comt voor begheerde grootheyt der kegelsche A B C 235 5/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 23 voorstel des boucx der kegelsche ende clootsche van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan ghemeten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighen keghels na den eysch. Des tweeden Bovcx EYNDE. {==97==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde bovck der meetdaet. Vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der grootheden. {==98==} {>>pagina-aanduiding<<} Ons voorghenomen vier afcomsten in dit 3 bouck, en verstaen sichniet dan op ghegheven ghelijcke grootheden, vvaer af de begheer de met te ghegheven oock ghelijcke sijn: Belanghende de onghelijcke, die ons metter daet oock veel ontmoeten, haer verkeering tot ghelijcke salgheleert vvor den int 6 bouck, vvaer deur de reghel ghemeen sal sijn over allen: Ghelijck oock inde Telconst met ghetalen, alvvaer de ghebrokens deur verkeering tot een ghemeene noemer gebrocht vvordē, om daer mede te vverckē als mette heele. Maer eer vvy de sake beginnen, sullen vvat vvaerschouvving doen van eenichtvvijfel dat men mocht voor vvenden: Te vveten datmen verscheyden grootheden die hier op papier sullenghegeven vvorden, niet eygentlick soo en vergaert dat de somme bestae uyt de selve gegevē grootheden, gelijck nochtans de voorstellen schijnen te vereysschen: Daer by noch vougende dat Euclides met ander vermaerde VVisconstenaers sulcke vvijse van spreken niet ghebruyct en hebben: Hier op vvort geantvvoort dat der ghelijcke inde Telconst diens oirden vvy volghen ghemeen is: Als by voorbeelt, ymant sich voorstellende te vvillen vergaren 4 en 3, seght dat se t'samen 7 maken, vvelcke 7 nocht ans niet en bestaet uyt de vvesentlicke ghegheven 4 en 3, angesien de selve 4 en 3 t'haer der plaets bleven sijn: Daerom vvanneermen hier t'eenemael eyghentlick spreken vvilde, men soude niet moeten seggen vande vergaring der ghegeven getalen, maer na Euclides manier, vande vinding eens getals even ande gegheven ghetalen. Doch vvant sulcke alte groote eygenheyt inde Telconst seer moeylick soude vallen, so vvelin d'ander drie restende afcomsten als inde vergaring, soo vvort die manier hoevvelse vvat oneyghentlicker is, met goede reden toeghelaten inde voorschreven Telconst, om de lichticheyt daer uyt volgende: Ende sghelijcx is hier te verstaen inde meetconst, te meer dat ettelicke VVisconstnaers sulcke manier van spreken gebruycken, self inde grootheden, als segghende (int out verschil)De duplicatione cubi. vande dobbeling des teerlincx, t'vvelck niet anders enis dan een teerlinck te vinden dobbel an een ghegheven teerlinck. VVelcke vvaerschouvving vvy voorghenomen hadden te verclaren. {==99==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des derden bovcx vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der linien. 1 Voorstel. Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien haer somme te vinden in een haers ghelijcke lini. Merckt. Want ons inde Telconst de vierafcomsten int heel ende ghebroken ontmoeten, soo sullen wy der ghelijcke met grootheden navolghen, stellende daer af in yder voorstel verscheyden voorbeelden. 1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel. Tghegheven. Laet A, B, C, drie vergaerlicke rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer somme in een rechte lini vinden. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick trecke de oneyndelicke D E, ende neem op den passer de langde der lini A, die vervoughende inde lini D E, van D tot F: daer na de langde B van F tot G, ende de langde C van G tot H, t'welck soo sijnde, de lini D H is de begheerde somme, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, B van 7, C van 9; De selve vergaert maken 27: Daerom ghetrocken een lini als D H lanck 27 voeten, men heeft t'begheerde. 2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken. Laet begheert worden de somme vanden ⅔ der lini A, mette ¾ der lini B. Twerck. Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens ⅔ doen 733 ②. Ende B van 7 voeten, diens ¾ doen 520 ②. Somme 1253 ②. {==100==} {>>pagina-aanduiding<<} Daerom een lini soo lanck ghetrocken, die ick neem I te wesen, men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Merckt. De vraghe mocht wesen of alle rechte linien ghelijcke mueghen geseyt worden soose hier boven ghenoemt sijn? Mijn reden sulcx toestaende is dusdanich: Boghen even houcken begrijpende, worden ghelijcke linien gheseyt, maer ghelijcke boghen connen uytghereckt worden oncrommer ende oncrommer, soo dat haer verschil van rechte linien, cleender sy dan eenighe ghestelde lini, nochtans boghen ende ghelijcke linien blijvende: T'welck soo sijnde waerom soude d'alder laerste uytrecking in een rechte lini de naem van ghelijckheyt doen verliesen? De reden en schijnet niet te willen. 3 Voorbeelt van cromme linien. Tghegheven. Laet A B, C D, twee rondens omtrecken sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer somme in een rondts omtreck vinden. Twerck. Ick teycken inde ghegeven {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} omtrecken twee lijckstandige rechte linien, als haer middellijnen: Die van A B sy E F, ende van C D sy G H: Treck daer na I K even an E F met G H, beschrijf op de selve als middellijn den omtreck I L K M, die ick segh de begheerde somme te sijn. Tbewys. Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E A F B, alsoo G H, tot G C H D, alsoo oock I K, tot I L K M: Ende deur versaemde reden, ghelijck E F met G H, tot E A F B met G C H D, alsoo I K, tot I L K M: Maer E F met G H, sijn t'samen even an I K deur t'werck, daerom E A F B, ende G C H D, sijn t'samen even an I L K M, ende vervolghens soo is den omtreck I L K M de begheerde somme van d'ander twee. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet E F, die bevindende, neem ick, van 11 voeten, ende G H van 7, maken t'samen 18, daerom ghetrocken een lini lanck 18 voeten als I K, ende daer op als middellijn een omtreck I L K M beschreven, sy is de begheerde somme, waeraf t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is. Vervolgh. De formen des voorstels sijn hier gestelt als linien in een plat, doch ist openbaer de reghel ghemeen te wesen op alle ghelijcke linien hoedanich die sijn, soo wel in cromme vlacken als in platten beschreven: T'welck hem oock alsoo verstaet inde drie eerstvolghende voorstellen. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien, wy hebben haer somme gevonden in een haers ghelijcke lini, na den eysch. {==101==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorstel. Wesende ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke: De rest te vinden in een derghelijcke lini. 1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel. Tghegheven. Laet A B een rechte lini wesen, ende C de aftreckelicke. Tbegheerde. Wy moeten haer rest in een rechte lini vinden. Twerck. Ick neem op den passer de langde van C, vervough die inde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lini A B van A tot D: T'welck soo sijnde D B is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, bevinde die, neem ick, van 11 voeten, en C van 7 voeten, die ghetrocken van 11, rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als D B, men heeft t'begheerde. 2 Voorbeelt vanrechte linien int ghebroken. Laet te trecken sijn de ⅖ der lini C, vande ¾ der lini A B. Twerck. Ick meet A B, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens ¾ doen 825 ②. Daer na C van 7 voeten, diens ⅖ doen 280 ②. Welcke ghetrocken van t'eerste in d'oirden blijft 545 ②. Daerom een lini soo lanck gheteyckent men heeft de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. 3 Voorbeelt van cromme linien. Tghegheven. Laet den omtreck des ronts A B een cromme lini sijn, ende den omtreck C D de aftreckelicke. Tbegheerde. Wy moeten haer rest in eens rondts omtreck vinden. Twerck. Ick teycken inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien, als neem {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ick haer middellijnen: Die van A B sy E F, ende van C D sy G H: Treckdaer na I K even ant overschot van E F boven G H, beschrijf op de selve als middellijn dē omtrec ILKM, die ick segh de begheerde rest te sijn. Tbewys. Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E A F B, alsoo G H tot G C H D, alsoo oock I K tot I L K M: ende deur ghescheyden reden ghelijck E F min G H, {==102==} {>>pagina-aanduiding<<} tot E A F B min G C H D, alsoo I K tot I L K M. Maer E F min G H is even an I K deur t'werck, daerom E A F B min G C H D is even an I L K M, ende vervolghens I L K M is de begheerde rest. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet E F die bevindende neem ick van 11 voeten, ende G H van 7, die ghetrocken vande 11 rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als I K, ende daer op als middellijn een omtreck I L K M beschreven, sy is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke, wy hebben de rest in een derghelijcke lini ghevonden na den eysch. 3 Voorstel. Wesende ghegheven een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, den uytbreng te vinden in een lini ghelijck mette ghegheven. Menich vulder niet dan ghetal te connen wesen, is bethoont int 6 probleme de la premiere partie de nostre Pratique d'Arithmetique t'welck hem oock alsoo verstaet inde deeling mettenQuotiente. mael die oock altijt ghetal is. 1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel. Tghegheven. Laet A B een menichvuldelicke lini sijn, ende 213 den menichvulder. Tbegheerde. Wy moeten den uytbreng in een rechte lini vinden. Merckt. Ghelijck de menichvuldighing en deeling der ghetalen gheseyt worden vercortinghen der vergaring en aftrecking, alsoo ontmoet ons hier der ghelijcke in grootheden, want soo ymant wilde vergaren 213 linien even an A B na de manier des 1 voorstels deses 3 boucx, hy soude t'begheerde hebben, maer de volghende wercking is corter, t'welck hem oock alsoo verstaen sal op de nabeschreven menichvuldighing en deeling der vlacken ende lichamen. Twerck. Ick treck de oneyndelicke lini C D, ende neem op den passer de langde A B, stel die thienmael inde lini C D, t'welck comt neem ick van C tot E: Ick open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini C D, t'welck comt tot F, neem daer na op den passer de langde C F, die vervoughende van F tot G, sulcx dat C G doet 200. Om nu noch 13 te hebben, soo beteyckent H E 10, daerom ghenomen van E na C noch 3 deelen, als van E tot I, ende de passer dan gheopent van H tot I, ende de selvelangde vervought van G tot K, soo is de lini C K de begeerde, te weten 213 mael soo lanck als A B, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==103==} {>>pagina-aanduiding<<} Vyt de boveschreven thienvoudighe vermeerdering, is kennelick den ghemeenen voortganck van allen, want om duysenden te hebben soudemen den passer openen op thien hondert, ende soo voort mette volghende. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, bevinde die neem ick van 3 voeten, de selve gemenich vuldicht met 213 comt 639, daerom ghetrocken een lini lanck 639 voet en men heeft den begheerden uytbreng. 2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken. Laet te menichvuldighen sijn de ¾ der lini A B deur ⅚. Twerck. Ick meet A B, bevinde die neem ick van 3 voeten, diens ¾ doen 9/4 de selve gemenichvuldicht met ⅚ comt 1875 ③, daerom een lini soo lanck getrocken men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. 3 Voorbeelt van cromme linien. Tghegheven. Laet den omtreck des rondts A B een cromme lini sijn, ende den menichvulder 6. Tbegheerde. Wy moeten haer uytbreng vinden. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick teycken inden ghegheven omtreck eenighe rechte lini als neem ick de middellijn C D, menichvuldigende de selve met 6 na de manier des 1 voorbeelts deses voorstels, waer af den uytbreng sy de rechte lini E F, ende beschrijf op de selve als middellijn den omtreck E G F H, die ick segh den begheerden uytbreng te wesen. Tbewys. Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E G F H, alsoo de middellijn C D, totten omtreck C A D B, ende deur overanderde reden ghelijck E F tot C D, alsoo E G F H tot C A D B, maer E F is sesmael soo lanck als C D deur t'werck, daerom den omtreck E G F H is sesmael soo lanck als den omtreck C A D B. Ander vvercking deur ghetalen. Ghenomen C D lanck te sijn 7 voeten, die 6 mael doen 42, daerom ghetrocken een lini als E F van 42 voeten, ende daer op als middellijn beschreven den omtreck E G F H, men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven {==104==} {>>pagina-aanduiding<<} een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, wy hebben den uytbreng ghevonden na den eysch. 4 Voorstel. Wesende ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, haer mael te vinden. 1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel. Tghegheven. Laet C K int 1 voorbeelt des 3 voorstels van desen 3 bouck een deelelicke lini sijn, ende de lini A B deelder. Tbegheerde. Wy moeten den mael vinden. Twerck. Ick neem op den passer de langde A B, stel die thienmael inde lini C K, t'welck comt neem ick van C tot E, open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini C K, t'welck comt tot F, neem daer na op de passer de langde C F, die vervoughende van F tot G, sulcx dat C G doet 200, daerom den mael doet voor al 200: Maer om nu te weten hoe veel datter van weghen G K noch toe moet commen, ick neem op den passer de langde der selve G K, bevinde die neem ick te commen van H tot I doende 13, die mette boveschreven 200 maken 213 voor den begeerden mael, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet C K, bevinde die neem ick van 639 voeten, ende A B van 3 voeten, daer deur ghedeelt de 639 comt 213, ende soo menichmael is een lini als A B inde lini C K. 2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken. Laet te deelen sijn de ⅔ der lini C K int 1 voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, deur de ⅗ der lini A B. Twerck. Ick meet C K, bevinde die neem ick van 213 voeten, diens ⅔ doen 142. Ick meet daer nae A B, die bevindende van 3 voet, diens ⅗ doen 9/5: Deur de selve ghedeelt de boveschreven 142, comt voor begheerden mael 78 8/9. Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. 3 Voorbeelt van cromme linien. Tghegheven. Laet den omtreck E G F H int 3 voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, te deelen sijn deur den omtreck C A D B als deelder. Tbegheerde. Wy moeten haer mael vinden. Twerck. Ick treck inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien als de middellijnen E F, C D, ende deelende E F deur C D na de manier {==105==} {>>pagina-aanduiding<<} des 1 voorbeels deses voorstels, vinde voormael neem ick 6, die ick segh den begeerden mael der omtrecken te wesen, waer af t'bewijs deur t'verkeerde bewijs der menichvuldiging openbaer is. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet de rechte lini E F, bevinde die neem ick van 42 voeten, ende C D van 7, deur de selve ghedeelt de 42, comt voor begheerde mael 6, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is, Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, wy hebben haer mael ghevonden na den eysch. Tweede deel des derden bovcx vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der vlacken. Merckt Voor al dat wy deformē der vlacken inde vier eerstvolgende voorstellen cortheytshalven alleenlick van rechtlinighe platten sullen teyckenen, waer by men verstaen sal de reghel ghemeen te sijn van alle ghelijcke vlacken, sulcx sy sijn, soo wel cromlinich ende bultich, als rechtlinich ende plat. 5 Voorstel. Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke vlacken: Haer somme te vinden in haers ghelijcke vlack. 1 Voorbeelt int gheheel. Tghegheven. Laet A B C drie ghelijcke vlacken wesen vande welcke lijckstandighe linien sijn D E, F G, H I. Tbegheerde. Wy moeten haer somme vinden, in een vlack ghelijck met A. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick treck K L even met D E, ende L M rechthouckich op K L ende even met F G, voorts K M, ende daer op rechthouckich M N even met H I, treck oock K N: Daer na O P even met K N als lijckstandige met D E, op welcke beschreven het vlack Q gelijck met A na de leering des 16 voorstels vant 1 bouck: Ick segh t'selve vlack Q de begheerde somme te sijn, te weten even ande drie A B C, waer af t'bewijs openbaer is deur het 31 voorstel des 6 boucx van Euclides. {==106==} {>>pagina-aanduiding<<} Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet de drie lijckstandighe sijden, bevindende D E neem ick van 5, diens viercant 25. F G van 4 diens viercant 16. H I van 3 diens viercant 9. Somme 50. Diens viercantssijde doet 707 ②. Daerom ghetrocken een lini lanck 707 ② als O P lijckstandige met D E, ende daer op gheteyckent een vlack als Q ghelijck met A, men heeft t'begheerde. 2 Voorbeelt int ghebroken, ghetrocken uyt de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade int volghende 8 voorstel. Laet begheert worden de somme der ⅖ van t'plat A, mettet ½ van B, ende ⅓ van C. Twerck. Ick meet de drie lijckstandighe sijden bevindende D E neem ick van 5 voeten, diens viercant 25, daer af de ⅖ maken 10. F G van 4, diens viercant 16, daer af het ½ doet 8. H I van 3, diens viercant 9, daer af het ⅓ is 3. Somme 21. Diens viercantssijde 458 ②. Daerom ghetrocken een lini lanck 458 ② voeten als lijckstandige met D E, ende daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs ter boveschreven plaets te weten int 8 voorstel blijcken sal. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke vlacken, wy hebben haer somme ghevonden in haers ghelijcke vlack, na den eysch. 6 Voorstel. Wesende ghegheven een vlack met sijns ghelijcke aftreckelick vlack: De rest te vinden in derghelijcke vlack. 1 Voorbeelt int gheheel. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tghegheven. Laet A een vlack sijn, ende B een derghelijcke aftreckelick vlack, van welcke lijckstandighe sijden sijn C D, E F. Tbegheerde. Wy moeten de rest vinden in een vlack ghelijck met A. Twerck. Ick treck de oneyndelicke G H, voort G I daer op rechthouckich ende even met E F, neem daer na op den passer de langde C D, stellende d'een voet an t'punt I, d'ander inde lini G H die ick neem te vallen ant punt K, treck daer na {==107==} {>>pagina-aanduiding<<} de lini L M even met K G als lijckstandighe met C D, daer op beschrijvende t'vlack N gelijck met A, t'welck ick segh de begeerde rest te wesen: Waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 31 voorstel des 6 boucx van Euclides. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet de twee lijckstandighe sijden, bevindende C D neem ick van 5 voeten diens viercant 25. Ende E F van 4, diens viercant 16. T'welck ghetrocken vant eerste in d'oirden blijft 9. Diens viercantsijde 3. Daerom ghetrocken een lini lanck 3 voet als L M lijckstandighe met C D, ende daer op gheteyckent een vlack als N ghelijck met A, men heeft de begheerde rest. 2 Voorbeelt int ghebroken, ghetrocken uyt de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade int volghende 8 voorstel. Laet vande ⅖ des vlacx A, te trecken sijn ⅕ van B. Twerck. Ick meet de twee lijckstandighe sijden, bevindende C D neem ick van 5 voeten, diens viercant 25, daer af de ⅖ doen 10. Ende E F 4, diens viercant 16, daer af den helft 8. Welcke ghetrocken vant eerste in d'oirden blijft 2. Diens viercantsijde 141 ②. Daerom ghetrocken een lini lanck 141 ② voeten als lijckstandige met C D, ende daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A, men heeft de begeerde rest, waer af t'bewijs ter boveschreven plaets te weten int 8 voorstel blijcken sal. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een vlack, met sijn gelijcke aftreckelick vlack: Wy hebben in derghelijcke vlack de rest ghevonden na den eysch. 7 Voorstel. Wesende ghegheven een menichvuldelick vlack, ende een getal menichvulder: HaerProductum. uytbreng te vinden in een vlack ghelijck mettet ghegheuen. 1 Voorbeelt int gheheel. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tghegheven. Laet A een menichvuldelick vlack sijn, ende menichvulder 10. Tbegheerde. Wy moeten haer uytbreng vinden, dat is een vlack thienmael soo groot als t'vlack A, ende ghelijck mettet selve. Twerck. Ick treck de lini B C thienmael soo lanck als een der sijden des ghegheven {==108==} {>>pagina-aanduiding<<} vlacx by voorbeelt de sijde D E: Vinde daer na de middeleverednighe lini tusschen D E ende B C deur het 3 voorstel des 4 boucx, welcke sy F G, op de selve als lijckstandighe met D E teycken ick t'vlack H ghelijck met A, t'welck ick segh den begheerden uytbreng te sijn, te weten thienmael soo groot als t'vlack A. T'bewijs daer af wort ghetrocken uyt het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides. Merckt. Tis wel waer dat alle teghenwoordighe voorstellen bequamelicker deur voorgaende dan volghende leering verclaert worden: Doch heeft dit hier ende in eenighe volghende voorstellen deses boucx wat anders willen vallen mettet vinden der everednige linien: Tis wel soo dat hadden wy het vierde bouck voor het derde ghestelt, men soude sulcx daer mede gheschuwet hebben, maer alsdan niet de voorschreven ghemeene Telconstighe oirden ghevolght, daer wy besloten hadden by te blijven. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet de lini D E, die bevindende neem ick van 3 voeten, welcke 10 mael doen 30 voeten: Tusschen de selve 30 ende 3 vinde ick een middeleverednich ghetal t'welck is 949 ②, daerom ghetrocken een lini van dier langde als F G, ende daer op gheteyckent een vlack H ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng. Ander vvercking deur ghetalen, ghegront op de voorschreven vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Laet de lini D E andermael doen 3 voet haer viercant is 9. Dat 10 mael comt 90. Diens viercantsijde 949 ②. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als F G lijckstandighe met D E, en daer op gheteyckent een vlack H ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng. 2 Voorbeelt int ghebroken. Laet de ⅔ des vlacx A, te menichvuldighen sijn met 10½. Twerck. Ick meet D E, bevinde die neem ick van 3 voeten, de ⅔ der selve als 2, ghemenichvuldicht deur 10 ½ doen 21: Tusschen die 21 en de voorschreven 3, vinde ick een middeleverednich ghetal t'welck is 794 ②: Daerom ghetrocken een lini soo lanck, ende daer op gheteyckent een vlack gelijck met A men heeft den begheerden uytbreng. Ander vvercking int ghebroken, ghegront op de voorschreven vondt van sijn Vorstelicke Ghenade Laet de ⅔ des vlacx A, andermael te menichvuldighen sijn met 10½. {==109==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick meet D E, bevinde die neem ick van 3 voet, diens viercant 9 voet, daer af de ⅔ doen 6. Die ghemenichvuldicht met 10 ½ comt 63. Diens viercantsijde 794 ②. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als lijckstandighe met D E, en daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng. Vervolgh. Wanneermen inde Telconst eenich deel begheert van een ghebroken ghetal, als by voorbeelt de 21/2 van ⅔. men menichvuldicht 21/2 met ⅔. ende dē uyt breng is t'begeerde: Also oock wanneermen inde Meetconst eenich deel begeert vant stick eens ghegheven vlacx, sulcx dattet selve stick ghelijck sy mettet heel, by voorbeelt de 21/2 vande ⅔ des vlacx A, tis kennelick datmen salmenichvuldigen na de manier des boveschreven 2 voorbeelts, ende dat den uytbreng t'begeerde sal wesen. Derghelijcke vervolgh sal hem oock alsoo verstaen op de menichvuldighing der lichamen int nabeschreven 11 voorstel. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een menichvuldelick vlack, ende een ghetal menichvulder, wy hebben haer uytbreng ghevonden in een vlack ghelijck mettet ghegheven, na den eysch. 8 Voorstel. Wesende ghegheven een deelelick vlack, ende een derghelijcke vlack deelder: DenQuotientem. mael te vinden. 1 Voorbeelt int gheheel. Tghegheven. Laet A een deelelick vlack wesen, ende t'vlack B gelijck met A sy deelder, diens sijde C D lijckstandighe is met E F. Tbegheerde. Wy moeten haer mael vinden, dat is hoe menichmael een vlack als B begrepen wort int vlack A. Twerck. Ick vinde deur het 1 voorstel des 4 boucx de derde everednighe der twee E F, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C D, welcke sy G. Sie daer na hoe menichmael G in E F is, ende wort bevonden neem ick 3 mael: T'welck soo sijnde ick seg 3 den begheerden mael tewesen, namelick dat een vlack als B, driemael begrepen is int vlack A. T'bewijs daer af wort getrocken uyt het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides. {==110==} {>>pagina-aanduiding<<} Ander vvercking deur ghetalen na de manier der voorgaende VVisconstighe vvercking. Ick meet de twee lijckstandighe sijden bevindende E F neem ick van 18. Ende C D van 6. Segh daer na 18 eerste in d'oirden, gheeft 6 tweede in d'oirden, wat de selve 6 Comt 2. Daer deur ghedeelt 18 eerste in d'oirden, comt voor begheerde mael 9. Ander vvercking na de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Men sal de viercanten van lijckstandige sijden d'een deur d'ander deelen, want den mael gheeft oock t'begheerde, By voorbeelt 324 (viercant van EF 18) deur 36 (viercant van C D 6) comt als boven 9. Oirspronck deser vvercking. Sijn Vorstelicke Ghenade ansiende dat ghelijcke vlacken tot malcander in sulcken reden sijn als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, besloot daer uyt dat den mael der viercanten van twee lijckstandighe sijden, oock den mael der vlacken moet wesen. Welcke reghel alsoo hy die merckte seer ghemeen te sijn, heeft daer deur afgheveerdicht veel werckinghen met besonder lichticheyt, ghelijckse hier na elck t'haerder plaets beschreven sullen worden. 