Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet

[p. 28]

Tweede deel des eersten bovcx van het teyckenen der vlacken.

16 Voorstel.

Rechtlinighe platten van begeerde form te teyckenen.

Merckt.

Want de grootteyckening der steden, sterckten, velden, en landen, een vande besonder punten is, daer sijn Vorsteligke Ghenade inde^* wisconsten merck op neemt, daer in hy oock meer dan na de ghemeene manier hem ernstelick geoeffent heeft, als voorderlick wesende onder ander, tot der sterckten oirdening, en der Steden beleghering, dat daerbeneven dit voorstel als voor ghemeene gront verstreckt, waer op sulcke stof ghebouwet wort, soo hebben wy hier acht op ghenomen ende de voorbeelden van dien (even ghelijckse door sijn Vorstelicke Ghenade self, soo wisconstelick als werckelick opt velt afgheveerdicht sijn) overvloedelicker ende met meerder onderscheyt beschreven, dan wy anders souden ghedaen hebben. Om welcker voorbeelden oirden hier als in^* cortbegrijp te vervaten, soo is te weten dat de teyckeninge der rechtlinighe platten van begheerde form, na ons voornemen op tweederley wijse geschiet, d'eene^* wisconstelick met louter grootheden, d'ander^* werckelick ghemengt met ghetalen. De voorbeelden der wisconstige wijse sijn ten eersten optpapier van een driehouck, ende rechtlinich plat: Ten anderen opt landt uyt het cleen int groot, daer na uyt het groot int cleen. De werckelicke teyckening gheschiet door t'nemen van rechthoucken, of onseker houcken: Door t'nemen van rechthoucken commender voorbeelden in driehoucken die rechthouckich of scheefhouckich sijn, ende in rechtlinighe platten: De teyckening door t'nemen van onseker houcken gheschiet deur t'nemen van inwendighe houcken na eenighe reghel ghetrocken, ende door uytwendighe houcken.

Van welcke verscheyden manieren men in voorcomende teyckeninghen de bequaemste verkiesen mach, na gheleghentheyt der omstandighen. Ende tot noch meerder claerheyt, sullen wy de boveschreven verspreyding tafelwijs vervaten, als hier onder.

* Mathematicis artibus.

* Argumente.

* Mathematicè.

* Mechanicè.

[p. 29]

Eerst vande vvisconstighe vvyse.

1 Voorbeelt opt papier, van een driehouck die gheteyckent moet sijn uyt drie rechte linien even an drie ghegheven rechte linien, midts dat elcke tvvee alsins grooter sijn dan de derde.

Tghegheven. Laet A B C drie rechte linien sijn, welcker twee alsins grooter sijn dan de derde, want anders waert onmeughelick een driehouck daer af te maken. Tbegheerde. Wy moeten een driehouck teyckenen, van drie rechte linien even ande ghegheven.

Twerck.

Ick treck de lini D E, even an een der drie als an A, neem voorts op de passer de langde van B, beschrijf daer me opt punt E als middelpunt de booch F G groot ghenouch, daer na op de selve passer de langde C, daer mede beschrijvende op D als middelpunt de booch H I snyende F G in K, ende treck D K, E K. Twelck soo sijnde ick segh K D E de begheerde driehouck te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 22 voorstel des 1 boucx van Euclides.

2 Voorbeelt van een rechtlinich plat soot valt, op papier.

Tghegheven. Laet A B C D een plat sijn, ende E F een toecommende lijckstandighe sijde met A E. Tbegheerde. Wy moeten op E F een plat teyckenen ghelijck met A B C D E.

Twerck.

