Beghinselen der weeghconst

[p. 65]

Het tweede bovck vande ^* beghinselen der weeghconst, dwelck is vande vinding der swaerheydts middelpvnten, Beschreuen door Simon Steuin.

WY hebben in t'eerste bouck tot het beschriuen der wichtighe ghedaenten, ghenomen een pilaer (voldoende aldaer het voornemen) diens swaerheyts middelpunt door ghemeene wetenschap bekent is, maer in veel ander lichamen en ghebueret niet also, wel is waer dattet door een corte ghemeene reghel in allen werckelick te vinden is, so door t'eerste voorstel der ^* Weeghdaet blijcken sal, maer met de ^* Wisconstighe vinding ist anders ghestelt; Daer af heeft eerst gheschreuen Archimedes in platten, ende naer hem Frederic Commandin in lichamen: Wy sullen tottet een en t'ander (ouermits het een ^* afcoemst van beghinselen is, byde voorgaende wel dienende, ende tottet volgende, so wel Waterwicht, als Weeghdaet, seer noodich) het onse voughen, ende alles naer onse oirden verspreyden, daer af beschrijuende der Beghinselen tweede bouck.

Wat de ^* bepalinghen belangt vande Meetconstige formen, die bygheualle hier yemandt begheeren mocht, wy nemen die ^* door t'ghestelde voor bekent uyt de ^* Meetconst; Alleenelick dit daer af segghende, dat wy t'woort Parabola, ofte Rectanguli coni sectio, beteeckenen met Brantsne: Ende Conoidale Rectangulum, met Brander; Reden, dat dier formen ^* daet voornamelicxt bestaet int ontsteken ofte branden.

* Elementis.

* Praxis.

* Mathematica.

* Species.

* Definitiones.

* Per Hypothesin.

* Geometria.

* Effectus.

Eerst vande vinding der swaerheyts middelpvnten ^* vande platten.

BY aldien de platten eenich ghewicht hadden, ende datmen toeliete die te wesen inde reden haerder grootheden, wy souden eyghentlick mueghen spreken van haer Swaerheydt, Swaerheyts middelpunt, Swaerheyts middellini, &c. Maer

* Planis.

[p. 66]

anghesien in t'plat gheen ghewicht en is, soo en isser eyghentlick sprekende gheen Swaerheydt, Swaerheydts middelpunt, noch Swaerheyts middellini in; Daerom moetmen dit alles ^* lijckspreucklick verstaen, ende nemen als door t'ghestelde, dat der platten ghewichten inde reden haerder grootheden sijn, want T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere.

* Metaphoricè.

I. Vertooch.       I. Voorstel.

Yder plats middelpunt der form, is oock sijn swaerheyts middelpunt.

1e Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C een euesijdich driehouck wesen, diens formens middelpunt sy D. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat D oock het swaerheyts middelpunt is des driehoucx A B C. T'bereytsel. Laet ghetrocken worden van A tot int middel van B C, de lini A E, sghelijcx van C tot int middel van A B, de lini C F. T'bewys. Wesende de driehouck A B C opghehanghen by de lini A E, het deel A E C sal euewichtich hanghen teghen A E B, want sy sijn euen groot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt; A E dan is swaerheyts middellini des driehoucx A B C, Ende om de selue reden sal F C oock des driehoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese snien malcanderen in des formens middelpunt D, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan D.

IIe Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D een euewydich vierhouck sijn, diens formens middelpunt E. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat E oock het swaerheyts middelpunt is. T'bereytsel. Laet ghetrocken worden F G, tusschen de middelpunten van A D ende B C, insghelijcx H I, tusschen de middelpunten van A B ende D C.

T'bewys. Wesende den vierhouck opgehanghen by de lini H I. Het deel H I D A sal euewichtich hanghen tegen H I C B, want sy sijn euegroot ghelijck ende van ghelijcker ghestalt; H I dan is swaer-

[p. 67]

heyts middellini des vierhoucx A B C D, Ende om de selue reden sal F G oock des vierhoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese doorsnien malcanderen in E, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan E.

IIIe Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D een gheschickt ofte inschriuelick vijfhouck wesen, diens formens middelpunt F sy. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat F oock het swaerheyts middelpunt is.

T'bereytsel. Laet ghetrocken worden van A tot int middel van D C, de lini A G; sghelijcx van B tot int middel van E D, de lini B H. T'bewys. Wesende den vijfhouck opghehanghen by de lini A G, het deel A G D E sal euewichtich hanghen teghen het deel A G C B, want sy sijn euegroot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt: A G dan is swaerheyts middellini des vijfhoucx, ende om de selue reden sal B H ooc des selfden vijfhoucx swaerheyts middellini wesen; maer dese doorsnien malcanderen in des formens middelpunt F, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan F. Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in allen anderen hebbende een formens middelpunt als Seshoucken, Ronden, Scheefronden, &c.