2 Voorbeelt int ghebroken, vvaer in de boveschrevenvondt van sijn Vorstelicke Ghenade reghelhoudt. Laet de ⅔ des vlacx A, te deelen sijn deur de ¾ des vlacx B. Twerck. Ick meet twee lijckstandighe sijden, bevindende E F neem ick van 18, diens viercant 324, waer af de ⅔ doen 216. Ende C D 6 diens viercant 36, daer af de ¾ doen 27. Daer deur ghedeelt de 216, comt voor begheerde mael 8. Waer af t'bewijs uyt den boveschreven oirspronck te verstaen is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deelelick vlack, ende een derghelijcke vlack deelder, wy hebben den mael ghevonden, na den eysch. {==111==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde deel des derden bovcx vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der lichamen. WY sullen de formen der lichamen inde volghende vier voorstellen cortheytshalven alleenlick plattich setten, waer by men verstaen sal de reghel ghemeen te sijn van alle ghelijcke lichamen sulcx sy sijn, soo wel hol en bultich als plattich. 9 Voorstel. Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke lichamen: Haer somme te vinden in een haers ghelijcke lichaem. 1 Voorbeelt int gheheel. Tghegheven. Laet A B twee vergaerlicke ghelijcke lichamen wesen, diens lijckstandighe linien sijn C D. Tbegheerde. Wy moeten haer somme vinden in een lichaem ghelijck met A. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick vinde de vierde everednighe lini E der twee C, D, deur het 2 voorstel des 4 boucx: Daer na twee middeleverednighe tusschen de lini C ende de lini even an C met E deur het 4 voorstel des 4 boucx welcker twee middellinien eerste sy F: Op de selve als lijckstandighe met C teycken ick het lichaem G ghelijck met A, t'welck ick segh de begheerde somme te wesen, namelick even ande twee A, B. Tbewys. 1 Lidt. De lini C tot E, heeft een ghedrievoudichde reden der lini C tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini C tot E, soo t'lichaem A, tottet lichaem B, ende {==112==} {>>pagina-aanduiding<<} deur versaemde reden ghelijck de twee linien C, E, totte lini C, alsoo de twee lichamen A en B tottet lichaem A. 2 Lidt. De lini C heeft totte lini even an C met E een ghedrievoudighde reden der lini C tot F deur t'werck, daerom ghelijck de lini C, tot C met E, soo t'lichaem A, tottet lichaem G: Ende deur verkeerde reden gelijck de twee linien C, E, totte lini C, alsoo t'lichaem G, tottet lichaem A. Maer int 1 lidt is bethoont de selve reden oock te wesen der twee lichamen A en B t'samen, tottet selve lichaem A, daerom (want diens redens tot een selve even sijn moeten met malcander even wesen) t'lichaem G is even mette twee lichamen A, B. Ander vzercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende vvistconstighe vvercking. Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4. Ende D van 2. Het vierde everednich ghetal van 4 eerste in d'oirden en 2 tweede in d'oirden is ½. T'selve met 4 eerste in d'oirden maeckt 4½. Ick souck daer na t'eerste der twee middeleverednige getalen tusschen 4 eerste in d'oirden, ende 4½ vierde in d'oirden t'selve is teerlincksche sijde van 72. Die doet 416②. Daerom van dier langde ghetrocken een lini als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begheerde somme. Ander vvercking deur ghetalen, na de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4 voet, diens teerlinck 64. Ende D van 2, diens teerlinck 8. Welcke vergaert tot d'ander comt 72. Diens teerlincx sijde 416 ②. Daerom van dier langde ghetrocken een lini als Flijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begheerde somme. 2 Voorbeelt int ghebroken vvaer in de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade reghelhoudt. Laet begheert sijn de somme vande ⅜ des lichaems A, mettet ¼ des lichaems B. Ick meet twee lijckstandige sijden als neem ick C en D, bevinde C van 4 voeten, diens teerlinck 64, daer af de ⅜ doen 24. Ende D van 2, diens teerlinck 8, daer af het ¼ doet 2. Somme 26. Diens teerlincxsijde. 296 ②. {==113==} {>>pagina-aanduiding<<} Daerom van dier langde ghetrocken een lini als lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft de begheerde somme, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt den oirspronck des 8 voorstels van desen. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke lichamen, wy hebben haer somme ghevonden in haers ghelijcke lichaem, nae den eysch. 10 Voorstel. Wesende ghegheven een lichaem, met sijns ghelijcke aftreckelick lichaem: De rest in een derghelijcke lichaem te vinden. 1 Voorbeelt int gheheel. Tghegheven. Laet A een lichaem sijn, ende B een derghelijcke aftreckelick lichaem, diens lijckstandighe linien C, D. Tbegheerde. Wymoeten de rest vinden in een lichaem ghelijck met A. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick vinde de vierde everednighe E der twee C D, daer na twee middeleverednighe tusschen de lini C ende de lini C min E, welcker twee middellinien eerste sy F: Op de selve als lijckstandighe met C teycken ick het lichaem G gelijck met A, t'welck ick segh de begheerde rest te wesen. Tbewys. 1 Lidt. De lini C, heeft totte lini E een ghedrievoudichde reden der lini C tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini C totte lini E, alsoo t'lichaem A tottet lichaem B, ende deur ghescheyden reden ghelijck de lini C min de lini E, totte lini C, alsoo t'lichaem A min t'lichaem B tottet lichaem A. 2 Lidt. De lini C, heeft totte lini C min de lini E een ghedrievoudichde reden der lini C tot F deur t'werck, daerom ghelijck de lini C totte lini C min de lini E, alsoo het lichaem A tottet lichaem G, ende deur verkeerde reden ghelijck de lini C {==114==} {>>pagina-aanduiding<<} min de lini E totte lini C, alsoo t'lichaem G tottet lichaem A: maer int 1 lidt is bethoont de selve reden oock te wesen des lichaems A min t'lichaem B tottet selve lichaem A: Daerom (want diens redens tot een selve even sijn, moeten met malcander even wesen) t'lichaem G is even mettet lichaem A min t'lichaem B, dat is ghetrocken t'lichaem B van A, de rest is een lichaem als G. Ander vvercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende vvisconstighe vvercking. Ick meeet twee lijckstandighe sijden, als neem ick C en D, bevindende C van 4. Ende D van 2. Het vierde everednich ghetal van 4 eerste in d'oirden ende 2 tweede in d'oirden is ½. T'selve ghetrocken van 4 eerste in d'oirden, blijft 3½. Ick souck daer na t'eerste der twee middeleverednighe ghetalen tusschen 4 eerste in d'oirden, ende 3½ vierde in d'oirden t'selve is teerlincksche sijde van 56. Die doet 383 ②. Daerom van dier langde een lini ghetrocken, als F lijck standighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begeerde rest. Ander vvercking deur ghetalen, na de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Ick meet twee lijckstandighe sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4 voeten, diens teerlinck 64. Ende D van 2 voet diens teerlinck 8. Welcke ghetrocken van d'ander blijft 56. Diensteerlincxsijde 383 ②. Daerom van dier langde een linighetrocken als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A men heeft de begheerde rest. 2 Voorbeelt int ghebroken vvaer in de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade reghelhoudt. Laet vande ⅜ des lichaems A, te trecken sijn ¼ des lichaems B. TWERCK. Ick meet de twee lijckstandighe sijden als neem ick C en D, bevindende C van 4 voeten, diens teerlinck 64, daer af de ½ doen 24. Ende D van 2, diens teerlinck 8, daer af het ¼ doet 2. Welcke ghetrocken vande 24 eerste in d'oirden, blijft 22. Diens teerlincxsijde 28 ①. Daerom van dier langde ghetrocken een lini als lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A men heeft de begheerde rest: Waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt den oirspronck des 8 voorstels van desen. Tbeslvyt: Wesende dan ghegheven een lichaem met sijns ghelijcke aftreckelick lichaem wy hebben de rest in een derghelijcke lichaem ghevonden na den eysch. {==115==} {>>pagina-aanduiding<<} 11 Voorstel. Wesende ghegheven een menichvuldelick lichaem, ende een ghetal menichvulder: Den uytbreng te vinden in een lichaem ghelijck mettet ghegheven. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 1 Voorbeelt int gheheel. Tghegheven. Laet A het menichvuldelick lichaem sijn, met eenighe rechte lini daerin als B, ende menichvulder 8. Tbegheerde. Wy moeten den uytbreng vinden in een lichaem ghelijck met A, ende 8 mael soo groot. Twerck. Ick treck de lini C 8 mael soo lanck als de lini B, om dat den gegheven menichvulder 8 is: Vinde daer na twee middeleverednighe linien deur het 4 voorstel des 4 boucx, welcker eerste sy D, waer op als lijckstandighe met B gheteyckent het lichaem E ghelijck met A, ick segh t'selve den begheerden uytbreng te wesen, dat is 8 mael soo groot als t'lichaem A. Tbewys. De lini B tot C, heeft een ghedrievoudichde reden der lini B tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini B tot C, alsoo het lichaem A tot E: Ende deur verkeerde reden ghelijck de lini C tot B, alsoo t'lichaem E tot A: Maer de lini C is achtmael soo groot als B, daerom t'lichaem E is achtmael so groot als t'lichaem A, twelck den begheerden uytbreng is. Ander vvercking deur ghetalen na de manier der voorgaende vvisconstige vvercking. Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2. De selve ghemenichvuldicht met 8 comt 16. Vinde daer na t'eerste der twee midddeleverednighe ghetalen tusschen 2 en 16, t'welck is 4. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D lijckstandighe met B, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng. {==116==} {>>pagina-aanduiding<<} Ander vvercking deur ghetalen, gegront op de voorschreven vondt vansijn Vor stelicke Ghenade. Laet de lini B andermael doen 2 voet, haer teerlinck is 8. Die 8 mael comt 64. Diens teerlincksijde 4. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D lijckstandighe met B, en daer op gheteyckent een lichaem E ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng. 2 Voorbeelt int ghebroken. Laet de ⅔ des lichaems A, te menichvuldighen sijn met ¾. Twerck. Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2. Diens ⅔ doen ⅘. De selve ghemenichvuldicht metten ghegeven menichvulder ¾ comt 1. Vinde daer na t'eerste der twee middeleverednighe ghetalen tusschen 2 eerste in d'oirden, ende 1 derde in d'oirden, t'welck is teerlincxsijde van 4. Die doet 159 ②. Daerom getrocken een lini van dier langde als lijckstandige met B, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is. Ander vvercking int ghebroken, ghegront op de voorschreven vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Laet de ⅔ des lichaems A, andermael te menichvuldighen sijn met ¾. Twerck. Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2, diens teerlinck 8 voet, daer af de ⅔ doen 16/3. Die ¾ mael comt 4. Diens teerlincksijde 159 ②. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als lijckstandighe met B, en daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begeerden uytbreng. Tbeslvyt. Wesende dan gegeven een menichvuldelick lichaem, ende een ghetal menichvulder, wy hebben den uytbreng ghevonden in een lichaem ghelijck mettet ghegheven, na den eysch. 12 Voorstel. Wesende ghegheven een deelelick lichaem, ende een derghelijck lichaem deelder: Den mael te vinden. Tghegheven. Laet A het deelelick lichaem sijn, met een lini daer in als B, ende t'lichaem C ghelijck an A sy deelder, met een lini daer in als D lijckstandighe met B. Tbegheerde. Wy moeten den mael vinden, dat is hoe menichmael een lichaem als A, begrepen is int lichaem E. {==117==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick vinde der twee linien D, B, een vierde everednighe deur het 4 voorstel des 4 boucx welcke sy E: Meet daer na hoe menichmael de lini E in B is, ende bevinde neem ick 8 mael, waer uyt ick besluyt 8 den begheerden mael te wesen: Dat is een lichaem als C achtmael int lichaem A begrepen te sijn. Tbewys. De lini B heeft tot E een ghedrievoudichde reden der lini B tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini B tot E, alsoo t'lichaem A tot C: Maer de lini B is 8 mael soo groot als E, daerom t'lichaem A is 8 mael soo groot als t'lichaem C, ende vervolghens een lichaem als C is achtmael int lichaem A, daerom 8 is de begheerde mael. Ander vvercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende vvisconstighe vvercking. Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 4. Ende D van 2. Vinde daer na t'vierde everednich ghetal der twee 4 en 2 t'welck is ½. Deur t'selve ghedeelt 4 eerste in d'oirden, comt voor begheerde mael 8. Ander vvercking na de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Ick meet twee lijckstandighe sijden als neem ick B en D, bevindende B van 4 voeten, diens teerlinck doet 64. Ende D van 2, diens teerlinck doet 8. Deur de selve ghedeelt de 64 comt voor begheerde mael 8. 2 Voorbeelt int ghebroken, vvaer in de vondt van sijn Vorstelicke Ghenade reghel houdt. Laet de ⅔ des lichaems A, te deelen sijn deur de ¾ des lichaems C. Twerck. Ick meet twee lijckstandighe sijden als neem ick B en D, bevindende B van 4 voeten, diens teerlinck 64, waer af de 2/4 doen 42⅔. Ende D van 2, diens teerlinck 8, waer af de 3/2 doen 6. Deur de selve ghedeelt de 42⅔ comt voor begheerde mael 7 1/9. Den oirspronck is hier af als int 8 voorstel vande vlacken: Want ghelijcke lichamen sijn tot malcander in sulcken reden, als de teerlinghen van haer lijck- {==118==} {>>pagina-aanduiding<<} standighe sijden, waer uyt volght dat den mael der teerlinghen van twee lijckstandighe sijden, oock den mael der lichamen moet sijn. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deelelick lichaem, ende een derghelijcke lichaem deeler, wy hebben den mael ghevonden, na den eysch. Merckt. Men soude hier noch meughen begheeren voorbeelden vande vier afcomsten in onmetelicke grootheden, maer want wy daer af elders een besonder handel gheschreven hebben die tot dese vier afcomsten can vervought worden, soo laten wijt daer by blijven. Des derden Bovcx EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==119==} {>>pagina-aanduiding<<} Vierde bovck der meetdaet, vandeRegula proportionis. everedenheyts reghel der grootheden. {==121==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des vierden Bovcx vande everedenheyts reghel der linien. 1 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee rechte linien: Haer derde everedenighe te vinden. Tghegheven. Laet A B en C twee rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer derde everedenighe vinden. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick treck A B voorwaert tot D, alsoo dat B D even sy an C, daer na de oneyndelicke A E, makende met A B eenigen houck, teycken daer in F, alsoo dat A F oock even sy an C: Daer na B F ende D G evewijdeghe met B F gherakende F E in G. T'welck soo sijnde ick segh F G de begheerde derde everedenighe lini te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 11 voorstel des 6 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de twee ghegheven linien, bevinde A B neem ick van 3 voeten, C van 4: Segh daer na 3 gheeft 4, wat de selve 4. comt 5⅓ voet: Daerom ghetrocken een lini van dier langde men heeft de begheerde derde: Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee rechte linien, wy hebben haer derde everedenighe ghevonden, na den eysch. Vervolgh. Tis deur t'voorgaende kennelick hoemen tot twee ghegheven linien, oock sal vinden een vierde, vijfde, met d'ander volghende tot int oneyndelick: Laet tot desen eynde andermael ghestelt worden de voorgaendeform A B C D E F G {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} als hier onder. Om nu na de derde everedenighe F G te crijghen de vierde, ick treck A D voorwaert tot H, alsoo dat D H even sy an F G: Daer na H I evewijdeghe met D G: T'welck soo sijnde G I is de begheerde vierde everedenighe lini Om nu te hebben een vijfde, ick treck A H voorwaert tot K, alsoo dat H K even sy an G I: Daer na K L evewijdeghe met H I, ende heb voor vijfde everedenighe I L: Ende soo oneyndelick voort met d'ander, sulcx dat A B, A F, F G, G I, I L vijf linien in ghedeurighe everedenheyt sijn: Waer af oock de wercking in getalen deur de voorgaende kennelick ghenouch is. {==122==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorstel. Wesende ghegheven drie rechte linien: Haer vierde everedenighe te vinden. Tghegheven. Laet A B, C, D drie rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer vierde everedenighe vinden. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick treck A B voorwaert tot E, alsoo dat B E even sy an C, daer na de oneyndelicke A F, makende met A B eenighen houck, teycken daer in G, also dat A G even sy an D, daer na B G, ende E H evewijdeghe met B G gherakende G F in H: T'welck soo sijnde, ick segh G H de begheerde vierde everedenige lini te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 11 voorstel des 6 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de drie ghegheven linien, bevinde neem ick A B van 4, C van 3, D van 5 voeten: Segh daer na 4 gheeft 3, wat 5 comt 3¾ of 375 ②: Daerom getrocken een lini van dier langde men heeft de begheerde vierde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer ghenouch is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven drie rechte linien, wy hebben haer vierde everedenighe ghevonden, na den eysch. 3 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee rechte linien: Haer middeleveredenighe te vinden. Tghegheven. Laet A B en C twee rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer middeleveredenighe vinden. Twerck. Ick treck A B voorwaert tot D, alsoo dat BD even sy an C, teycken daer na t'punt E int middel van A D, beschrijf daer op het halfrondt A F D, ende treck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van B tot F inden omtreck de lini B F rechthouckich op A D: T'welck soo sijnde, ick segh B F de begheerde middeleveredenighe te wesen tusschen A B en C: waer af t'bewijs ghedaen is int 13 voorstel des 6 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de twee ghegheven linien, bevinde neem ick A B van 5, C van 3: Segh daer na 5 mael 3 is 15, diens viercantssijde 387 ②: Daerom een lini soo lanck ghetrocken, men heeft de begheerde middeleveredenige, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee rechte linien, wy hebben haer middeleveredenighe ghevonden, na den eysch. {==123==} {>>pagina-aanduiding<<} 4 Voorstel. wesende ghegheven tvvee rechte linien: Haer tvvee middeleveredenighe te vinden. Tghegheven. Laet A B en C twee rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer twee middeleveredenighe vinden. Tvverck nade vondt van Hero. Ick treck de oneyndelicke lini A D rechthouckich op A B, teycken daer op t'punt E, alsoo dat A E even sy an C, voort B F ende evewijdeghe met A E, treckende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} E F, ende A F diens middelpunt G: Treck oock A B oneyndelick voorwaert als A H: Stel daer na den vasten voet des passers opt punt G, ende metten beweeghlicken teycken ick inde twee oneyndelicke linien A D, A H, twee punten I, K: Nu by aldien de selve twee punten soo vallen, dat de rechte lini vant een punt tottet ander getrocken deur t'punt F streckt, tis wel, dies niet soo salmen den passer nauwen of wijden, ende die punten als I K naerder of verder stellen, tot dat sulcken lini als I K deur t'voorschreven punt F streckt. Genomen dan datter de lini I K deur comt, soo segh ick E I ende B K de twee begheerde middeleveredenighe linien te wesen, sulcx dat A B, E I, B K, C in ghedeurighe everedenheyt sijn, waer af t'bewijs ghedaen is van Eutochius inde uytlegging des 2 boucx vanden cloot ende seul van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de twee ghegheven linien, bevinde neem ick A B van 16, C van 2, souck daer tusschen twee middeleveredenighe ghetalen na de leeting Du 45 probleme. van onse fransche Arith. die bevonden worden van 8 en 4: Daerom ghetrocken twee linien van sulcke langde men heeft t'begheerde. Vervolgh. Tis kennelick hoemen deur t'behulp der ghetalen, vinden sal meer dan twee middeleverednighe linien tusschen twee ghegheven, want de selve ghegheven linien ghemeten sijnde, ende tusschen haer ghetalen soo veel middeleveredenighe ghevonden alsser begheert worden na de voorschreven leering Du 45 Probleme, soo vintmen de ghesochte. Maer om tusschen twee ghegheven linien meetconstelick te vinden twee of meer middeleveredenighe, soo veel alsser begheert worden daer toe dient den ruych van Eratosthenes deur den voornoemden Eutochius beschreven. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee rechte linien, wy hebben haer twee of meer middeleveredenighe ghevonden, na den eysch. {==124==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede deel des vierden bovcx vande everedenheyts reghel der vlacken. Hoe wel wy dit tweede deel, ende t'volghende 3 seggen vande everedenheyts regel der vlacken ende lichamen te wesen, nochtans soo vereyscht de stof vlacken en lichamen in ettelicke voorstellen soo wel met linien vermengt te worden als somwijlen met ghetalen. 5 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee ghelijcke vlacken ende een rechte lini: Een ander rechte lini te vinden in sulcken reden totte ghegheven, als t'een vlack tottet ander. Tghegheven. Laet A B C D, E F G H twee ghelijcke vlacken wesen, ende I een rechte lini. Tbegheerde. Wy moeten een ander rechte lini vinden, in sulcken reden tot I, ghelijck t'vlack A B C D tot E F G H. Twerck. Ick neem of treck inde ghegheven vlacken eenighe twee lijckstandige rechte {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} linien, als E H, A D, ende vinde haer derde everedenighe welcke K sy: Daer na de vierde everedenighe der drie E H, K, I welcke L sy, die ick segh de begheerde te wesen, te weten dat ghelijck A B C D tot E F G H, alsoo L tot I. Tbewys. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Want K de derde everedenighe is der twee lijckstandighe linien E H, A D, deur t'werck, soo heeft het vlack E F G H, sulcken reden tottet vlack A B C D, ghelijck E H tot K: Maer ghelijck E H tot K, alsoo I tot L deur t'werck, daerom ghelijck E F G H, tot A B C D, alsoo I, tot L, ende deur verkeerde reden soo heeft L tot I, sulcken reden ghelijck t'vlack A B C D tottet vlack E F G H. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A D die bevindende neem ick van 4 voeten, E H 8, I 16; Vinde daer na het derde everedenich ghetal van E H 8, en A D 4, t'welck voor K 2 is: {==125==} {>>pagina-aanduiding<<} Souck wijder het vierde everedenich ghetal der drie E H 8, K 2, I 16, comt 4; daerom ghetrocken een lini als L lanck 4 voet, men heeft t'begheerde. Proef inde rechthouckighe formen. Den rechthouck A B C D doet 8, ende E F G H 32: Nu ghelijck die 8 tot 32, alsoo L 4 tot I 16. Ander vvercking deur ghetalen, gegront op de voorschreven vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Laet A D andermael doen alsvooren 4 voet, E H 8, en I 16: Dit soo sijnde ick segh: T'viercant van E H 8 doende 64, gheeft het viercant van A D 4 dats 16, wat de lini I 16? Comt 4. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als L, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ghelijcke vlacken, ende een rechte lini, wy hebben een rechte linighevonden in sulcken reden totte ghegheven, als t'een vlack tottet ander, na den eysch. 6 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee rechte linien ende een vlack: Een derghelijcke vlack te vinden, in sulcken reden tottet ghegheven, als d'een lini tot d'ander. Tghegheven. Laet A, B, twee linien sijn, ende C D E F een vlack. Tbegheerde. Wy moeten een ander vlack vinden gelijck mettet vlack C D E F, ende tottet selve in sulcken reden als A tot B. Twerck. Ick vinde de middeleveredenighe lini der twee A, B, deur het 3 voorstel van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} desen welcke sy G, neem of treck daer na eenighe rechte lini int ghegheven vlack als C F, ende vinde een vierde everedenighe der drie B, G, C F welcke sy H I, waer op als lijckstandighe met C F gheteyckent een vlack HIKL gelijck met C D E F, men heeft t'begeerde, te weten ghelijck de lini A tot B, alsoo t'vlack H I K L tottet vlack C D E F. Tbereytsel. Laet M een derde everedenige sijn der twee C F, H I. Tbewys. Want B sulcken reden heeft tot G, ghelijck C F tot H I, ende dat A een derde everedenige is der twee B, {==126==} {>>pagina-aanduiding<<} G, ghelijck M een derde everedenighe der twee C F, H I, soo heeft B tot A sulcken reden als C F tot M: Maer ghelijck C F tot M, alsoo t'vlack C D E F tottet vlack H I K L (deur dien M de derde everedenighe van haer lijckstandighe sijden is) daerom t'vlack C D E F, is tottet vlack H I K L, ghelijck B tot A, ende deur verkeerde reden soo is t'vlack H I K L, ghevonden in sulcken reden tot C D E F, ghelijck A tot B. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet C F, die bevindende neem ick van 8 voeten, A 4, B 16. Vinde daer na het middeleveredenich ghetal tusschen A 4, en B 16, t'welck 8 is voor G: Vinde wijder het vierde everedenich getal der drie B 16, G 8, C F 8, comt 4: Daerom ghetrocken een lini H I lanck 4 voeten, ende daer op als lijckstandighe met C F gheteyckent het plat H I K L gelijck met C D E F men heeft t'begeerde. Proef inde rechthouckighe formen. Den rechthouck H I K L doende 8, is in sulcken reden totten rechthouck C D E F doende 32, als de lini A 4, tot B 16. Ander vvercking deur ghetalen, ghegront op de voorschreven vondt vansijn Vorstelicke Ghenade. Laet C F andermael doen alsvooren 8 voeten, A 4, en B 16: Dit soo sijnde ick segh, B 16, gheeft A 4, wat t'viercant van C F 8 doende 64? Comt 16, diens viercantsijde 4: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als H I lijckstandighe met C F, en daer op gheteyckent een vlack H I K L ghelijck met C D E F, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee rechte linien, ende een vlack, wy hebben een derghelijcke vlack ghevonden, in sulcken reden tottet ghegheven, als d'een lini tot d'ander, na den eysch. 