Ick deyl den ghegheven vijfhouck in haer driehoucken mette linien E B, E C, treck daer na F G evewijdeghe met A B, ende alsoo dattet punt G sy inde lini E B: S'ghelijcx G H evewijdeghe met B C, ende alsoo dattet punt H sy inde lini E C: Ten laetsten H I evewijdeghe met C D, ende alsoo dattet punt I sy inde lini E D. T'welck soo wesende ick segh



den vijfhouck F G H I E t'begheerde plat te sijn ghelijck met A B C D E, op de sijde E F lijckstandighe met E A. T'boveschreven voorbeelt is uyt het groot int cleen gheteyckent, maer soo den eysch waer uyt het cleen int groot, als dat des begheerden plats lijckstandige met A E grooter waer dan de selve A E, als neem ick E K, de manier der wercking is alsboven, want men soude dan trecken K L, L M, M N, evewijdeghe mette voorschreven A B, B C, C D, buyten de form A B C D E, sulcx dattet begheerde plat soude wesen K L M N E, waer af t'bewijs openbaer is deur het 18 voorstel des 6 boucx van Euclides.

[p. 30]

Merckt.

De lini E F toecommende lijckstandighe met E A, wiert hier ghestelt inde



selve E A, maer soose daer buyten waer, als neem ick dese O P, men soude dan inde lini E A teyckenen de lini E F, even an O P, vindende den vijfhouck F G H I E alsvooren. Maer om alsdan een ander even derghelijcke vijfhouck op O P te crijghen, men soude (sooment met deursteking des papiers niet doen en wilde) trecken P Q even an F G, ende den houck O P Q even anden houck E F G, ende der ghelijcke doende met d'ander sijden en houcken, men heeft den begheerden vijfhouck.

3 Voorbeelt uyt het cleen int groot.

Tghegheven. Laet A B C D een vierhouckich papier sijn, ende daer op een rechtlinich plat E F G H, ende een lini opt landt vande voorschreven G tot I.

Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat G I lijckstandighe sy met G H.

Twerck.

Ick stel het punt G des vierhoucx E F G H opt punt G der lini G I int landt, ende deur t'behulp der sichtrije vervough ick G H op de landtlini G I, keer daer na de selve sichtrije draeyende opt punt G, tot datse light over t'punt E, ende doe int strael van G over E stellen eenighe baeck als K, ende sghelijcx een baeck L



over t'punt F: Commende daer na mettet papier ter plaets I des tweeden stants, ick stel t'punt H des vierhoucx H E F G opt punt I, ende deur t'behulp der sichtrije vervough ick H G des papiers, wederom op de lantlini I G, keer daer na de

[p. 31]

selve sichtrije draeyende opt punt I, tot datse light over F, ende doe int strael van I over F stellen eenighe baeck als M: Daer na com ick ter plaets van N, ende stel daer een baeck alsoo dat ickse sie in een rechte rije mette twee baecken I, M, oock inde rije der twee baecken L, G: Twelck soo sijnde, ick neem de twee baecken L, M wech om geen dwaling te veroirsaken, ende t'punt N bediet my t'lijckstandich punt met F, ende op de selve voughe vinde ick t'punt O lijckstandich met E, sulcx dat den vierhouck G I O N begrepen tusschen ghekielspitte linien, ofte alleenlick tusschen bedochte sichtstralen van d'een baeck tot d'ander, t'begheerde plat is, waer af t'bewijs sijn sal als t'voorgaende.

4 Voorbeelt uyt het groot int cleen.

Tghegheven. Laet A B C D vier baecken, torren, of teyckens optlant sijn, een vierhouck begrijpende, ende E F G H een papier, met een lini daer op H I. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt papier teyckenen, sulcx dat A I lijckstandighe sy met A D.

Twerck.

Keerende de sichtrije opt punt A, ick doe A I overcommen met A D, keer voort de selve sichtrije na C, ende treck daer langs henen soo verre t'papier strect de lini A K: Daer na keer ick de sichtrije tot B, ende teycken opt papier de lini A L: Commende daer na mettet papier, ter plaets van D des tweeden stants, ick stel t'punt I der lini I A opt punt D, ende deur t'behulp der sichtrye vervough ick de lini I A des papiers op de lini D A des landts, keer daer na de selve sichtrye



drayende opt punt D, tot dat ick de baeck B sie, ende treck langs de sichtrye een lini welcke de lini D L int punt M doorsnijt: T'selve punt M is lijckstandich mettet punt B; keer daer na de sichtrye soo verre dat ick de baeck C sie, ende treck langs de sichtrye een lini welcke de lini A K int punt N doorsnijt, t'selve punt is

[p. 32]

lijckstandich mettet punt C: Daerom ghetrocken de lini M N, ick segh den vierhouck A M N I de begheerde te wesen, waer af t'bewijs is als t'voorgaende.

