Wisconstighe gedachtenissen. Deel 2: van de meetdaet

[p. 5]

Eerste bovck der meetdaet,
van het teyckenen der grootheden.

[p. 7]

Eerste deel des eersten bovcx van het teyckenen der linien.

1 Voorstel.

Rechte linien te teyckenen.

DE rechte linien worden inde daet door verscheyden middelen gheteyckent, elcke na den eysch der omstandighen, waer af de drie voornaemste die my nu te voor commen, ghedaen worden ten eersten met een rechte rije: Ten anderen met een slachtlijn: Ten derden met sichtstralen.

1 Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met een rije.

Tghegheven. Laet A B twee punten sijn. Tbegheerde. Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini teyckenen met een rije, welcke manier meest dient op papier ende ander cleene effen gronden.

Twerck.

Ick neem een rechte rije als C, legghende d'een cant op de punten A, B, treckende daer langs henen een sienlicke lini A B, met een penne, passer, priem, inckt of crijt, na den eysch vanden grondt, ende heb het begheerde.

2 Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met eenslachlijn.

Tghegheven. Laet A B twee punten sijn. Tbegheerde. Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini trecken met een slachlijn, dat is een dun coordeken met crijt bestreken, t'welck ghespannen staende, ende ghetrocken sijnde soo dattet teghen den gront slaet, teyckent daer met luttel moeyte een seer rechte lini. Welcke manier seer ghebruyckt wort onder anderen by timmerluyden, int teyckenen van haer wercken, oock by saghers, om soo wel door cromme als rechte boomen, rechte sneen te saghen.

Twerck.

Ick neem de voorsz. becrijte slachlijn C D, die mijn tweeder ghespannen stellende over de punten A B, treckse daer na als de peez van een booch, ende crijch de begheerde rechte lini A B.

[p. 8]

3 Voorbeelt vant teyckenen der rechte linien door sichtstralen.

Tghegheven. Laet A B twee baecken int velt beteyckenen.

Tbegheerde. Wy moeten van d'een tot d'ander deur t'behulp van sichtstralen een rechte lini teycken en in d'eerde, te weten een ghegraven veure, ontrent een halve voet diep en breet t'welckmen eygentlick in Hollandt kielspit noemt, ende t'werck van dien kielspitten, dienende om erven te scheyden, breeden van sloten en graven, formen van bolwercken, sterckten, en dierghelijcke teteyckenen. De linien in dese sichtstralen bedocht, sonder kielspit, worden oock seer inde landtmeting ghebruyckt, ghelijck wy daer afint 2 bouck eyghentlicker segghen sullen.

Twerck.

De teyckenaer staende an d'een of d'ander baeck A, B, doet eenich persoon een rechte stock of baeck overey nde steken, tusschen de voorschreven A B, ick neem ter plaets van C, alsoo dat hy teyckenaer de drie stocken of baecken A C B in een selfde sichtstrael siet. De manier om die stock C daer te crijghen is dusdanich: Soose na de rechter of slincker sijde moet gestelt sijn de Teyckenaer doet na de rechter of slincker sijde een teycken metter handt: Of by aldien de baecksteker soo verre vanden teyckenaer waer, dat hy het teycken vande hant niet genouch en soude meughen mercken, soo doet hy teycken met een neusdouck, hoet, of dierghelijcke: De stock C alsoo op haer rechte plaets sijnde, soo slaet hy sijn handt of ander teycken van boven neerwaert, soo veel te segghen als dat den anderen de stock daer vast moet steken, wel recht overeinde; Alle welcke voorschreven teyckenen de baecksteker van te vooren verstaen moet.

Tghene hier gheseyt is ghedaen te worden door t'behulp van een baecksteker, can byden Teyckenaer alleen, alst de plaets toelaet, lichtelicker gedaen worden, in deser voughen: Hy gaet van B na D, stellende daer een baeck, alsoo dat hy de baecken D B A alle drie in een selve sichtstrael siet.

Daer is noch een manier om de baeck tusschen A en B t'haerder plaets te crijghen, sonder een ander persoon te moeten gebruycken, te weten sonder de stock C of D te steken, ende dat door t'behulp des Meterscruys, dat een tuych is als de byghevoughde form aenwijst, twelck alsoot inde volghende landtmeting oock ghebesicht sal worden, wy sullen hier met een sijn ghedaente verclaren: Te weten dattet een stock heeft lanck ontrent vijf voeten, onder met een yser pinne om recht overeinde in d'eerde te steken: Op de selve stock worden an d'een sijde gheteyckent soo veel voeten met duymen, ende op een ander sijde soo veel ① en ②, alsse begrijpen can, dienende om daer mede te volmeten de langden die op gheen roeden effen uyt en commen: Op de voorschreven stock staet een plate, ghemeenlick van coper, breet ontrent 8 of 10 duym, waer opghetrocken sijn twee linien, eyndende op de middelpunten vande sijden der plaet, ende malcander opt middelpunt der plaet rechthouckich doorsnyende, sulcx dat die twee linien een recht cruys maken, t'welck de Landtmeters seer ghebruyckende, soo wort dien tuych daer uyt Meterscruys ghenoemt. Op de vier eynden van dese twee linien, worden overeynde gestelt pinnekens met sichtspleetkens daer in, om deur te sien, of sonder sichtspleet kens met haer uyterste cant wijsende, of anders heel dunne met haer eyghen middelt de anwijsing doende, die int ghe-