T'beslvyt. Yder plats middelpunt der form dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.

II. Vertooch.       II. Voorstel.

Yder driehoucx swaerheydts middelpunt, is inde line ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde.

T'ghegheven. Laet A B C een driehouck sijn van form soot

[p. 68]

valt, waer in vanden houck А tot in D middel vande sijde В С, ghetrocken is de lini A D. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat des driehoucx swaerheyts middelpunt inde lini A D is. T'bereytsel. Laet ons trecken Е F, G Н, I K, euewydighe van B C, sniende A D in L, M, N, daernaer E O, G P, I Q, K R, H S, FT, euewydighe metA D.

T'bewys. Ouermits Е F euewydighe is van B C, ende Е O, F T met L D, soo sal E F T O, euewydich vierhouck sijn, wiens Е L euen is met L F, oock met О D ende D T, waer deur het swaerheyts middelpunt des vierhoucx Е F Т О in D L is, door het 1^e voorstel deses boucx. Ende om de selue reden sа1 het swaerheyts middelpunt des euewydichs vierhoucx G H S P wesen in L M, ende van I K R Q in M N , ende vervolghens het swaerheyts middelpunt der form I K R H S F T O

Е Р G Q ghemaect vande voornoemde drie vierhoucken, sal wesen inde lini N D, ofte A D. Nu ghelijck hier in beschreuen sijn drie vierhoucken, alfo canmendcr oneindelicke sulcke vierhoucken in beschrijuen, ende des binneschreuens formens swaerheyts middelpunt, sal altijt sijn (om de redenen als vooren) inde lini А D. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer sijn, hoe dat den driehouck A В С min verschilt vande binneschreuen form der vierhoucken; want treckende linien euewydich van В С door de middelen van А N, N M, M L, L D, t'verschil des laetsten ghestalts, sal effen den helft sijn van t'verschil des voorgaenden ghestalts. Wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen den driehouck stellen, dattet verschil tusschen haer ende den driehouck, minder sal wesen dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy: Waer uyt volght, dat stellende A D als swaerheydts middellini, so sal t'staltwicht des deels A D C, min verschillen van t'staltwicht des deels A D B, dan eenich plat datmen soude connen gheuen hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strie.

А.	Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheydt ghestelt worden minder dan haer verschil;
О.	Neuen dese staltswaerheden A D C ende А D B, en can gheen swaerheydt ghestalt ghestelt worden minder dan haer verschil;
О.	Dese staltswaerheden dan A D C ende A D B en verschillen niet.

Daerom A D is swaerheyts middellini, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A В С is in haer. T'beslvyt. Yder driehoucx swaerheydts middelpunt dan is inde lini ghetrocken vаndеп houck tot int middel der sijde, t'welck wy bewysen moesten.

[p. 69]

I. Eysch.       III. Voorstel.

Wesende ghegheuen een driehouck: Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.

T'ghegheven.. Laet A B C een driehouck wesen. T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheytds middelpunt vinden. T'werck. Men sal van A tot int middel van B C, trecken de lini A D, sghelijcx van С tot int middel van A B, de lini C E, sniende А D in F: Ick seg dat F t'begheerde swaerheydts middelpunt is. T'bewys. T'swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C, is inde lini A D, ende oock in C E, duer het 2^e voorstel, tis dan F, t'welck wy bewysen moesten. T'beslvyt. Wesende dan ghegheuen een driehouck: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.

III. Vertooch.       IIII. Voorstel.

Het swaerheyts middelpunt eens driehoucx deelt de lini vanden houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck, dobbel is an t'ander.

T'ghegheven. Laet A B C een driehouck sijn, ende vanden houck B een lini ghetrocken worden tot D int middel van A C, sghelicx van C een lini tot E int middel van A B, sniende B D in F voor swaerheyts middelpunt des driehoucx A В С. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat C F dobbel is an F Е. T'bewys. Ghetrocken de reden E B 1 tot B A 2, vande reden C D 1 tot D A 1 (dat is Reden 1/2 van Reden 1/1) ^* daer rest de Reden van C F tot F E, maer treckende Reden 1/2 van Reden 1/1 daer blijft Reden 2/1 C F dan ís tot F E, alsvan 2.tot 1.

T'beslvyt. Het swaerheyts middelpunt dan eens driehoucx deelt de lini vanden houck tot int middel der sijde alsoo, datter stick naer den houck dobbel is an t'ander, t'welck wy bewysen moesten.

* Door t'verkeerde des 12 cap. I. lib. Almag. Ptolem.

[p. 70]

IIII. Vertoogh.       V. Voorstel.

Wesende twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen: De lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt.

