Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet

[p. 99]

Eerste deel des derden bovcx vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der linien.

1 Voorstel.

Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien haer somme te vinden in een haers ghelijcke lini.

Merckt.

Want ons inde Telconst de vierafcomsten int heel ende ghebroken ontmoeten, soo sullen wy der ghelijcke met grootheden navolghen, stellende daer af in yder voorstel verscheyden voorbeelden.

1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

Tghegheven. Laet A, B, C, drie vergaerlicke rechte linien sijn. Tbegheerde. Wy moeten haer somme in een rechte lini vinden.

Twerck.

Ick trecke de oneyndelicke D E, ende neem op den passer de langde der lini A, die vervoughende inde lini D E, van D tot F: daer na de langde B van F tot G, ende de langde C van G tot H, t'welck soo sijnde, de lini D H is de begheerde somme, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, B van 7, C van 9; De selve vergaert maken 27: Daerom ghetrocken een lini als D H lanck 27 voeten, men heeft t'begheerde.

2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

Laet begheert worden de somme vanden ⅔ der lini A, mette ¾ der lini B.

Twerck.

Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens ⅔ doen	733 ②.
Ende B van 7 voeten, diens ¾ doen	520 ②.
Somme	1253 ②.

[p. 100]

Daerom een lini soo lanck ghetrocken, die ick neem I te wesen, men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Merckt.

De vraghe mocht wesen of alle rechte linien ghelijcke mueghen geseyt worden soose hier boven ghenoemt sijn? Mijn reden sulcx toestaende is dusdanich: Boghen even houcken begrijpende, worden ghelijcke linien gheseyt, maer ghelijcke boghen connen uytghereckt worden oncrommer ende oncrommer, soo dat haer verschil van rechte linien, cleender sy dan eenighe ghestelde lini, nochtans boghen ende ghelijcke linien blijvende: T'welck soo sijnde waerom soude d'alder laerste uytrecking in een rechte lini de naem van ghelijckheyt doen verliesen? De reden en schijnet niet te willen.

3 Voorbeelt van cromme linien.

Tghegheven. Laet A B, C D, twee rondens omtrecken sijn.

Tbegheerde. Wy moeten haer somme in een rondts omtreck vinden.

Twerck.

Ick teycken inde ghegeven



omtrecken twee lijckstandige rechte linien, als haer middellijnen: Die van A B sy E F, ende van C D sy G H: Treck daer na I K even an E F met G H, beschrijf op de selve als middellijn den omtreck I L K M, die ick segh de begheerde somme te sijn.

Tbewys.

Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E A F B, alsoo G H, tot G C H D, alsoo oock I K, tot I L K M: Ende deur versaemde reden, ghelijck E F met G H, tot E A F B met G C H D, alsoo I K, tot I L K M: Maer E F met G H, sijn t'samen even an I K deur t'werck, daerom E A F B, ende G C H D, sijn t'samen even an I L K M, ende vervolghens soo is den omtreck I L K M de begheerde somme van d'ander twee.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet E F, die bevindende, neem ick, van 11 voeten, ende G H van 7, maken t'samen 18, daerom ghetrocken een lini lanck 18 voeten als I K, ende daer op als middellijn een omtreck I L K M beschreven, sy is de begheerde somme, waeraf t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is.

Vervolgh.

De formen des voorstels sijn hier gestelt als linien in een plat, doch ist openbaer de reghel ghemeen te wesen op alle ghelijcke linien hoedanich die sijn, soo wel in cromme vlacken als in platten beschreven: T'welck hem oock alsoo verstaet inde drie eerstvolghende voorstellen. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien, wy hebben haer somme gevonden in een haers ghelijcke lini, na den eysch.

[p. 101]

2 Voorstel.

Wesende ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke: De rest te vinden in een derghelijcke lini.

1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini wesen, ende C de aftreckelicke.

Tbegheerde. Wy moeten haer rest in een rechte lini vinden.

Twerck.