[p. 9]

meen sichtpinnen ghenoemt worden. Sommighe teyckenen



oock op de plaet een traprondt met sijn 360 trappen, waer over een^* sichtrije draeyt stellende oock int middel een seylnaelde. Nu om deur dit meterscruys de baeck C t'haerder plaets te crijghen, de teyckenaer steket tusschen de twee baecken A B, dat stellende ende herstellende tot dat hy door t'middel van beyde de sichtspleten van d'een en d'ander sijde, beyde de baecken siet, want alsdan stadet meterscruys t'sijnder behoorlicke plaets om aldaer een baeck te stellen. Doch de voorgaende twee eerste wijsen sijn, soo de ervaring leert, de sekerste, Angaende ymant vraghen mocht waerom datmen niet by een manier en blijft die de beste is? Daer wort op gheantwoort datmen elcke wijse ghebruycken mach na gheleghentheyt der omstandighen, want somwijlen en isser gheen bequaem plaets an D, om aldaer een baeck te stellen, deur belet van water, ghestichten, boomen of dierghelijcke, Altemetisser belet tusschen beyden ende niet daer buyten, Elders ghebeuret datmen gheen baecksteker by hem en heeft, ende somwijlen datter de uyterste rechticheyt niet soo seer noodich en is: Als by voorbeelt om langhe rechte linien opt landt te meten, al is de middelbaeck een voet of twee buyten t'strael, dat en can int meten gheen hinderlick verschil bybrenghen, maer alst is om een driehoucx hanghende te vinden, en die te meten, of om erven te scheyden, soo behoufter meerder sekerheyt toe, ghelijck t'sijnder plaets breeder verclaert sal worden: Sulcx datmen, als boven gheseyt is, soodanighe manier mach volghen, als na gheleghentheyt bequaemst valt.

Maer alst van A tot B soo verre waer, datmen vant een teecken tottet ander niet sien en conde, doch wel van ontrent het middel (alwaer de boveschreven tweede manier niet int werck ghestelt en mach worden, want canmen van A tot B niet sien veel min tot D) men steeckt dan ontrent dat middel een baeck of baecken, sich daer mede behelpende. Ende om int stellen der middelbaecken, van d'een uyterste baeck d'ander uyterste te meughen sien, soo sentmen een persoon ter plaets van die onsienlicke baeck, alwaer sijn lichaem selfs voor een baeck verstreckt, oft anders neemt hy een lange pertse met een hoet, bondtstroo, mey, oft ander sichtbaer teycken daer op, ende blijft daer soo langhe staende, ofte houdt dat teycken daer soo lang overeynde, tot dat de middelbaken ghestelt sijn.

Dit verstaen wesende, te weten de baeck C of D aldus int strael van A B sijnde, soo gadet kielspitten van A na B aldus te werck: Men neemt een seer langhe coorde die ick acht te commen van A tot E, Maer om het eynde E int strael van A B te setten soo crijghmen dat, daermen C op B siet overcommen, daer na gekielspit langs de ghespannen coorde, soo is de lini van A tot E ghedaen, ende alsoo voortgaende comtmen tot B, welverstaende dat alsmen de baeck C voorby gheleden is, soo ghebruycktmen de achterste twee baecken C A, om recht na B te commen: Maer sooder een baeck als D gestelt waer, soo soudemen altijt meughen de twee selve baecken als B D ghebruycken. Tbeslvyt. Wy hebben dan rechte linien gheteyckent na den eysch.

* Linia fiducialis.

[p. 10]

Merckt.

Alsoo sijn Vorstelicke Ghenade int dadelick teyckenen der rechte linien opt landt, sach dat inde ghemeene ghebruyck eenighe onvolcommenheden waren, heeft my de verbetering van dien by ghedacht doen stellen als volght.

Ten eersten ghebeuret dat de baeckhouder sijn baeck niet heel recht houckich op den sichteinder en stelt, en dattet bovenste eynde wel een voet over d'een of d'ander sijde helt, twelck den teyckenaer opt bovenste eynde mickende dwaling veroirsaken can. Maer want de baeckhouder uyter oogh die baeck soo volcomelick recht niet stellen en can, soo salmen, daer de uyterste volcomenheyt der teyckening vereyscht wort; voor baeck nemen een rechte stang met haer hangloot daer an vervought en die daer me altijt met versekerheyt recht stellen.

Ten tweeden soo ist ghebeurt dat sijn Vorstelicke Ghenade int legherslaen, begheerde een rechte lini tusschen twee seker teyckens, diemen al warender langhe baken ghestelt van d'een tottet ander niet sien en conde om belet van haghen en bomen tusschen beyden. Maer om de saeck met een by voorbeelt te verclaren laet die twee teyckens sijn A B, en wantmen van A tot B niet sien en can heeft daer toe dese manier veroirdent:

Men sal gaen van A na B by der gisse, doch soo recht na B alsmen can, en altijt op een rechte lini deur t'behulp van baken diemen soo dickwils steeckt alst de saeck vereyst. Ist dan datmen eyntlick recht op B uyt comt, soo is die ghebaeckte lini de begeerde. Maer



comtmen op B niet uyt dan daer nevens als neem ick an C, soo meetmen C B mette grootheyt des houcx C ende A C wiert ghemeten int comen van A na C, sulcx dat de driehouck A C B drie bekende palen heeft, waer me ghesocht den houck A, sy wort ghevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken: Twelck soo sijnde men stelt het metercruys an A en daer op dien ghevonden houck, daer na siet den teyckenaer deur t'een paer sichtgaetkens op de eerste baeck die na C streckt, en t'ghene hy dan deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na B strecken, daerom dat strael ghevolght men comt op de begheerde B. Of andersins soomen de moeyte niet en wilde doen van weerom tot A te commen, men soude in plaets vanden houck A vinden den houck B stellende t'metercruys met dien ghevonden houck an B siende daer na deur t'een paer sichtgaetkens na C, en t'gene hy deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na A strecken. Tis oock te ghedencken dat den houck C recht ghenomen alsmense crijghen can wat lichticheyt int berekenen voorbrengt.