Merckt

Datmen door dese manier lichtelick sal connen afteyckenen eens landtschaps steden, dorpen, huysen en dier gelijcke int ghesicht vallende, alsoo punten vindende die met alle omligghende teyckens lijckstandich sijn, ende dat alleenelick deur twee standen, want ghelijck hier de twee punten B C van vooren afgheteyckent sijn, alsoo canmen derghelijcke punten op de selve twee standen van achter vinden.

Nv vande werckelicke vvyse door ghetalen.
Eerst vande teyckening door t'nemen van rechthovcken.

5 Voorbeelt van een rechthouckich driehouck.

Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn int cleen op papier, diens houck B recht is, ende D E sy een lini opt landt, lanck 46 roen.

Tbegheerde. Wy moeten een soodanighen driehouck opt landt teyckenen, sulcx dat D E lijckstandighe sy met C B.

Twerck.

Ick meet op een leer de sijde B C, die bevindende neem ick van 81 ⓪, ende A B 65 ⓪, die elck an haer sijde schrijvende als inde form blijckt, Segh daer na C B 81 ⓪, gheeft B A 65 ⓪, wat D E 46 roen?comt voor de lijckstandighe met



B A 3691 ②, die stel ick ande form onder de 65 ⓪, ende de 46 roeden onder de 81 ⓪, als inde form blijckt, sulcx dat de buytenste getalen altijt de sijden des begheerden forms beteyckenen. Met dit papier com ick ter plaets opt velt, stellende opt punt E een meterscruys, ende siende deur de sichtpinnen ter eender sijde de baeck D, ick doe int strael van d'ander sichtpinnen stellen eenighe baeck als

[p. 33]

F, ende noch een als G, om int meten recht te gaen. Ick meet daer na van E na G toe 3691 ②, welcke strecken neem ick tot H: Dit soo sijnde, ick segh den driehouck opt landt als H E D, den begheerden te wesen. Proef. Ick meet C A op de leer, bevinde die neem ick van 10387 ②, segh daer na C B 81 ⓪, geven C A 10387 ②, wat D E 46 roen? comt voor D H 5899 ②: Daerom alsmen de selve D H meet, men soudese moeten van dier langde bevinden. Andersins mochtmen, om dattet een rechthouckich driehouck is, t'viercant van D E 46 roen, doende 2116 ⓪, vergaren tottet viercant van E H 3691 ②, doende 13643481, ②, tsamen 34783481 ②, wiens viercantssijde voor D H, doet alsboven 5899 ②. Ende alsulcke proeven verstaen sich op d'ander volghende voorbeelden ghedaen te menghen worden.

Merckt.

Wy hebben in dit 4 voorbeelt wat manier van meting der linien angeroert, gelijck wy oock noch doen sullen in d'ander voorbeelden deses voorstels: waer op ymant segghen mocht de plaets van meting niet te wesen in dit 1 bouck der teyckening, maer eyghentlicker int volghende tweede der meting: Hier op wort gheantwoort dat alsoo dese manier van teyckening niet gheschien en can sonder meting, noch sulcke meting sonder teyckening, soo werden wy ghedronghen t'een oft'ander eerst an te roeren sonder voorgaende leering.

6 Voorbeelt van een driehouck soot valt.

Tghegheven. Laet A B C een driehouck sijn int cleen op papier, ende D E sy een lini opt landt, lanck 60 roen. Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke driehouck opt landt teyckenen, sulcx dat D E lijckstandighe sy met C B.

Twerck.

Ick treck A F rechthouckich op de lijckstandighe met D E, dat is op C B, meet C F op de leer, die bevinden de neem ick van 56 ⓪, F B 16 ⓪, A F 42 ⓪, welcke ghetalen ick elck op haer lini schrijf: Segh daer na C B 72 ⓪, gheeft C F 56 ⓪, wat D E 60 roen? comt voor de lijckstandighe met C F 4667 ②: Ende alsoo sal voor lijckstandighe met F B commen 1333 ②, ende voor de lijckstandighe met A F 35 ⓪, of roen, die ick al opt papier inde form t'haerder plaets stelle, als blijckt.