T'ghegheven. Laet A B C een driehouck wesen, van t'welck yder sijde A B ende B C ghedeelt sy in drie euen deelen, met de punten D, Е, F, G, ende tusschen de punten E, G, naest de derde sijde B C, sу ghetrocken de lini E G. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat E G duer des driehoucx A B C swaerheyts middelpunt streckt.

T'bereytsel. Laet ons trecken van A tot int middel van B C, de lini A H, sniende Е G in I. T'bewys. Ouermits A E sulcken reden heeft tot Е В, als A G tot G C, soo is E G euewydighe met B C, ende veruolghens E I is euewydighe met B H, daerom ghelijck A Е tot Е B, alsoo A I tot I H, maer A E is dobbel tot Е В door t'ghegheuen, daerom A I is dobbel tot I H, maer wesende A I dobbel tot I H, soo is I t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C door het 4^e voorstel, daerom E G streckt door des ghegheuen driehoucx swaerheyts middelpunt. T'beslvyt. Wesende dan twee syden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen, de lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde syde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.

II. Eysch.       VI. Voorstel.

Wesende ghegheuen een ^* rechtlinich plat:

Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.

* Planum rectilineum.

Ie Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D een ongheschict vierhouck wesen. T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.

T'werck. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken met de lini A C, ende vinden het swaerheyts middelpunt van elck driehouck, duer het 3^e voorstel, dat van A C B sy E, ende van A C D sy F,

[p. 71]

ende de lini E F sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee euewydige vierhoucken van een selfde hoogde, als G Н I K, euen anden driehouck A C D, ende G H L M, euen anden driehouck A C В, daer naer deelende den balck F E in N, alsoo dat den erm N E, sulcken reden hebbe tot den erm N F, als Н I tot H L; Ick seg dat N t'begheerde swaerheyts middelpunt is.

IIe Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D E een ongheschickt vijfhouck sijn.

T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.

T'werck. Men sal trecken A C, ende vinden. t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A C B door het 3^e voorstel, t'welck F sу, ende vande vierhouck A C D E

duer t'voorgaende 1^e voorbeelt , t'welck G sy, ende de lini F G sal balck wesen, daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als H I K L euen anden vierhouck A C D E, ende H I M N euen anden driehouck A С В, deelende den balck G F in O, alsoo dat den erm О F, sulcken reden hebbe tot den erm O G, als I K tot I M; Ick seg dat O t'begheerde swaerheyts middelpunt is.

IIIe Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D E F een ongheschickt seshouck sijn. T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.

T'werck. Men sal trecken A C, ende vinden t'swaerheydts middelpunt des driehoucx A C B duer het 3^e voorstel, t'welck G sy, ende vanden vijfhouck А С D E F, duer het voorgaande 2^e voorbeelt, t'welck Н sy, ende de lini С Н sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als I K L M, euen anden vijfhouck А С E. F, ende I K N O

[p. 72]

euen anden driehouck A C B, deelende den balck H G in P, alsoo dat den erm P G, sulcken reden hebbe tot den erm Р H, als de lini K M tot K N; Ick seg dat Р t'begheerde swaerheydts middelpunt is. Welcke maniere van wercking in allen anderen veelsijdeghe platten ghelijck sal sijn ande voorgaende.

Merckt.

Wy hebben hier bouen voorbeelden beschreuen alwaer t'ghegheuen plat verkeert wort in euenhooghe ende euewydighe vierhoucken, wy connen t'selfde oock doen sonder soodanighe verkeering, daer af wy verscheyden voorbeelden beschrijuen sullen als volght.

IIIIe Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A В С D een ongheschickt vierhouck wesen. T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T'werck. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken, met de lini A C, ende vinden t'swaerheydts middelpunt van elcken driehouck door het 3^e voorstel, dat van A С В sy E, ende vanden driehouck А C D sy F, de lini dan E F is balck. Daer naer salmen trecken D G ende B H, beyde rechthouckich op A C, deylende den balck F E en I, alsoo dat den erm I Е, sulcken reden hebbe tot den erm I F, als D G tot B H; Ick seg dat I t'begheerde swaerheyts middelpunt is.

Ve Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D E een ongheschickt vijfhouck sijn. T'begheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T'werck. Меn sal den vijfhouck deelen in drie driehoucken, met eenighe linien als A D, A C, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx A C D E duer het.4^e voorbeelt, t'welck F sy, ende des driehoucx A C В duer het 3^e voorstel, t'welck G sy, ende de lini F С, is balck, Daer naer ghetrocken B H rechthouckich op A C; Ende C I met E K rechthouckich op A D, men sal der drie linien A D, A C, H B, vinden de vierde ^* euerednighe, welcke sy L M, deelende ^* den balck F G in N, alsoo dat den erm N G sulcken reden hebbe tot den erm N F, ghelijck C I met E K, tot L M; Ick seg dat N het begheerde swaerheydts middelpunt is.