Ten derden anghesien de bequaemheyt des wercx vereyscht datmen int kielspitten de rugghe vande spa teghen de ghespannen coorde doet ancomen, soo en is t'middel des kielspits de ware begheerde lini niet, maer den cant die de selve coorde gheraeckt, daerom alsmen de uyterste volcomenheyt der teyckening begheert soo moetmen daer op acht nemen. Als by voorbeelt wanneermen tusschen twee kielspitten de breede eens grachts beteyckent, t'is behoorlick datmense alle beyde over de sijde der coorde steeckt die na de toecommende gracht toe light.

[p. 11]

2 Voorstel.

Een rechte lini te teyckenen, rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegeven puntinde selve.

1 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn ende C een punt daer in.

Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt C.

Twerck.

Ick teycken eenighe twee punten D E



inde lini A B, evewijt van C, ende beschrijf op D als middelpunt eenighen booch F G, ende mette selve langde opt punt E den booch H I, snyende F G in K, treck daer na de rechte lini K C, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaen is int 11 voorstel des 1 boucx van Euclides.

2 Voorbeelt, t'vvelck te pas can commen daer t'ghegheven punt opt uyterste der ghegheven lini comt.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A.

Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt A.

Twerck.

Ick stel des passers beweghelicke voet opt punt A,



ende de vaste buyten de lini A B, als neem ick ter plaets van t'punt C, beschrijvende opt selve als middelpunt den booch D A E grooter dan een halfrondt, treck daer na van D deur C, de rechte lini D F, gherakende den booch in F, ende ten laetsten de lini A F die ick segh de begheerde te wesen.

Tbewys.

Den houck D A F in een halfrondt wesende, moet daerom recht sijn, deur het 3 voorstel des 3 boucx van Euclides, en vervolghens A F is rechthouckich op A B.

[p. 12]

3 Voorbeelt met een vvinckelhaeck.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A.

Tbegheerde. Wy moeten een rechte



lini teyckenen rechthouckich op A B, ende opt punt A.

Twerck.

Ick neem een winckelhaeck als C D E, vervoughende den houck D an t'punt A, ende de sijde D E op de lini A B, treckende langs d'ander sijde D C, de lini A F, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de winckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te zijn.

4 Voorbeelt mettet meterscruys.

De boveschreven voorbeelden sijn om op papier ende ander cleene effen gronden te ghebruycken, maer opt landt worden de rechthouckige linien mettet meterscruys ghevonden, seer dickwils te vooren commende int landtmeten, teyckeninghen van sterckten, ende meer ander. Tghegheven. Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, gekielspit, of alleenlick bedocht, gelijckt metter daet dickwils toegaet, ende C sy een punt inde selve lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af rechthouckich op A B.

Twerck.

De teyckenaer stellet meterscruys ter



plaets van C, t'selve soo langh keerende ende wendende, tot dat hy door t'een paer sichtpinnen over d'een sijde de baeck A, ende over d'ander de baeck B siet: Daer na siende deur t'ander paer sichtpinnen, hy doet in sijn sichtstrael door een ander persoon een baeck stellen, welcke D sy, daerom gekielspit, of bedocht een rechte lini van C tot D, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs door t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur sichtpinnen strecken, die ghenomen worden op malcander rechthouckich te sijn.

5 Voorbeelt mettet drie vier vijf ghetal.

Daer is noch een vijfde manier inde ghebruyck, diemen by ghebreck van meterscruys opt velt te werck stelt, en oock goede sekerheyt hebbende, t'welck aldus toe gaet. Tghegheven. Laet de punten A, B, twee baken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, ghekielspit of alleenlick bedocht, en C sy een punt inde selve lini. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af rechthouckich op A B.

[p. 13]

Twerck.

Men neemt drie rechte houten reghels hoe langher hoe sekerder werck, als C D, D E, C E, te weten



C D ghedeelt in drie even deelen, C E doende sulcke vier, E D der selve vijf, dese drie reghels t'saem gheleyt als een drichouck, en soo dattet eynde D comme inde rechte lini C B, soo is C E de begheerde lini rechthouckich op A B.

Tbewys.

T'viercant van C D 3 doende 9, mettet viercant C E 4 doende 16, maken t'samen 25, die even sijnde an t'viercant van E D 5, soo moet den houck C recht sijn, deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides, en daerom is E C rechthouckich op C D, en vervolghens op A B.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini gheteyckent rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegheven punt inde selve na den eysch.

3 Voorstel.

Een rechte lini te teyckenen rechthouckich op een gegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve.

1 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet A B een rechte oneyndelicke lini sijn, ende C een punt buyten de selve. Tbegheerde. Wy moeten van t'punt C een rechte lini trecken rechthouckich op A B.

Twerck.

Ick stel de beweeglicke voet des passers op



C, de vaste erghens inde lini A B, t'welck valt neem ick op D, beschrijf daer mede de booch C E: Stellende daer na de beweeghlicke voet wederom op C, ende de vaste inde lini A B, maer over d'ander sijde van D, twelck ick neem te vallen in F, beschrijf daer op de booch C G, snyende de booch C E in G, treck daer na de lini C G, snyende A B in H: Twelck soo sijnde, ick segh de lini C H de begheerde te wesen rechthouckich op A B, waer af t'bewijs ghedaen is int 12 voorstel des 6 boucx van Euclides.

2 Voorbeelt met een vvinckelhaeck.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende C een punt buyten de selve. Tbegheerde. Wy moeten een rechte lini teyckenen van C rechthouckich op A B.

[p. 14]

Twerck.

Ick neem een winckelhaeck als D E F, vervough de sijde E F op de lini A B, die daer langs henen schuyvende tot dat de sijde D E opt punt C comt, t'welck soo sijnde, ick treck een lini langs de sijde D E van t'punt C tot G, inde lini A B, welcke ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt den wijnckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te sijn.

