Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet

Derde deel des tweeden bovcx vant meten der lichamen.

Ons voorghenomen meting der lichamen sal sijn van pylaren, naelden, plattighe lichamen int ghemeen, ende vande clootsche.

21 Voorstel.

Een ghegheven pylaer te meten.

Tghegheven. Laet A B C D E F G H een viercante pylaer sijn, diens gront A B C D doe 9, ende hooghde B F 8. Tbegheerde. Wy moeten sijn inhoudt vinden.

Twerck.

Ick menichvuldighe den gront A B C D 9, deur de hooghde B F 8, comt voor t'begheerde inhoudt des pylaers 72.

Merckt.

T'ghene hier gheseyt is vanden pylaer diens gront een viercant is, salmen oock alsoo verstaen van allen: Want den gront een drichouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of

[p. 89]

ongheschickte form wesende (diens platten deur het 2 deel van desen 2 bouck bekent worden) men menich vuldichtse altijt deur de hooghde. Een dijck of wal wiens meting inde bedijckte landen en sterckten genouch te vooren comt, wort int meten aengesien voor een liggende pylaer, diens gront een bijl is, waer deur haer meting de gemeene reghel volght. Laet by voorbeelt A B C D E een dijck sijn, welcke anghesien voor een ligghende pylaer, soo sal de bijl A B C D, des pylaers gront beteeckenen, ende F B rechthouckich op D C, sy de hooghde des dijcx, B E de langde: Nu ghenomen dat D C 36 voeten doet, A B 12, ende F B 15, B E 100, soo sal de bijl groot sijn 360 voeten deur het 2 voorbeelt des 11 voorstels van desen, de selve ghemenichvuldicht mette langde B E 100, comt voor t'begheerde 36000 teerlincksche voeten, waer af t'bewijs openbaer is.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven pylaer ghemeten na den eysch.

22 Voorstel.

Een ghegheven naelde te meten.

Tghegheven. Laet A B C D E een naelde sijn, diens gront B C D E een viercant is, doende 9, ende de hooghde F A 8. Tbegheerde. Wy moeten haer inhoudt vinden.

Twerck.

Ick menich vuldige de gront B C D E 9, deur de hoochde F A 8, comt 72, diens derdendeel 24 is voor t'begheerde inhoudt der naelde.

Merckt.

T'ghene hier gheseyt is van een naelde diens gront een viercant, sal hem oock alsoo verstaen van allen anderen, want den gront een drichouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of ongheschickte form wesende (diens begrijp deur het 2 deel deses 2 boucx bekent wort) men menich vuldichtse altijt deur de hooghde, of hangende, nemende vanden uytbreng het derdendeel, waer af t'bewijs openbaer is deur t'vervolgh van het 7 voorstel des 12 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven naelde gemeten na den eysch.

Vervolgh.

Tis kennelick dat ghemenichvuldicht de gront eens keghels deur de hooghde, en vande uytbreng het derdendeel genomen, datmen sal hebben den inhout des keghels ghelijck vande naelde.

[p. 90]

23 Voorstel.

Een ghegheven plattich lichaem van form soot valt te meten.

1 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet ten eersten A B een teerlinck wesen diens ses viercanten sijn A C D E, D B F E, F B G H, G H A C, C G B D, A H F E, waer af elcke sijde doet 3. Tbegheerde. Wy moet en het inhoudt des teerlincx vinden, na de ghemeeene reghel der meting van alle plattighe lichamen.

Twerck.

Het is te weten dat ghelijck een veelhouckich rechtlinich plat, ghedeelt wort deur linien uyt een houck tot d'ander houcken commende, in so veel driehoucken alsser sijden sijn, min soo veel sijden als daer dien eenen houck af gemaeckt is: Alsoo wort een plattich lichaem ghedeelt deur linien uyt een lichamelicken houck tot al d'ander lichamelicke houcken commende in soo veel naelden alsser platten sijn, min de platten daer dien eenen houck af ghemaeckt is. Laet ons by voorbeelt inden teerlinck den lichamelicken houck C, nemen voor ghemeen