Met dit papier comme ick ter plaets opt velt, metende van D na E 4667 ②, welcke vallen, neem ick, van D tot G:Daer na stel ick de baeck H, soo dat G H doet 35 roen, ende rechthouckich comme op D G, na de manier als int 5 voorbeelt gheseyt is: Twelck soo sijnde H E D is den begheerden driehouck.

[p. 34]

7 Voorbeelt van een rechtlinich plat soot valt.

Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier, van form soot valt, ende F G een lini opt landt lanck 40 roen.

Tbegheerde. Wy moeten een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat FG lijckstandighe sy met A E.

Twerck.

Ick treck de lijckstandighe met F G, als A E, op beyden sijden ghenouch voorwaert, als tot H, l, ende treck op H I rechthouckich B K, C L, D M meet daer na op de leer de linien K A, A L, L E, E M, B K, C L, D M, die bevindende neem ick van 19 ⓪, 21 ⓪, 29 ⓪, 21 ⓪, 29 ⓪, 62 ⓪, 23 ⓪, welcke ghetalen ick elck op haer lini schrijf als blijckt, Segh daer na A E 50 ⓪, gheeft K A 19 ⓪, wat F G 40 roen? comt voor lijckstandighe met K A 152 ①, die ick onder de selve lini K A schrijf: Voorts A E 50, gheeft A L 21, wat F G 40 roen? comt voor lijckstandighe met A L 168 ①, die ick oock onder de selve A L schrijf: Ende doende der ghelijcke met al d'ander, de ghetalen vallen als inde form te sien is: Met dit papier comme ick ter plaets opt velt metende van F tot N 152 ① (welverstaende dat N comt in een recht lini of strael daer de baecken F G in sijn) daer na van F tot O 168 ①, ende ghemerckt F G 40 roen doet, soo moet O G nootsakelick de 232 ① lanck sijn: Daer na G P 168 ①, voorts N Q 232 ①, O R 496 ①, PS 184 ①, alle drie rechthouckich op NP: T'welck soo sijnde, de vijfhouck F Q R S G is t'begheerde plat.

Merckt.

Hoe wel de teyckening opt landt der gheschickte platten (teweten diens sijden en houcken al even groot sijn, diemen oock evesijdeghe platten int rondt beschrijvelick noemt) deur de voorgaende ghemeene reghel can ghedaen worden, nochtans alsoo de linien daer in vallende, tot haer sijden in alle derghelijcke platten een selve reden hebben, soo connen haer langden oock ghevonden worden sonder leer, te weten deur de tafel der houckmaten, daer afwy met een wat segghen sullen, te liever dat soodanighe formen int teyckenen der sterckten deses tijts, haer merckelicke ghebruyck connen hebben. Laet by voorbeelt A B C D E een gheschickte vijf houck sijn int cleen op papier, diemen int groot opt lant na maken wil. De linien daer in vallende na de voorgaende wercking

[p. 35]

noodich, sijn F A, A G, G E, E H ende de drie B F, C G, D H rechthouckich op F H. Om nu deur de tafel der houckmaten haer redens te vinden, men siet A G houckmaet te wesen van 36 tr. doēde (inde tafel diens halfmiddellijn 10000000) 5877852:F G even ande houckmaet van 72 tr. doende 95 10565, daer af ghetrocken A G 5877852, blijft voor F A 3632713: C G bestaet uyt de halfmiddellijn



C I, doende 10000000, met I G evē ande houckmaet van 54 tr. doende 8090170, t'samen voor C G 18090170. Om nu B F te vinden, ick treck K I rechthouckich op C G, ende snyende B F in L: Twelck soo sijnde, C K is een booch van 90 trappen, ende B C van 72, de selve ghetrocken vande 90, blijft K B 18 tr. diens houckmaet B L doet 3090170, daer toe L F even an I G 8090170, maken t'samen voor B F 11180340. Voort anghesien G E, E H, D H, even sijn an A G, A F, B F, soo sijn die linien oock bekent. Ende derghelijcke sal den voortganck sijn in ander gheschickte platten.