3 Voorbeelt mettet meterscruys.

Tghegheven. Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden ghekielspit of alleenlick bedocht, ende C een punt buyten de lini AB. Tbegheerde. Wy moeten van C een rechte lini teyckenen rechthouckich op A B.

Twerck.

De teyckenaer stelt een baeck int sichtstrael



vande twee baecken A, B, tusschen de selve of daer buyten, latet tusschen beyden sijn als D: Brengt daer na sijn meterscruys int sichtstrael B D, als ter plaets van E, sulcx dat hy opt eē paer sichtpinnen siet D B met malcander overcommē, ende op t'ander paer sicht pinnen de bacck C passen, daerom ghekielspit of bedocht een rechte lini als van E tot C, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is.

Merckt.

Dat alsmen t'punt E wil vinden door t'meterscruys, sonder de baeck als D te stellen, ghelijck daer of gheseyt is int 3 voorbeelt des 1 voorstels van desen, soo ist bequaemst het meterscruys altijt eerst te passen op de ghegheven lini A B, eermen over cruys na de baeck C siet, want anders doende, t'brengt groote twijffeling in, om datmen alsoo in beyde de linien t'samen niet en gheraeckt dan met onscker moeylicke tasting. Tbeslvyt. Wy hebben dan een rechte lini geteyckent, rechthouckich op een ghegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve, na den eysch.

4 Voorstel.

Tvvee linien te teyckenen die een houck maken even an een ghegheven houck.

1 Voorbeelt.

Tghegheven. Laet A B C een houck sijn. Tbegheerde. Wy moeten twee linien teyckenen een houck makende even anden houck A B C.

[p. 15]

Twerck.

Ick treck de lini D E, ende beschrijf op B als middelpunt eenighen booch F G, tusschen de linien B A, B C, ende mette selve langde B F, beschrijf ick den booch H I, even anden booch F G, treck daer na de lini D I, t'welck soo sijnde ick segh den houck E D I, even te sijn anden houck A B C, waer af t'bewijs openbaer is deur het 33 voorstel des 6 boucx van Euclides.

2 Voorbeelt mettet meterscruys.

De wercking des 1 voorbeelts dient om op papier, of ander cleene gronden te teyckenen, maer inde velden gadet door tmeterscruys anders toe, daer af wy nu segghen sullen. Tghegheven. Laet A B C een houck sijn begrijpende 50 trappen (hoemen de menichte der trappen eens houcx vindt sal int tweede boeck der meting verclaert worden.) Tbegheerde. Wy moeten opt velt een houck teyckenen, even anden houck A B C.

Twerck.

Ick neem een meterscruys met sijn traprondt daer in, diens middelpunt D, stellende tusschen een cruyslini D E, ende de wijsrije D E 50 trappen, als de



booch van E tot F, doe daer na int sichtstrael door de sichtpinnen E G, een baeck H stellen, sghelijcx een baeck I, int sichtstrael door de sichtpinnen der sichterije K F; Twelck soo sijnde, ick segh den houck begrepen tusschen de ghekielspitte of bedochte linien D H, D I, als den houck H D I, de begheerde te wesen, even anden houck A B C; waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur de sichtpinnen strecken, diens houck ghenomen wort van 50 trappen te sijn. Tbeslvyt. Wy hebben dan rwee linien gheteyckent, die een houck maken even an een ghegheven houck, na den eysch.

5 Voorstel.

Door een ghegheven punt, tot een ghegheven lini een evevvijdeghe te teyckenen.

Tghegheven. Laet A B een rechte lini sijn, ende C een punt.

Tbegheerde. Wy moeten door t'punt C, mette lini A B een evewijdeghe teyckenen.

[p. 16]

Twerck.

Ick treck A C, en B D even met A C, beyde rechthouckich op A B, daer na C D, welcke ick segh evewijdeghe met A B te sijn, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 31 voorstel des 1 boucx van Euclides.

Angaende de teyckening van evewijdeghen opt lant deur t'metercruys, anghesien hier vooren verclaert is de teyckening van rechte linien opt velt, ende van rechthouckighe op de selve, soo is die deur t'boveschreven openbaer ghenouch. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur een ghegheven punt tot een ghegheven lini, een evewijdeghe gheteyckent na den eysch.

6 Voorstel.

Omtrecken van ronden te teyckenen.

Hoemen cleene omtrecken van ronden teyckent met passers, of tweebeenighe tuych, diens een voet opt middelpunt blijft, ende d'ander omdraeyt, is soo gemeen dat mender gheen verclaring af en behouft. Angaende seer groote omtrecken, meerder dan deur tweebeenighe tuych, of ghespannen ketens als halfmiddellijnen gheteyckent connen worden, by aldien sulcx te vooren quaem, men soude dat meughen te weghe brenghen door sichtstralen, ende met baken, als punten inden omtreck nevens malcander te stellen, al evewijt vant middelpunt, ende in menichte soo veel, dat de booch tusschen beyden een rechte lini ghelijck ghenouch waer. Tbeslvyt. Wy hebben dan ronden van omtrecken gheteyckent, na den eysch.

7 Voorstel.

Inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn te teyckenen.

Tghegheven. Laet A B C D den omtreck eens rondts sijn.

Tbegheerde. Wy moeten daer in de middellijn teyckenen.

Twerck.

Ick treck eenighe rechte lini int rondt als D B, ende deur t'middel der selve de lini C A rechthouckich op D B, welcke C A de begheerde middellijn is deur het 1 voorstel des 3 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wy hebben dan inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn geteyckent na den eysch.

Vervolgh.

Hier uyt is kennelick hoe eens rondts middelpunt ghevonden wort, want nadien A C de middellijn is, soo moet het middel der selve als F, des rondts middelpunt sijn.

[p. 17]

8 Voorstel.

Wesende ghegeven een deel vanden om treck des rondts, den heelen omtreck te volteyckenen.