* Propertionalis

* Door het 12. v. 6. B. E.

[p. 73]

VI. Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D E F een ongheschickt seshouck sijn. T'begheerde. Wу moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T'werck. Мen sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als A С, А D, F D, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx A D C B door het 4^e voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx А D E F, t'welck H sy, ende de lini Н G is balck. Daernaer ghetrocken B I ende D K rechthouckich op А С, insghelijcx A L ende E M beyde rechthouckich op F D, men sal der drie linien welcker eerst F D, de tweede A C, de derde B I met K D, vinden de vierde euerednighe, welcke N О sy, deelende den balck H G in P, also dat den erm Р G‚ sulcken reden hebbe tot den erm P H, ghelijck A L met E M, tot N O; Ick seg dat P het begheerde swaerheyts middelpunt is. Ende sоо sаlmen voort mueghen varen met ander veelhouckeghe platten.

T'bewys. Ghelijck int eerste voorbeelt H I tot Н L, alsoo den erm N Е tot den erm N F, maer ghelijck H I tot Н L, alsoo den vierhouck⁺ G H I K, tot den vierhouck G H L M, ghelijck dan G H I K tot G H L M, also N E tot N F, maer G H I K is euen an den driehouck A С D, ende G H L M anden driehouck A C B door t'werck, ghelijck dan den driehouck A C D tot A C B, alsoo den erm N E tot N F. Het punt dan N is (door het 1^e voorstel des 1^en boucx) des vierhoucx swaerheyts middelpunt. Sghelijcx sal oock bewys sijn des 2^e ende 3^e voorbeelts.

T'vierde voorbeelt is openbaer als wy bewesen hebben dat ghelijck D G, tot H B, alsoo den driehouck A C D, tot A C B in deser voughen: Nemende A C voor hoochde, ende D G ende H B voor gronden, soo heeft den rechthouck begrepen onder A С ende D G, sulcken reden tot⁺ den rechthouck onder A C ende H B, ghelijck D G tot H B; Maer ghelijck dien rechthouck tot desen, alsoo de driehouck A C D tot A C B, want elck driehouck is sijn rechthoucx helft‚ ghelijck dan D G tot ⁺ Н В, аlsoo den driehouck A D tot A C B.

Des 5^en voorbeelts bewys sal oock claer sijn als wy bewesen hebben, dat ghelijck E K met I C tot L M, alsoo den vierhouck A C D E tot den driehouck A C B, aldus: Anghesien L M vierde euerednighe is der drie A D, A C, H B, de rechthouck begrepen onder A D ende L M, sal euen sijn an den rechthouck begrepen⁺ onder A C ende H B, Laet ons nu E K, I C, L М, ansien voor gronden, wiens ghemeene hoochde A D; Maer ghelijck die gronden

+ 1. v. b. B. E.

+ 1. v. 6. B. E.

+ 41. v. 1. B. E.

+ 16. v. 6. B. E.

[p. 74]

⁺ tot malcanderen, alsoo de rechthoucken begrepen onder haer ende hare ghemeene hoochde, daerom oock ghelijck de twee gronden E K, I C, tot den grondt L M‚ alsoo dier gronden rechthoucken tot deses grondts rechthouck, maer die twee rechthoucken sijn elck het dobbel haers driehoucx; Ghelijck dan E K met I C tot L M, also het dobbel vanden vierhouck A C D E tot den rechthouck begrepen onder A D ende L M: Маer desen is euen an den rechthouck begrepen onder А С ende Н В als vooren betoocht is, ende de selue rechthouck begrepen onder A C ende Н В is het dobbel des driehoucx A C B, daarom ghelijck E K met I C tot L M, alsoo het dobbel des vierhoucx A C D E tot het dobbel des driehoucx А С В, ende veruolghens ghelíjck E K met I C tot L M, alsoo den vierhouck A C D E tot den driehouck A C B, waer uyt de reste оpenbаег is. T'bewys van het 6^e voorbeelt is duer dit oock kennelick ghenouch. T'beslvyt. Wesende dan ghegheuen een rechthouckich plat: Wy hebben sjn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.

+ 1.v. 6. B. E.

Merckt.

My is onder het drucken ter handt ghecomen, Fredric Commandins ^* verclaring ouer de viercanting der Brantsne van Archimedes, alwaer hy onder het 6^e voorstel de manier beschrijft, om t'swaerheyts middelpunt te vinden van yder rechtlinich plat, ende dat op een ander wijse als de twee voorgaande. So ymant tottet ouersien der selue begheerich waer, salse daer vinden.

* Commentarius in quadraturam paraboles.