Ick neem op den passer de langde van C, vervough die inde



lini A B van A tot D: T'welck soo sijnde D B is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B, bevinde die, neem ick, van 11 voeten, en C van 7 voeten, die ghetrocken van 11, rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als D B, men heeft t'begheerde.

2 Voorbeelt vanrechte linien int ghebroken.

Laet te trecken sijn de ⅖ der lini C, vande ¾ der lini A B.

Twerck.

Ick meet A B, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens ¾ doen	825 ②.
Daer na C van 7 voeten, diens ⅖ doen	280 ②.
Welcke ghetrocken van t'eerste in d'oirden blijft	545 ②.

Daerom een lini soo lanck gheteyckent men heeft de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

3 Voorbeelt van cromme linien.

Tghegheven. Laet den omtreck des ronts A B een cromme lini sijn, ende den omtreck C D de aftreckelicke. Tbegheerde. Wy moeten haer rest in eens rondts omtreck vinden.

Twerck.

Ick teycken inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien, als neem



ick haer middellijnen: Die van A B sy E F, ende van C D sy G H: Treckdaer na I K even ant overschot van E F boven G H, beschrijf op de selve als middellijn dē omtrec ILKM, die ick segh de begheerde rest te sijn.

Tbewys.

Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E A F B, alsoo G H tot G C H D, alsoo oock I K tot I L K M: ende deur ghescheyden reden ghelijck E F min G H,

[p. 102]

tot E A F B min G C H D, alsoo I K tot I L K M. Maer E F min G H is even an I K deur t'werck, daerom E A F B min G C H D is even an I L K M, ende vervolghens I L K M is de begheerde rest.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet E F die bevindende neem ick van 11 voeten, ende G H van 7, die ghetrocken vande 11 rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als I K, ende daer op als middellijn een omtreck I L K M beschreven, sy is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is.

Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke, wy hebben de rest in een derghelijcke lini ghevonden na den eysch.

3 Voorstel.

Wesende ghegheven een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, den uytbreng te vinden in een lini ghelijck mette ghegheven.

Menich vulder niet dan ghetal te connen wesen, is bethoont int 6 probleme de la premiere partie de nostre Pratique d'Arithmetique t'welck hem oock alsoo verstaet inde deeling metten^* mael die oock altijt ghetal is.

* Quotiente.

1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

Tghegheven. Laet A B een menichvuldelicke lini sijn, ende 213 den menichvulder. Tbegheerde. Wy moeten den uytbreng in een rechte lini vinden.

Merckt.

Ghelijck de menichvuldighing en deeling der ghetalen gheseyt worden vercortinghen der vergaring en aftrecking, alsoo ontmoet ons hier der ghelijcke in grootheden, want soo ymant wilde vergaren 213 linien even an A B na de manier des 1 voorstels deses 3 boucx, hy soude t'begheerde hebben, maer de volghende wercking is corter, t'welck hem oock alsoo verstaen sal op de nabeschreven menichvuldighing en deeling der vlacken ende lichamen.

Twerck.

Ick treck de oneyndelicke lini C D, ende neem op den passer de langde A B, stel die thienmael inde lini C D, t'welck comt neem ick van C tot E: Ick open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini C D, t'welck comt tot F, neem daer na op den passer de langde C F, die vervoughende van F tot G, sulcx dat C G doet 200. Om nu noch 13 te hebben, soo beteyckent H E 10, daerom ghenomen van E na C noch 3 deelen, als van E tot I, ende de passer dan gheopent van H tot I, ende de selvelangde vervought van G tot K, soo is de lini C K de begeerde, te weten 213 mael soo lanck als A B, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

[p. 103]

Vyt de boveschreven thienvoudighe vermeerdering, is kennelick den ghemeenen voortganck van allen, want om duysenden te hebben soudemen den passer openen op thien hondert, ende soo voort mette volghende.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet A B, bevinde die neem ick van 3 voeten, de selve gemenich vuldicht met 213 comt 639, daerom ghetrocken een lini lanck 639 voet en men heeft den begheerden uytbreng.