Tghegheven. Laet den booch A B C deel vanden omtreck eens rondts sijn. Tbegheerde. Wy moeten den heelen omtreck volteyckenen.

Twerck.

Ick stel inden ghegheven booch eenighe drie punten, welcke



ick neem D, B, E, te wesen, en de treck de rechte lini D B, daer na op haer middel F, de lini F G rechthouckich op D B; Sgelijcx treck ick B E, ende op haer middel H de lini H I, rechthouckich op B E ende ghenakende F G in I: Twelck soo sijnde, I is middelpunt des begheerden o ntrecx, daerom opt selve beschreven den booch C K A, men heeft den heelen begeerden omtreck A B C K, waer af t'bewijs openbaer is deur het 25 voorstel des 3 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des rondts, wy hebben den heelen omtreck volteyckent na den eysch.

Vervolgh.

Hier uyt is kennelick hoemen door alle drie ghegheven punten die in gheen rechte lini en staen, een rondts omtreck sal schrijven.

9 Voorstel.

Op de ghegheven grootste ende cleinste middellijn des^⋆ lanckrondts sijn omtreck te teyckenen.

Het teyckenen van desen omtreck heeft onder onder anderen sijn gebruyck in Platclootsche tuyghen, als voornaemlick des ghemeenen Platcloots daer Guido Vbaldus af handelt, oock int teyckenen der overwelfsels van ghestichten.

Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn wesen, ende C D de cleenste, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

⋆ Ellipsis.

Twerck.

Ghelijckmen metten passer den omtreck des rondts beschrijft, alsoo den omtreck des lanckrondts metten byghestelden tuych, van deser ghedaente sijnde: FG is een beweghende rye met een spleet int middel, waer in twee stijlkens H, I gheschrouft worden: Ant eynde by F is een punt, daermen den omtreck me teyckent, K L een kruck, oock met een spleet M N.

Het teyckenen des begheerden omtrecx met desen tuych gaet aldus toe: De punt vant stijlken H, wort soo wijt vanden punt F ghehecht, als van E tot C, ende het stijlken I soo verre vande selvepunt F, als van E tot A: Daer na steltmen de pinne F op den punt C, ende het stijlken H, opt punt N, alsoo dat de rye F G opt middel der kruck comt, passende de lini K L op A B; Daer na strijckmen het stijlken H teghen de sijde K L, latende het stijlken I sijn loop

[p. 18]

nemen inde spleet M N: Twelck soo sijnde de pinne F beschrijft den halven begheerden omtreck: Ende doende der ghelijcke over d'ander sijde, men heeft den heelen omtreck.

Tbewys.

Hier af is ghedaen na mijn onthoudt deur Guido Vbaldus in eenich boucxken dat ick verloren heb.

Ander manier van vvercking.

Tghegheven. Laet A B de grootste, C D de cleenste middellijn wesen, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

[p. 19]

Twerck.

Ick treck C D voortwaert tot F, alsoo dat C F even sy an E A, neem daer na metten passer de langde E F, en de stel d'een voet in E F daert valt, ick neem ant punt G, d'ander in E A welcke daer comt neem ick an t'punt H, treck daer na



G H voortwaert tot I, sulcx dat H I even sijn an E G; Twelck soo wesende, I is een punt inden omtreck des lanckrondts, vallende, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch gevonden, sulcx datmen van d'een tot d'ander rechte linikens treckende, de selve vanden waren omtreck geen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den omtreck A I C B D.

Tbewys.

Anghesien dat inde voorgaende eerste manier der wercking, de langde F H des tuychs aldaer beschreven, even was an C, E, ende F I even an A E, ende dat alsdoen t'punt F in des begheerden lanckrondts omtreck was, soo moet in dese tweede manier der wercking t'punt I, oock inden omtreck des begeerden lanckrondts wesen, ghemerckt de selve reden der wercking hier ghevolght is, want ghelijck ginder F H even was an haer C E, alsoo hier I H an haer C E, ende ghelijck ginder H I even was an t'verschil tusschen de grootste en cleenste half middellijn, alsoo is hier oock H G, even an t'verschil tusschen de grooste en cleenste halfmiddellijn.

Derde manier van vvercking.

Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn wesen, C D de cleenste, malcander doorsnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

Twerck.

Ick vervough de langde A E van D tot F, oock van D tot G, inde lini A B, teyckenende beyde de uyterste punten F G, neem daer na een draet soo lanck als



A B, die echtende met haer uytersten inde punten F G; Ick stel daer na een penne of priem daer toe bereyt, teghen den draet rechthouckich opt plat daer de form in gheteyckent wort, welcke priem ick hier neem te wesen ter plaets van H, alsoo dat de twee deelen des draets G H, H F ghespannen staen, de priem daerna voortghetrocken sijnde van A over C tot B (welverstaende dat den draet G H F altijt soo even stijf ghespannen blijft sonder recken als doenlick is) soo wort daer mede beschrevenden halven omtreck A C B.

[p. 20]

Ende der gelijcken halven omtreck over d'ander sijde oock beschreven sijnde als B D A, men heeft het begheerde: Dese manier van wercking mettet bewijs meyn ick beschreven ghesien te hebben by Guido V baldus int voorseyde verloren boucxken daer hy noch by verclaerde dat hy sulcx ghevonden had in eenighe oude handtschriften.

Vierde manier van vvercking.

Tghegheven. Laet A B de grootste middellijn C D de cleynste wesen, malcander deursnyende in E. Tbegheerde. Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

Twerck.