sop der naelden, ende noch vier linien trecken of bedencken, als C E, C H, C B, C F mette selve is den teerlinck ghedeelt in drie naelden, als C E D B F, C A E F H, C H F B G diens ghemeen sop C: Daerom ghelijck wy boven gheseyt hebben, dit plattich lichaem is hier mede in soo veel naelden gedeelt alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien lichamelicken houck C af ghemaeckt is, te weten drie, namelick C A H G, C G B D, C D E A, welckegetrocken vande ses platten, blijven noch drie platten voor gronden der drie naelden, als E D B F, A E F H, H F B G. Nu dan dit lichaem aldus ghedeelt wesende in sijn drie naelden, men sal elcke meten na de leering des 22 voorstels in deser voughen: Eerst om te meten de naelde C E D B F, ick menich vuldighe E D 3 in sich, comt voor den gront E D B F 9, die ghemenichvuldicht met haer hooghde D C 3, comt 27, diens derdendeel voor de naelde C E D B F 9. S'gelijcx doende mette naelde C A E F H, menichvuldighende den gront A E F H, deur haer hooghde C A, ende den gront H F B G, der naelde C H B G, oock deur haer hooghde C G, men sal elcke naelde als d'ander van 9 bevinden, welcke drie naelden maken t'samen 27 voor t'begheerde. Tbewys daer af is dat al de deelen even moeten sijn an haer gheheel: Ende de proef dat den ghegheven teerlinck ghemeten als pylaer (gelijckt oock een^* afcomst des selfden is) na de leering des 21 voorstels men bevintse oock van 27.

Nu t'voorbeelt dat wy hier claerheytshalven ghestelt hebben van een gheschickt lichaem, verstaet hem alsoo op alle plattighe lichamen hoe sy sijn, wantse ghelijck vooren gheseyt is, connen ghedeelt worden in soo veel naelden alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien eenen houck af ghemaeckt is,

* Species.

[p. 91]

welcke naelden al t'samen een ghemeen sop hebben, uytghenomen eenighe form daer afwy int eynde van dit voorstel segghen sullen.

2 Voorbeelt.

Int 1 voorbeelt was de hangende oft hooghde der naelden licht om vinden, ja deur t'ghegheven bekent: Maer wantse in ongheschickte lichamen soo wel buyten als binnen t'lichaem vallen, soo sullen wy van t'vinden der selve wat verclaring doen.

Men sal hebben van stof daer toe bequaem, een cruys



als A B C D ende een rije E F rechthouckich opt selve cruys, sulcx dattet op een platte vloer gheleyt wesende, soo staet die rije E F opt selve plat rechthouckich. Om nu hier mede alsulcke hanghende of hooghden der naelden te vinden, soo is voor al te weten dattet meetbaer lichaem, of beweeghlick is, te weten datment keeren en wenden mach, ende sulcken gront onder brengen alsmen wil: Oft onbeweeghlick, moetende op den gront blijven daert op



rust. Soot beweeghlick is, men salt op een effen tafel of platte vloer legghen, metten gront neerwaert, diens naelde men begeert te meten: soo dan de hanghende buyten t'lichaem valt, men sal den voorschreven tuych op de selve tafel stellen daer t'lichaem op rust, ende ant ghemeen sop vervoughen, als in dese form te sien is, daer na de langde als G H ghemeten sijnde, men heeft die naeldens ghesochte hooghde welcke alsoo ghevonden wesende, men sal t'lichaem op een ander naeldensgront keeren, ende meten alsdan haer hanghende alsvooren. Maer soo de ghesochte hanghende int lichaem viel als hier onder I K, hangende des lichaems L M K N O, mettet plat L O op de platte tafel of vloer P Q, men sal nemen een rechte platte rije R S, die legghende opt punt K alsoo dat de



linien T P, ende V X (die verstaen worden beyde rechthouckich op de platten te wesen) even lanck sijn, want de langde der selve is oock de langde der ghesochte I K. Sulcx dan soo dickwils doende als t'lichaem meetbaer naeldensgronden heeft (dat sijn als boven gheseyt is, al de uytwendighe platten, uytghenomen die den houck des ghemeenen soppuntshelpen maken, want daer op gheen naelden vallen en connen) men vindt al de begheerde hanghende.

Maer soo t'lichaem onbeweeghlick waer, ende op sijn gront moest blijven ligghen, men sal teghen d'ander naeldensgronden een plat bart legghen, die gebruyckende als voor de boveschreven tafel of vloer daer t'lichaem op light, vinden de daer op de naeldens hanghende ofte hooghde als boven.

[p. 92]

Wijder valter noch dit te bedencken, soomen de naeldensgront moest meten daer een onbeweeghlick lichaem op rust, alwaermen niet sien en can de linien die t'plat om ghemeten te worden in sijn driehoucken deelt: De manier om tot kennis der selve te commen mach onder anderen dusdanich wesen. Laet A B C D een sulcken onsienlicken gront sijn, daer een lichaem op rust, alwaermen de langde der lini A C begheert: Om hier toe te commen, ick treck op de



tafel van t'punt A af de lini A E, ende C F, daer mede evewijdich: Neem daer na metten passer eenighe langde inde lini A E, als A G, stellende alsulcke langde oock inde lini C F, die valt, neem ick, van C tot H, ende trecke G H, welcke even moet sijn met A C, om datse mette selve A C evewijdeghe is tusschen twee evewijdeghe: Daerom G H ghemeten sijnde, men heeft oock de begheerde langde A C.