V. Vertooch.       VII. Voorstel.

Het swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee ^* euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten.

T'ghegheven. Laet A B C D een vierhouck sijn, diens twee euewydighe sijden A B ende D C, ende de lini uyt E middel van A B, tot F middel van D C, E F.

T'begheerde. Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx A В С D inde lini E F is. T'bereytsel. Laet de drie linien D A, F E, C B, voortghetrocken worden, welcke om de ^* eueredenheyt der linien A E, Е B, D F, F C, vergaren sullen in een selfde punt t'welck G sy. T'bewys. Laet ons den driehouck G D C ophanghen byde lini G F, ende het deel G F C sal euestaltwichtich sijn‚ teghen G F D door het 2^e voorstel, waer deur oock t'swaerheyts mid-

* Parallelis.

* Proportionen.

[p. 75]

delpunt des driehoucx G D С inde lini G F is. Maer den driehouc G Е В, is oock euestaltwichtich teghen den driehouck С Е A, daerom van euestaltwychtighe ghetrocken euestaltwichtighe, de resten als de vierhoucken Е F D A, E F С В, sulllen noch euestaltwichtich blijuen, ende haer swaerheyts middelpunt noch inde lini G F, maer niet uyt de form in E G; Nootsaecklick dan in E F. T'beslvyt. Het swaerheydts middelpunt dan des vierhoucx met twee euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middel punten, t'welck wy bewysen moesten.

VI. Vertooch.       VIII. Voorstel.

Het swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee euewydighe sijden, deelt de lini tusschen dier euewydighens middelpunten also, dat het stick naer de minste sijde, tot het ander, sulcken reden heeft, als tweemael de meeste sijde met eenmael de minste, tot tweemael de minste met eenmael de meeste.

T'ghegheven. Laet A B C D een vierhouck wesen met twee euewydighe sijden A B, D C, ende de lini tusschen haer middelpunten sy Е F, ende t'swaerheydts middelpunt sy G. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat ghelijck tweemael D С met eenmael A B, tot tweemael A B met eenmael D C, also G E tot G F. T'bereytsel. Laet ghetrocken worden D B, ende ghedeelt in drie euen deelen met de punten H, I, ende door de selue ghetrocken worden K L‚ ende M N, euewydich van D C, sniende Е F in О en P. Daer naer de lini D E, sniende M I in Q, Ende B F sniende K L in R, Ende ten laetsten R Q.

T'bewys. Anghesien het swaerheydts middelpunt des driehoucx B D C , is in B F, duer het 2^e voostel‚ ende oock in Н L duer het 5^e voorstel, sоо is R, sijn swaerheyts middelpunt, ende om de selue reden is Q swaertheyts middelpunt des driehoucx A B D, ende Q R is dier driehoucken balck, inden welcken haer beyder, dat is des vierhoucx A B C D, swaerhcyts

[p. 76]

middelpunt is, t'selue is oock in E F duer het 7^e voorstel, daerom G is t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx A B C D. Maer want de twee driehoucken С D В ende A B D sijn tusschen twee euewydighe A B en-⁺de D C, sо sijn sу inde reden van haer gronden, dat is ghelijck den driehouck С D B tot A B D, alsoo D С tot А В: Maer ghelijck den driehouck C D B tot A D B, also den erm G Q tot G R duer het 1^e voorstel des 1^en boucx, ghelijck dan D C tot A B, alsoo G Q tot С R; maer ghelijck G Q tot G R, alsoo P G tot G О (want sy tusschen de euewydeghe M N, K I sijn) ghelijck dan D С tot A B, alsoo G P tot P O, daerom oock ghelijck tweemael D C met eenmael A B, tot tweemaal A B met eenmael D C, also tweemael G P met eenmael G O, tot tweemael G О met eenmael G P. Маек G Е is euen an tweemael G P met eenmael G О, ende G F is euen an tweemael G О met eenmael G P, daerom ghelijck tweemael D C met eenmael A B, tot tweemael A B met eenmael D C, alsoo G E tot G F. T'beslvyt. Het swaerheyts middelрunt dan des vierhoucx met twee, &c.

+ 1. v. 6. B. E.

III. Eysch.       IX. Voorstel

Wesende ghegheuen t'swaerheyts middelpunt eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: Het swaerheyts middelpunt van t'ander deel te vinden.

I. Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet А В С D een rechtlinich plat wesen, diens swaerheyts middelpunt Е, ende B D A deel des plats, wiens swaerheyts middelpunt F. T'begheerde. Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels B D C. T'werck. Men sal trecken F E tot in G, alsoo dat F E sulcken reden hebbe tot Е G. als t'stick В D C tottet stick B D A: Ick seg dat G t'begheerde swerheyts middelpunt is des ander deels B D C. T'bewys. Anghesien t'swaerheyts middelpunt van B D A is F, ende des heels A В С D is Е, soo moet t'swaerheyts middelpunt des ander deels B D C sijn in de rechte F E oneindelick voortghetrocken. Want soot mueghelick waer, later daer buyten wesen als H, ende laet ons trecken F H, het swaerheyts middelpunt dan des heels sal in F H sijn, maer dat is teghen ^* t'ghestelde, wantet Е is; Ten is dan niet buyten F Е oneindeliek voortghetrocken maer daerin. Latet nu wesen

* Hypothesin.

[p. 77]

(soot mueghelick waer) tusschen de punten E G als I; Maer den langsten erm E F sal dan meerder reden hebben tot den cortsten E I, dan de swaerste swaerheyt B D C tot de lichtste B D A, twelck teghen het 1^e voorstel des l^en boucx waer. Ten is dan tusschen E G niet: Sghelijcx salmen oock bethoonen datter bouen G niet en is. Tis dan nootsaecklick G, t'welck wy bewysen moesten.

II Voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C D een rondt wesen diens ^* halfmiddelline E A, ende swaerheyts middelpunt Е sy, ende trondt A F G H, deel des rondts A B C D, ende sijn swaerheyts middelpunt I, ende ^* middellini A G. T'begheerde. Wy moeten het swaerheyts middelpunt vinden des ander deels, dat is der maen A B С D H G F.

T'werck. Men sal I E voorttrecken tot in K, also dat I E sulcken reden hebbe tot E K, als de maen A B C D Н G F tot het rondt A F G H, ende K sal t'begheerde swaerheydts middeldelpunt wesen, Daer af t'bewys ghelijck sal sijn an tvoorgaende. Мaer om de reden dier maen tot dat rondt te vinden, men sal trecken C L euen met A G, daernaer A L, vindende de derde everednighe welcker eerste А L, de tweede L C, ende de derde sy M‚ Ende A L tot M, sal de reden sijn der maen tot het rondt А F G H. Want ouermits А L C rechthouck is (reden dat sy int half rondt staet) het ront diens middelli-⁺ ni A L, sal euen sijn ande maen, ende А L tot M is de ^* ghedobbelde reden van А L tot L C, dat is van A L tot A G, daerom &c.

Sghelijcx soudemen voortvaren dat int rondt A B C D meer ronden ghebraken; by voorbeelt het rondt N О, wiens middelpunt Р. Want

* Semidiameter.

* Diameter.

+ 31. v. 3. B. E.

* Duplicata ratie.

[p. 78]

P K voortghetrocken tot in Q, alsoo dat P K sulcken reden hadde tot K Q, als het restende tot het rondt N О, so soude Q t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn. Ende alsoo met allen anderen formen welcker deelen reden kennelick is. T'beslvyt. Wesende dan ghegheuen de swaerheyts middelpunten eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: wy hebben het swaerheyts middelpunt gheuonden des ander deels naer den eysch.

VII. Vertooch.       X. Voorstel.

Yder ^* brantsnees swaerheyts middelpunt is in haer middellini.

T'ghegheven. Laet A B C D een brandtsne sijn diens middellini A D. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt inde lini A D is. T'bereytsel. Laet ons trecken de linien Е F, G Н, I K, euewydighe van B C, ende sniende A D in L, M, N, daer naer Е О, G P, I Q, K R, H S, F T, euewydighe van А D.

T'bewys. Ouermidts Е F euewydighe is van B C, ende Е Q, F Т, van L D, soo sal Е F Т О euewydich vierhouck sijn, wiens Е L euen is met L F, oock met О D ende D T, waer duer t'swaerheyts middelpunt van Е F Т О, in D L is duer het 1^e voorstel, Ende om de selue reden sal t'swaerheyts middelpunt des euewydich vierhoucx G Н S P in L M wesen, ende van I K R Q in M N, ende veruolghens t'swaerheyts middelpunt der form I K R Н S F T О Е P G Q, ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken sal inde lini N D oft A D sijn. Maer hoe darter sulcke vierhoucken meer gheschreuen worden, hoe dattet verschil des brandtsnees A B C, ende der binnenschreuen form van die vierhoucken vergaert, minder is, wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen de brantsne stellen, dattet verschil tusschen haer ende de brantsne, minder sy dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy, waer uyt volght, dat stellende A D als swaerheyts middellini, so sal F t'staltwicht des deels A D C, min verschillen van t'staltwicht des deel A D B, dan eenich plat

* Parabola.

[p. 79]

datmen soude connen gheuen, hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strije:

A.	Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haar verschil;
О.	Neuen dese staltswaerheden A D C ende A D B, en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
О.	Dese staltswaerheden dan A D C ende A D В en verschillen niet.