Ick treck B F rechthouckich op A B, ende even an E C, treck oock A B voorwaert tot G, daer op beschrijvende het vierendeelrondts B F G: Deel daer na B G



in eenighe even deelen, ick neem in vieren, ter plaetsen van H, I, K, treckende H L, I M, K N evewijdeghe met B F, ende alsoo dat de uytersten L, M, N, commen inden booch F G, deel daer na E B in soo veel even deelen als B G gedeelt wiert, te weten in vieren, ter plaetsen van O, P, Q, treck voort O R even an H L, en P S even an I M, oock Q T even an K N, ende alle drie evewijdeghe met E C: Twelck soo sijnde de drie punten R, S, T, commen inden begheerden omtreck, daerom soomen B G en E B in veel meer even deelen ghedeelt had dan vier, sulcx dat de rechte lini tusschen twee punten gheen merckelick verschil van haer booch en had, men soude dan deur drie en drie punten boghen meughen trecken, (na de leering des vervolghs vant 8 voorstel) ende t'vierendeel hebben des begheerden omtrecx: Voleyndende d'ander drie vierendeelen op de selve wijse. Tbereytsel. Laet A B C D een^* seul wesen diens grondts middellijn sy D C: Dese seul sy deursneen met een plat E F scheef houckich op de uyterste lini A D, welck plat E F als verclaert wort int eerste bouck van Serenus een



lanckront is, diens grootste middellijn E F, en cleen ste een lini even an C D. Laet andermael de seul gesneen worden met een plat G H evewijdich vande grondt, en sal die sne een rondt wesen, t'welck overcant ghesien de lini G H sy, snyende E F in I, sulcx dat I F doe een vierendeel van E F, en sal die G H oock sijn des selfden rondts middellijn: Op dese middellijn G H sy beschreven het rondt G K H L rechthouckich op de grondt D C, en oock opt lanckrondt E F. Daer na sy M N een plat overcant ghesien streckende deur t'punt I rechthouckich opt rondt G K H L.

* Cylind.

Tbewys.

Want G F evewijdeghe is met E H, soo moet den driehouck G I F ghelijck sijn anden driehouck H I E, en daerom ghelijck F I tot I E, alsoo G I tot I H: Maer F I is een derdendeel van I E, of een vierendeel van F E deur t'bereytsel, daerom G I is oock een derdendeel van I H, of een vierendeel van G H: Voort soo is de lini

[p. 21]

I L even ande lini int plat des lanckrondts van I tot in des lanckrondts omtreck (want de middellijn G H vast blijvende, en het rondt daer op ghedraeyt tot dattet evewijdich is mette grondt des seuls, soo is dan I L mette voorschreven lini al een selve) daerom alsmen ghelijck int werck ghedaen is, op de lini even ande cleenste middellijn eens lanckrondts een rondt beschrijft, en datmen opt vierendeel der selve een lini rechthouckich treckt tot inden omtreck, en datmen daer na even sulcken lini treckt rechthouckich op de langste middellijn des voorschreven lanckrondts, soo moet het uyterste punt der selve in des lanckrondts omtreck commen. En ghelijck dit hier bewesen is op der middellijn vierendeelen, alsoo ist openbaer de reghel plaets te houden over alle ander haer deelen, waer deur alle punten alsoo ghevonden in des lanckrondts omtreck vallen.

Tbeslvyt. Wy hebben dan op de ghegheven grootste en cleenste middellijn des lanckrondts sijn omtreck gheteyckent na den eysch.

Merckt.

Daer can noch een 5 manier van wercking ghedaen worden, deur de teyckening der keghelshe daer wy int 12 voorstel af segghen sullen.

10 Voorstel.

Inde ghegheven omtreck eens Ianckrondts, de grootste en cleenste middellijn te teyckenen.

Tghegheven. Laet A B C D den omtreck eens lanckrondts sijn.

Tbegheerde. Wy moeten daer in de grootste en cleynste middellijn teyckenen.

Twerck.

Ick treck inde gegeven omtreck eenige twee evewijdege, die ick neem C E, B F te wesen, ende door haer middelt de rechte lini A D, welcke een middellijn sijnde soo moet haer middel G des lanckrondts middelpunt wesen: Maer niet nootsakelick en isse de grootste of cleenste middellijn: Om nu die te vinden, ick



schrijf opt middelpunt G, mette halfmiddellijn soot valt een rondt H I K L, snyende het lanckrondt inde vier punten H I K L: Treck daer na deur M middel des boochs K L, ende deur N middel des boochs H I, de lini O P, voor begheerde grootste middellijn; Ende Q R rechthouckich op O P is de cleenste, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Tbeslvyt. Wy hebben dan inde ghegheven omtreck eens lanckrondts, de grootste en cleynste middellijn gheteyckent na den eysch.

Vervolgh.

Tis hier door kennelick hoe t'middelpunt vanden omtreck des lanckrondts ghevonden wort.

11 Voorstel.

Wesende ghegeven een deel vanden omtreck des lanckrondts, ende de grootste of cleynste middellijn: De ghebrekende middellijn te teyckenen.

[p. 22]

Tghegheven. Laet den booch A B C deel vanden omtreck eens lanckrondts wesen, ende de langste middellijn sy D E. Tbegheerde. Wy moeten de cleynste middellijn teyckenen.

Twerck.

Ick treck door t'punt F middel van D E, de rechte lini G H rechthouckich op D E, vervoughende daer na de langde D F van eenich punt des ghegheven



boochs, ick neem van B tot inde lini F H, welcke langde ick neem te vallen van B tot I, ende treck B I, snyende D F in K; Daer na teycken ick de langde B K inde lini F G, welcke ick neem te vallen van F tot L, stel daer na inde lini F H t'punt M, alsoo dat F M even sy an F L, t'welck soo wesende L M is de begheerde cleynste middellijn waer af t'bewijs volght uyt de tweede manier der wercking des 9 voorstels.

Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des lanckrondts ende de grootste middellijn, wy hebben de cleynste middellijn geteyckent, na den eysch.