Nv vande teyckening door t'nemen van inwendighe hovcken.

8 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier van form soot valt, ende F G een lini opt landt lanck 40 roen.

Tbegheerde. Wy moeten deur t'nemen van inwendighe houcken een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat F G lijckstandighe sy met A E.

[p. 36]

Twerck.

Ick treck linien uyt eenighen houck tot al d'ander houcken, als A D, A C, ende meet A E, A D, A C, A B op eenighe leer die bevindende neem ick van 50 ⓪, 75 ⓪, 66 ⓪, 34 ⓪, welcke ick elck op haer lini stel, ende onder A E de 40 roen: Segh daer na A E 50 ⓪, gheeft A D 75 ⓪, wat F G 40 ⓪? comt voor lijckstandighe met A D 60 ⓪, die ick onder de selve A D schrijf: Ende doende der ghelijcke met d'ander, de ghetalen vallen als inde form te sien is. Ick beschrijf daer na op A als middelpunt eenighe booch inde form, als B H, snyende A C in I, A D in K, A E in H, meet daer na met een traprondt de grootheyt des houcx E A D, of boochs H K, die bevindende neem ick, van 17 tr. Sghelijcx des houcx D A C, of boochs K I van 53 tr. ende des houcx C A B, of boochs I B van 51 tr. die ick elck op haer booch schrijf. Met dit papier comme ick ter plaets opt velt, stellende het middelpunt eens traprondts dat ghemeenlick ant meterscruys vervought is, opt punt F, ende brenghende op G F een houck G F L van 17 tr. ghelijck den booch H K anwijst, ick meet int slinckerstrael F L de 60 roen die onder A D staen, welcke commen, neem ick, van F tot L: S'ghelijcx doende met d'ander twee sijden F M, F N, ick heb t'begheerde plat opt landt F N M L G.

1 Merck.

Wy hebben hier boven gheseyt van t'vinden des houcx B A C met een traprondt: Maer hoe die deur de drie bekende sijden eens driehoucx oock bekent wort, is openbaer int 8 voorstel der platte driehoucken.

2 Merck.

Inde geschickte platten sijn sulckehoucken altijt evegroot, ende bekent. Laet by voorbeelt A B C D E een gheschickt vijfhouck sijn:



Om hier te vinden de grootheyt van yder houck der drie E A D, D A C, C A B, Ick segh aldus: de vijfhoucken des vijfhoucx doen tsamen 540 tr. deur het 1 voorstel vande byvough der platte veelhoucken int 2 bouck des weereltschrifts. Het vijfdedeel der selve is 108 tr. voor een houck als E A B: Ende want de voorschreven driehoucken E A D, D A C, C A B, al even groot sijn, deur het 21 voorstel des 3 boucx van Euclides soo moet elcke der selve doen het derdendeel der voorschreven 108 tr. dats 36 tr.

[p. 37]

3 Merck.

De gheschickte rechtlinige platten connen oock bequamelick opt lant gheteyckent worden deur inwendighe houcken opt middelpunt vergarende. Laet by voorbeelt A B andermael een lini opt velt sijn, lanck 60 roen, waer op een gheschickt vijfhouck moet geteyckent sijn, sulcx dat A B sy een der sijden: Voor al ick sie dat de lini vant middelpunt als C, tot A, mette lini A B een houck moet begrijpen groot (om de redenen int 2 merck verclaert) den helft van 108 tr. te weten 54 tr. voort dat A C lanckmoet sijn 5104 ② (want



ghelijckmen deur de tafel der houckmaten bevint, A B heeft sulcken reden tot A C als 11755704 tot 10000000, daerom segghende 11755704 gheeft 10000000, wat A B 60 roen? comt voor A C als boven 5104 ②) Ghestelt daer na t'middelpunt des traprondts op C, ende aldaer afghesien den houck A C D van 72 tr.ende int strael C D ghemeten 5104 ②, ende desghelijcx oock ghedaen van C tot E, ende van C tot F, men heeft den begeerden geschickten vijfhouck A D E F B, op de ghegheven sijde A B.