Maer om int meten niet te dolen, te weten datmen t'ghemeen soppunt altijt kenne, ende t'een voor t'ander niet en neem, oock datmen de meetbaer ende onmeetbaer platten wel onderscheyde, soo salmen ten eersten t'ghemeene soppunt een teycken gheven, met crijt of inckt, na ghelegentheyt: Sien daer na wat vlacken, ende hoe veel vlacken den lichamelicken houck des ghemeenen soppunts maken, ende gheven de selve oock een teycken, als een cruysken of dierghelijcke: T'welcksoo sijnde, al de platten die gheen teycken en hebben verstrecken voor meetbaer naeldensgronden: Daerom een dier platten ghemeten sijnde, men sal haer inhoudt daer op teyckenen, ende voort haer naelde meten, want daer by salmen altijt mercken welcke platten datter ghedaen of noch te doen sijn.

In dese manier der meting van ongheschickte plattighe lichamen, die ick meen nieu te wesen, heeft sijn Vorstelicke Ghenade metter daet heur gheoeffent, ende bequaem bevonden. D'oirsaeck heur daer toe bewegende was datse siende datter een ghemeene reghel vande meting der rechtlinighe platten is, achte daer uyt datter oock een der plattighe lichamen moest sijn: Om van welcke nateurliicke voortganck den wech te openen, soo hebben wy daer af dit boveschreven voorstel ghemaeckt.

Hier vooren is gheseyt dattet plattich lichaem ghedeelt wort in naelden, die al t'samen een ghemeen sop hebben, doch datter eenighe formen connen vallen daer in de reghel uytneming lijdt: Om t'welck eerst by gelijcknis deur een rechtlinich plat te verclaren, soo laet A B C D E F G H een achtsijdich plat sijn, waer in men siet dat vant punt A, totte drie houcken C, D, E, linien connen ghetrocken worden, die in t'ghegeven plat ettelicke driehoucken afteyckenen, maer van



A totte twee houcken F, G, en canmē sulcke linien niet trecken, deur diense buyten de gegheven form souden loopen, ende driehoucken veroirsaken die gheen deel des ghegeven plats en souden wesen. T'ghene wy hier gheseyt hebben vanden houck A, derghelijcke sietmen an al d'ander ghebeuren te weten onmeughelick te sijn datmen van een houck tot al d'ander houcken, linien soude trecken sonder buyten de ghegheven form te loopen: Daerom die sulcken plat in sijn driehoucken

[p. 93]

wilde deelen, soude ten minsten moeten twee ghemeene houcken stellen. Hier mede willen wy verclaren dat derghelijcke inde plattighe lichamen ghebeurende, soo salmen meer als een ghemeen soppunt der naelden moeten nemen.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven plattich lichaem van form soot valt ghemeten, na den eysch.

24 Voorstel.

Een ghegheven cloot te meten.

Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens as A C doet 12.

Tbegheerde. Wy moeten sijn grootheyt vinden.

Twerck.

Ick vinde het clootvlack deur het 18 voorstel deses 2 boucx



van 452 4/7 t'selve ghemenich vuldicht metten halven as 6, comt 2715 3/7 diens derdendeel by ghemeene reghel 905 1/7 voor t'begheerde: Waer af t'bewijs openbaer is deur het 32 voorstel des 1 boucx vande cloot en seul van Archimedes.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven cloot ghemeten na den eysch.

25 Voorstel.

Een ghegheven halfmiddellijnsne des cloots te meten.

Halfmiddellijnsne des cloots noemen wy datter begrenst is metten omganck des halven as vast int middelpunt, ende int clootvlack een rondt beschrijvende.

Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, diens middel punt E, ende as A C ende E D C B sy de halfmiddellijnsne sulcx dat den booch D C B doet 120 tr. ofte ⅓ des grootsten rondts. Tbegheerde. Wy moeten des halfmiddellijndeels E D C B grootheyt vinden.

Twerck

Is int deel ghelijck int heel aldus: Ick vinde het clootvlack



D C B na de leering des 18 voorstels deses 2 boucx van 113 1/7. t'selve ghemenichvuldicht met 6 der halfmiddellijn comt 678 6/7. diens derdendeel voor t'begheerde 226 2/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 42 voorstel van het 1 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

26 Voorstel.

Te meten een clootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is.