1 Vervolgh.

Deur verkeerde wech der voorgaende wercking is oock kennelick hoemen de grootste middellijn sal teyckenen van een ghegheven deel des omtrecx, ende de ghegheven cleynste middellijn. Laet by voorbeelt A B C het ghegeven deel ende L M de cleynste middellijn sijn. Om hier deur de grootste middellijn te teyckenen, ick treck door t'punt F middel van L M, de rechte oneyndelicke lini D E rechthouckich op L M, vervoughende daer na de langde L F van eenich punt des ghegheven boochs, ick neem van B, tot inde lini D E, welcke langde ick neem te vallen van B tot K, treek daer na B K voorwaert tot datse L M gheraeckt, t'welck sy in I, Daer na teycken ick de langde B I inde oneyndelicke lini F D, welcke ick neem te vallen van F tot D, stel daer na inde oneyndelicke F E t'punt E, alsoo dat F E even syan F D, t'welck soo wesende D E is openbaerlick de begheerde grootste middellijn.

2 Vervolgh.

Deur t'voorgaende is kennelick hoemen nyt een ghegheven booch ende grootste of cleynste middellijn den heelen omtreck des lanckrondts volteyckenen sal.

12 Voorstel.

Den omtreck van een^⋆ keghelsne te teyckenen.

Tghegheven. Laet A B C een keghel bedien, wiens gronts middellijn B C, ende as A D, welcke keghel ghesneen is met een plat E F, rchthouckich opt plat A B C, begrepen tusschen de sijden ende middellijn des grondts vanden keghel. Tbegheerde. Wy moeten een keghelsneens omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette gene die in dat snyende plat is.

⋆ Conisectione.

[p. 23]

Twerck.

Ick schrijf op D als middelpunt, ende met D B als halfmiddellijn, het rondt B G C H, daer in treckende G H deur t'punt F rechthouckich op B C, daer na I K even an E F, ende K L, K M, rechthouckich op I K, ende elck even an F H: Daer na inden driehouck A B C eenighe lini N O, evewijdeghe met B C, ende snyende E F daert valt als in P, ende A D in Q, beschrijvende wederom op Q als middelpunt, ende met Q N als halfmiddellijn een rondt N R O S, daer in treckende R S deur t'punt P rechthouckich op N O, Voorts teycken ick inde lini I K t'punt T, alsoo dat I T even syan E P, daer na T V, T X, rechthoukich op I K, ende elck even an P S. Dit soo sijnde, I is des begheerden keghelsneens sop, L M gront, ende de punten V X, inden omtreck, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch ghevonden, sulcx dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, vanden waren omtreck gheen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den keghelsneens omtreck L V I X M.

Tbewys.

Tront B G C, is evenanden gront des kegels, ende G H even anden gront der keghelsne, alsoo oock is L M met G H deur t'werck; Daerom sijn de twee uyterste punten L M inden omtreck der keghelsne. Nu t'ghene hier bethoont is vande keghel A B C, wort oock alsoo verstaen vande keghel A N O, want haer keghelsneens gront oock even is an R S, ende vervolghens an V X, waer deur V X punten sijn inde keghelsnees omtreck: Ende sal dergelijcke oock bewesen worden van alle punten alsoo ghevonden, uyt welcke punten den omtreck L V I X M bestaende soo isse de begheerde. Tbeslvyt. Wy hebben dan den omtreck van een keghelsne gheteyckent na den eysch.

Merckt.

Als de lini E F wijder vande lini A B is, opt eynde F, dan opt eynde E, soo wort die keghelsne gheheeten^* wassendesne: Maer aldaer nauwer sijnde, soo ist een rondt of^* lanckrondt. De lini E F evewijdeghe met A B sijnde, soo heet die sne^* Brantsne. Doch soo is de wercking van alle sneen lijckformich mette voorgaende: welverstaende dat als de kegelsne een lanckrondt valt, soo vintmen haer

* Hyperbole.

* Ellipsis.

* Parabola.

[p. 24]

langste en cortste middellijn aldus: Laet A B C een keghel sijn, diens as A D, welcke keghel deursneen sy alsoo dat E F de langste middellijn beteyckent: Om nu de cortste te hebben, ick teycken t'punt G middel van E F, en treck daer deur H I evewijdeghe met B C, snyende den as in K, Beschrijf op K als middelpunt, met K H halfmiddellijn, het rondt H L I M en daer in de rechte lini L G M, evewijdeghe met A D, welcke de langde der cortste middellijn moet sijn, om de redenen int voorgaende bewijs verclaert, daerom alsmen een lanckrondts omtreck teyckent diens grootste middellijn even is an E F, en kleenste even an L M, na de manier des 9 voorstels, men heeft t'begheerde.

13 Voorstel.

Den omtreck van een^⋆ clootsche sne van een ghegheven clootsche te teyckenen.

Tghegheven. Laet A B C D een clootsche sijn, diens grootste as is A C, ende ghesneen met een plat B D rechthouckich opt plat A B C D.

Tbegheerde. Wy moeten een clootsche snees omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette ghene die in dat snyende plat bestaet.

⋆ Sectio sphaerosdis.

Twerck.

Ick teycken t'punt E int middel van B D, t reck daer na de lini F G, rechthouckich op A C, eyndende op beyden sijden inden ghegeven omtreck ende snyende



A C in H: Beschrijf daer na opt punt H als middelpunt, het rondt F I G K, daer in treckende I K deut t'punt E rechthouckich op F G; Twelck soo sijnde D B is de grootste middellijn, ende I K de cleynste des begheerden omtrecx der clootsche; welcke altijt een rondt, of, als hier in dese form, een lanckront sijnde, soo en rester niet dan op twee middellijnen even an D B, I K een lanckrondt te teyckenen na de manier des 9 voorstels t'welck L sy ende men heeft t'begheerde; waer af t'bewijs ghelijck is ant bewijs des boveschreven 12 voorstels.

Tbeslvyt. Wy hebben dan den omtreck van een clootsche sne gheteyckent na den eysch.