Nv vande teyckening door t'nemem van vytwendighe hovcken.

9 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet A B C D E een rechtlinich plat sijn, int cleen op papier, van form soot valt, ende F G een lini opt lant lanck 40 roen.

Tbegheerde. Wy moeten deur t'nemen van uytwendige houcken een derghelijcke plat opt landt teyckenen, sulcx dat F G lijckstandighe sy met A E.

Twerck.

Ick meet op een leer de twee sijden A E, A B, die bevindende neem ick van 50 ⓪, en 34 ⓪, daerom segh ick, A E 50 ⓪, gheeft A B 34 ⓪, wat F G 40 roen? comt voor begheerde lijckstandighe met A B, 272 ①. Ende inder selver vougen

[p. 38]

vind ick de ghetalen van d'ander drie linien B C, C D, D E, metsgaders de ghetalen van haer begheerde lijckstandige, die elck onder haer lini teyckenende ghelijck inde form te sien is: Beschrijf daer na op elcken houck haer booch, metende t'begrijp der trappen vande selve, als den booch des houcx A van 121 tr. ende soo voort van d'ander gelijck de form uytwijst. Met dit papier com ick ter plaets opt velt, stellende het middelpunt eens traprondts, dat ghemeenlick ant meterscruys vervought is, opt punt F, ende brenghende op G F, een houck G F H van 121 tr. ghelijck de booch op A ghetrocken anwijst, ick meet int sichtstrael F H de 272 ①, die onder AB staen, welcke commen, neem ick, van F tot H. Sgelijcx doende met d'ander houcken en sijden, ick heb t'begheerde plat opt landt F H I K G. Proef mach op sulcke wercking gade gheslaghen worden in deser voughen: Ten eersten de houcken opt papier ghemeten ende gheteyckent wesende, sy moeten deur het 1 voorstel des Byvoughs der platte veelhoucken, t'samen 540 tr. uytbrenghen, t'welck met dese vijf houcken oock alsoo bevonden wort, want anders commende het handtwerck heeft ghemist. Ten tweeden, de drie baecken H, I, K, opt velt ghestelt sijnde als boven, soo moet dan den houck K even soo groot vallen als den houck D, te weten van 84 tr. 26 ①, ende de lini KG soo lanck als onder ED staet dat is 2468 ②, want anders commende daer is seyl inde wercking, of opt papier, of opt landt, of op alle beyde. Tbeslvyt. Wy hebben dan rechtlinighe platten van begheerde form gheteyckent na den eysch.

1 Merck.

Ghenomen dat dese ghegheven form A B C D E, even ende gelijck sy mette form A B C D E des 8 voorbeelts, soo moeten de houcken en sijden soo groot vallen als hier ghestelt is, want wy de selve deur de reghelen van dien der platte driehoucken, alsoo berekent hebben.

2 Merck.

Wy en stellen hier gheen voorbeelt van gheschickte platten, want na dien al de uytwendighe houcken en sijden even sijn, soo is de wercking daer af openbaer en licht.

3 Merck.

Sooder een cleene form uyt een groote moest gheteyckent sijn, deur t'nemen van inwendighe of uytwendighe houcken, soodanighe wercking is daer in gelijck ghenouch mette voorgaende, sulcx datse gheen besonder voorbeelden en behouft.

4 Merck.

Angaende het teyckenen der ronden, lanckronden, keghelsneen en slangtreckplatten, dat en is hier niet noodich gemerckt de omtrecken van dien haer vlacken begrijpen, welcker omtrecken teyckeninghen ghenouch verclaert sijn inde voorstellen des 1 deels vande linien.

5 Merck.

By aldiender een plat te teyckenen waer gelijck met een ghegheven plat, hebbende cromme sijden van onbepaelde ghedaente, ghemerckt dier sijden teyckening verclaert is int 15 voorstel, soo is de teyckening van sulck plat daer deur openbaer.