Daerom А D is swaerheyts middellini, ende veruolghens het swaerheyts middelpunt des branders A B С is in haar. T'beslvyt. Yder brandtsnees swaerheyts middelpunt dan, is in haer middellini, t'welck wy bewysen moesten.

VIII. Vertoogh.       XI. Voorstel.

Aller brantsneens middellinien worden van het swaerheyts middelpunt ^* eueredelick ghedeelt.

T'ghegheven. Laet A B С D ende а b c d twee onghelijcke brantsneen sijn, diens middellinien A D, ende a d, ende swaerheyts middelpunten E, ende e. T'begheerde. Wy moeten bewysen dat ghelijck A Е tot E D, alsoo a e tot e d.

T'bereytsel. Laet ons trecken de linien A B, A C, die deelende in haer middelen F, G, ende trecken F G sniende A D in H, daer naer F I ende G K euewydighe van A D, ende daer naer I A, I B, K A, K С, ende laet ons stellen L in I F, alsoo dat I L dobbel sy an L F, sghelijcx M, alsoo dat K М dobbel sу an M G, ende laet ons trecken L M, sniende AD in N, ende I K sniende A D in O, ende laet ons stellen P, alsoo da: A P dobbel sy an P D, ende laet ons I F voorttrecken tot Q inden grondt В C. Nu anghesien A Р dobbel is an P D, so is Р t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C, ende omme de selue reden L, M,

* Proportionaliter

[p. 80]

swaerheyts middelpunten der twee driehoucken A B I, ende A C K, ende veruolghens, want sy euen sijn, soo is N haer beyde swaerheyts middelpunt. N P dan is balck, de selue ghedeelt in R, alsoo dat den erm N R sy tot R P, als den driehouck A B C tot de twee driehoucken A B I, A C K, dat is, als 4 tot 3 (want alle brantsne is tot den driehouck als A В С ghelijck 4 tot 3, duer het 24 voorstel der viercanting des brantsnees van Archim. daerom, &c.) Laet ons nu derghelijcke linien ende punten oock ⁺ beschrijuen inde brantsne a b с. T'bewys. Ghelijck A D tot A O, also het viercant van D B tottet viercant van О I; Maer D Q is euen an О I, ende D Q is den helft van D B (want F is t'middel van A B, ende F Q is euewydich van A D) daerom het viercant van D B, is viervoudich an t'viercant van D Q, ofte van О I, ende veruolghens A D is viervoudich tot A O, daerom A О is 1/4 van A D, ende О Н oock 1/4 (want A H is den helft van A D, ouermits F С ghetrocken is uyt de middelen van A B, A C) daerom doet N Н 1/12 van A D, daer toeghedaen H D 1/2, comt voor N D 7/12, daer af ghetrocken P D 1/3, rest voor P N 1/4: Maer N R is viervoudich tot R P, daerom R P doet 1/20, daer toe P D 1/3, doet voor R D 23/6, daerom R A de reste der lini, doet 37/60, Ghelijck dan 37 tot 23, а1sо А R tot R D, ende met de selue reden is bethoontdat a y tot y d оосk is als 37 tot 23. Dese twee rechtsideghe formen dan ghelijckelick beschreuen in verscheyden brandtsneen, hebben het swaerheyts middelpunt in haer middellinien, аlso dat de deelen onder malcanderen ^* euerednich sijn. Ende so wу inde brandtsnekens B I, I A, A K, K C, driehoucken beschreuen, soo ghedaen is inde brantsneen A В I, A C K vindende daer naer t'swaerheyts middelpunt des heels binnescreuen rechtlinich plats, t'welck ick neem dat hier S soude wesen, ende daer s, wy souden inder seluer voughen als vooren bethoonen, dat ghelijck A S tot S R, also а s tot s y. Maer wy connen duer sulck oneindelick inschriuen der rechtlinighe formen oneindelick naerderen naer Е, ende e, ende ghelijcksideghe platten sullen altijt der middelliniens A D twee sticken euerednich ghedeelt hebben duer haer swaerheyts middelpunt, ende vervolghens de heele brantsneen A B C, a b c, sullen die deelen euerednich hebben. Want laet (soot mueghelick waer) T t'swaerheyts middelpunt sijn des brantsnees A B C, ende e van a b c, ende laet ons teeckenen t, dat ghelijck Е Т tot T S, alsoo e t tot t s. Nu alsmen duer t'inschrijuen veelsidegher formen in a b c, sal ghecommen sijn tot t, men sal met ghelijcke veelsideghe formen in A B C, ghecomen sijn tot T, daerom T sal t'swaerheyts middelpunt sijn der binneschreuen form, ende oock des heelen brantsneens А В С, t'welck ongheschickt is. T'beslvyt. Aller brantsneens middellinien dan, worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick ghedeelt, t'welck wy bewysen moesten.