14 Voorstel.

Een slangtreck te teyckenen op een ghegheven eerste lini.

Vitruvius beschrijft int 3 hooftstick sijns 3 boucx, de teyckening eens slangtrecx, doch en is ons mening niet soodanighe hier tevolghen, maer na de bepaling van Archimedes: Ende dat om de meetconstighe spieghelinghen die daet in vallen, als tsijnder plaets int volghende blijcken sal.

[p. 25]

Tghegheven. Laet A B een eerste lini wesen.

Tbegheerde. Wy moeten een slangtreck teyckenen wiens eerste lini sy A B.

Twerck.

Ick beschrijf opt punt A als middelpunt, eenich rondts omtreck C D E F, deyl t'selve in ettelicke even deelen, Ick neem voorbeeltsche wijse in 12, mette punten C G, H, D, I, K, E, L, M, F, N, O, Treck daer na E C, L G, M H, F D, N I,



O K, die malcander al doorsnien int middelpunt A. Voort, in soo veel deelen als den omtreck ghedeelt is, in soo veel deel ick oock de lini A C, te weten in 12, als inde punten P, Q, R, en dierghelijcke: Teycken daer na de langde A P van A tot S inde lini A G, ende de langde A Q vervouch ick van A tot T inde lini A H, sghelijcx stel ick de langde A R van A tot V inde lini A D; Ende derghelijcke doende met d'ander punten tot datmen comt an B, soo staen al de punten A, S, T, V, B, met dier ghelijcke inde begheerde slangtrecx omtreck. Om nu te crijghen het deel des slangtrecx A S T, die vant ware weynich verschillen sal, men vindt een punt daermen des passers vaste voet op stelt, sulcx dat de beweeghlicke deur de drie punten A S T, streckt, ende derghelijcke doende met noch drie ander punten, ende dat soo dickmael datmen tot B comt, men heeft den eersten omtreck. Maer wilmen den slangtreck voorder beschrijvē, men teyckent van B na C t'punt X, alsoo dat B X even sy an A P, vervoughende daer na de langde A X van A tot Y inde lini A G: Ende derghelijcke met d'ander doende, men

[p. 26]

maeckt soo veel slangtrecxkeeren alsmen wil. Merckt wijder dat ghelijck het rondt C D E F hier gedeelt is in 12, alsoo machment deel en in 24 of 48, of meer even deelen, ende sal de wercking dan te sekerder vallen. T'bewijs hier af is gegrondt op de bepaling des slangtrecxplat van Archimedes.

Tbeslvyt. Wy hebben dan een slangtreck op een ghegheven eerste lini gheteyckent na den eysch.

15 Voorstel.

Te teyckenen een lini ghelijck met een ghegheven cromme lini van onbepaelde ghedaente.

Tghegheven. Laet A B C D E een cromme lini sijn van ongeschickte form, niet wesende van ghedaente als eenighe der voorgaende, maer onbepaelt; Voort sijn F, G, twee punten lijckstandich mette punten A, E.

Tbegheerde. Wy moeten van F tot G een lini teyckenen, gelijck mette lini A B C D E.

Twerck.

Ick neem voor al dat de verborghen of verdochte rechte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verborghen of verdochte van A tot E, want waerse soo niet ghegheven, men soudese soo meughen verstellen. Teycken daer na inde ghegeven



lini eenich punt daert valt, latet C sijn, treckende de twee verborghen linien A C, C E, daer na de verborghen oneyndelicke F H evewijdege met A C, en een lini van G evewijdege met E C, ontmoetende die oneyndelicke in H; t'welck soo sijnde, H is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C, inde ghegheven. Nu ghelijck hier ghevonden is t'punt H, salmen vinden meer ander punten, en soo veel, tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander ghetrocken, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebbē vande cromme diese eyghentlick souden wesen; T'welck soo sijnde, men heeft de begheerde lini F H G.

Tbewys.

H lijckstandich punt met C te wesen, blijckt int 18 voorstel des 6 boucx van Euclides, waer deur de rest openbaer is.

[p. 27]

Ander manier van vverck.

Sijn Vorstelicke Ghenade heeft hier toe noch verdocht en doen opteyckenen een ander manier van wercking deur trecking van seker linien uyt een punt buyten de form: Om welcke by voorbeelt te verclaren laet andermael A B C D E een cromme lini sijn alsvooren; F, G, twee lijckstandighe punten mette punten A, E, wederom alsoo ghestelt dat de verdochte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verdochte van A tot E.

Twerck.

Ick treck deur de twee lijckstandighe punten F, A, een oneyndelicke rechte lini F A H, sghelijcx een ander rechte lini deur de twee lijckstandighe punten G, E, ontmoetende die oneyndelicke in H: Ghenomen nu dat ick inde begeerde lini van F tot G, wil vinden een lijckstandich punt met C, ick treck deur C de oneyndelicke lini H I, daer na A C, en uyt t'pvnt F, een evewijdeghe mette selve A C ontmoetende die oneyndelicke in H: T'welck soo sijnde, I is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C inde ghegheven. Nu ghelijck hier gevonden is t'punt I, salmen vinden meer ander punten, als neem ick K, L, lijckstandighe met B D, en ander dierghelijcke, soo veel tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebben vande cromme diese eyghentlick souden wesen, en men heeft t'begheerde. De lichticheyt des wercx hier uyt volghende, is datmen in alle oneyndelicke linien ghetrocken van H deur de ghegeven lini daert valt, altijt heeft een begheert lijckstandich punt, mettet punt der ghemeene sne vande ghegheven cromme lini, en die oneyndelicke, waer af t'bewijs is als t'voorgaende. Tbeslvyt. Wy hebben dan gheteyckent een lini ghelijck met een ghegheven crommelini van onbepaelde ghedaente na den eysch.