7 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee gelijcke vlacken: Haer derghelicke derde everedenich te vinden. Tghegheven. Laet A B C D, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} en E F G H twee ghelijcke vlacken sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer derde everedenich vinden. Twerck Ick neem of treck eenighe twee lijckstandighe rechte linien als A D ende E H, vindende haer derde everedenige I K, ende op de selve als lijckstandighe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} met A D geteyckent t'vlack I K L M, ick segh t'selve t'begheerde te wesen: waer af t'bewijs openbaer is deur het 22 voorstel des 6 boucx van Euclides. {==127==} {>>pagina-aanduiding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de sijde A D die bevindende neem ick van 8 voeten, ende haer lijckstandige E H van 4: Segh daer na A D 8, geeft E H 4, wat de selve E H 4 Comt 2, Daerom ghetrocken een lini van 2 voeten als I K, ende daer op als lijckstandige met A D gheteyckent het plat I K L M ghelijck met A B C D, ick segh t'selve t'begheerde te wesen. Proef inde rechthouckighe formen. A B C D doet 32, E F G H 8, I K L M 2, alwaer blijckt t'vlack I K L M 2, het derde everedenich vlack van d'ander twee te sijn. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ghelijcke vlacken, wy hebben haer derghelijcke derde everedenich ghevonden, na den eysch. Twerck. Ghelijck dit voorstel sulcx in vlacken is als het 1 van desen in linien, ende inde werckinggheen verschil en heeft dat verclaring behouft alsoo salmen derghelijcke oock verstaen vant 2, 3 ende 4 voorstel in linien, wiens ghelijcke voorstellen men hier tot vlacken soude meughen vervoughen, maer de sake als boven gheseyt is claer ghenouch sijnde, sullent cortheytshalven achterlaten. 8 Voorstel. Wesende ghegheven verscheyden onghelijcke rechtlinighe platten: Te vinden soo veel rechte linien inde selve reden. Tghegheven. Laet A B C en D E F twee driehoucken sijn. Tbegheerde. Wy moeten vinden eenighe twee linien inde reden der ghegheven driehoucken. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick trecke in yder driehouck een hanghende van een houck op haer teghenoversijde als A G op B C, en D H op E F, segh daer na hanghende A G gheeft hanghende D H wat gront E F? Comt deur het 2 voorstel des 4 boucx neem ick de lini I: T'welck soo sijnde ick segghe dat d'ander gront B C in sulcken is tot I als den driehouck A B C tot den driehouck D E F; waer van t'bewijs ghetrocken wort uyt het 14 voorstel des 6 boucx van Euclides. 1 Vervolgh. Tis kennelick dat sooder waer een ghegheven derde driehouck datmen alsdan na de manier als boven soude vinden een lini in sulcken reden tot B C als {==128==} {>>pagina-aanduiding<<} dien derden driehouck totten driehouck A B C, ende dat alsdan de drie linien B C, I, en die laetst gevonden tot malcander in sulcken reden souden sijn, als de ghegheven driehoucken. En sghelijcx soude den voortganck sijn met noch meer ghegheven driehoucken. 2 Vervolgh. Anghesien rechtlinighe veelhouckighe platten in driehoucken connen gedeelt worden, welcker driehoucken reden te vinden is in linien als boven, soo volght daer uyt dat de vergaerde linien der drichoucken van t'een plat totte vergaerde linien der driehoucken van t'ander plat, sullen sijn inde reden der ghegeven rechtlinighe platten. 3 Vervolgh. Sooder ghegheven waren twee rechtlinighe platten en een rechte lini, tis kennelick datmen een ander rechte lini can vinden in sulcken reden totte ghegheven, ghelijck t'een plat tottet ander: Want der platten reden ghevonden in twee linien als boven, en van die twee en de ghegheven derde ghevonden de vierde everedenighe deur het 2 voorstel van desen, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven verscheyden onghelijcke rechtlinighe platten, wy hebben ghevonden soo veel rechte linien inde selve reden na den eysch. Derde deel des vierden bovcx vande everedenheyts reghel der lichamen. 9 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee ghelijcke lichamen, en een rechte lini: Een ander rechte lini te vinden, in sulcken reden totte ghegheven, als t'een lichaem tottet ander. Tghegheven. Laet A B C D en E F G H twee ghelijcke lichamen wesen, en I een rechte lini. Tbegheerde. Wy moeten een ander rechte lini vinden, in sulcken reden tot I, ghelijck t'lichaem A B C D tot E F G H. Twerck. Ick neem of treck inde lichamen twee lijckstandighe rechte linien als E F, A B, ende vinde haer vierde everedenighe welcke K sy, daer na de vierde everedenighe der drie E F, K, I, die L sy, welcke ick segh de begheerde te wesen, te weten dat ghelijck A B C D, tot E F G H, alsoo L tot I. {==129==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Want K de vierde everedenige is der twee lijckstandighe linien E F, A B, deur t'werck, soo heeft het lichaem E F G H, sulcken reden tottet lichaem A B C D, ghelijck E F tot K, maer ghelijck E F tot K, alsoo I tot L deur t'werck, daerom ghelijck E F G H tot A B C D, alsoo I tot L, ende deur verkeerde reden soo heeft L tot I sulcken reden, ghelijck t'lichaem A B C D tottet lichaem E F G H. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de nabeschreven linien: en vinde A B 8, E F 16, I 32: Vinde daer na het vierde everedenich ghetal der twee E F 16 ende A B 8, t'welck voor K 2 is: Soucke wijder het vierde everedenich getal der drie E F 16, K 2, I 32, comt 4, daerom ghetrocken een lini als L lanck 4 voet men heeft t'begheerde. Proef inde rechthouckighe formen. A B C D doet 64, E F G H 512, ende ghelijck 64 tot 512, alsoo 4 tot 32. Ander vvercking deur ghetalen, ghegront op de voorschreven vondt vansijn Vorstelicke Ghenade. Laet A B andermael doen alsvooren 8, E F 16, en I 32. Dit soo sijnde ick segh: Den teerlinck van E F 16 doende 4096, gheeft den teerlinck van A B 8 doende 512, wat de lini I H 32? comt 4. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als L 4, men heeft de begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ghelijcke lichamen, ende een rechte lini, wy hebben een rechte lini ghevonden in sulcken reden totte ghegheven, als t'een lichaem tottet ander na den eysch. 10 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee rechte linien, ende een lichaem: Een derghelijcke lichaem te vinden in sulcken reden tottet ghegheven, als d'een lini tot d'ander. Tghegheven. Laet A B twee linien sijn, ende C D E F een lichaem. Tbegheerde. Wy moeten een ander lichaem vinden ghelijck mettet lichaem C D E F, ende tottet selve in sulcken reden als A tot B. {==130==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick vinde d'eerste der twee middeleveredenighe tusschen B en A welcke sy G: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Neem of treck daer na eenighe rechte lini int ghegheven lichaem als C D, ende vinde een vierde everedenighe der drie B, G, C D, welcke sy H I, waer op als lijckstandighe met C D gheteyckent een lichaem H I K L ghelijck met C D E F, men heeft t'begheerde. Tbereytsel. Laet M een vierde everedenighe sijn der twee C D, H I. Tbewys. Want B sulcken reden heeft tot G, ghelijck C D tot H I, ende dat A een vierde everedenighe is der twee B, G, ghelijck M een vierde everedenighe is der twee C D, H I, soo heeft B sulcken reden tot A, als C D tot M: Maer ghelijck C D tot M, alsoo t'lichaem C D E F tottet lichaem H I K L (deur dien M de vierde everedenighe van haer lijckstandighe sijden is) daerom t'lichaem C D E F is tottet lichaem H I K L, ghelijck B tot A, ende deur verkeerde reden soo is t'lichaem H I K L ghevonden in sulcken reden tot C D E F, ghelijck A tot B. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de nabeschreven linien als volght: C D 16, A 4, B 32: vinde daer na het eerste der twee middeleveredenige ghetalen tusschen B 32, ende A 4, t'welck is 16 als voor G: Vinde daer na een vierde everedenich getal der drie B 32 G 16, C D 16, comt 8: Daerom ghetrocken een lini lanck 8 voeten ghelijck H I, ende daer op als lijckstandighe met C D gheteyckent het lichaem H I K L ghelijck met C D E F, men heeft t'begheerde. Proef inde rechthouckighe formen. T'lichaem C D E F doet 512, ende H I K L 64, is in sulcken reden totte 512, ghelijck A 4 tot B 32. Ander vvercking deur ghetalen, ghegront op de voorschreven vondt van sijn Vorstelicke Ghenade. Laet C D andermael doen alsvooren 16, A 4, B 32: Dit soo sijnde ick segh, B 32, gheeft A 4, wat den teerlinck van C D 16 doende 4096? Comt 512, diens teerlincxsijde 8. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als H I lijckstandighe met C D, en daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met C D E F, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven twee rechte linien, {==131==} {>>pagina-aanduiding<<} ende een lichaem, wy hebben een derghelijcke lichaem ghevonden in sulcken reden tottet ghegheven, als d'een lini tot d'ander, na den eysch. 11 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee ghelijcke lichamen: Haer derghelijcke derde everedenich te vinden. Tghegheven. Laet ABCD, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} EFGH, twee gelijcke lichamen sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer derde everedenich vinden. Twerck. Ick neem of treck eenighe twee lijckstandighe rechte linien als A B, E F, vindende haer derde everedenige I K, ende op de selve als lijckstandighe met A B geteyckent t'lichaem I K L M, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ick segh t'selve t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is. Dergelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de sijde A B, die bevindendende neem ick van 16, ende haer lijckstandighe E F van 8, vinde daer na het derde everedenich ghetal van 16 en 8, t'welck doet 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voet als I K, ende daer op als lijckstandighe met A B gheteyckent het lichaem I K L M men heeft t'begheerde, waer af t'ghemeen bewijs boven ghedaen is. Proef inde rechthouckighe formen. Laet B C doen 8, ende C D 4: T'welck soo sijnde F G moet 4 doen G H 2, K L 2, L M 1: Daerom t'lichaem A B C D doet 512, E F G H 64, I K L M 8: Maer gelijck 512 tot 64, alsoo de selve 64 tot 8: I K L M dan doende 8, is t'begheerde derde everedenich lichaem. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven twee ghelijcke lichamen, wy hebben haer derghelijcke derde everedenich ghevonden, na den eysch. Merckt. Ghelijck dit voorstel sulcx in lichamen is, als het 1 van desen in linien, ende inde wercking gheen verschil en heeft dat verclaring behouft, alsoo salmen derghelijcke oock verstaen vant 2, 3 ende 4 voorstelin linien, wiens ghelijcke voorstellen men hier tot lichamen soude meughen vervoughen, maer de sake als boven geseyt is claer ghenouch sijnde, sullent cortheytshalven achterlaten. Des vierden Bovcx EYNDE. {==133==} {>>pagina-aanduiding<<} Vyfde bovck der meetdaet, vande everedelicke snyding der grootheden. {==135==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des vyfden Bovcx vande everedelicke snyding der linien. 1 Voorstel. Van een ghegheven rechte lini een begheert deel te snyen. Tghegheven. Laet A B een lini sijn. Tbegheerde. Men wilder haer twee vijfdedeelen afghesneen hebben. Twerck. Ick treck een oneyndelicke lini C D evewijdeghe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} met A B, neem metten passer eenighe langde als van C tot E, teycken die vijfmael inde lini C D als inde punten E, F, G, H, I: Treck daer na de linien van C deur A, ende van D deur B, tot datse malcander gheraken in K: Nu want vande lini A B begheert sijn twee vijfdedeelen der lini C I, daerom treck ick de lini F K snyende A B in L: T'welck soo sijnde ick seg A L de begheerde twee vijfdedeelen der lini A B te wesen, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 9 voorstel des 6 boucx van Euclides. Vervolgh. Soomen de lini A B wilde snyen in 5 even deelen, tis kennelick datmen niet en soude te doen hebben dan trecken de linien van t'punt K totte punten E, F, G, H, want haer sneen in A B gheven de begheerde deelen. Merckt. Men soude de lini als C I hebben meughen minder nemen dan de lini A B, ende soudeTheorice. spieghelingsche wijse al een selve daer af bewesen worden, maer in tuychwerckelicken handel ist sekerder die grooter te trecken. De sake is hier boven ghenomen dat de linien C A, I B, oneyndelick voortgetrocken vergaren in K: Doch soo de selve linien nergliens t'samen en quamen maer evewijdeghe bleven, tis kennelick dat de begheerde gedeelten van A B, by luck dan even souden vallen ande ghenomen ghedeelten van C I. Ende sal derghelijcke vermaen oock meughen verstaen worden opt volghende 2 voorstel. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, bevinde die neem ick van 4 voeten, waer af de ⅖ doen 8/5, dat sijn 516 ②, daerom soo gemeten van A na B t'welck valt neem ick in L, men heeft de begheerde 2/5, waer af de proef openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven rechte lini een begheert deel ghesneen na den eysch. {==136==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Men soude hier noch meughen begheeren deelen der ghegheven lini die uytgesproken worden deur wortelige getalen mette ghemeene onmetelick sijnde, maer want wy daer af elders een besonder handel beschreven hebben, soo laten wy t'selve hier tot voorbeelt verstrecken. 2 Voorstel. Een ghegheven onghesneen rechte lini te snyen ghelijck een ghegheven rechte lini ghesneen is. Tghegheven. Laet A B een ongesneen rechte lini sijn, ende C D een ghesneen inde punten E en F, welcke C D ick neem evewijdich gheftelt te sijn van AB. Tbegheerde. Wymoeten A B snyen ghelijck C D ghesneen is, te weten in deelen everedenich mette deelen der selve C D. Twerck. Ick treck C A ende D B voorwaert tot datse malcander ontmoeten t'welck sy in G, treck daer na G E, G F, snyende A B in H, I. Dit soo sijnde ick segh de lini A B ghesneen te sijn inde punten H, I, ghelijck C D inde punten E, F, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 10 voorstel des 6 boucx van Euclides. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, die bevindende neem ick van 4 voet, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C E 2, E F 3, F D 4: Daerom ghedeelt 4 in drie deelen tot malcander in sulcken reden als 2, 3, 4, comt (deur het 15 voorstel des 2 boucx van onse fransche Arith.) 8/9, 12/9, 16/9, die doen in thiende talen 89 ②, 133 ②, 178 ②: Daer na ghemeten van A na B 89 ②, die vallen neem ick tot H, voort 133 ② van H tot I, soo is de lini A B ghedeelt ghelijck C D, waer af de proef openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven onghesneen rechte lini, gesneen ghelijck een ghegheven rechte lini ghesneen is, na den eysch. 3 Voorstel. Een ghegheven rechte lini deurExtremâ & mediâ ratione. uyterste en middel reden te snyen. Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn. Tbegheerde. Wy moetense deur uyterste en middel reden snyen: Dat is alsoo dat de heele sulcken reden hebbe tottet grootste deel, ghelijck t'grootste tottet cleenste. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick treck B C even an A B ende op de selve rechthouckich: Daer na C B oneyndelick voorwaert als C D, deyl B C int middel ant punt E, ende teycken de langde E A van E tot F inde lini C D, daer na de lang- {==137==} {>>pagina-aanduiding<<} de B F van B tot G inde lini A B: T'welck soo sijnde ick segh A B int punt G gesneen te sijn deur uyterste en middelreden: Te weten dat ghelijck de heele A B, tottet grootste deel G B, alsoo G B, tottet cleenste deel G A, waer af t'bewijs ghedaen is int 30 voorstel des 6 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghet alen. Ick meet A B die bevindende neem ick van 2 voeten, den helft van dien voor E B doet 1 voet: Maer doende A B 2 ende E B 1, de bedochte lini van E tot A doet √5, daer af getrocken E B 1, blijft voor B F √5-1 daerom soo veel van B na A ghemeten, t'welck comt neem ick tot G men heeft t'begheerde. Ander manier van wercking can oock ghedaen worden deur de stelreghel aldus: Het meeste deel sy 1 ①. Daerom het minste 2-1 ①. T'welck soo wesende 2, 1 ①, 2-1 ①, sijn in ghedeurighe everedenheyt, daerom den uytbreng der middelste pael in sich als 1 ②. Is even anden uytbreng der twee uyterste palen 4-2 ①. Welcke verkeert 1 ② is even met - 2 ① + 4, ende deur het 68 Probl. van ons Arith. 1 ① dats d'eerste ghestelde doet voor t'meeste begheert deel B G alsvooren √5-1. Proef. Getrocken BG √5-1, van A B 2, blijft voor A G cleenste deel 3-√5: Ende ghelijck 2, tot √5-1, alsoo de selve √5-1, tot 3-√5. Die de boveschreven tweenamighe tot thiendetalen brengt, bevint B G van 124 ②, ende A G 76 ②. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven rechte lini deur uyterste en middel reden ghesneen, na den eysch. 4 Voorstel. Eens rondts omtreckMechanicé. tuychvverckelick in begheerde deelen te snyen. Den omtreck des rondts mach wisconstelick ghedeelt worden in al de even deelen die int maecksel vande tafelen der houckmaten voor gront verstrecken, als in drien, vieren, ende vijven, met al de boghen die uyt haer vergaring, aftrecking, halving en dobbeling spruyten tot int oneyndelick: Doch want daer af eyghentlick int houckmaetmaecksel gehandelt wort soo laten wy die deyling hier ongheroert, en sullen vande tuychwerckelicke segghen als volght. Deghene die cleyne uyrwercxkens maken, moeten haer raeyerkens in seer even ghedeelten teyckenen, maer want de tandekens malcander seer na commen, soo en soude sulcx mette passer niet bequamelick te doen sijn. Hier toe heb ick by eenighe uyrwerckmakers dese manier sien gebruycken: Men neemt een ronde coper plaet als A B C D diens middelpunt E, ende de middellijn A C is van ontrent 12 of 14 duym: Byden uytersten cant der selve plaet worden verscheyden ronden ghetrocken als F, G, H, ende meer ander dier ghelijcke, die elck ghedeelt worden in soo veel even ghedeelten, als den uyrwerckmaker in sijn werck dickwils ende meest te vooren commen. Ick neem dan dattet rondt F ghedeelt sy in 30 even deelen mette punten I, K, L, ende ander dierghelijcke. Om nu tot voorbeelt te commen, laet M een raeyken sijn dat oock in 30 gedeelt moet worden: Om t'selve op corter tijt seer seker te doen, mē hechtet met hart peck of cyment op de plaet, alsoo dat haer beyde middelpunten op malcan- {==138==} {>>pagina-aanduiding<<} der passen, slaende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} een naelde deur beyde de selve middelpunten, op welcke noch te draeyen comt een ryeken E N, t'welc met sijn uyterste eynde N gheleyt sijnde opt punt F, men treckt langs het selve ryeken met een stale pinsoen of spaensche naelde een schreefken opt raeyken M, als ter plaets van O: Derghelijcke oock doende op de punten I, K, L, met al d'ander, het raeyken wort inde 30 begheerde deelen ghedeelt, ende dat als gheseyt is met groote sekerheyt, want ghenomen dat inde deeling des groot rondts F, I, K, L, wat gemist waer, als F I een haerken langer of corter te sijn dan na t'behooren, sulcx en can opt cleen raeyken M soo veel niet bedraghen. Dese deeling des rondts die wy gheseyt hebben by de cleen uyrwercmaeckers gebruyckt te wesen mach oock te werck gestelt worden inde teyckeninghen der trappen van veel wisconstuyghen, als platclooten, vierendeelen rondts, Sonwijsers, en dierghelijcke. Merckt. By dit eerste deel des 5 boucx vande deeling der linien, soude noch meughen ghevought worden de deeling derMonochordae. Sanglijn: Maer want mijn ghevoelen daer af niet en overcomt mette verscheyden raminghen der Griecken van malcander seer verschillende, en dat die stof haer eyghen beschrijving vereyscht soo sullen wy daer af indeTheoria musica. spiegheling der Singconst handelen. Tweede deel des vyfde Bovcx vande everedelicke snyding der vlacken. DE volghende snyding der vlacken (die inde daet haer merckelick ghebruyck heeft, als onder anderen om landen in begeerde cavels of sticken te deelen) sal sijn van rechtlinighe platten, ende van t'clootvlack: De snyding der rechtlinighe platten gheschiet deur rechte linien op driederley wijse: {==139==} {>>pagina-aanduiding<<} D'eene met linien commende uyt een ghestelt punt inden omtreck: d'ander daer buyten: de derde evewijdeghe met eenighe getoonde lini, welcke verscheydenheden wy met onderscheyt beschrijven sullen, ende eerst Vande snyding der rechtlinighe platten met een lini commende uyt een ghestelt punt inden omtreck. 5 Voorstel. Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt een ghetoonden houck. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C een drichouck sijn, ende D E een lini ghesneen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in F. Tbegheerde. Wy moeten uyt den houck A een lini trecken, die vanden driehouck een deel snye na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, als D F tot F E. Twerck. Ick deel de sijde teghenover den houck daer de snyende lini uyt commen moet als de sijde C B in G deur het 2 voorstel van desen, sulcx dat ghelijck D F tot F E, alsoo C G tot G B: Twelck soo sijnde ick segh dat ghelijck D F tot F E, alsoo het deel A G C tottet deel A G B, waer af t'bewijs openbaer is deur het 1 voorstel des 6 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet DF, bevinde die neem ick van 4 voeten, F E 6, B C 5, die ghedeelt in twee deelen tot malcander in sulcken reden als 4 tot 6, comt 2 en 3, daerom van C tot G ghemeten 2 voeten, ende ghetrocken A G men heeft t'begheerde. Proef. Laet de hanghende A H ghemeten sijnde, bevonden worden van 8 voeten, t'welck soo wesende de driehouck A B C doet 20, A G C 8, ende A G B 12, alwaer blijckt dat 8 en 12 de 20 maken des heelen driehoucx A B C, ende ghelijck D F 4, tot F E 6, alsoo A G C 8, tot A G B 12. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C des 1 voorbeelts een driehouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten daer af na den oirt C een plat snyen (minder welverstaende dan t'begrijp des heelen onbekenden driehoucx) ick neem van 8 voeten, met een lini van A tot inde sijde B C. Twerck. Ick meet de hanghende A H die bevindende neem ick van 8. {==140==} {>>pagina-aanduiding<<} Het dobbel van t'begheerde deel is 16. T'selve ghedeelt deur 8 eerste in d'oirden comt 2. Daerom ghemeten van C na B 2 voeten als van C tot G, ende ghetrocken A G men heeft, t'begheerde, waer af de proef is dattet deel A G C 8 voeten doet deur het 13 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een gegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt een ghetoonden houck, na den eysch. 6 Voorstel. Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini getrocken uyt een ghestelt punt inde sijde des driehoucx. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn met een punt D inde sijde A C, ende E F sy een linighesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt D een lini trecken, die vanden driehouck A B C een deel snye na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel als E G tot G F. Twerck. Ick treck D H rechthouckich op C B, ende D I rechthouckich op A B, souck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} daer na deur het 2 voorstel des 4 boucx de vierde everedenige der drie D H, D I, A B, welcke sy B K: Deel daer na deur het 2 voorstel van desen C K in L, inder voughen dat ghelijck E G tot G F, alsoo C L tot L K, welcke L ick neem te vallen tusschen C B: Treck daer na D L: Dit soo sijnde ick segh dat gelijck E G tot G F alsoo het deel D L C tottet deel D L B A. Tbereytsel. Laet getrocken worden de rechte D B en D K. Tbewys. Anghesien B K gront des driehoucx D B K, vierde everedenighe is der drie welcker eerste D H hooghde des driehoucx D B K, de twdede D I hooghde des drichoucx D B A, ende A B haer gront, soo is den driehouck D B K even anden driehouck D B A: Ende tot elcke vergaert den ghemeenen driehouck D L B, soo is den driehouck D L K, even anden vierhouck D L B A, daerom ghelijck den driehouck D L C, totten driehouck D L K, alsoo den selven drieouck D L C, totten vierhouck D L B A: Maer ghelijck den driehouck D L C, totten driehouck D L K, also de lini C L, tot L K, daerom ghelijck C L, tot L K, {==141==} {>>pagina-aanduiding<<} alsoo den driehouck D L C, totten vierhouck D L B A: Maer ghelijck C L, tot L K, alsoo E G, tot G F deur t'werck, daerom ghelijck den driehouck D L C, totten, vierhouck D L B A, alsoo E G tot G F. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de nabeschreven linien met voetē, die bevindende neē ick als volght: D H 4, D I 3, A B 8, C B 7, E G 1, G F 3. Segh daer na D H 4, gheeft D I 3, wat A B 8? comt als voor B K 6. Daer toe vergaert C B 7, comt C K 13. De selve an tween gedeelt gelijck E G 1, tot G F 3, comt voor t'eerste deel 3¼. Daerom soo veel voeten ghemeten van C tot L, ende ghetrocken D L men heeft t'begheerde. Proef. Doende D H 4, ende C L 3¼. soo doet den driehouck D C L 6½: T'welck soo sijnde den vierhouck D L B A sal moeten 3 mael soo veel doen, te weten 19½. daerom den selven vierhouck van soo veel bevindende, t'voornemen is beproeft: Om daer toe te commen ick seggh: C L is hier boven bevonden van 3¼. die ghetrocken van C B 7, rest 3¾ voor L B gront des driehoucx D L B, ende haer hooghde D H doet 4, daerom de driehouck D L B doet 7½. Daer toe vergaert den driehouck D A B 12 (soo veel begrijptse om dat haer gront A B 8 doet ende haer hooghde D 13) comt voor den vierhouck D L B A na t'behooren 19½. Ander manier van vvercking deur ghetalen. Ghenomen de maten der linien te sijn als boven soo bevinde ick den driehouck D B C van 14, D B A 12, t'samen voor den heelen driehouck A B C 26, de selve in tween ghedeelt ghelijck E G 1, tot G F 3, comt voor t'eerste deel 6½. Daerom vanden driehouck D B C 14, ghesneen 6½ na de leering des 5 voorstels van desen, men bevint dat C L lanck moet vallen 3¼ als boven, Daerom soo veel ghemeren van C na K als tot L, ende ghetrocken D L men heeft t'begheerde, waer af de proef boven ghedaen is. Vervolgh. By aldien den driehouck D B C te cleen waer gheweest om daer af te trecken 6½, soo soude de snyende lini ghelijck D L nootsakelick ghevallen hebben van D in A B. Daerom als sulcx ghebeurt men sal uyt het voorgestelde aldus besluyten: Anghesien datter begheert is een deel na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, als E G tot G F, soo isser oock begheert een deel na den oirt A, in sulcken reden tottet ander deel, als F G tot G E: Daerom volghende daer mede de wercking als boven (die alsdan sulcx na de slinckersijde valt, als de voorgaende na de rechtersijde, soo wel inde meetconstighe wercking als in die deur getalen) men comt tottet begheerde. Maer soo den driehouck D B C byghevalle even waer gheweest ande boveschreven 5 3/8 die van t'gheheel moeten ghesneen sijn, tis kennelick dat D B dan de begheerde snyende lini soude wesen. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C des 1 voorbeelts een driehouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten daer af na den oirt C een deel snyen (minder welverstaende dan t'begrijp des heelen onbekenden driehoucx) ick neem van 6½ voeten, met een lini uyt D ghetrocken. {==142==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick meet de hanghende D H op de sijde B C, die bevindende neem ick van 4. Segh daer na, het dobbel des begheerden deels 6½ doet 13. Die ghedeelt deur 4 eerste in d'oirden comt 3¼. Daerom soo veel voeten ghemeten van C tot L, ende ghetrocken D L, men heeft t'begheerde, want alsdan doet den driehouck D L C 6½. Vervolgh. By aldien t'begheerde deel meerder waer gheweest dan den driehouck D B C, men soude soo veel snyen vanden driehouck D B A na den oirt B alsser ghebrake, ende t'begheerde hebben. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt met een lini ghetrocken uyt een ghestelt punt inde sijde des driehoucx na den eysch. 7 Voorstel. Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een begheerden oirt, met een lini ghetrocken uyt een ghegheven punt in des plats omtreck, snyende het plat in tvveen. Merckt eer wy totte saeck commen, datter eyghentlick acht te nemen is op des voorstels laetste woorden aldus luydende: snyende het plat in tween, waer by {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} te verstaen is eyghentlick twee stucken, en niet meer, ghelijck an sommighe rechtlinighe platten gebeuren can. Laet by voorbeelt A B C D E F een rechtlinich plat sijn, met een inwendighen houck A B C, en van t'punt G inde lini A F comme een rechte lini G H I K, snyende t'ghegheven plat na eenighe begheerde rede niet in tween, maer in drien, te weten de twee verscheyden driehoucken A G H, C I K, t'samen in begheerde reden tottet derde stuck: Welcke manier van snyen inden wijsentijt bekent mach gheweest sijn, maer nu, mijns wetens niet. En mach derghelijcke oock verstaen worden op ettelicke volgende voorstellen daer sulcx ghebeuren can. Tghegheven. Laet A B C D E F een rechtlinich plat sijn, ende G een punt inde sijde A B, ende H I een lini ghesneen in K. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt G een lini trecken die van t'ghegeven plat na den oirt A een deel snye, in sulcken reden tottet ander deel, als H K tot K I. Twerck. Ick treck de vier linien G F, G E, G D, G C deelende t'ghegeven plat inde vijf driehoucken G A F, G F E, G E D, G D C, G C B, Daer na eenighe vijf linien L M, M N, N O, O P, P Q al in een rechte lini, ende tot malcander oirdentlick in sulcken reden als de boveschreven vijf driehoucken deur het 8 voorstel des 4 boucx: Deel daer na L Q in R, sulcx dat ghelijck H K tot K I, alsoo L R tot R Q, ende valt de voorschreven R neem ick tusschen O en P, welcke O P we- {==143==} {>>pagina-aanduiding<<} sende lijckstandighe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pael mettē driehouck G D C, soo deel ick de sijde D C int punt S, sulcx dat ghelijck O R tot R P, alsoo D S tot S C, ende trec G S die ick segh de begheerde te wesen, snyende den seshouck alsoo dattet deel G S D E F A, sulcken reden heeft tottet deel G S C B, als H K, tot K I, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de voorgaende linien en driehoucken met voeten, die vindende neem ick als volght: H K 40. K I 10. _____ G A F 38. G F E 364. G E D 390. G D C 666. G B C 85. _____ Comt in als voor den heelen seshouck A B C D E F. 1543. De selve 1543 ghedeelt ghelijck H K 40, tot K I 10, comt voor t'begheerde deel na A dat wy afsnyen moeten 1234 2/51 Hier toe maken de drie driehoucken G A F 38, G F E 364, G E D 390, t'samen voor den vijfhouck G D E F A 792. Maer wy moetender als gheseyt is 1234 ⅖: hebben, daer ghebreeckter dan noch 442 ⅖. die afghesneen vanden driehouck G D C na de leering des 5 voorstels van desen mette lini G S, sulcx dat den driehouck G S D begrijpe de selve 442⅖. soo sal het deel na A, als den seshouck G B D E F A doen 1234⅖. t'ander deel als den vierhouck G S C B 308⅗. welcke tot malcander openbaerlick in sulcken reden sijn als 4 tot 1. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na een begheerden oirt, met een lini ghetrocken uyt een ghegheven punt in des plats omtreck, na den eysch. {==144==} {>>pagina-aanduiding<<} Nv vande snyding der rechtlinighe platten met een lini commende uyt een ghestelt punt buyten den omtreck. DE vier voorstellen deser ghedaen te seer spitsvoudich sijnde, en merck ick niet by de Griecken bekent gheweest te hebben, dan vermoedese in eenighe overbleven schriften des wijsentijts weerom te voorschijn gherocht te wesen, uyt welcke sy ghecommen meughen sijn onder anderen ter handt van Ioannes Baptist a Benedictus (uyt wiens schriftenTheorematicé. vertoochse wijse ghestelt, wy de form der wercking en bewijsing deser voorstellen ghetrocken en veroirdent hebben:) Oock ter handt van Nicolas Tartaglia, die ick daer na bevonden heb dat daer af gheschreven had in Il libro della quarte parte: Mijn reden van sulck vermoeden is dusdanigh: Ymant die sich voorstelt oirdentlick te willen vervolghen de beschrijving vant snyen der platten, hem comt int ghedacht daer in te behooren de snijding deur een punt soo wel ghegheven buyten den omtreck, als daer binnen, te meer dattet in deeling van landē somwijlen dadelijck vereyscht wort: Maer sulcx soodaniger menschen ghedachten te wesen, blijckt noch deur diender veel verscheyden dit verschil malcander voorghestelt hebben, als den boveschreven Benedictus wiens schrift een brief van antwoort was op sulcken vraghe. Ten anderen Cardanus met Ludovicus Ferrarus hebben sulcx voorghehouden an Tartaglia, t'welck hy Tartaglia daer te vooren, soo hy self schrijft, in sijnPublicâ disputatione. openbaer redenstrijt voorghestelt had. My sijnder oock ander bekent die daer me, eer dese voorstellen t'haerder handt ghecommen waren, doende gheweest hebben, onder welcke ick een was. Maer t'ghene hier af de menschen nu ter tijt ontmoet, derghelijcke ist billich toe te laten ontmoet te hebben de Vinders der seltsame wetenschappen daer af ons soo seecker teyckens ghebleven sijn, t'welck waren, soo inde bepaling van dies t'sijnder plaets verclaert is, de menschen des wijsentijts, daerom gevet groot vermoeden, datse sulcken vermaert vindlick deel der Meetconst niet onghevonden ghelaten hebben. 8 Voorstel. Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een rechte lini commende uyt een punt ghegheven buyten den driehouck. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn, en een punt daer buyten D, voort sy E F een lini ghesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt D een rechte lini trecken snyende den driehouck in tween, soo dattet deel nae A, in sulcken reden sy tottet ander, als E G tot E G. Twerck. 1 Lidt. Ick treck C A of C B voorwaert: Maer om hier wat breeder verclaring te doen welcke het wesen moet, ick segh aldus: By aldienmen deur de ghelegent- {==145==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} heyt des gheghevens uyter ooch mercken can dat de begheerde lini diemen uyt D trecken moet, vallen sal in C A, men treckt de selve C A voorwaert, merckmense in C B te willen vallen, men treckt C B voorwaert. Maer sulcx by der oogh niet merckelick sijnde, men sal trecken een lini van D tot sulcken houck des ghegheven driehoucx A B C, daer den selven driehouck in tween deur can ghedeelt worden mette voorschreven lini of haer verlangde, welcke hier is D C, snvende A B teghenoversijde des houcx C in X. Soo nu de lini A X by ghevalle in sulcken reden bevonden wierde tot X B, ghelijck G F tot G E, t'welck deur het 2 voorstel des 4 boucx bekent wort, tis openbaer dat D C de begheerde lini soude sijn, deelende den driehouck A B C inde begheerde reden, om dat ghelijck A X tot X B, alsoo den driehouck A C X totten driehouck X C B. Maer soo de reden van A X tot X B grooter bevonden wierde dan van F G tot G E, men sal C A voorttrecken, en cleender bevonden wesende, alsdan treckmen C B voortwaert. Laet dan de selve reden grooter bevonden sijn: Dit soo ghenomen ick moet C A ghenouch voorwaert trecken, t'welck sy tot H. 2 Lidt. Ick segh daer na E F geeft F G, wat B A? comt A I, die ick teycken inde voortghetrocken B A. 3 Lidt. D H gheeft A I, wat C A? comt A K, die ick teycken inde lini van A na C. 4 Lidt. Ick deel A K int middel an t'punt L. 5 Lidt. Ick souck deur het 3 voorstel des 4 boucx de middeleveredenighe lini tusschen A L, en een lini even an A L met het dobbel van A H, welcke middeleveredenighe sy L M. Merckt nu dat by aldien L M langer viel dan L C, of dat D M niet en gheraeckt A B, sulcx dattet afghesneen deel na A niet en waer een driehouck, soo en soudemen int 1 lidt des wercx niet C A voortghetrocken hebben, maer C B, en dan t'boveschreven werck over die sijde doen. {==146==} {>>pagina-aanduiding<<} 6 Lidt. Ick treck de rechte lini D M snyende A B in N: T'welck soo wesende ick segh den driehouck A B C in tween ghesneen te sijn mette lini D M, alsoo dattet deel A N M, in sulcken reden is tottet ander M N B C, als F G tot E G. Tbewys. Want dit bewijs hoe wel van een cort werck lanck sal vallen, soo sullen wijt om alles bescheydentlick te doen in 5 leden deylen, en op dattet vervolgh der selve leden en de maniere vant bewijs int gemeen opentlicker verstaen werde, soo sullen wy hier t'voornaemste inhoudt dier leden eerst int corte verhalen als volght. Int 1 lidt sal bewesen worden dat ghelijck den rechthouck onder A C, A B, totten rechthouck onder A M, A N, Alsoo den driehouck A B C, totten driehouck A N M. Int 2 lidt, dat ghelijck E F tot F G, alsoo den rechthouck onder A B, A C, totten rechthouck onder A C, A I. Int 3 lidt, dat den rechthouck onder H D, A K, even is anden rechthouck onder A C, A I. Int 4 lidt, dat den rechthouck onder M A, A K, even is anden rechthouck K A, A H. Int 5 lidt, dat den rechthouck onder M A, A N, even is anden rechthouck onder H D, A K, en daerom oock even metten rechthouck onder A C, A I, deur het 3 lidt: Maer int 2 lidt is gheseyt dat ghelijck E F tot F G, alsoo den rechthouck onder A B, en A C, totten rechthouck onder A C en A I: En daerom gelijck E F tot F G, alsoo den rechthouck onder A B, A C, totten rechthouck onder M A, A N: Maer de twee driehoucken A B C, A N M, sijn oock inde selve reden deur het 1 lidt, daerom ghelijck E F, tot F G, alsoo den driehouck A B C, totten driehouck A N M: Ende deur ghescheyden reden, ghelijck E F min F G dats E G, tot F G, alsoo den driehouck A B C min den driehouck A N M dats den vierhouck M N B C, totten driehouck A N M, na den eysch. Dit aldus int ghemeen gheseyt wesende, wy sullen totte eyghentlijcke beschrijving der voornoemde vijf leden commen. 1 Lidt. Ghelijck den rechthouck onder A C, A B, totten rechthouck onder A M, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A N, alsoo den driehouck A B C, totten driehouc A N M, t'welc aldus bewesen wort: Laet om de ghegheven form deur veel linien niet te verduysteren andermael geteyckēt worden den driehouck O P Q, en gelijck metten driehouck A B C, en daer in sy ghetrocken de lini R S, even met M N, en in sulck gestalt {==147==} {>>pagina-aanduiding<<} in dees form, als M N in die, daer na sy ghetrocken Q T even en evewijdeghe met O P, en R V even en evewijdeghe met O S, daer na T P en V S: dit soo sijnde, ick segh dat ghelijck den evewijdeghen vierhouck Q O P T onder Q O, O P, tot haer heeft den driehouck O P Q, alsoo den evewijdegen vierhouck R O S V onder R O, O S, tot haer helft den driehouck O S R: Maer ghelijck den evesijdighen vierhouck onder Q O, O P, totten evesijdigen vierhouck onder R O, O S, alsoo den rechthouck onder Q O, O P, totten rechthouck onder R O, O S: Daerom ghelijck den rechthouck onder Q O, O P, totten rechthouck onder R O, O S, alsoo den driehouck O P Q, totten driehouck O S R, Maer den rechthouck onder A C, A B, is even metten rechthouck onder O Q, O P, Ende den rechthouck onder A M, A N, is even anden rechthouck onder O R, O S, en den driehouck A B C even anden driehouck O P Q, en den driehouck A N M even den driehouck O S R, daerom ghelijck den rechthouck begrepen onder A C, A B, totten rechthouck begrepen onder A M, A N, alsoo den driehouck A B C, totten driehouck A N M. 2 Lidt. Sooder ghemaeckt waren twee rechthoucken d'een onder A B en A C, d'ander onder A I, en de selve A C tis kennelick dat die twee rechthoucken wesende van een selve hooghde, souden sijn inde reden haerder gronden B A, A I: Maer ghelijck B A tot A I, alsoo E F tot F G deur des wercx 2 lidt, daerom ghelijck den rechthouck onder A B, A C, totten rechthouck onder A I, A C, alsoo E F tot F G. 3 Lidt. Vande drie linien H D, A I, C A, is A K de vierde everedenighe deur des wercx derde lidt, daerom den rechthouck onder d'uyterste palen H D, A K, is even anden rechthouck onder de middelste A I, C A. 4 Lidt. Doen t'werck dus verre ghecommen was, soo moesten wy vinden een lini als A M, sulcx dat den rechthouck begrepen onder de selve A M en M K, even waer anden rechthouck begrepen onder A H, A K, de naeste wech om dat te doen die my int beschrijven van desen te vooren quam, was eenGeometrica operatio sumpta ex Alpebraica operatione. meetconstighe wercking ghetrocken uyt een stelreghelsche wercking in deser vougen: Ick heb de ghegheven form ghetalen toegheeyghent, en ghenomen A B te doen 4, A C 3, A H 4, H D 8, E F 9, F G 4, waer me K A volghende de boveschreven wercking des 2 en 3 lidts bevonden wort van ⅔ (want segghende E F 9 gheeft F G 4 wat A B 4? comt A I 16/9 daer na H D 8 gheeft A I 16/9. wat A C 3? comt alsvooren A K ⅔) En daerom is M K van ⅔ minder dan M A. Nu dan moetende vinden de selve M A, sulcx dat den rechthouck begrepen onder haer en M K, (die als wy gheseyt hebben ⅔ minder is dan M A) even sy anden rechthouck begrepen onder A H 4, en A K ⅔. doende dien rechthouck 8/3: Soo stel ick my in ghetalen dit voor. Te vindent vveeghet alen, teen 3/2 cleender als t'ander, die t'samenghemenichvuldicht uytbrenghen 8/3. Nu dan voort onbekent begheert ghetal van M A ghestelt 1 ①, en de stelreghelsche wercking gevolght, nemende voor het tweede getal 1 ① - ⅔. haer uyt- {==148==} {>>pagina-aanduiding<<} breng doet 1 ② - ⅔ ①, die even sijn met 8/3. En tot elck deel ghedaen + ⅔ ①, comt 1 ② even met ⅔ ① + 8/3. Om nu te vinden de weerde der eerstghestelde 1 ①, dats voor M A: Ick segh 1 ②, gheeft ⅔ ① + 8/3. wat 1 ①? waer af de wercking deur het 68 probleme van ons fransche Telconst dusdanich is. Den helft van ⅔ (der ⅔ ①) is 8/3. Sijn viercant 1/9. Daer toe t'ghegheven ghetal 8/3. Gheeft somme 25/9. Diens viercantsijde 5/3. Daer toe vergaert ⅓ eerste in d'oirden, comt de ghesochte waerde van 1 ① dats voor A M. 2. Want soomen neemt een tweede ghetal dat ⅔ cleender is, te weten 4/3 voor K M, en dat ghemenichvuldicht met A M 2, comt na t'behooren 8/3. Nu soo canmen uyt dese stelreghelsche wercking, ghelijck oock uyt alle stelreghelsche werckinghen, trecken een ghemeene reghel die gheen stelreghel en is, midts in te sien de ghedaente der ghetalen vande wercking int soucken der weerde van 1 ①, t'welck is datmen neemt den helft van K A, dats L A doende ⅓. Diens viercant 1/9. Daer toe ghedaen den rechthouck begrepen onder A H 4 en A K ⅔. doende 8/3. Comt 25/9. Daer af een viercant ghemaeckt, de sijde is van 5/3. Daer toe vergaert A L ⅓ eerste in d'oirden, comt A M 2. En daerom K M 4/3. D'oirsaeck waerom wy in des wercx 5 lidt, dese stelreghelsche manier niet heel int lang en volghden, maeckende van L A een viercant, en daer toe vergarende een rechthouck even anden rechthouck onder A H, A K, en die twee t'samen in een viercant verkeerende om de sijde te vinden, en tot die sijde noch A L te vergaren, dat is om cortheyts wille gheschiet: Want anghesien de hoochde A K van t'een deser twee platten, altijt dobbel is ande hoochde A L vant ander, soo is den rechthouck onder A L en het dobbel van A H, altijt even an die twee platten t'samen, en daer toe noch vergaert het viercant van A L, soo moet dan de middeleveredenighe tusschen de twee sijden dien rechthouck begrijpende (welcker sijden een is A L, d'ander een lini even an A L mettet dobbel van A H, ghelijck int wercx 4 lidt) de selve A M voorbrengen, maer deur een corter wech: Sulcx dat ghelijck in dit 4 lidt voorghenomen was te bewijsen, den rechthouck begrepen onder M A en M K, even is andē rechthouck onder A K, A H. Nu alsoo dese stelreghelsche wercking t'sijnder plaets haer wisconstich bewijs heeft, soo is oock de voorgaende meetconstighe wercking in dit deel wisconstich deur kennis der oirsaecken. 5 Lidt. Na dien dese twee rechthoucken onder M A, M K, en onder A K, A H even sijn, soo moeten haer sijden overhandt everedenich wesen, dat is Ghelijck A H tot M A, alsoo M K tot A K, En deur versaemde reden, {==149==} {>>pagina-aanduiding<<} Ghelijck A H met A M dats M H, Tot M A, Alsoo M K met K A dats A M, Tot K A, Ende want H D en A N evewijdeghe sijn inden driehouck H D M, soo segh ick: Ghelijck M H tot M A, alsoo D H tot N A: Maer elcke reden der twee D H, A N, en A M, K A met een selve M H everedenich sijnde, soo volght daer uyt dat Ghelijck M A tot K A, alsoo D N tot A N, En daerom is den rechthouck begrepen onder de buytenste palen, even anden rechthouck begrepen onder de binnenste namelick: Den rechthouck onder M A, A N, is even anden rechthouck onder K A, D H. Maer den rechthouck onder K A, D H, is even anden rechthouck onder A C, A I, deur het 3 lidt, Daerom den rechthouck onder M A, A N, is even anden rechthouck onder A C, A I. Maer ghelijck E F, Tot F G, Alsoo den rechthouck onder A C, A B, Totten rechthouck onder A C, A I, Door het 2 lidt, en daerom Ghelijck E F, Tot F G, Alsoo den rechthouck onder A C, A B, Totten rechthouck onder M A, A N, Maer ghelijck den rechthouck onder A C, A B, totten rechthouck onder M A, A N, alsoo den driehouck A B C, totten driehouck A N M deur het 1 lidt, daerom Ghelijck E F, Tot G F, Alsoo den driehouck A B C, Totten driehouck A N M. En deur ghescheyden reden, Ghelijck E F min G F dat E G tot F G, alsoo den driehouck A B C min den driehouck A N M dats den vierhouck M N B C, totten driehouck A N M: T'welck wy bewijsen moesten. 2 Voorbeelt deur ghetalen. Tghegheven. Laet A B C int eerste voorbeelt andermael den ghegeven driehouck sijn, D een punt daer buyten, en de reden sy van E G tot F G, welverstaende dat A B doet 3, A C 3, E G 5, F G 4: En C A voortgetrocken wesende na H, en D H evewijdeghe met B A, ontmoetende C H in A, soo doet A H 4, en D H 6. Tbegheerde. Wy moeten vinden hoe verre van A inde linie A C sal vallen een punt als M, sulcx dat ghetrocken D M, het deel als M N B C, sy in sulcken reden tot A N M, als 5 van E F, tot 4 van F G. Twerck. E F 9 somme van 5 en 4, gheeft F G 4 wat B A 4 comt 16/9. D H 8 gheeft 16/9 eerste in d'oirden, wat C A 3? comt ⅔. {==150==} {>>pagina-aanduiding<<} Diens helft ⅓. Daer toe het dobbel van A H 4 doende 8. Comt 8⅓. Die ghemenich vuldicht deur ⅓ derde in d'oirden comt 25/9. Diens viercantsijde 5/3. Hier toe ⅓ derde in d'oirden comt 2. Daerom segh ick, ghemeten van A na C als tót M, soo dat A M doet 2, en ghetrocken D M snyende A B in N, men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs openbaer is deur t'bewijs vant 1 voorbeelt. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen, na een ghetoonden oirt, met een rechte lini commende uyt een punt ghegheven buyten den driehouck na den eysch. 9 Voorstel. Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen (meughelick sijnde afghesneen te vvorden) na een ghetoonden oirt, met een lini streckende deur een punt ghegheven binnen den driehouck. Om te verclaren d'oirsaeck waerom int voorstel geseyt wort' meughelick sijnde, soo is te weten datmen als het ghegheven punt binnen t'plat is, begheeren can een cleender of grooter deel vant plat ghesneen te worden dan meughelick is: Als by voorbeelt soo t'ghegheven plat waer een viercant, en t'ghegheven punt sijn middelpunt, en datmen daer deur begheerde een lini ghetrocken te worden dieder een derdendeel afsne, Men seght dat onmeughelick te wesen, om dat alle lini deur t'selve middelpunt ghetrocken het viercant in twee even stucken deelt: Wederom en canmen deur een driehoucx swaerheyts middelpunt gheen lini trecken daer af een cleender deel snyende dan in sulcken reden totten heelen driehouck, als van 4 tot 9, ende gheen grooter dan als van 5 tot 9, en soo voort met oneyndelicke andere: En daerom moetet begheerde meughelick sijn ghelijck t'voorstel inhout. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn, en den punt daer in D, voort sy E F een lini ghesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten deur t'punt D een rechte lini trecken den driehouck in tween snyende, soo dattet deel na A, in sulcke reden sy tottet ander soot meughelick is, als F G tot E G. Twerck. Men treckt ghelijck int 8 voorstel, van D tot in C A de lini D H, evewijdich met B A, en voort en verschilt de rest de wercking vande voorgaende des 8 voorstels anders niet, dan datmen hier int vijfde lidt sal segghen min het dobbel in plaets daermen inde voorgaende wercking seght met het dobbel. Als by voorbeelt int boveschreven 5 lidt staet aldus: Ick souck de middeleveredenighe lini tusschen A L, en een lini even an A L met het dobbel van A H: Maer hier salmen aldus segghen: Ick souck de middeleveredenighe lini tusschen A L, en een lini even an A L min het dobbel van A H. D'oirsaeck daer af blijckt inde stelreghelsche wercking ghedaen na den eysch van dit voorbeelt, alwaer wy vinden 1 ② even met ①-⓪, daer wy in d'ander creghen 1 ② even met ①+⓪: Sulcx {==151==} {>>pagina-aanduiding<<} dat daer af gheen voorder verclaring des wercx, noch bewijs soo wel in ghetalen als meetconstich noodich en schijnt, te meer dat de letters der wercking inde form t'haerder plaets vervought, van sulcke beteyckeninghe sijn als int 1 voorbeelt. Noch valter dit te bedencken: Ten eerstē dat de langde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van L M die boven geteyckent is van L na C, noch boven dien mach gheteyckent worden van L na A, welcke langde in L A vallende, en dat dan de lini van dat punt ghetrocken deur D, comt te gheraecken A B, soo sijnder tottet begheerde twee besluyten: Om van t'welck by voorbeelt te spreecken, laet de volghende A B C een driehouck sijn, en t'ghegheven punt D, waer in de langde van L tot M eerst ghestelt is van L na C, daer na van L na A, vallende niet buyten L A, maer daer in tot O, sulcx dat daer na ghetrocken de rechte lini van O deur D tot P, soo wel de sijde A B gheraeckt, als d'ander lini M D N de selve A B gheraeckt. T'welck soo wesende elck afghesneen deel is een driehouck, te weten A N M, A P O, die even moeten sijn, en den driehouck O D M is oock even an N D P: Sulcx datter soo wy gheseyt hebben twee besluyten sijn, ten waermen int begheerde verclaert had welcke lini der twee datmen hebben wil, waer af d'oirsaeck openbaer is deur het dobbel besluyt dat de stelreghelsche wercking mebrengt in des bewijs 4 lidt. Ten anderen anghesien {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} datter in A C maer twee punten en sijn als M, O, en in A B gheen ander dan N, P, deur welcke de begheerde linien ghetrocken meugen werden: Soo volght daer uyt dat de lini ghetrocken van O deur D niet gheraeckende A B, datter dan het tweede besluyt niet sijn en sal: Noch oock het eerste als t'punt N der voortghetrocken M D, niet en valt in A B: Waer uyt wijder te verstaen is, dat de wercking begost hebbende met te trecken de lini D H evewijdeghe met B A (als in des eerste voorbeelts 1 lidt, en daer uyt de punten N noch P in A B niet vallende, alsdan niet noodichte sijn sulcx andermael te versoucken met te trecken D H evewijdeghe met A C, ghelijckmen int boveschreven eerste voorbeelts 1 lidt doen mocht, want dat op d'een sijde onmeugelijck valt moet op d'ander oock onmeugelijck wesen: En de linien met meughelijck besluyt diemen op d'een sijde vindt, de selve vindtmen oock op d'ander. Men soude hier noch meughen by voughen een voorbeelt deur ghetalen, {==152==} {>>pagina-aanduiding<<} maer anghesien t'werck gheen ander verschil en heeft dan wy gheseyt heb ben int 5 lidt te wesen, soo schijnet onnoodich, wy sullen dan totten vierhouck commen. 10 Voorstel. Van een ghegheven vierhouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck. 1. Voorbeelt van een evevvijdeghe vierhouck vvaer af de snyende linistrecken saldeur tvvee evevvijdeghe sijden. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdeghe vierhouck sijn, E een punt daer buyten, voort sy F G een lini ghesneen in H. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken, snyende den vierhouck in tween, soo dattet deel na B, in sulcken reden sy tottet ander, als G H tot F H. Twerck. Ick teycken t'punt I int middel van A D, en K int middel van B C, treck I K: Segh daer na F G gheeft G H, wat I K? Comt K L, die ick teycken in K I: Treck daer na van E deur L de lini E M L N, snyende neem ick de twee evewijdeghen A B, D C in M en N, maer soo N ghevallen hadde in B C men soude dan volghen het nabeschreven 4 voorbeelt. Dit soo sijnde, ick segh het deel, te weten den vierhouck M B C N, in sulcken reden te wesen tottet anderdeel A M N D, als G H tot F H. Tbereytsel. Laet ghetrocken werden deur L de lini O P even en evewijdeghe met B C. Tbewys. Anghesien I K {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in sulcken reden is tot K L, als F G tot G H deur t'werck, soo is deur ghescheyden reden I L in sulcken redē tot L K, als F H tot G H: Ende inde selve reden moet oock sijn D P tot P C, gelijck oock moeten dier gronden vierhoucken, dats A O P D tot O B C P: Maer den driehouck L O M, is even {==153==} {>>pagina-aanduiding<<} anden driehouck L P N, daerom L O M ghetrocken van A O P D, en L P N daer toe ghedaen, soo moeter deel A M N D, even sijn mettet deel A O P D, en vervolghens A M N D is in sulcken reden totte rest M B C N, als F H tot G H, t'welck wy bewijsen moesten. Maer soo t'ghegheven punt waer binnen den vierhouck, als ter plaets van Q hier ghestelt inde lini M N, t'werck soude sijn ghelijck t'voorgaende, want deur Q en L ghetrocken de lini M Q L N, men heeft openbaerlick t'begheerde. 