2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

Laet te menichvuldighen sijn de ¾ der lini A B deur ⅚.

Twerck.

Ick meet A B, bevinde die neem ick van 3 voeten, diens ¾ doen 9/4 de selve gemenichvuldicht met ⅚ comt 1875 ③, daerom een lini soo lanck getrocken men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

3 Voorbeelt van cromme linien.

Tghegheven. Laet den omtreck des rondts A B een cromme lini sijn, ende den menichvulder 6. Tbegheerde. Wy moeten haer uytbreng vinden.

Twerck.

Ick teycken inden ghegheven omtreck eenighe rechte lini als neem ick de middellijn C D, menichvuldigende de selve met 6 na de manier des 1 voorbeelts deses voorstels, waer af den uytbreng sy de rechte lini E F, ende beschrijf op de selve als middellijn den omtreck E G F H, die ick segh den begheerden uytbreng te wesen.

Tbewys.

Ghelijck de middellijn E F, totten omtreck E G F H, alsoo de middellijn C D, totten omtreck C A D B, ende deur overanderde reden ghelijck E F tot C D, alsoo E G F H tot C A D B, maer E F is sesmael soo lanck als C D deur t'werck, daerom den omtreck E G F H is sesmael soo lanck als den omtreck C A D B.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ghenomen C D lanck te sijn 7 voeten, die 6 mael doen 42, daerom ghetrocken een lini als E F van 42 voeten, ende daer op als middellijn beschreven den omtreck E G F H, men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven

[p. 104]

een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, wy hebben den uytbreng ghevonden na den eysch.

4 Voorstel.

Wesende ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, haer mael te vinden.

1 Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

Tghegheven. Laet C K int 1 voorbeelt des 3 voorstels van desen 3 bouck een deelelicke lini sijn, ende de lini A B deelder.

Tbegheerde. Wy moeten den mael vinden.

Twerck.

Ick neem op den passer de langde A B, stel die thienmael inde lini C K, t'welck comt neem ick van C tot E, open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini C K, t'welck comt tot F, neem daer na op de passer de langde C F, die vervoughende van F tot G, sulcx dat C G doet 200, daerom den mael doet voor al 200: Maer om nu te weten hoe veel datter van weghen G K noch toe moet commen, ick neem op den passer de langde der selve G K, bevinde die neem ick te commen van H tot I doende 13, die mette boveschreven 200 maken 213 voor den begeerden mael, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet C K, bevinde die neem ick van 639 voeten, ende A B van 3 voeten, daer deur ghedeelt de 639 comt 213, ende soo menichmael is een lini als A B inde lini C K.

2 Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

Laet te deelen sijn de ⅔ der lini C K int 1 voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, deur de ⅗ der lini A B.

Twerck.

Ick meet C K, bevinde die neem ick van 213 voeten, diens ⅔ doen 142. Ick meet daer nae A B, die bevindende van 3 voet, diens ⅗ doen 9/5: Deur de selve ghedeelt de boveschreven 142, comt voor begheerden mael 78 8/9. Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

3 Voorbeelt van cromme linien.

Tghegheven. Laet den omtreck E G F H int 3 voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, te deelen sijn deur den omtreck C A D B als deelder.

Tbegheerde. Wy moeten haer mael vinden.

Twerck.

Ick treck inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien als de middellijnen E F, C D, ende deelende E F deur C D na de manier

[p. 105]

des 1 voorbeels deses voorstels, vinde voormael neem ick 6, die ick segh den begeerden mael der omtrecken te wesen, waer af t'bewijs deur t'verkeerde bewijs der menichvuldiging openbaer is.

Ander vvercking deur ghetalen.

Ick meet de rechte lini E F, bevinde die neem ick van 42 voeten, ende C D van 7, deur de selve ghedeelt de 42, comt voor begheerde mael 6, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is, Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, wy hebben haer mael ghevonden na den eysch.