Tghegheven. Laet A B C D een cloot sijn, wiens middelpunt E, en as A C doende 12, vande selve cloot sy ghesneen met een plat rechthouckich op

[p. 94]

den as A C, het deel B C D, snyende den as A C in F, soo dat F C doet 3.

Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt des deels B C D vinden.

Twerck.

Anghesien A C doet 12, en F C 3, soo doet E A 6, en F A 9,



daerom segghende A F 9, gheeft F A met A E t'samen 15, wat de keghel D C B 594/7? (de rekening van die keghel sullen wy hier onder int corte verhalen) comt voor begheert clootdeel 141 3/7. waer af t'bewijs gedaen is int 2 voorstel des 2 boucx vande cloot en seul van Archimedes.

De rekening des boveschreven keghels is aldus: Ghemerckt des rechthouckigen driehoucx E F D twee sijden D E 6, E F 3 bekent sijn, soo wort daer deur de derde DF bekent, en bevonden van √27: Maer DF so veel doende als halfmiddellijn vanden gront des keghels C D B, diens hooghde C F 3, soo doet de selve keghel deur het vervolgh des 22 voorstels van desen 594/7 alsvooren.

Maerom beneven t'boveschreven bewijs van Archimedes, noch proef te doen deur ander ghemeene manier van wercking, doch wat langher dan de voorgaende, men doet als volght. Ick vinde de grootheyt van des cloots halfmiddellijnsne E D C B deur het 25 voorstel van 226 2/7. Daer af ghetrocken de keghel E D B, doende alsvooren 594/7. blijft voort begheert clootdeel als in d'eerste wercking 141 3/7.

Vervolgh.

Sooder te meten waer een clootdeel tusschen twee platten als tusschen de platten G H, I K, men vindt eerst de grootheyt des



meesten peezdeels G I L K H, daer af ghetrocken de grootheyt des minsten peezdeels I L K, de rest is t'begheerde.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven peezdeel des cloots ghemeten, na den eysch.

27 Voorstel.

Een ghegheven^⋆ clootsche te meten.

Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn diens grootste middellijn A C doet 12, ende D B 6.

Tbegheerde. Wy moeten sijn grootheyt vinden.

⋆ Sphaeroides.

Twerck.

Ick treck de rechte linien A D, A B, ende vinde de grootheyt des keghels A D B deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx van 56 4/7. diens dobbel 113 1/7 is voor den helft des clootschen A D B, daerom t'gheheel begheerde clootich lichaem doet 226 2/7. T'bewijs daer af is ghedaen int 24 voorstel der keghelsne en clootsche van⁺ Archimedes.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een ghegheven clootsche ghemeten na den eysch.

+ De conoidibus & sphoeroidibus.

[p. 95]

28 Voorstel.

Te meten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is.

Tghegheven. Laet A B C D een langcloot sijn diens middelpunt E, waer af gesneen is met een plat het deel D C B, diens as C F doet 3, welcken as totten eynde toe voortgetrocken



sy C A doende 12: Ende D B middellijn vanden gront des langclootdeels doet 5. Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt des langclootdeels D C B vinden.

Twerck.

Anghesien A C doet 12, ende F C 3, soo doet E A 6 ende F A 9, daerom segh ick: A F 9, gheeft F A met A E t'samen 15, wat de keghel D C B 19 9/14? (soo veel doetse deur het vervolgh des 22 voorstel van desen) comt voor t'begheerde langclootdeel D C B 32 31/42: Waer af t'bewijs opēbaer is deur het 31 voorstel der keghelsche en clootsche van Archimedes.

Tbeslvyt. Wy hebben dan ghemeten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen langcloot ghesneen is, na den eysch.

Vervolgh.

Soo de sne D B niet en waer rechthouckich op den grootsten as als hier boven, maer dat den cleender as deur haer middelpunt streckte, tis kennelick dat de voorschreven reghel daer in oock plaets houdt.

29 Voorstel.

Te meten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighe keghels.

Tghegheven. Laet



A B C de kegelsche eens rechthouckighen kegels sijn, diens gronts middellijn B C doet 10, ende de hooghde A D 6.

Tbegheerde. Wy moetē haer grootheyt vinden.

Twerck.

Ick trec A B, A C, ende meet den kegel A B C deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx die bevindende van 157 1/7, daer toe altijt den helft van dien als 78 4/7, comt voor begheerde grootheyt der kegelsche A B C 235 5/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 23 voorstel des boucx der kegelsche ende clootsche van Archimedes. Tbeslvyt. Wy hebben dan ghemeten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighen keghels na den eysch.

Des tweeden Bovcx

EYNDE.