2 Voorbeelt deur ghetalen. Tghegheven. Laet A B C D andermael de ghegheven vierhouck sijn, E een punt daer buyten, voort sy F G een lini ghesneen in H, welverstaende dat A B doet 6, A D 2, F H 2, G H 1. Maer om nu de ghestalt des punts E te verclaren, ick segh dat ghetrocken wesende E I evewijdeghe met A D, en gherakende A B in I, soo doet E I 2, en I A 1. Tbegheerde. Wy moeten deur ghetalen vinden hoe verre van D inde lini DC, sal vallen een punt als K, en hoe verre van A inde lini A B, sal vallen een punt als L, sulcx dat ghetrocken de rechte lini als E L K, het deel als A L K D, sy in sulcken reden tot L B C K, als 2 van F G, tot 1 van G H. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick teycken t'punt M int middel van A B, en N int middel van B C, treck M N, die ghelijck A B doen moet 6, en A M 1, als helft van A D 2, en treck E voorwaert tot O, snyende M N in P: Segh daer na F G 3, gheeft G H 1, wat M N 6? Comt N Q 2. Segh daer na E P 3, gheeft P Q 3, wat E O 4? comt O K 4. Daer toe DO even an A I doende deur t' ghegheven 1. Comt voor de begheerde langde van D K 5. En sghelijck sal A M bevonden worden van 3, want segghende E P 3, gheeft P Q 3, wat EI 2? Comt I L 2. {==154==} {>>pagina-aanduiding<<} Daer toe I L 1. Comt als gheseyt is voor de begheerde langde van A L. 4. Waer af t'bewijs deur het 4 voorbeelt openbaer is. En sgelijcx sal oock sijn het werck deur ghetalen als t'punt E binnen het plat ghegheven is. 3 Voorbeelt van een vierhouck soot valt, vvaer af de snyende lini strecken saldeur tvvee teghenoversijden. Tghegheven. Laet A B C D een vierhouck sijn soot valt, E een punt daer buyten, en de reden sy van F G tot G H. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken die den vierhouck in tween snijt, soo dattet deel na A, tottet ander sy inde reden van F G tot G H. Twerck. Ick treck twee sijden voorwaert die versamen connen, als A B, D C versamende in I: Segh daer na den vierhouck A B C D, gheeft den driehouck B C I, wat F H? comt deur het 8 voorstel des 4 boucx H K: Ick deel daer na den driehouck A D I deur het 8 voorstel van desen met een lini getrocken uyt E, soo dattet deel na I in sulcken reden sy tottet ander als K G tot G F, welcke lini sy E L M, streckende neem ick deur twee evewijdeghe sijden A B, C: Soose ghestreckt hadde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} deur twee malcander raeckende sijden, men soude dan volghen het 4 voorbeelt. Dit aldus sijnde, ick segh de lini E L M soo te wesen, dattet deel A L M D, in sulcken reden is tottet deel L B C M, als F G tot G H. Tbewys. Anghesien A B C D in sulcken reden is tot I B C, als F H tot H K, en A L M D tot I L M, als F G tot G K deur t'werck, soo moet deur ghescheyden reden A L M D, in sulcken reden sijn tot L B C M, als F G tot G H, t'welck wy bewijsen moesten. Merckt. Soo t'ghegheven punt waer gheweest binnen den vierhouck A B C D, of deur het voorttrecken van twee sijden ghevallen hadde binnen den driehouck daer af veroirsaeckt, tis kennelick datmen daer af deur het 8 of 9 voorstel van desen de begheerde soude ghevonden hebben. 4 Voorbeelt van een vierhouck soot valt, vvaer af de snyende lini strecken saldeur tvvee malcander rakende sijden. Tghegheven. Laet A B C D een vierhouck sijn soot valt, E een punt daer buyten, en de reden sy van F G tot G H. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken die den driehouck in tween snijt, soo dattet deel na A, sy tottet ander inde reden van F G tot G H. {==155==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Soomen uyter oogh conde sien, of soomen deur het 3 voorstel bevonden heeft, dat de snyende lini deur gheen twee teghenoversijden en streckt men mach aldus doen, ick treck D B, en segh, den vierhouck A B C D, geeft den driehouck A B D, wat F H? wiens vierde everedenighe pael ghevonden deur het 8 voorstel des 4 boucx is neem ick FI: Ick souck daer na een lini ghetrocken uyt E, die vande driehouck A B D een deel snye na A toe, in sulcken reden tottet ander deel des selfden driehoucx, als F G tot G I, welcke lini ghevonden deur het {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 8 voorstel sy E K L snyende A B in K, en A D in L. Dit aldus sijnde ick segh de lini E K L het ghegheven plat soo te snyen, dattet deel A K L, in sulcken reden is tottet deel K B C D, als F G tot G H. Tbewys. Ghelijck F I tot I H, alsoo deur t'werck A B D tot B C D, voort ghelijck F G tot G I, alsoo deur t'werck A K L tot K B D L, en deur versaemde reden ghelijck F G tot G I met I H, alsoo A L K tot K B D L met B C D, dat is ghelijck F G tot G H, alsoo A K L tot K B C D L, T'welck wy bewijsen moesten. Merckt. Soo t'ghegheven punt had gheweest binnen den vierhouck A B C D, tis kennelick datmen daer af deur het 9 voorstel de begheerde snyende lini soude ghevonden hebben. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven vierhouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, na den eysch. 11 Voorstel. Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, snyende het plat in tvveen. Merckt. Eer wy totte saeck commen, soo is te ghedencken datmen met des voorstels woorden snyende het plat in t ween, sulcx verstaen sal als int merck des 7 voorstels van derghelijcke gheseyt is. Tghegheven. Laet A B C D E F G H een rechtlinich plat sijn soot valt, I een punt daer buyten, en de reden des afghesneen deels totte rest, sy van K L tot L M. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt I een lini trecken die den vierhouck in tween snijt, soo dattet deel na A tottet ander, sy inde reden van K L tot L M. Twerck. Men sal voor al mercken deur wat twee sijden sal vallen de snyende lini ghe- {==156==} {>>pagina-aanduiding<<} trocken uyt I, canment uyter oogh niet sien, men macher deur ghewisse wercking in handelen alsoo van derghelijcke int voorgaende ghenouch verclaring ghedaen is. Ghenomen dan dat ick weet de snyende lini te sullen vallen deur {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} B C en H G, dit soo sijnde, ick treck de twee linien B H C G, waer me t'ghegheven plat ghedeelt is in drie stucken, te weten den driehouck A B H, en den vierhouck B C G H, den vijfhouck C D E F G, En in sulcke reden als tot malcander sijn dese drie deelen des ghegheven plats, inde selve deel ick deur het 8 voorstel des 4 boucx de lini K M inde punten, N, O, te weten ghelijck tot malcander sijn A B H, B C G H, C D E F G, alsoo ordentlick vervolghende K N, N O, O M, sulcx dat N O wesende lijckstandige pael mettē vierhouck B C G H, en in haer hebbende t'ghegheven punt L, ick deel de selve B C G H deur het 10 voorstel met een lini ghetrocken uyt I, welcke sy I P Q, snyende B C in P, en H G in Q, sulcx dat ghelijck N L tot L O, alsoo B P Q H tot P C G Q: T'welck soo sijnde ick segh het deel A B P Q H, in sulcken reden te wesen tottet deel P C D E F G Q, als K L, tot L M, na den eysch, waer af t'bewijs openbaer ghenouch schijnt deur derghelijcke vant 3 voorbeelt des 10 voorstels. Merckt. Soo t'ghegheven punt I waer gheweest binnen het rechtlinich plat, tis kennelick datmen deur t'voorgaende daer af t'begheerde soude ghevonden hebben. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na den ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, snyende het plat in tween, na den eysch. Nv vande snyding der platten met een lini evevvijdich an een ghestelde. 12 Voorstel. Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een getoonden oirt, met een lini evevvijdich van een ghetoonde sijde. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn, ende D E een linighesneen in F. Tbegheerde. Wy moeten vanden driehouck A B C een deel snyen na den houck A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck D F tot F E, ende dat met een evewijdeghe lini van C B. {==157==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick vinde de vierde everedenighe de drie D E, D F, A B welck sy G: Daer na {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} de middeleveredenighe tusschen A B en G als A H, die ick teycken in A B, ende treck H I evewijdeghe met B C: welcke H I ick segh den driehouck A B C soo te snyen, dat ghelijck D F tot F E, alsoo het deel A H I tottet deel H I C B. Tbewys. ANghesien G derde everedenighe is der twee A B, A H deur t'werck, soo heeft A B tot G een ghedobbelde reden van A B tot A H, daerom ghelijck A B tot G, alsoo den driehouck A B C tot haers ghelijcke driehouck A H I. Maer ghelijck A B tot G, alsoo D E tot D F deur t'werck, daerom ghelijck D E tot D F, alsoo A B C tot A H I: Ende deur verkeerde reden gelijck D F tot D E, alsoo A H I tot A B C, ende deur ghescheyden reden ghelijck D F tot D E min D F dats tot F E, alsoo A H I tot A B C min A H I dats tot H I C B. Derghelijcke vvercking deurghetalen. Ick meet de nabeschreven linien met voeten, die bevindende neem ick als volght: D E 4, D F 1, A B 8. Segh daer na D E 4, gheeft D F 1, wat A B 8? comt 2. Het middeleveredenich ghetal tusschen die 2 ende A B 8 is 4. Daerom ghemeten van A na B vier voeten als van A tot H, ende ghetrocken H I evewijdeghe met B C men heeft t'begheerde. Tbereytsel. Laet getrocken worden de hanghende van A op B C, als A K snyende H I in L, ende de selve A K sy lanck bevonden neem ick 7 voeten, ende B C 6. Proef. Angesien A K doet 7 voeten, ende B C 6 deur t'bereytsel, soo doet den driehouck A B C 21: Voort anghesien A H doet 4, H B 4, ende B C 6, soo is A L van 3½. ende H I van 3, ende vervolghens den driehouck A H I 5¼. welcke ghetrocken vande voorschreven A B C 21, blijft voor de bijl H I C B 15¾. tot welcke 5¼ in sulcken reden is, als D F 1 tot F E 3. Ander vvercking deur ghetalen ghevonden van sijn Vorstelicke Ghenade. De twee viercanten van A B en A H, moeten tot malcander in sulcken reden sijn als E D 4, tot F D 1: Daerom segh ick, 4 gheeft 1, wat t'viercant van A B 64? Comt 16 voor t'viercant van A H, diens sijde A H doet 4, daerom gemeten van A na B 4, die vallen neem ick in H, en ghetrocken H I evewijdeghe met B C men heeft t'begheerde. Ander vvercking deur ghetalen ghebroken uytAlgebraieâ operatione. stelreghelsche vvercking. Laet begheert sijn vanden driehouck A B C ghesneen te worden een vierendeel des selfden na A toe, welck vierendeel ick neem dat bevonden wort van 5¼. {==158==} {>>pagina-aanduiding<<} Om de selve af te snyen na den eysch, ick meet den gront B C, die bevindende neem ick van 6, en de hanghende daer op A K van 7, dese 6 en 7 stel ick als ghebroken aldus 6/7 daer deur deel ick het dobbel van t'begheerde deel 5¼. dats 10½. comt denProductus. mael 49/4, diens viercantsijde 3½, de selve ghemeten van A na K valt neem ick in L, daerom deur L ghetrocken H I evewijdeghe met B C men heeft t'begheerde. Den oirspronck deses wercx is dusdanich: Ick sie dat den helft des uytbrengs der menichvulding van A L deur H I moet maken 5¼, voor t'plat des driehoucx A H I. Maer A L is tot H I, inde reden van A K tot B C, dats van 7 tot 6, daerom stel ick my selven dusdanighen werckstuck voor. Vindt tvvee ghetalen tot malcander inde reden van 7 tot 6, diens uytbreng doe 10½. En die sulcken werckstuck deur de stelreghel afveerdicht, sal daer in mercken den oirspronck deser voorgaende wercking. 1 Vervolgh. Soo t'begheerde deel waer gheweest deur meetconstighe wercking na de sijde B C toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na den houck A, als F E tot F D, men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afghesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken reden tottet ander deel, als F D tot F E ende volghen daer mede de reghel als boven. 2 Vervolgh. Soo t'begheerde deel waer gheweest deur telconstighe wercking na den oirt B C, men soude den heelen driehouck A B C meten, daer af treckende t'begeerde deel, doch inde wercking sich voorstellen die rest t'begheerde deel na den oirt A te wesen, ende volghen daer me de reghel als boven. By voorbeelt daer wort begheert vanden driehouck A B C ghesneen te worden 15¾ voeten: Ick meet den heelen driehouck die bevindende van 21, daer af ghetrocken 15¾. blijft 5 1/42 Daerom my selven voorstellende datter begheert is een deel afghesneen te worden van 5¼ na den oirt A, ick volgh de wercking als boven ende crijgh t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een getoonden oirt, met een lini evewijdich van een ghetoonde sijde, na den eysch. 13 Voorstel. Van een ghegheven bijl een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini evevvijdich vande evevvijdeghe des bijls. Tghegheven. Laet A B C D een bijl sijn, diens twee evewijdeghe A B, D C, ende E F een lini ghesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten vanden bijl A B C D een deel snyen na A B toe, in sulcken reden tottet ander deel als E G tot G F, ende dat met een lini evewijdich van A B. {==159==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick treck de onevewijdeghe D A, C B voorwaert tot datse vergaren int punt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} H, ende vinde de derde everedenighe der twee H D, H A, welcke sy H I geteyckent in H D: Daer na de vierde everedenighe der drie D I, IH, F E, welcke sy E K: Daer na deur het 6 voorstel deses 5 boucx vanden driehouck H D C een deel gesneen na den houck A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck K G tot G F, ende dat met een evewijdeghe van A B, als L M, men heeft t'begheerde, te weten het deel L M B A, in sulcken reden tottet ander deel L M C D, als E G tot G F. Tbewys. Anghesien H I derde everedenighe is der twee H D, H A deur t'werck, soo heeft den driehouck H D C, sulcken reden tot haers ghelijcke driehouck H A B, als H D tot H I: Ende deur ghescheyden reden ghelijck H D C min H A B dats de bijl A B C D, tot H A B, alsoo H D min H I dats D I, tot H I: Maer ghelijck D I tot H I, alsoo F E tot E K deur t'werck, daerom ghelijck F E tot E K, alsoo de bijl A B C D, totten driehouck H A B: Maer ghelijck de heele lini K F ghedeelt is in G, alsoo oock den heelen driehouck H D C mette lini L M, sulcx dat ghelijck K G tot G F alsoo H L M tot L M C D deur t'werck, daerom de drie deelen des heelen driehoucx als H A B, L M B A, L M C D, sijn oirdentlick tot malcander in sulcken reden als de drie deelen der heele lini K E, E G, G F, ende vervolghens L M B A, L M C D, sijn tot malcander in sulcken reden, als haer lijckstandighe palen E G, G F. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de nabeschreven linien met voeten die bevindende neem ick als volght. H D 24. H A 12. A B 12. E F 27. E G 16. G F 11. Segh daer na H D 24, gheeft H A 12, wat H A 12? comt voor H I 6. Die ghetrocken van H D 24, blijft D I 18. Voort D I 18, gheeft IH 6, wat E F 27? comt voor E K 9. Daer toe E G 16 comt voor K G 25. Souck daer na deur het 12 voorstel van desen hoe lanck de lini H L moet sijn, om vanden driehouck H D C een deel te snyen na den houck H, in sulcken reden tottet ander deel, als K G 25, tot G F 11, ende dat met een evewijdeghe van A B als L M, ende wort bevonden voor de boveschreven H L 20. {==160==} {>>pagina-aanduiding<<} Daerom ghemeten van H tot L 20 voeten, of (om datmen sonder ghetalen den driehouck A H B niet en behouft te teyckenen) van D tot L 4 voeten, ende ghetrocken L M evewijdeghe met A B, men heeft t'begheerde. Proef. Laet ghetrocken worden H N rechthouckich op D C, ende snyende A B in O, ende L M in P, welcke H N ghemeten sijnde, wort bevonden neem ick van 18 voeten: Daerom N O doet 9, O P 6, P N 3, Want ghelijck D H 24, D A 12, A L 8, L D 4, tot malcander, alsoo oirdentlick N H 18, N O 9, O P 6, P N 3, voort doet L M 20, D C 24, want ghelijck H A 12, tot A B 12, alsoo H L 20, tot L M 20, alsoo oock H D 24, tot D C 24. T'welck soo sijnde het deel L M B A doet 96, ende L M C D 66 deur het 11 voorstel des 2 boucx, die tot malcander in sulcken reden sijn als E G 16 tot G F 11. Ander vvercking deur ghetalen. Ick meet de volghende linien met voeten, die bevindende neem ick als volght A B 12, D C 24, O N 9: Daerom doet den ghegeven bijl deur het 11 voorstel des 2 boucx 162. De selve ghedeelt ghelijck E G 16 tot G F 11, comt voor t'bovenste deel dat wy af moeten snyen 96. Daer toe vergaert des bijls vervullende drichouck H A B, welcke deur het 3 vervolgh vant 6 voorstel des 2 boucx (alwaer t'vinden der hanghende H O gheleert wort) sijn sal van 54. Maken t'samen 150. Daerom soo veel ghesneen vanden driehouck H D C na de leering des 12 voorstels van desen, men bevint dat H P lanck moet sijn 15. Sulcx dat deur t'punt P ghetrocken L M evewijdege met A B, men heeft t'begheerde. Proef. Van H N 18 ghetrocken H P 15, blijft voor P N 3, die getrocken van N O 9, blijft voor O P 6: T'welck soo sijnde, L M B A doet 96, L M C D 66, die tot malcander in sulcken reden sijn als E G 16, tot G F 11. 1 Vervolgh. Soo t'begheerde deel waer gheweest na de sijde D C toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na A B, als E G tot G F. Men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afghesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken reden tottet ander deel, als F G tot G E, ende volghen daer me de reghel als boven. 2 Vervolgh. Sooder begheert waer vanden bijlgesneen te worden een menichte van voeten (doch minder dan t'begrijp des ghegeven bijls) men sal den heelen bijl meten, ende daer af treckende t'begheerde deel, soo heeft het selve begheerde deel tot die rest de behoirlicke reden daer de bijl in moet ghedeelt sijn, daerom volghende mette selve de voorgaende wercking men comttottet begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven bijl een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini evewijdich vande evewijdeghe des bijls na den eysch. {==161==} {>>pagina-aanduiding<<} 14 Voorstel. Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini evevvijdich van een ghestelde lini. Tghegheven. Laet den seshouck A B C D E F een rechtlinich plat sijn, G H een ghestelde lini ende I K een lini ghesneen in L. Tbegheerde. Wy moeten vanden seshouck een deel snyen na F toe, in sulcken reden tottet ander deel, als I L, tot L K, ende dat met een lini evewijdich van G H. Twerck. Ick treck snyende linien uyt al de houcken daer snyende linien ende evewijdeghe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} met G H uyt vallen connen, als uyt de houcken, A, B, D, E, ghelijck de linien A M, B N, D O, E P, Vyt welcke snydinghen de deelen des ghegheven seshoucx, vallen connen driehoucken, bijlen, of evewijdeghe vierhoucken, ende gheen ander. Vinde daer na deur het 8 voorstel des 4 boucx eenighe vijf linien Q R, R S, S T, T V, V X tot malcander in sulcken reden als oirdentlick de vijf platten A F M, A M E P, PEDO, O D N B, B N C: Snije daer na Q X in Y, sulcx dat ghelijck I L tot L K, alsoo Q Y tot Y X, ende valt de selve Y neem ick tusschen T en V, welcke T V lijckstandighe pael sijnde mette bijl O D N B, ick deel de selve bijl deur het 13 voorstel van desen mette lini Z a evewijdeghe van G H, in twee deelen, tot malcander in sulcken reden als T Y tot Y V: T'welck soo sijnde, ick segh dat gchjck I L tot L K, alsoo het deel Z a D E F A tottet deel Z a C B, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Angaende wercking deur ghetalen, ghemerckt datse deur t'voorgaende kennelick ghenouch schijnt en sullen die hier niet stellen. Vervolgh. Deur dese deyling des landts A B C D E F mette lini Z a, is kennelick ghenouch alle deeling des selven lants in verscheyden begeerde cavels, of evegroot, of van verscheyden grootheden, want ghelijck t'punt Y hier viel tusschen T en V, alsoo sal t'punt van een ander deel vallen tot een ander plaets der linien, en daerom haer lijckstandighe pael der platten inde selve reden ghedeelt, men heeft overal t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een gegeven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na een getoonden oirt met een lini evewijdich van een ghestelde lini na den eysch. {==162==} {>>pagina-aanduiding<<} 15 Voorstel. Van een ghegheven clootvlack een begheert deel te snyen, met een plat na een ghetoonden oirt. Tghegheven. Laet A B C D een clootvlack sijn, diens as A C, ende E F een lini ghesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten van t'selve clootvlack een deel snyen met een plat na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck E G tot G F. Twerck. Ick deel A C in H deur het 2 voorstel van desen sulck dat ghelijck E G tot G F, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} alsoo C H tot H A, treck voort deur t'punt H het plat I K rechthouckich op den as A C: T'welck soo sijnde ick seg dattet deel des clootvlacx I C K na den oirt C, in sulcken reden is tottet ander deel I A K, als E G tot G F. Tbewys. De bultighe clootvlacken der coordsneen eens selfden cloots sijn inde reden van haer assen als ghetrocken wort uyt het bouck des cloots en seuls van Archimedes. Daerom ghelijck C H tot H A, alsoo het bultich clootvlack I C K tottet bultich clootvlack I A K: Maer gelijck C H tot H A, alsoo E G tot G F deur t'werck, daerom ghelijck E G tot G F, alsoo t'bultichvlack I C K tottet bultich vlack I A K. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet den as A C, die bevindende neem ick van 12 voeten, E G van 2, G F van 4, inder voughen dattet een afghesneen deel sulcken reden moet hebben tottet ander als 2 tot 4. Om hier toe te commen ick deel A C 12 in twee sticken, tot malcander in sulcke reden ghelijck E G 2, tot G F 4, comt voor t'eerste deel 4: Daerom ghemeten van C na A 4 voeten, welcke commen neem ick tot H, ende deur t'punt H een plat ghetrocken rechthouckich op den as A C, soo is t'bultich vlack I C K t'begheerde Proef. Het heel clootvlack doet 452 4/7 deur het 18 voorstel des 2 boucx: Ende het clootvlack I C K 150 6/7, t'selve getrocken vant heel clootvlack 452 4/7, rest voor het clootvlack I A K 301 5/7, tottet welck I C K 150 6/7 sulcken reden heeft als E G 2, tot G F 4. Vervolgh. Sooder begheert waer een deel des bultich clootvlacx van een coordsne, die is deur t'voorgaende bekent: Als by voorbeelt om te hebben het vijfdendeel des clootvlacx I A K, men vindt het vijfdendeel vanden as A H daer in bestaende, welck vijfdendeel sy A L, want deur t'punt L ghetrocken t'plat M N rechthouckich op den as, soo is t'bultich clootvlack M A N t'begheerde. {==163==} {>>pagina-aanduiding<<} Andersins mochtmen het vijfdendeel van A H oock meten van H tot O, treckende deur t'punt O t'plat P Q rechthouckich op den as, want den bultighenZona. riem begrepen tusschen P Q K I is openbaerlick het begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven clootvlack een begeert deel ghesneen, met een plat na een ghetoonden oirt, na den eysch. Merckt. Sooder begheert waer een seker deel van een ongheschickt bultich vlack, ghelijck ghemeenelick sijn de vlacken van berghachtighe landen, daer in en can gheen lini ghetrocken worden evewijdich met een ghegheven rechte lini, ghemerckt de linien in sulcke vlacken crom sijn: Doch wy sullen hier wat segghen van t'ghene in sulcke bedeeling der landen dadelick ghebruyckt wort, te weten datmen in stevan een rechte lini, neemt de ghemeene sne des bultich vlacx en eens plats rechthouckich op den sichteinder, welcke ghemeene sne opt landt gevonden wort met te steken verscheyden baecken in een selve sichtstrael, en daer na van baeck tot baeck te kielspitten, of ander teyckens te stellen. Laet tot voorbeelt A B C D sulckē berchachtich lant sijn, waeraf na den oirt A, ghesneen moet worden een vierendeel des selfden, met een plat rechthouckich op den sichteinder, en evewijdich vande lini E: Om nu tottet werck te commen, men meet het heel landt in sijn verscheyden stucken na de manier vant 3 voorbeelt des 11 voorstels vant 2 bouck, wort bevondē neem ick van 100 morghen, waer af het begheert vierendeel doet 25 morghen, die afghesneen moeten sijn na den oirt A. Om daer toe te commen, ick vergaer soo veel der voorschreven ghemeten stucken na den oirt A, alsser ten naesten by tot die begheerde {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 25 morghen behouven, teyckenende met baken een lini als neem ick B D, die ten naesten by de selve 25 morgen na A schijnt te sullen afsnyen: Daer na het vlack B D A hermeten sijnde, ist datment van 25 morghen bevint men heeft t'begheerde: Dies niet maer datter te luttel of te veel is, ick neem te luttel een morghen, soo moeter nevens B D een ander lini ghetrocken worden als F G mette selve B D evewijdich: Of anders gheseyt alsoo dattet plat deur F G rechthouckich op den sichteinder, evewijdich sy mettet plat deur B D oock rechthouckich op den sichteinder: Voort dattet vlack of den riem F G D B doe een morghen. Om nu te weten hoe breet den selven riem daer toe sal moeten wesen, Ick meet haer langde B D die bevindende neem ick van 300 roē, daer deur ghedeelt de 600 roen van een morghen, comt 2 roen voor de breede, waer me den riem F G D B na ghenouch een morghen sal meughen doen, en {==164==} {>>pagina-aanduiding<<} F G A het begheert deel sijn van 25 morghen: Doch soo de saeck noch nauwer rekening vereyschte, men mocht die morghen hermeten en soo veel daer af of toe doen deur een ander ghetrocken lini dan F G, als de saeck vereyschte. Maer sooder begeert waer een seker deel afghesneen met een plat rechthouckich op den sichteinder en deur een ghegheven punt inden omtreck, als neem ick andermael een vierendeel des vlacx A B C D, met een plat afghesneen deur t'punt F, men soude deur F ten naesten by t'selve vierendeel afsnyen alsvooren, met een verdochte lini van F tot neem ick D, welck vlack hermeten sijnde en te cleen bevonden van neem ick ½ morghen, men sal een ander lini trecken als F G soo dat den driehouck F D G de selve halve morghen begrijp: Om die te vinden men deelt het dobbel van ½ morghen dats 1 morghen of 600 roen, deur F D 300 roen, en t'ghene daer uyt comt is voor de verheyt tusschen de linien van D totte begheerde F G. Derde deel des vyfden bovcx vande everedelicke snyding der lichamen. 16 Voorstel. Van een ghegheven rechtlinighe pylaer een begheert deel te snyen na een getoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evevvijdeghe sy van een ghestelde lini. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn diens grondt B C D E een rechtlinich plat is, ende F een lini G H een ander lini ghesneen in I. Tbegheerde. Wy moeten vanden pylaer A B na den oirt D een deel snyen in sulcken reden tottet ander, als G I tot I H, met een plat evewijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe sy met F. Twerck. Ick deel deur het 14 voorstel van desen den gront B C D E mette lini K L evewijdeghe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van F, inder voughen dat ghelijck G I, tot I H, alsoo het deel K L D E, tottet deel K L C B: Deursnye daer na dē pylaer mettet plat M N L K evewijdich vanden as, ofte dattet selve is van A D. T'welck so sijnde ick seg dattet deel K L N M E D A, sulcken reden heeft tottet deel K L N M B C, gelijck G I tot I H. Tbewys. Anghesien die twee deelen pylaren sijn van even hooghden, soo sijnde inde reden haerder gronden: Maer de gronden sijn {==165==} {>>pagina-aanduiding<<} inde reden van G I tot I H deur t'werck, daerom de deelen sijn oock inde selve reden. Angaende de wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinighe pylaer een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat evewijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe is van een gestelde lini na den eysch. 17 Voorstel. Van een ghegheven pylaer een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden gront. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer wesen, diens gront van form sy soot valt, ende E F een lini ghesneen in G. Tbegheerde. Wy moeten vanden pylaer een deel snyen na den oirt A B, met een plat evewijdich vanden gront D C, inder voughen dattet deel na A B toe, sulcken reden hebbe tottet ander deel, als E G tot G F. Twerck. Ick deel de sijde A D in H, sulcx dat ghelijck E G tot G F, alsoo A H tot H D: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Treck daer na deur t'punt H het plat H I evewijdich metten gront D C: T'welck soo sijnde ick segh dat gelijck E G tot G F, alsoo het deel H I B A tottet deel H I C D. Tbewys. Ghelijck A H tot H D, alsoo het deel H I B A, tottet deel H I C D, want pylaren met even gronden wesende, soo moetense inde reden haerder hooghden sijn: Maer ghelijck H A tot H D, alsoo E G tot G F deur t'werck, daerom ghelijck E G tot G F, alsoo het deel H I B A tottet deel H I C D. Angaende de wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegeven pylaer een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat evewijdich vanden gront, na den eysch. 18 Voorstel. Van een ghegheven rechtlinighe naelde een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een t'plat deur t'soppunt diens ende des gronts ghemeene sne evevvijdeghe sy van een ghestelde lini. Tghegheven. Laet A B C D E een naelde sijn, diens sop A is, ende den gront B C D E een rechtlinich plat, F een lini, ende G H een ander lini ghesneen {==166==} {>>pagina-aanduiding<<} in I. Tbegheerde. Wy moeten vande naelde na den oirt D een deel snyen, in sulcken reden tottet ander deel, als G I tot I H, ende dat met een plat deur t'soppunt A, welck plats ende des gronts gemeene sne evewijdege sy met F. Twerck. Ick deel deur het 14 voorstel van desen den gront B C D E mette lini K L evewijdeghe van F, inder voughen dat gelijck G I tot I H, alsoo het deel K L D E tottet deel K L C B. Deursnye daer na de naelde mette plat A K L: Twelck soo {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijnde ick segh dattet deel A K L D E, sulcken reden heeft tottet deel A K L C B, ghelijck G I tot I H. Tbewys. Anghesien die twee deelen naelden sijn van even hooghden, soo sijnse inde reden haerder gronden: Maer de gronden sijn inde reden van G I tot I H deur t'werck, daerom de deelen sijn oock inde selve reden. Angaende wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinighe naelde een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat deur t'soppunt, diens ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe is van een ghestelde lini, na den eysch. 19 Voorstel. Van een ghegheven naelde een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden gront. Tghegheven. Laet A B C een naelde sijn diens gront van form is soot valt, ende D E een lini ghesneen in F. Tbegheerde. Wy moeten vande naelde A B C een deel snyen na den oirt A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck D F tot F E, ende dat met een plat evewijdich vanden gront B C. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick vinde de vierde everedenighe der drie D E, D F, A B, welcke sy G: Daer na d'eerste der twee middeleveredenighe tusschen A B en G als A H, die ick teycken in A B, ende treck deur t'punt H t'plat H I evewijdich metten gront B C, welck plat H I ick segh de naelde A B C soo te snyen, dat ghelijck D F tot F E, alsoo het deel A H I, tottet deel H I C B. Tbewys. Anghesien G vierde everedenighe is der twee A B, A H deur t'werck, soo heeft A B tot G een gedrievoudichde reden van A B {==167==} {>>pagina-aanduiding<<} tot A H. Daerom ghelijck A B tot G, alsoo de naelde A B C tot haers ghelijcke naelde A H I: Maer ghelijck A B tot G, alsoo D E tot D F deur t'werck, daerom ghelijck D E tot D F, alsoo A B C tot A H I: Ende deur verkeerde reden ghelijck D F tot D E, alsoo A H I tot A B C, ende deur ghescheyden reden ghelijck D F, tot D E min D F dats tot F E, alsoo A H I, tot A B C min A H I dats tot H I C B. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet de nabeschrevē linien met voeten die bevindende neem ick als volght: D E 8. D F 1. A B 5. Segh daer na 8 eerste in d'oirden, geeft 1 tweede in d'oirden, wat 5 derde in d'oirden? Comt als voor G ⅝. Het eerste der twee middeleveredenighe ghetalen tusschen het derde ende vierde in d'oirden, dats tusschen 5 en ⅝, is 2½. Daerom ghemeten van A na B 2½ voeten, als van A tot H', ende ghetrocken het plat H I evewijdich metten gront B C, men heeft t'begheerde. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden den hanghende van A op de gront Bals A K, snyende H I in L, ende de selve A K sy lanck bevonden neem ick 4 voerē: Laet oock de gront een viercant sijn diens sijde B C doet neem ick 6. Proef. Anghesien A K doet 4, ende B C 6 deur t'bereytsel, soo doet den viercanten gront der ghegheven naelde 36, ende de naelde self 48: Voort angesien A H doet 2½, ende H B 2½, ende B C 6, soo is A L van 2, ende H I van 3, diens viercant 9 voor den gront der naelde A H I, ende de naelde self doet 6, welcke getrocken vande voorschreven 48 van A B C, blijft voor het deel H I C B 42, tottet welck 6, in sulcken reden is, als D F 1, tot F E 7. Ander vvercking deur ghetalen ghevonden van sijn Vorstelicke Ghenade. De twee teerlinghen van A B, A H, moeten tot malcander in sulcken reden sijn als E D 8, tot F D 1. Daerom segh ick 8 gheeft 1, wat den teerlinck van A B 125? comt 15⅝ voor den teerlinck van A H, diens sijde A H doet 2½. Daerom gemeten van A na B 2½, die vallen neem ick in H, en ghetrocken een plat H I evewijdich metten gront der naelde B C, men heeft t'begheerde. 1 Vervolgh. Sooder begheert waer een menichte van voeten afghesneen te worden na den oirt A, sonder verclaring der reden die de deelen tot malcander hebben moeten, men sal de heele naelde meten, daer af treckende t'begheerde deel, ende houden de reden van t'selve begheerde deel totte rest als voor ghegheven reden, ende daer me werckende als boven. 2 Vervolgh. Soo t'begheerde deel waer gheweest na de sijde B C toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na den houck A, ghelijck D F tot F E: Men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afgesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken redē tottet ander deel, als E F tot F D, ende volghen daer me de regel als boven. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven naelde een begheert deel ghesneen na een getoonden oirt, met een plat evewijdich vanden grondt na den eysch. {==168==} {>>pagina-aanduiding<<} 20 Voorstel. Van een ghegheven cloot een begheerde halfmiddellijnsne te snyen. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn diens as A C, ende middelpunt E, voort sy F G een lini ghesneen in H. Tbegheerde. Wy moeten vanden cloot een halfmiddellijnsne snyen, in sulcken reden tottet restende deel, als F H tot H G. Twerck. Ick deel den as A C in I, sulcx dat ghelijck F H tot H G, alsoo A I tot I C, en treck deur t'punt I een lini rechthouckich op A C eyndende inden omtreck welcke sy D B: Daer na de twee halfmiddellijnen E D, E B. Dit soo sijnde de halfmiddellijnsne beteyckent met E D A B is de begheerde, te weten in sulcken reden totte restende halfmiddellijnsne E D C B, als F H tot H G. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbewys. Ghelijck A I tot I C, alsoo F H tot H G deur t'werck: Maer ghelijck A I tot I C, alsoo t'clootvlack D A B tottet clootvlack D C B, daerom gelijck F H tot H G, alsoo t'clootvlack D A B tottet clootvlack D C B: Maer ghelijck t'clootvlack D A B tottet clootvlack D C B, alsoo de halfmiddellijnsne E D A B, totte halfmiddellijnsne E D C B: Daerom ghelijck F H tot H G, alsoo de halfmiddellijnsne E D A B totte rest E D C B. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C met voeten, die bevindende neem ick van 12, F H 2, H G 6: Deel daer na 12 van A C in twee getalen tot malcander in sulcken reden als 2 van F H tot 6 van H G, comt voor t'eerste 3: Daerom gemeten van A na C 3 voeten, die vallen neem ick van A tot I, ick treck deur t'punt I de lini D B rechthouckich op A C, daer na E D, E B, ende de halfmiddellijnsne E D A B is de begheerde. Proef. Den heelen cloot doet 905 1/7 deur het 24 voorstel des 2 boucx het deel D E B A 226 2/7, t'welck getrocken vande 905 1/7 des heelen cloots, blijft voor t'restende deel E D C B 678 6/7, tottet welcke 226 2/7, in sulcken reden is als F H 2, tot H G 6. Tbeslvyt. Wy hebben dan van een ghegheven cloot een begheerde halfmiddellijnsne ghesneen, na den eysch. Merckt. Sooder van een ongheschickt lichaem, te snyen waer met een plat evewijdich van een ghegheven plat, een deel van begheerde grootheydt, men soude daer in meughen volghen de manier vant snyen des berghich vlacx int merck vant 16 voorstel deses 5 boucx, te weten daer af snyen een deel ten naesten by even an t'begheerde, en dat deel dan ghemeten sijnde, en te groot of te cleen bevonden wesende, men soude dien met een ander plat evewijdich vant eerste, soo veel meer of min afsnyen als de saeck vereyschte. Des vyfden Bovcx EYNDE. {==169==} {>>pagina-aanduiding<<} Seste bovck der meetdaet, van tverkeeren der grootheden in ander formen. {==170==} {>>pagina-aanduiding<<} Alsvlcke vvaerschuvving als vvy ghedaen hebben int begin des 3 boucx vande vier afcomsten der grootheden, soodanighe salsich hier oock verstaen op haer verkeering, vvant ghelijckmen inghetalen de ghebrokens van verscheyden noemers seght verkeert te vvorden in ghebrokens met een selve noemer, t'vvelck nochtans eyghentlick niet anders en is dan te vinden ander ghebrokens even andeghegheven ende met even noemers: Alsoo en vvorden de ghegheven grootheden self niet verkeert, maer men maeckt ander formighe grootheden met haer even, t'vvelck vvy hier verkeering heeten: Ghelijck oock inde ghebruyck is te segghen vande viercanting des rondts, brantsnees, slangtreck plats, of maens, daer by verstaen vvort een viercant te maken even an een ghegheven rondt, brandtsne, slangtreckplat, of maen. {==171==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des sesten bovcx van t'verkeeren der linien. 1 Voorstel. Een rechte lini te trecken even anden omtreck eens gegheven rondts. Tghegheven. Laet A B C den omtreck eens rondts sijn, diens middelpunt D, ende halfmiddellijn D B. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini trecken even anden selven omtreck. Twerck. Ick beschrijf op de halfmiddellijn D B den eersten omganck eēes slangtrecx D E F B, ende treck de oneyndelicke D G rechthouckich op D B, daer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} na H B ghenakende den slangtreck int punt B, ende t'uyterste H inde lini D G; T'welck soo sijnde ick segh de lini D H de begheerde te wesen, even anden omtreck A B C, waer af t'bewijs ghedaen is int 18 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes. Merckt. Hoewel dit werck in spiegheling bestaet die dadelick gheen ghenoechsaem sekerheyt en heeft, nochtans om int corte Archimedes vondt te verclaren, hebben wy hier dit voorbeelt beschreven met der ghelijcke volgende int 2 voorstel. Ander vvercking deur ghetalen. Ghenomen dat de ghemeene reden van 22 tot 7 na genouch waer tottet gene men daer mede voor heeft, soo salmen trecken een lini in sulcken reden totte middellijn des ghegheven rondts als 22 tot 7, ende men sal t'begheerde hebben, waer af de proef deur t'werck openbaer is. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini ghetrocken even anden omtreck eens ghegheven rondts, na den eysch. Vervolgh. Deur t'verkeerde deses voorstels is kennelick hoemen den omtreck eens rondts sal teyckenen even an een ghegheven rechte lini. {==172==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorstel. Een rechte lini te trecken even an een ghegeven booch. Tghegheven. Laet A B C een booch wesen, diens middelpunt daerse op beschreven is D sy, ende de halfmiddellijn D A. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini trecken even anden selven booch A B C. Twerck. Ick volmaeck het rondt des ghegheven booch, A B C, daer in beschrijvende den eersten omganck haers slangtrecx D E A, ende treck D C snyende de slangtreck in E, beschrijf daer na {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} opt middelpunt D met D E als halfmiddellijn den booch EFG, wesende t'punt G inde lini D A, ende treck de oneyndelicke D H rechthouckich op D E, daer nae E I ghenakende den slangtreck int punt E, ende t'uyterste I inde lini D H, daer na C K evewijdeghe met E I, alsoo dat K is inde lini D H: Dit aldus sijnde ick segh D K de begheerde rechte lini te wesen even anden booch A B C. Tbewys. Ghelijck D E tot D C, alsoo den booch G F E totten booch A B C. Voort ghelijck D E tot D C, alsoo D I tot D K; daerom ghelijck D I tot D K, alsoo den booch G F E totten booch A B C: Maer D I is even anden booch G F E deur het 21 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes, daerom D K is even anden booch A B C. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini getrocken even an een ghegheven booch, na den eysch. Vervolgh. Deur t'verkeerde deses voorstels is kennelick hoemen een begeerden booch sal beschrijven even an een ghegheven rechte lini. 3 Voorstel. Wesende ghegheven een booch in bekende reden tot haer heelen omtreck, ende een lini: Mette lini als halfmiddellini te beschrijven een booch of soo veel omtrecx als de ghegheven booch lanck is. Tghegheven. Laet A B een booch sijn doende 90 trappen, diens halfmiddellijn is C A: Voort sy C D (die gheteyckent is in C A) een lini. Tbegheerde. Wy moeten mette lini C D als halfmiddellijn een booch of soo veel omtrecx beschrijven als de booch A B lanck is. Twerck. Ick vinde de vierde pael der drie, segghende C D gheeft C A, wat 90 tr. van {==173==} {>>pagina-aanduiding<<} A B? Comt neem ick 120 tr. daerom mette lini C D als halfmiddellijn beschreven een booch lanck 120 tr. als neem ick D E: Ick segh de booch D E de begheerde te sijn te weten even anden booch A B. Tbewys. Genomen dat D E, C B malcander doorsnyen in F: T'welck soo sijnde ick segh aldus: na dien den houck A C B en D C F {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} een selfden houck is, soo moet de booch D F sulcken ghedeelte haers heelen omtrecx sijn als de booch A B van haer heele omtreck is, te weten elck een vierendeel, om dat A B 90 tr. doet: Sulck dat A B C ghelijck is met D F C, waer deur haer lijckstandighe linien als C A, C D, met A B, D F everedenich sijn: Daerom oock is D A verschil tusschen C A en C D in sulcken reden tot C D als t'verschil tusschen A B en D F tot D F: Maer ghelijck D A tot C D, also E F tot D F deur t'werck(want daer is gheseyt ghelijck C D tot C A alsoo 90 tr. tot 120, maer D F doet 90 tr. ende D E 120 tr. daerom ghelijck C D tot C A alsoo D F tot D E, ende deur ghescheyden reden, ghelijck C A min C D dats D A tot C D alsoo D E min D F dats E F tot D E)daerom E F is even an t'verschil tusschen A B en D F: Maer wesende E F even an t'verschil tusschen A B en D F, soo moet E F met D F dats de booch D E even sijn anden booch A B. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet C D die bevindende neem ick van 3 voeten, en̄ C A 4, daerom seg ick C D 3 geeft C A 4 wat 90 tr. van A B? Comt 120 tr. Daerom mette lini C D als halfmiddellijn beschreven een booch lanck 120 tr. als neem ick D E, men heeft t'begheerde. Angaende proef deur ghetalen die en can niet volcommelick geschien overmidts de reden der halfmiddellijnen totte boghen alsnoch onbekent is, doch is daerentusschen ghemeen wisconstich bewijs hier boven ghedaen. Vervolgh. Als de ghegheven lini soo cleen waer datmen mette langde des boochs A B niet alleen een booch, maer eenighen heelen omtreck of omtrecken conde beschrijven, tis kennelick dat de boveschreven reghel daer in plaets soude houden. Als by voorbeelt: Waer C A van 10 gheweest ende C D 1 men soude int werck gheseyt hebben, C D 1 gheeft C A 10 wat A B 90 tr? Comt 900 tr. waer in twee heele omtrecken ende noch 180 tr. sijnde, soo soudemen mette halfmiddellijnen als C D eerst twee heele omtrecken beschrijven daer na een booch van 180 tr. na de voorgaende leering, welcke twee heele omtrecken metten booch, t'samen even souden sijn anden booch A B. Ende deur verkeerde wech van dies is oock kennelick hoemen met een ghegheven halfmiddellijn beschrijven sal een booch even an twee omtrecken met noch een booch van 180 tr: Met ander dierghelijcke daer uyt volghende. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een booch in bekende reden tot haer heele omtreck ende een lini; wy hebben mette lini als halfmiddellijn beschreven een booch of soo veel omtrecx als de booch lanck is na den eysch. {==174==} {>>pagina-aanduiding<<} 4 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee onghelijcke boghen in bekende reden tot haer heele omtrecken: Te teyckenen een derde booch even an d'een ende ghelijck met d'ander. Tghegheven. Laet A B een booch sijn, van 120 tr. ende C D van 90 tr. diens beyder middelpunt daer sy op beschreven sijn is E ende de halfmiddellijn van d'een sy E A van d'ander E C die gheteyckent is in E A. Tbegheerde. Wy moeten een derde booch teyckenen even an C D ende ghelijck met A B dat is sulcken ghedeelte haers heelen omtrecx te wesen als A B van haer omtreck is. Twerck. Ick treck E B segh daer na 120 tr. van A B gheven 90 tr. van C D wat E C? Comt neem ick E F: beschrijf daer na met E F als halfmiddellijn opt punt E dē booch F G, welverstaende dattet punt G comt inde lini E B. T'welck soo sijnde ick segh de booch F G de begheerde te sijn, te weten even anden booch C D, ende gelijck anden booch A B. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbewys. Want den houck G E F ende B E A, een selfden houck is, soo moet de booch F G sulcken deel haers heelen omtrecx sijn als de booch A B van haer heelen omtreck is sulcx datse ghelijck sijn. Ten tweeden want E F sulcken reden heeft tot E C als de 90 tr. van C D totte 120 tr. van F G deur t'werck, soo is den booch F G even anden booch C D deur het bewijs des 3 voorstels van desen. Angaende de wercking deur ghetalen, die is deur der ghelijcke wercking des 3 voorstels openbaer ghenouch. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee onghelijcke boghen in bekende reden tot haer heele omtrecken: Wy hebben een derde booch gheteyckent even an d'een ende ghelijck met d'ander na den eysch. {==175==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede deel des sesten bovcx van t'verkeeren der vlacken. 5 Voorstel. Een vierhouckich rechthouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegheven rechthouck. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck sijn, ende E F een lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechthouck teyckenen even met A B C D ende diens langde sy E F. Twerck. Ick vinde de vierde everedenighe der drie E F A B, A D welcke sy F G: Mette selve ende met E F gheteyckent den rechthouck E F G H, ick segh hem den begeerden te wesen; waer af t'bewijs ghedaen is int 14 voorstel des 6 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet met voeten E F die bevindende neem ick van 6, A B van 3, A D van 4: Segh daer na E F 6 gheeft A B 3 wat A D 4? Comt 2: Daerom ghetrocken F G van 2 voeten rechthouckich op E F, ende daer mede volmaeckt den rechthouck E F G H ick segh hem den begheerden te wesen. Proef. Elcke rechthouck doet 12 deur het 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een vierhouckich rechthouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegheven rechthouck na den eysch. Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen vervoughen. A B C D doende 12 mach sijn een vlack bultich of plat en van form soo valt, wanneermen die 12 deelt deur E F 6 datter uyt comt als 2 is voor de sijde E H om den rechthouck E H G F even te hebben mettet ander vlack. 6 Voorstel. Een viercant te teyckenen even an een ghegeven rechthouck. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten een viercant teyckenen even anden selven rechthouck. {==176==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick vinde deur het 3 voorstel des 4 boucx de middeleveredenighe tusschen A B en A D welcke sy E F, uyt de selve beschreven het viercant E F G H ick segh t'selve t'begheerde te wesen; waer af t'bewijs openbaer is deur het 14 voorstel des 2 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A B bevinde die neem ick van 4 voeten, A D van 9, ende neem tusschen die twee ghetalen een middeleveredenich t'welck is 6. Daerom ghetrocken een lini als E F lanck 6 voeten, ende daer mede volmaeckt het viercant E F G H, ick segh t'selve t'begeerde te wesen. Proef. A B C D ende E F G H doen elck 36 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rechthouck na den eysch. 7 Voorstel. Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde ende even an een ghegheven driehouck. Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn ende D E een lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even anden driehouck A B C ende soo lanck als D E. Twerck. Ick treck de hanghende van eenighen houck op haer teghenoversijde als A F op B C, vinde daer na de vierde everedenighe der drie als D E, den helft van C B, ende A F, welcke vierde sy E G, vande selve ende E D beschreven sijnde dē rechthouck D E G H, ick seghse t'begheerde te wesen waer af t'bewijs ghedaen is int 44 voorstel des 1 boucx van Euclides. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet D E die bevindende neem ick van 8 voeten, den helft van C B 2, ende A F 12, segh daer na D E 8, gheeft den helft van C B 2, wat A F 12? Comt 3: Daerom ghetrocken E G 3 voeten rechthouckich op D E, ende daer mede voltrocken den rechthouck D E G H, men heeft t'begheerde. Proef. De driehouck ende vierhouck doen elck 24 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegheven driehouck. {==177==} {>>pagina-aanduiding<<} 8 Voorstel. Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegheven rechtlinich plat. Tghegheven. Laet A B C D een rechtlinich plat sijn ende E F een lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even met A B C D, ende soo lanck als E F. Twerck. Ick deyl eerst de ghegheven vierhouck mette lini D B in twee driehoucken A B D, B C D: Daer mede teycken ick op de lini E F deur het 7 voorstel van desen den rechthouck E F G H, even anden driehouck B D C: S'ghelijcx op de lini H G den rechthouck H G I K even andē driehouck A B D: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} T'welck soo sijnde ick segh dat den rechthouckighen vierhouck E F I K even is ant rechtlinich plat A B C D, waer af t'bewijs ghedaen is int 45 voorstel des 1 boucx van Euclides. Angaende wercking met ghetalen die is deur de wercking des 7 voorstels van desen kennelick ghenouch. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde, ende even an een ghegeven rechtlinich plat, na den eysch. Vervolgh. Vyt het voorgaende is kennelick hoemen vinden sal de reden in rechte linien van ghegheven rechtlinighe platten. Als by voorbeelt om te vinden de reden in rechte linien vanden driehouck A B D, totten driehouck B C D, want die verkeert sijnde in rechthoucken alsvooren, ick segh dat ghelijck de rechte lini F G tot G I, alsoo den driehouck B C D totten driehouck A B D. Maer sooder begheert waer de reden des vierhoucx A B C D tot eenich ander veelsijdich rechtlinich plat, men soude t'selve rechtlinich plat oock verkeeren in een rechthouck onder de selve hooghde E F, en segghen daer na dat ghelijck F I tot dien anderen gront des verkeerden rechthoucx, alsoo den vierhouck A B C D tot dat ander veelsijdich plat. 9 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee onghelijcke rechtlinighe platten: Een plat te teyckenen even ant een, ende ghelijck mettet ander. Tghegheven. Laet A en B twee onghelijcke rechtlinighe platten sijn. Tbegheerde. Wy moeten een derde plat teyckenen even an A, ende ghelijck met B. {==178==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick maeck twee rechthoucken deur het 8 voorstel d'een even an A, d'ander an B en onder een selve hooghde: Segh voort, den gront vanden rechthouck even mettet naformelick plat B, gheeft den gront van d'ander rechthouck, wat eenighe sijde van B, ick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} neem E F? Comt neem ick (deur het 2 voorstel des 4 boucx) C D. Vinde daer na een middeleveredenighe tusschen E F ende C D, welcke sy G H: Op de selve als lijckstandighe met E F, gheteyckent t'plat I ghelijck met B men heeft t'begeerde. Tbewys. Want G H middeleveredenige is tusschen E F en C D deur t'werck, so sijn de drie linien E F, G H, C D in ghedeurighe everedenheyt: daerom ghelijck E F tot C D, alsoo t'plat op E F gheteyckent, te weten t'plat B, tot sijns ghelijcke plat op G H, te weten t'plat I: Maer ghelijck E F tot C D, alsoo t'plat B tottet plat A deur t'werck: Daerom t'plat B heeft tottet t'plat A ende I een selve reden, waer deur A ende I even sijn. Derghelijcke vvercking deurghetalen. Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van 368. Daer na t'plat A 170. Ende eenige sijde des na formelicken plats B, als, neem ick, de sijde E F 11. Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden? comt 5 15/184. Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden en 5 15/184 vierde in d'oirden, t'welck is √ 55 165/184. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde. Proef. Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van E F, gheeft 55 165/184 viercant van G H, wat het plat B 368? Comt voor t'plat I 170 even an t'plat A. De selve vvercking deur de thiende. Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van 368. Daer na t'plat A 170. Ende eenighe sijde des naformlicken plats B, als de sijde E F 11. Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden? Comt 508 ②. Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden, ende 508 ② vierde in d'oirden, t'welck is 748 ②. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op als lijck- {==179==} {>>pagina-aanduiding<<} standighe met E F gheteyckent het plat I, men heeft t'begeerde. Proef. Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van E F, gheeft 559504 ④ viercant van G H, wat het plat B 368? Comt voor t'plat van I 170 voeten en 16 ② welcke doen 170 4/25 voet: Ende soude moeten sijn 170 sulcx datter alleenlick 4/25 voets te veel comt: Diet inde daet naerder begheert mach met ③ of ④ rekenen ghelijck wy boven maer tot ② ghecommen en sijn. Ander corter vvercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade. B 368, gheeft het viercant van E F 121, wat A 170? Comt viercant 558967 ④, diens sijde 748 ②: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, en daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ongelijcke rechtlinighe platten, wy hebben een plat gheteyckent even ant een, ende ghelijck mettet ander. 10 Voorstel. Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven rondt. Tghegheven. Laet A B C D een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn A C. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen even an t'selve rondt. Twerck. Ick treck de lini C F rechthouckich op E C ende even anden omtreck ABCD deur het 1 voorstel deses 6 boucx. Daer na E F: T'welck soo sijnde ick segh, den driehouck E F C even te sijn ant ront A B C D, waer af t'bewijs ghedaen is int 1 voorstel des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} boucx der rondtsmeting van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet E C die bevindende neem ick van 7 voeten, volghende t'welck den omtreck A B C D doet (deur het 8 voorstel des 2 boucx) 44: Daerom treck ick C F van 44 voeten rechthouckich op C E, daer na E F, ende heb den begheerden driehouck E F C. Proef. T'ront A B C D, ende den driehouck E F C, doen elck 154 voeten deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een driehouck gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch. {==180==} {>>pagina-aanduiding<<} Vervolgh. Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven driehouck: Want gheteyckent een driehouck ghelijck met E C F ende even anden ghegheven driehouck deur het 9 voorstel van desen, ende met dien driehoucx cortste sijde als halfmiddellijn een rondt beschreven, men heeft t'begheerde. Ander voorbeelt verbonden an een ghegevenformghevonden en berekent van sijn Vorstelicke Ghenade. Tghegheven. Laet beneven t'voorgaende rondt A B C D noch ghestelt sijn dit rechtlinich plat, soot valt G H I K L groot neem ick van 60, en doende eenighe sijde als G H 7. Tbegheerde. Wy moeten een plat teyckenen ghelijck met G H I K L, en even ant rondt A B C D. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. T'plat G H I K L 60, gheeft het viercant van G H 49, wat het plat ABCD 154? Comt viercant 1257667 ④, diens sijde 1121 ②: Daerom ghetrocken van dier langde een lini als M N, en daer op als lijckstandighe met G H gheteyckent het plat M N O P Q, men heeft t'begeerde. 11 Voorstel. Een viercant te teyckenen even an een ghegheven rondt. Tghegheven. Laet A B C D een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn A C. Tbegheerde. Wy moeten een viercant teyckenen even an t'selve rondt. Twerck. Ick vinde de lini F, even anden helft des omtrecx A B C D, daer na de middeleveredenige tusschen F en E C, welcke sy G H, waer mede beschreven het viercant G H I K, ick segh t'selve t'begheerde te wesen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbewys. Na dien t'rondt A B C D even is anden rechthouckighen driehouck diens hooghde de halfmiddellijn ende den grondt even anden omtreck, soo is t'selve rondt even anden rechthouckigen vierhouck, diens hooghde de halfmiddellijn is ende den gront even anden helft des omtrecx, daerom t'viercant beschreven uyt de middeleveredenighe van die twee is t'begheerde. {==181==} {>>pagina-aanduiding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C die bevindende neem ick van 14 voeten, t'welck soo sijnde den omtreck A B C D doet 44, diens helft 22, tusschen de selve ende E C 7 ghesocht het middeleveredenich ghetal, wort bevonden van √ 154: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op beschreven t'viercant G H I K, men heeft t'begheerde. Proef. Het rondt ende viercant doen elck 154 voeten, deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx. Opt selve ander vvercking ende lichter. Ick meet het rondt A B C D, dat bevindende van 154, diens viercantssijde doet 1241 ②, daerom een lini van dier langde ghetrocken als G H, ende daer mede beschreven het viercant G H I K men heeft t'begheerde. Proef. Het rondt ende viercant worden elck van 154 bevonden als boven. Tbeslvyt. Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch. Vervolgh. Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven viercant, want deelende t'ghetal des plats vant viercant altijt deur 22, datter uyt comt is de halfmiddellijn. 12 Voorstel. Een rondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt. Tghegheven. Laet A B C D een lanckrondt sijn, diens langste middellijn A C, ende cortste D B. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even an t'ghegheven lanckrondt. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A C en D B welcke sy E F, daer op als middellijn een rondt gheteyckent, ick segh t'selve t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 6 voorstel der keghelsche en clootsche van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C die bevindende neem ick van 30 voeten, D B 10, tusschen de selve 30 en 10 vind ick het middeleveredenich ghetal doende √ 300, oft anders 1732 ②: Daerom een lini van dier langde ghetrocken als E F, ende daer op {==182==} {>>pagina-aanduiding<<} als middellijn een rondt gheteyckent, men heeft t'begheerde. Proef. T'een en t'ander doet 23572 ② deur het 12 ende 15 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegeven lanckrondt. 13 Voorstel. Op een ghegheven grootste of cleynste middellijn een lanckrondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt. Tghegheven. Laet A B C D een lanckrondt sijn, diens grootste middellijn A C, ende cleynste D B, ende de grootste of cleenste middellijn eens begheerden scheefrondts even mettet scheefrondt A B C D sy E F. Tbegheerde. Wy moeten daer op een scheefront maken even ant scheefront A B C D. Twerck. Ick vinde de vierde everedenighe lini van E F, A C, D B deur het 2 voorstel des 4 boucx, welcke sy G H, de selve vervought als cleenste middellijn op E F, ende het scheefrondt daer op geteyckent als E H F G, is t'begheerde, waer af t'bewijs openbaer is deur het 15 voorstel des 2 boucx. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet E F die bevindende neem ick van 56 voeten, A C 28, D B 14; Segh daer na 56 geeft 28 wat 14? Comt 7: Daerom getrocken een lini van dier langde welcke sy G H, en de selve vervought als cleenste middellijn op de grootste E F, ende het scheefront daer op gheteyckent als E H F G is t'begheerde. Proef. Elck lanckront doet 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan op een ghegheven grootste of cleenste middellijn een lanckrondt gheteyckent even an een ghegheven lanckrondt na den eysch. Vervolgh. Waer het ghegheven A B C D in plaets des lanckrondts gheweest een ront, t'is kennelick dat de voortganck soude sijn als boven, want de tweemiddellijnen A C, D B, souden alsdan even vallen, waer mede men alsvooren segghen soude E F gheeft A C, wat D B?commende met die vierde tottet begheeren: Oft andersins mochtmen vinden de derde everedenighe van E F, ende de middellijn des rondts, waer af een selfde soude uytcommen. {==183==} {>>pagina-aanduiding<<} 14 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee onghelijcke lanckronden: Een derde te teyckenen, even mettet een ende ghelijck mettet ander. Tghegheven. Laet A B C D, E F G H twee onghelijcke lanckronden {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn, diens grootste middellijn A C, E G, ende cleynste D B, H F. Tbegeerde. Wy moeten een derde lanckrondt teyckenen even an A B C D, ende ghelijck met E F G H. Twerck. Ick verkeer deur het 12 voorstel van desen het lancront ABCD in een rondt IK L M, diens middellijn I L ende t'lancront EFGH in een rondt N O P Q diens middellijn N P. Segh daer na N P geeft I L wat I L? Comt neem ick R. Voorts N P geeft R, wat E G? Comt neem ick S: Vinde daer na de middeleveredenighe lini tusschen S en E G welcke sy T V: Op de selve als lijck standighe met E F gheteyckent het lanckrondt T X V Y, gelijck met E F G H, men heeft t'begheerde: Waer af t'bewijs te verstaen is deur het 9 voorstel deses 6 boucx. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C met voeten die bevindende neem ick van 56, ende D B 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor I L doet 198 ①. Bevinde daer na E G van 14, en H F 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor N P doet 99 ①. {==184==} {>>pagina-aanduiding<<} Segh daer na 99 ① tweede in d'oirden, gheeft 198 ① eerste in d'oirden, wat de selve 198 ①? Comt voor R 396 ①. Voorts 99 ① tweede in d'oirden, gheeft 396 ① derde in d'oirden, wat E G 14? Comt voor S 56. Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 56 vierde in d'oirden, ende E G 14, Comt 28. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als T V, ende daer op als lijckstandighe met E G gheteyckent het lanckrondt T X V Y, men heeft t'begeerde. Proef. T'lanckrondt A B C D ende T X V Y, worden elck bevonden van 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx. Ander lichter vvercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade. Het lanckront A B C D gemeten sijnde wort bevonden deur het 15 voorstel des 2 boucx van 308, en E F G H van 77: Hier me segh ick aldus E F G H 77, geeft het viercant van E G 196, wat A B C D 308? Comt viercant 784; diens sijde 28: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als T V, en daer op als lijckstandighe met E G gheteyckent het lanckrondt T X V Y, ghelijck met E F G H, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee ongelijcke lanckronden, wy hebben een derde gheteyckent even mettet een ende ghelijck mettet ander. Vervolgh. Soo het een der ghegheven een rondt waer, t'is kennelick dat de wercking soude sijn als vooren, doende mette twee even middellijnen des rondts sulcx als boven mette oneven des scheefrondts ghedaen is. 15 Voorstel. Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven brantsne. Tghegheven. Laet A B C een brantsne sijn, diens sop B, ende gront A C. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen even ande brantsne A B C. Twerck. Ick treck A C voorwaert tot D, also dat CD even sy andē helft van A C, daer na de twee linien B A, B D: T'welc soo sijnde, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==185==} {>>pagina-aanduiding<<} ick segh den driehouck A B D even te wesen ande brantsne A B C. Tbewys. Chetrocken sijnde de lini B C, soo is de brantsne A B C in sulcken reden totten driehouck A B C, als 3 tot 2 deur het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes, maer den driehouck A B D is oock in sulcken reden totten selven driehouck A B C als 3 tot 2, daerom de brantsne A B C is even anden driehouck A B D. Ander voorbeelt verbonden an een ghegheven form, ghevonden en berekent deur sijn Vorstelicke Ghenade. Tghegheven. Laet de voorgaende brantsne A B C ghemeten wesense, deur het 16 voorstel des 2 boucx, bevonden sijn van 180. Hier benevens sy noch ghestelt dit rechtlinich plat E F G H I, groot neem ick van 20, en doende eenighe sijde als E F 4. Tbegheerde. Wy moeten een plat teyckenen gelijck met E F G H I, en even mette brantsne A B C. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Het plat E F G H I 20, gheeft het viercant van E F 16, wat de brantsne A B C 180? Comt viercant 144, diens sijde 12. Daerom getrocken van dier langde een lini als K L, en daer op als lijckstandighe met E F geteyckent het plat KLMNO, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan een driehouck gheteyckent, even an een ghegheven brantsne, na den eysch. 16 Voorstel. Wesende ghegheven een slangtrecxplat bestaende in een of meer volcommen keeren: Een rondt te teyckenen even an t'ghegheven slangtrecxplat. Tghegheven. Laet A B C een eerste slangtrecxplat sijn, diens eerste lini A C. Tbegheerde. Wymoeten een rondt teyckenen even ant plat A B C. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick vinde tusschen A C ende haer derdendeel een middeleveredenige D F, daer mede als halfmiddellijn beschrijvende t'ront {==186==} {>>pagina-aanduiding<<} D F G, t'welck ick segh t'begheerde te sijn, even an t'ghegheven slangtrecxplat. Tbewys. By aldienmen met A C als halfmiddellijn beschrijft een eerste rondt, soo sal het eerste slangtrecxplat A B C even sijn ant derdendeel van dat eerste rondt, deur het 25 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes: Maer t'rondt D F G is oock even an dat derdendeel deur t'werck; daerom t'rondt D F G is even ant slangtrecxplat A B C. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C die bevindende neem ick van 7 voeten, de selve ghemenichvuldicht met haer derdendeel 2⅓, doen 16⅓, diens viercantssijde √16⅓, of 404 ②: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D E, ende daer me als halfmiddellijn een ront beschrijvende, men heeft t'begeerde. Proef. Het rondt doet 5131 ②, ende het slangtrecxplat doet het ⅓ van 154, dats 5133 ②, die nagenouch schijnen: Doch die volcommen proef begheert sal die bevinden nemende D E te doen √16⅓. Angaende het teyckenen eens rondts even ant slangtrecxplat van twee of meer heele keeren: Ghemerckt de everedenheyt der selver deur Archimedes bewesen is, als gheseyt is int 17 voorstel des 2 boucx, namelick dattet tweede slangtrecxplat 6 mael soo groot is alst eerste, ende het derde 12 mael soo groot alst eerste, ende het vierde 18 mael soo groot alst eerste, ende alsoo int oneyndelick, van d'ander altijt met 6 vermeerderende, voor yder keer, soo is daer uyt de reden van yder slangtrecxplats keer tot haer rondt bekent, ende vervolghens de ghemeenheyt van dit voorstel. Tbeslvyt. Wesende dan ghegh even een slangtreck plat bestaende in een of meer volcommen keeren: Wy hebben een rondt gheteyckent even an t'ghegheven slangtrecxplat na den eysch. 17 Voorstel. Een rondt te teyckenen even ant vlack eens ghegheven cloots. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant vlack des cloots. Twerck. Ick beschrijf mette langde A C als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheeerde te wesen: Waer af t'bewijs ghedaen is int 31 voorstel vant eerste bouck des cloots ende seuls van Archimedes. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C die bevindende neem ick van 14 voeten, beschrijf daer mede als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheerde te wesen. Proef. Het clootvlack A B C D, ende t'ront E doen elck 616 voeten, deur {==187==} {>>pagina-aanduiding<<} het 18 ende 12 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant vlack eens ghegheven cloots na den eysch. 18 Voorstel. Een rondt te teyckenen even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots. Tghegheven. Laet A B C eens cloots coordsne sijn, diens as B D, ende sop B, ende middellijn des gronts A C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven coordsnees. Twerck. Ick beschrijf mette langde AB als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begeerde te wesen; waer af t'bewijs ghedaen is int 40 ende 41 voorstel vant bouck des cloots ende seuls van Archimedes. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A B die bevindende neem ick van 7 voeten, beschrijf daer me t'begheerde rondt E. Proef. Het ghegheven bultich vlack A B C, ende het rondt E, doen elck 154 deur het 19 ende 12 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent, even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots, na den eysch. 19 Voorstel. Wesende ghegheuen tvvee onghelijcke clootscoordsneen: Een derde coordsne te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander. Tghegheven. Laet A B C D een clootscoordsne sijn, diens sop D, as D B, ende middellijn des gronts A C: D'ander clootscoordsne E F G H, diens sop H, as H F, ende middellijn des gronts E G. Tbegheerde. Wy moeten een clootscoordsne teyckenen, diens bultich vlack even sy an t'bultich vlack van A B C D, ende ghelijck mettet bultich vlack van E F G H. Twerck. Ick vinde den heelen as H I, des coordsnees E F G H, treckende C D, ende H G: Vinde daer na de vierde everedenige der drie G H, D C, H I welcke sy K L: Op de selve als middellijn beschrijf ick een rondt, daer in vervoughende K M, even an D C, treck daer na M N rechthouckich op K L, ende van daer voort tot O inden omtreck: T'welck soo sijnde ick segh het bultich vlack van O N M K {==188==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} even te sijn an t'bultich vlac van A B C D, ende gelijck mettet bultich vlack van E F G H; waer af t'bewijs ghedaen is int 6 voorstel vant 2 bouck des cloots en seuls van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet G H die bevindende neem ick van 20 voeten, D C van 10, H I 25, ende vinde haer vierde everedenich ghetal 12½. Daerom ghetrocken een lini K L van 12½ voeten, ende daer op als lijckstandighe met H I gheteyckent een clootcoordsne O N M K, gelijck met E F G H, men heeft t'begeerde. Proef. Anghesien K L lijckstandige is met H I, ende K M met H G, soo segh ick H I 25, gheeft G H 20, wat K L 12½? Comt voor K M 10: Maer doende K M 10 soo doet het bultich vlack O N M K 314 2/7: Ende soo veel doet oock het bultich vlack van A B C D deur het 19 voorstel des 2 boucx. Ander vvercking deur ghetalen hier by ghevought deur sijn Vorstelicke Ghenade. Anghesien G H doet 20, en D C 10, soo doet het bultich vlack E H G 1257 1/7. en t'bultich vlack A D C 314 2/7. deur het 19 voorstel des 2 boucx: Daerom segh ick t'bultich vlack E H G 1257 1/7. gheeft het viercant van H G 400, wat het bultich vlack A D C 314 2/7? comt viercant 100, diens sijde 10. Daerom ghetrocken K M 10, en daer op als lijckstandighe met H G gheteyckent het clootvlack O K M, ghelijck met E H G, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee onghelijcke clootscoordsneen, wy hebben een derde clootscoordsne gheteyckent, diens bultich vlack even is ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander. 20 Voorstel. Een seul te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant vlack eens ghegheven cloots. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens middellijn A C. Tbegheerde. Wy moeten een seul teyckenen: diens bultich vlack even sy ant clootvlack A B C D. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Men sal teyckenen een seul E F G H, diens hooghde E H, ende oock de middellijn des gronts E F, even sy an A C. T'welck soo wesende, ick segh het bultich vlack des seuls E F G H, even te sijn ant clootvlack A B C D. {==189==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbereytsel. Laet I een rondt sijn, diens halfmiddellijn even is an A C, of dattet selve is an H E. Tbewys. T'clootvlack A B C D is even ant rondt I, ende het bultich seulsvlack van E F G H is oock even an t'rondt I, deur het 13 voorstel vant 1 bouck des cloots ende seuls van Archimedes, daerom t'bultich seulsvlack E F G H, is even ant clootvlack A B C D. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C, die bevindende neem ick van 14 voeten, teycken daer na een seul diens hooghde ende grondts middellijn elck oock 14 als de seul E F G H: T'welck soo sijnde ick segh t'bultich vlack des selfden even te sijn ant ghegheven clootvlack. Proef. Het bultich seulsvlack plat ontvouden sijnde, is een recthhouck soo breet als E F 14, ende soo lanck als den omtreck des grondts 44, daerom doet de selve rechthouck 616: Ende soo veel doet oock het clootvlack A B C D, deur het 18 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een seul gheteyckent diens bultich vlack even is ant vlack eens ghegeven cloots, na den eysch. 21 Voorstel. Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack eens ghegheven seuls. Tghegheven. Laet A B C een seul sijn, diens hoogde A B, ende gronts middellijn B C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich seulvlack. Twerck. Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A B en B C, welcke sy D E, daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, t'welck ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 13 voorstel vant 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende B C 7: T'welck so sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14. Daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten als D E, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde. Proef. Het bultich seulvlack plat ontvouden sijnde, is een rechthouck, soo lanck als A B 28, ende soo breet als den omtreck des ronts B C, dats 22, daerom doet de selve rechthouck 616, ende vervolghens t'bultich seulvlack doet 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn 14 deur het 12 voorstel des 2 boucx sy sijn dan even. {==190==} {>>pagina-aanduiding<<} Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen vervoughen. Hoe wel de voorgaende reghel corter is als de volghende, nochtans dese ghemeen sijnde op alle ghegheven vlack van form soot valt. Ten anderen op dat sijn Vorstelicke Ghenade te meer voorbeelden hebbe van t'ghemeen ghebruyck sijns reghels, en deur t'bedencken van welcke onnoodich is t'ghedacht met veel verscheyden reghelen te beswaren, heeft dit hier by laten voughen als volght: Ick neem deur t'ghedacht eenich rondt, als diens halfmiddellijn 7 en sie wat reden datter is van t'plat tottet viercant, der selve halfmiddellijn bevinde van 154 tot 49. Hier me segh ick aldus, A B C doende 616 mach sijn even vlack van form soot valt, wanneermen seght 154 gheeft viercant 49, wat 616? comt 196, diens sijde 14 voor D E. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack eens ghegeven seuls na den eysch. 22 Voorstel. Een rondt te teyckenen even an een ghegheven bultich keghelvlack. Tghegheven. Laet A B C een keghel sijn, diens sijde is A B, ende gronts middelpunt D, ende grondts halfmiddellijn B D. Tbecheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich keghelvlack. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A B en B D, welcke sy E F, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begeerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 14 voorstel vant 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A B, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende B D van 7; T'welck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14, daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten, als E F, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde. Proef. Het bultich keghelvlack ontvouwen sijnde is de middellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn A B 28 doet, ende de booch is soo lanck als den omtreck des ronts B C 44, daerom doet de selve middellijnsne ende vervolgens t'bultich keghelvlack 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn E F 14, sy sijn dan even. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegheven bultich keghelvlack, na den eysch. {==191==} {>>pagina-aanduiding<<} 23 Voorstel. Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack van een ghegheven corte keghel. Tghegheven. Laet ABCDEF een corte keghel sijn, diens sijde is C D, ende de halfmiddellijn des gronts F E, ende halfmiddellijn des decsels A C. Tbegheerde. Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven corten keghels. Twerck. Ick vinde de middeleveredenighe tusschen A F ende een lini even an A B met F E, welcke middeleveredenighe sy G H, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaē is int 16 voorstel vant 2 bouc des cloots ende seuls van Archimedes. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A F, die bevindende neem ick van 84 voeten, A B 7, E F 14: Twelck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen A F 84 ende 21, wesende de selve 21 de somme van A B 7 ende F E 14: T'selve middeleveredenich ghetal is 42: Daerom ghetrocken een lini van 42 voeten als G H, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft tbegheerde. Tbereytselder Proef: Laet F A en D C beyde voortgetrockē worden tot datse vergaren in I, sulcx dat I F D ghenomen wort voor den volcommen keghel. Proef. Het bultich vlack des corten keghels plat ontvouden sijnde, is de middellijnsne eens ronts, diens halfmiddellijn I F doet 168, deur het 6 voorstel des 2 boucx, ende de booch soo lanck als den omtreck des rondts F D 88, min de halfmiddellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn I A 84, ende booch soo lanck als den omtreck des rondts A C 44: Maer die eerste middellijnsne doet 7392, daer af ghetrocken d'ander middellijnsne, doende 1848, blijft voor t'begheerde bultich vlack 5544: Maer soo veel doet oock het ront beschreven vande halfmiddellijn G H 42, sy sijn dan even. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack van een ghegeven corte keghel na den eysch. {==192==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde deel des sesten bovcx van tverkeeren der lichamen. 24 Voorstel. Een plattighe pylaer te teyckenen, op een ghegheven rechtlinighe grondt, even an een ghegheven plattighe pylaer. Tghegheven. Laet A B C D E een plattighe pylaer sijn, diens hooghde A B, ende de gront een rechtlinich plat soot valt, als B C D E, voort sy F G H een rechtlinighe gront. Tbegheerde. Wy moeten op den gront F G H een pylaer teyckenen, even anden pylaer A B C D E. Twerck. Ick vinde de reden der twee {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} gronden F G H, B C D E in linien deurt vervolgh vant 8 voorstel deses 6 boucx, welcke sy als van I tot K, vinde daer na de vierde everedenighe van I, K, A B welcke sy G L: Daerom op den grondt F G H, ende onder de hooghde G L, gheteyckent den pylaer L G H F, ick seghse de begeerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 34 voorstel des 11 boucx van Euclides, deur dien hooghden en gronden in overhandtsche everedenheyt sijn. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet den gront F G H, die bevindende neem ick van 16 voeten, ende den gront B C D E van 4, ende hooghde A B 8. Dit soo sijnde, ick segh, 16 gheven 4, wat 8: Comt 2: Daerom ghetrocken G L lanck 2 voet, ende op den gront F G H onder de hooghde G L, een pylaer gheteyckent, men heeft t'begheerde. Proef. D'een en d'ander pylaer doet 32 voet, deur het 21 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een plattighe pylaer gheteyckent op een ghegheven rechtlinighe gront, even an een ghegheven platte pylaer, na den eysch. 1 Vervolgh. Soo een plattighe pylaer te teyckenen waer onder een ghegheven hooghde, even an een ghegheven plattighe pylaer, tis kennelick datmen soude moeten {==193==} {>>pagina-aanduiding<<} vinden een gront in sulcken reden totten gront des ghegheven pylaers, ghelijck haer hooghde totte ghegheven hooghde. 2 Vervolgh. Soo de ghegheven ende begheerde form naelden waren, t'is kennelick dat de wercking daer in soude sijn als de voorgaende. Hier by heeft sijn Vortelicke Ghenade noch dit doen vervoughen. Bekent sijnde de grootheyt des lichaems als A B C D E, mette gront als E G H: Hebbe het lichaem eē form soot valt, en de platte gront sy rechtlinich of cromlinich, alsmen t'ghetal des lichaems deelt deur t'ghetal des gronts, t'ghene daer uyt comt is altijt openbaerlick de hooghde des begheerden pylaers om even te sijn mettet ander lichaem. Maer soo de hooghde ghegheven waer, alsdan deur t'ghetal der selve ghedeelt t'ghetal des lichaems t'ghene daer uyt comt is altijt openbaerlick voor den gront des begheerden pylaers. 25 Voorstel. Een teerlinck te teyckenen even an een ghegheven plattich pylaer. Tghegheven. Laet A B C D E een plattighe pylaer sijn, diens hooghde A B, ende den gront die viercant is sy B C D E. Tbegheerde. Wy moeten een teerlinck teyckenen, even anden ghegheven pylaer. Twerck. Soo den ghegeven gront B C D E geen viercant en waer, men soudese daer in verkeeren deur het 9 voorstel van desen. Ick vinde dan twee middeleveredenige tusschen een sijde des viercants als B E, (die altijt voorgaet) {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende A B, welcker eerste sy F G, mette selve beschreven den teerlinck F G H, ick segse de begheerde te wesen. Tbewys. Als vier linien in gheduerighe everedenheyt sijn, ge, lijck het viercant van d'eerste tottet viercant der tweedealsoo de tweede totte vierde: Hier is dan tusschen dees twee pylaren overhandtsche everedenheyt der gronden en sijden, ende vervolghens soo sijnse even deur het 24 voorstel des 11 boucx van Euclides. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet B E, die bevindende neem ick van 3 voeten, A B 24, ende vinde tusschen de selve 3 en 24 twee middeleveredenighe ghetalen, welcke sijn 6 en 12, t'eerste van dien als 6 is voor een sijde des begeerden teerlincx: Daerom getrocken een lini lanck 6 voeten als F G, ende daer op gheteyckent een teerlinck {==194==} {>>pagina-aanduiding<<} als F G H, ick seghse de begheerde te wesen. Proef. Het een en t'ander lichaem doet 216 voet deur het 23 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een teerlinck gheteyckent, even an een ghegheven plattighe pylaer, na den eysch. Hier by heeft sijn Vortelicke Ghenade noch dit doen vervoughen. Bekent sijnde de grootheyt des lichaems als A B C D E, en wesende van form soot valt: De teerlincksijde van t'ghetal sijnder grootheyt, is altijt openbaerlick de langde der sijde daermen den begheerden teerlinck me maken moet. 26 Voorstel. Op een ghegheven rechtlinighe grondteen pylaer te teyckenen even an een ghegheven plattighe naelde. Tghegheven. Laet A B C D een rechtlinige gront sijn, ende E F G H I een plattighe naelde, diens gront is F G H I, ende hanghende E K. Tbegheerde. Wy moeten op den gront A B C D een pylaer teyckenen, even ande naelde E F G H I. Twerck. Ick vinde deur t'vervolgh {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} vant 8 voorstel deses boucx, twee linien L, M inde reden der ghegheven gronden, te weten ghelijck A B C D tot F G H I, alsoo L tot M. Segh daer na, L gheeft M, wat het derdendeel van E K? comt neem ick A N, voor hooghde des begheerden pylaers: Daerom op den grondt A B C D, ende onder de hooghde A N, gheteyckent den pylaer N C, men heeft t'begheerde. Tbewys. Een pylaer diens hooghde sulcken reden heeft tottet derdendeel der hooghde eender naelde, als des naeldens gront tot des pylaers gront, die pylaer ende naelde sijn even: Maer soodanighe sijn dese pylaer ende naelde deur t'werck, sy sijn dan even. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet den gront A B C D, die bevindende neem ick van 4 voeten, ende F G H I van 16, ende E K 6: Segh daer na, 4 gheeft 16, wat 2, wesende derdendeel van E K? Comt 8: Daerom ghetrocken A N 8 voeten, als hooghde: Voorts on- {==195==} {>>pagina-aanduiding<<} der de selve hooghde, ende op den gront A B C D, geteyckent den pylaer N C, men heeft t'begheerde. Proef. De naelde doet 32, alsoo oock doet den pylaer deur het 22 ende 21 voorstel des 2 boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan op een ghegheven rechtlinighe grondt een pylaer gheteyckent, even an een gegheven plattighe naelde, na den eysch. 27 Voorstel. Op een ghegheven rechtlinige gront een pylaer te teyckenen, even an een ghegheven plattich lichaem. Tghegheven. Laet A B cen rechtlinighe platte gront beteyckenen, ende C een plattich lichaem. Tbegheerde. Wy moeten op den gront A B een pylaer teyckenen even ant plattich lichaem C. Twerck. Ick deel het plattich lichaem C in sijn naelden, na de manier des 23 voorstels vant 2 bouck, te weten in soo veel naelden, alsser platten sijn min de platten daer den houck des ghemeenen soppunts af ghemaeckt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wort: Teycken daer na op den gegeven gront A B, een pylaer even an een dier naeldē, na de manier des 26 voorstels van desen, welcke pylaer sy A B D E: Teycken daer na alsoo op den gront E D een ander pylaer F D F G, even an een ander naelde, ende alsoo voortgaende ende beschrijvende soo veel pylaren d'een op d'ander alsser naelden sijn, soo moet de pylaer van al die vergaerde pylaren die ick neem A B H I te wesen, even sijn an al die vergaerde naelden te weten ant lichaem C: Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Telconstighe wercking van desen, is oock kennelick deur de voorgaende des 26 voorstels. Tbeslvyt. Wy hebben dan op een ghegheven rechtlinighe grondt, een pylaer gheteyckent, even an een ghegheven plattich lichaem, na den eysch. Vervolgh. Vyt het voorgaende is kennelick hoemen vinden sal de reden in rechte linien van ghegheven plattighe lichamen. Als by voorbeelt om te vinden de reden in rechte linien van twee naelden daer het lichaem C in ghedeelt wort, want die twee naelden verkeert sijnde in twee pylaren A B D E, E D F G, ick segh dat ghelijck de rechte lini A E, tot E G, alsoo d'een naelde tot d'ander. Maer sooder begheert waer de reden des plattich lichaems C, tot eenich ander veelplattich lichaem, men soude t'selve ander veelplattich lichaem oock verkeeren in een pylaer, diens gront even an den gront A B, en segghen daer na dat ghelijck A I totte hooghde van dien anderen pylaer, alsoo het lichaem C tot dat ander veelplattich lichaem. {==196==} {>>pagina-aanduiding<<} 28 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee onghelijcke plattighe lichamen: Een plattich lichaem te teyckenen even ant een ende ghelijck mettet ander. Tghegheven. Laet A en B twee onghelijcke plattighe lichamen sijn. Tbegheerde. Wy moeten een derde lichaem teyckenen even an A, ende ghelijck met B. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Ick segh, t'naformelick lichaem B, gheeft het lichaem A, wat eenighe sijde van B, ick neem E F? Comt neem ick (deur het vervolgh des 27 voorstels deses 6 boucx) C D, vinde daer na d'eerste der twee middeleveredenige linien tusschen E F ende C D, welcke sy G H: Op de selve als lijckstandige met E F geteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'begheerde. Tbewys. Want G H d'eerste der twee middeleveredenige is, tusschen E F en C D deut t'werck, soo is E F in sulcken reden tot C D, als t'lichaem op E F gheteyckent, te weten t'lichaem B, tot sijns ghelijcke lichaem op G H, te weten t'lichaem I: Maer ghelijck E F tot C D, alsoo t'lichaem B tottet lichaem A, deur t'werck: Daerom t'lichaem B, heeft tottet lichaem A ende I een selve reden, waer deur A ende I even sijn. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet het lichaem B, dat bevindende neem ick van 1600. Daer na t'lichaem A 200. Ende eenighe sijde des na formlicken lichaems B, als, neem ick, de sijde E F 16. Segh daer na 1600 eerste in d'oirden, geeft 200 tweede in d'oirden, wat 16 derde in d'oirden? Comt 2. Vinde daer na t'eerste der twee middeleveredenighe ghetalen tusschen 16 derde in d'oirden, ende 2 vierde in d'oirden, t'welck is 8. Daetom ghetrocken een lini van dier langde als G H, ende daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'be- {==197==} {>>pagina-aanduiding<<} gheerde. Proef. Anghesien ghelijcke lichamen tot malcander sulcke reden hebben als de teerlinghen van haer lijckstandighe sijden, ick segh 4096 teerlinck van E F 16, gheeft 512 teerlinck van G H 8, wat het lichaem B 1600? Comt voor l 200, even ant lichaem A. Ander corter vvercking deur ghetalen, ghevonden deur sijn Vorstelicke Ghenade. B 1600, gheeft den teerlinck van E F 4096, wat A 2001comt teerlinck 512, diens sijde 8: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als G H, en daer op als lijckstandighe met E F gheteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee onghelijcke plattighe lichamen: Wy hebben een plattich lichaem gheteyckent even ant een ende ghelijck mettet ander, na den eysch. 29 Voorstel. Een seul te teyckenen even an een ghegheven cloot. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C. Tbegheerde. Wy moeten een seul teyckenen even an dien cloot. Twerck. Ick teycken het rondt E F G H, even ant grootste {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} rondt des cloots A B C D: Treck daer na H I even ande ⅔ van A C, ende rechthouckich opt ront E F G H, teyckenende op den selven gront ende onder de hooghde H I de seul E F G H I, die ick segh even te sijn anden cloot A B C D, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 32 voorstel vant 1 bouck des cloots ende seuls van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A C die bevindende neem ick van 14 voeten, daer af de twee derdendeelen doen 9 1/32 Daerom gheteyckent een seul diens grondt E F G H even is ant rondt A B C D, ende hooghde H I 9⅓ voet, men heeft t'begheerde. Proef. Die cloot ghemeten na de leering des 24 voorstels vant 2 bouck, en de seul menichvuldighende de grondt met de hooghde, worden evegroot bevonden, te weten elck van 1437⅓ voeten. 30 Voorstel. Op een ghegheven rondt een seul te teyckenen, even an een ghegheven cloot. Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C, ende den grondt sy t'rondt E F G H. Tbegheerde. Wy moeten op den grondt E F G H, een seul teyckenen even anden cloot. {==198==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick vinde de vierde everedenighe der twee H F, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A C welcke sy I: Treck daer na H K even ande ⅔ van I, ende rechthouckich opt rondt E F G H: Teycken daer na opt selve rondt als grondt, ende onder de hooghde H K de seul E F G H K, die ick segh even te sijn anden cloot A B C D, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt t'verkeerde des 1 voorstels vant 2 bouck des cloots ende seuls van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet H F, bevinde die neem ick van 7 voet, A C 14, souck daer na het vierde everedenich ghetal der selve 7 en 14, t'welck is 56: De ⅔ van dien doen 37 1/32 Daerom ghetrocken een lini van dier langde als H K, rechthouckich op den grondt E F G H, voort op de selve ende onder de hooghde H K ghetrocken de seul E F G H K, men heeft t'begheerde. Proef. Die cloot ghemeten na de leering des 24 voorstels vant 2 bouck, en de seul menichvuldighende de gront met de hooghde, worden evegroot bevonden, te weten elck van 1437⅓. Tbeslvyt. Wy hebben dan op een ghegheven rondt een seul gheteyckent even an een ghegheven cloot na den eysch. Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen vervoughen. A B C D doende 1437⅓ mach sijn een lichaem van form soot valt, wanneermen de 1437⅓ deelt deur 38½ des ghegheven rondts E F G H, datter uyt comt als 37⅓ is voor de hooghde H K, om den seul even te hebben mettet ander lichaem. 1 Vervolgh. Sooder op een ghegheven rondt een keghel te teyckenen waer even an een ghegheven cloot, t is kennelick datmen de lini K H soude vindē als boven, want onder de hooghde driemael soo lanck K H, ende op den gront E F G H, een keghel gheteyckent, men soude t'begheerde hebben. 2 Vervolgh. Deur t'verkeerde van dit voorstel is kennelick hoemen een cloot sal teyckenen even an een ghegheven seul: Als by voorbeelt ghegheven sijnde de seul E F G H K, men soude trecken een lini in sulcken reden tot H K, gelijck 3 tot 2, als I, vindende daer na d'eerste middeleveredenighe der twee tusschen H F en I, want op de selve als as een cloot gheteyckent, men heeft t'begheerde. 3 Vervolgh. Sooder op een ghegheven hooghde een seul te teyckenen waer, even an een ghegheven cloot, t'is deur verkeering der voorgaende everedenheydt openbaer {==199==} {>>pagina-aanduiding<<} hoemen daer mede toe soude gaen, want ghegheven sijnde de hooghde H K, men soude vinden de middeleveredenige tusschen de 3/2 van H K, ende A C, daer na de derde everedenighe van die gevonden, ende A C, want de selve derde soude voor middellijn des gronts verstrecken om de begeerde seul op te teyckenen. 31 Voorstel. Een keghel te teyckenen even an een ghegheven kegelsche eens rechthouckighen keghels. Tghegheven. Laet A B C de keghelsche sijn eens rechthouckighen keghels, diens gronts middellijn B C, ende as A D is. Tbegheerde. Wy moeten een keghel teyckenen even an die keghelsche. Twerck. Ick treck D A opwaert, alsoo {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dat D E sulcken reden heeft tot D A, als 3 tot 2, daer na teycken ick op den grondt B C ende hooghde D E de keghel E B C, die ick segh de begheerde te wesen. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden A B, A C. Tbewys. De keghelsche A B C is in sulcken reden totten inschreven keghel A B C, als 3 tot 2, deur het 23 voorstel vant bouck der keghelsche ende clootsche van Archimedes. Ende de keghel E B C, is oock in sulcken reden tot den keghel A B C, als 3 tot 2 deur t'werck. Daerom de keghelsche A B C ende de keghel E B C sijn even. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet A D die bevindende neem ick van 6 voeten, daer toe altijt den helft van dien maeckt 91 Daerom ghetrocken D A opwaert tot E, sulcx dat D E doet 9 voeten, voort onder de hooghde D E, ende op den gront B C, gheteyckent den keghel E B C, men heeft t'begeerde. Proef. B C als middellijn des gronts ghemeten sijnde wort bevonden, neem ick van 10 voeten: T'welck soo wesende de keghelsche A B C sal doen 235 5/7 voeten, dent het 27 voorstel des 2 boucx, en de keghel sal oock soo veel bevonden worden, na de manier der meting vande naelde int 22 voorstel des 2 boucx, menich vuldighende den grondt deur het derdendeel der hooghde. {==200==} {>>pagina-aanduiding<<} Hier by heeft sijn Vorstelicke Ghenade noch dit doen voughen, dienendeint ghemeen soo vvel voor het volghende 32, 33, en 34 voorstel, als voor dit 31. Ghedeelt t'ghetal der ghegheven lichamelicke grootheyt, deur t'ghetal des gronts, daermen de keghel op wil teyckenen, en den mael deur 3 ghemenichvuldicht, t'ghene daer uyt comt is voor de hooghde des begheerden keghels. Tbeslvyt. Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even an een ghegheven keghelsche eens rechthouckighen keghels, na den eysch. 32 Voorstel. Een keghel te teyckenen even an een ghegheven corte keghel. Tghegheven. Laet A B C D een corte keghel sijn, diens gronts middellijn D C, ende decksels middellijn A B. Tbegheerde. Wy moeten een keghel teyckenen even ande selve corte keghel. Twerck. Ick vinde de vierde everedenighe van D C, A B {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} welcke sy C E, die ick teycken in C D, treck daer na D A en C B voorwaert, tot datse vergaren in F: Treck oock de hanghende F G: Segh daer na C E gheeft E D, wat F G? Comt neem ick G H, die ick teycken in G F, ofte in haer voortghetrocken. Daer na onder de hooghde G H, ende op den gront A B, gheteyckent de keghel H A B, ick segse de begheerde te sijn. Tbewys. Anghesien A B, C D, lijck standige linien sijn in twee ghelijcke keghels F A B, F D C, ende dat C E vierde everedenige is der selve twee D C, A B deur t'werck, soo heeft de keghel F A B sulcken reden totte keghel F D C, als C E tot D C: ende deur ghescheyden reden gelijck C E tot D C min C E, dats tot D E, alsoo de keghel F A B totte keghel F D C min F A B, dats totte corte keghel A B C D: Maer gelijck E C tot D E, alsoo oock G F tot G H, ende ghelijck G F tot G H, alsoo de keghel F A B totte kegel H A B: Daerom de keghel F A B heeft totte corte keghel A B C D ende totte kegel H A B een selve reden: Daerom de keghel H A B is even ande corte keghel A B C D. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. F G voorwaert ghetrocken sijnde tot I op de lini D C, soo meet ick G I met voeten ende bevindese neem ick van 24. D C 56. AB 28. {==201==} {>>pagina-aanduiding<<} Vinde daer na het vierde everedenich ghetal der twee 56 tweede in d'oirden, ende 28 derde in d'oirden, t'welck is als voor C E 7. Die ghetrocken van 56 tweede in d'oirden, blijft voor D E 49. Maer doende A B, D C, en G I als boven, soo doet F G deur het 3 vervolgh van het 6 voorstel des 2 boucx 24. Segh daer na 7 vierde in d'oirden, gheeft 49 vijfde in d'oirden, wat 24 seste in d'oirden Comt 168. Daerom gheteyckent een keghel diens hooghde 168 voeten, op den grondt diens middellijn A B, als de keghel H A B, men heeft t'begheerde. Proef. De keghel H A B ghemeten na de maniere der naelde int 22 voorstel des 2 boucx doet 34496, ende soo veel wort oock bevonden de ghecorte keghel A B C, treckende de keghel F B A, vande keghel F C D. Ander vvercking deur ghetalen die corter is. Ghemeten hebbende G I, D C, A B, ende die bevonden als boven, Ick vinde oock alsvooren G F te doen 24. T'welck soo sijnde de heele keghel F D C doet 39424: daer af ghetrocken de keghel F A B, doende 4928, blijft voor de corte keghel als boven 34496, daerom een keghel van dier grootheyt ghemaeckt, men heeft t'begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even an een ghegheven corte keghel, na den eysch. 33 Voorstel. Een keghel te teyckenen even an een ghegheven clootsche. Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn, diens grootste middellijn A C, ende d'ander daer op rechthouckich D B, ende t'middelpunt sy E. Tbegheerde. Wy moeten een keghel teyckenen even ande clootsche. Twerck. Ick treck de lini E A voorwaert tot F, alsoo dat E F dobbel sy an A C; daer na F B, F D: T'welck soo wesende ick segh de keghel F B D even te sijn ande clootsche A B C D, waer af t'bewijs ghedaen is int 29 ende 30 voorstel vant bouck der keghelsche ende clootsche van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick meet A C, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende B D van 14: Segh daer na het dobbel van A C 28 doet 56: Daerom gheteyckent een keghel diens hoogde 56, ende gronts middellijn 14, als de keghel F B D, men heeft t'begheerde. Proef. De keghel ghemeten na de manier der naelde, int 22 voorstel des 2 boucx, en de clootsche als int 27 voorstel der selven 2 boucx, worden elck bevonden van 2874⅔. Tbeslvyt. Wy hebben dan een keghel gheteyckent even an een ghegheven clootsche na den eysch. {==202==} {>>pagina-aanduiding<<} Vervolgh. Ghemerckt dat alle cloot oock clootsche is, soo houdt dese reghel oock plaets inde clooten, want de keghel gheteyckent op een gront even an des cloots grootste rondt, ende onder de hooghde dobbel an des cloots as, de selve keghel is even met dien cloot. 34 Voorstel. Een keghel te teyckenen even an de ghegheven coordsne der clootsche. Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn, diens {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} middelpunt E, ende langsten as A C, van welcke clootsche gesneen is de coordsne D B A, ende het asdeel daer in bestaende A F. Tbegheerde. Wy moeten een keghel teyckenen even ande coordsne A D B. Twerck. Ick treck C A oneyndelick voorwaert na G: Vinde daer na de vierde everedenighe lini der drie diens eerste C F, de tweede C F met C E, de derde F A, welcke vierde sy F H, gheteyckent inde oneyndelicke F G. Daer na opt rondt diens middellijn D B, ende onder de hooghde F H, geteyckent de kegel H D B, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 2 voorstel vant 2 bouck des cloots en seuls van Archimedes. Derghelijcke vvercking deur ghetalen. Ick meet C F met voeten die bevindende neem ick van 46. C E 28. F A 10. Segh daer na 46 eerste in d'oirden gheeft 74 somme van 46 en 28 eerste en tweede in d'oirden, wat 10 derde in d'oirden Comt 16 2/23. Daerom ghetrocken een lini van dier langde als FH, voort onder die hooghde ende op den grondt diens middellijn D B gheteyckent een keghel als H D B, ick seghse de begheerde te wesen. Proef. Laet D B, middellijn vande grondt des keghels H D B ghemeten sijnde bevonden worden van neem ick 21 voeten: T'welck soo sijnde de keghel H D B ghemeten na de manier der naelde int 22 voorstel des 2 boucx, en de coordsne A D B als int 28 voorstel des selven 2 boucx, worden elck bevonden van 1858 1/23. Tbeslvyt. Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even ande ghegheven coordsne der clootsche, na den eysch. Merckt. Men soude hier noch meughen verscheyden voorstellen beschrijven, maer alsoose uyt het voorgaende openbaer ghenouch schijnen, soo sullen wy die corheytshalven als vervolghen stellen. {==203==} {>>pagina-aanduiding<<} 1 Vervolgh. Soomen wilde teyckenen een keghel even ande clootschens middellijnsne D E B A, men soude inde lini H G teyckenen t'punt I; alsoo dat H I even waer an F E, en de keghel I D B soude de begheerde wesen. Want alsoo de twee keghels H D B, E D B, op een selve gront D B sijn, en dat des keghels I D B hoogde I F, even is an d'ander twee hooghden t'samen, soo moet dese keghel I D B, even sijn an d'ander twee; En vervolghens ande middellijnsne A B E D. 2 Vervolgh. Ghelijck de middellijnsne D E B A, bestaet uyt de coordsne D B A, en noch daer toe de keghel E D B, alsoo bestaet de middellijnsne D E B C uyt de coordsne D B C, min de keghel E D B: Daerom alsmen een kegel wil teyckenen even ande middellijnsne D E B C, t'is kennelick datmen vande keghel even ande coordsne D C B, die ick neem D K B te wesen, sal moeten trecken de keghel D E B, dat is datmen sal teyckenen de langde E F van K na F, als van K neem ick tot L, want de keghel daer op ghemaeckt als L D B, is even ande middellijnsne D E B C. 3 Vervolgh. Anghesien de langcloot en cloot,Species. afcomsten sijn, diensGenus. gheslacht clootsche, soo is alle cloot oock clootsche, daerom t'ghene inde twee boveschreven vervolghen int ghemeen vande clootsche gheseyt is, houdt oock plaets inden cloot. Doch can des cloots middellijnsne deur een corter wech dan boven in een keghel verkeert worden, want teyckenende deur het 18 voorstel deses 6 boucx, een rondt even ant bultich vlack der coordsne, voort opt selve rondt als grondt, en onder de hooghde even anden as des heelen cloots een keghel geteyckent, men heeft alsoo oock t'begheerde. 4 Vervolgh. Clooten, Clootsche, Seulen, Keghels, Ghecorte keghels, en keghelsche van rechte keghels, connen deur t'voorgaende al verkeert worden in keghels, en de keghel weerom in elck van d'ander, waer deur oock openbaer is dat elck der boveschreven verkeert can worden in elck van d'ander, van welcke men seer veel verscheyden voorstellen soude meughen beschrijven, maer sy schijnen deur t'voorgaende openbaer ghenouch. 5 Vervolgh. Wy hebben inde formen der boveschreven voorstellen deses sesten boucx ghenomen sticken van lanckronden, keghelsneen, keghels, naelden, Pylaren, Seulen, en Sticken van clootsche diens assen op haer gront rechthouckich commen: Doch ist kennelick de reghel ghemeen te wesen oock over de ghene die op haer gronden scheefhouckich commen. Der meetdaets EYNDE.