+ 20. v. 1. B. Appol.

* Proportionales

[p. 81]

IIII. Eysch.       XII. Voorstel.

Wesende ghegheuen een ^* brentsne: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.

T'ghegheven. Laet A B C een brandtsne sijn, diens middellini A D. T'begheerde. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. T'werck. Men sal de middellini A D, deelen in E, alsoo dat A E tot E D de reden hebbe van 3 tot 2: Ick seg dat E t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T'bereytsel. Laet ghetrocken worden de rechte linien A В, ende A C, ende de selue ghedeelt in haer middelen F, G, ende ghetrocken worden F G sniende A D in H, daer naer F I ende G K euewydighe van A D, ende laet ghestelt worden t'punt L in I F, inder voughen dat I L sу tot L F, als A E trot E D: Laet oock ghestelt worden t'punr M in K G, alsoo dat M G euen sy an L F, ende laet ghetrocken worden L M sniende A D in N‚ende I K sniende A D in О, ende laet I F voortghetrocken worden tot Q, inden grondt B C, ende laet ghestelt worden t'punr P, alsoo dat A P dobbel sy an P D, ende P sal swaerheyts middelpunt sijn des driehoucx A B C. ende want L, М, als swaerheyts middelpunten ghestelt sijn der brantsnekens A B I, ende A C K, soo sal N swaerheyts middelpunt sijn dier twee brandtsnekens, daerom ghedeelt den balck P N, alsoo dat d'een erm sulcken reden hebbe tot d'ander, als den driehouck A B С tot die twee brantsnekens, wy sullen t'begheerde hebben; maar de heele brantsne heeft sulcken reden tot den driehouck A В С als 4 rot 3 (duer het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimed.) daerom den driehouck A B C heeft sulcken reden tot de twee brantsnekens, als 3 tot 1; Ghedeelt dan P N alsoo dat het opperste stick, drievoudich sy tot het onderste, wy sullen t'swaerheyts middelpunt des heels hebben. Ist dan dat wy bethoonen t'selue, te vallen in E (welcke E duer t'werck soo staet dat A E is tot E D inde reden van 3 tot 2) sо is Е het ware swaerheyts middelpunt.

T'bewys. A О ende O H soo wу verclaert hebben int 11^e voorstel, sijn elck 1/4 van A D, Maer ghelijck 3 tot 2, alsoo A E tot E D, ende I L tot L F, ende O N tot N H, daerom ghedeelt O H ¼, in sulcken reden

* Parabola.

[p. 82]

als 3 tot 2, so sal t'stick N H doen 1/10 van A D, daer toeghedaen 1/2 voor H D, doet voor N D 3/5, daer af ghetrocken P D 1/3 rest voor N P 4/15, de selue is duer t'bereytsel ghedeelt in E, alsoo dat N E is tot Е Р, аls 3 tot 1‚ daerom Е P doet 1/15, daer toe ghedaen P D 1/3, comt voor E D 2/5 van A D: Maer wesende E D 2/5, so sal Е A doen 3/5, daerom A E heeft sulcken reden tot E D, als 3 tot 2, ende veruolghens Е is t'swaerheyts middelpunt des brantsnees A В C, t'welck wy bewysen moesten.

T'beslvyt. Wesende dan ghegheuen een brantsne: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.

Merckt.

Het schijnt dat Archimedes ter kennis deses voorstels becommen is, duer een deser twee manieren: D'eerste dat hy lichamelicke brantsneen makende, tot het formen siinder brandtspiegelsd, ofte om andersins hem daer in te oefnen, beuandt duer de daet, dit deel tot dat te wesen, 3 tot 2, souckende daer naer de sekerheyt van dien in deser voughen: Anghesien B A I ende B А С beyde brandtsneen siin, soo worden haer middellinien I F ende А D ^* eueredelick ghedeelt van haer swaerheyts middelpunten (soo int 11^e voorstel bewesen is) daerom moet I L tot L F siin, als А E tot E D, maer O N is euen an I L, еnde N Н an L F, daerom moet O N sulcken reden hebben tot N H, als A E tot E D. Maer als N swaerheyts middelpunt waar der twee brantsnekens, ende P des driehoucx А В С, so moet (ouermits desen driehouck, drievoudich is tot die twee brantsnekens) den erm N E drievoudich siin anden erm E P, waeer uyt sulcken voorstel rijst: Te vinden twee punten als N, E, alsoo dat de lini О N sulcken reden hebbe tot N H, als A Е tot E D. stellende daer naer А Е te doen 3/5 van A D, ende E D de 2/5 ende versouckende alsoo watter uyt volghen soude, heeft beuonden naer maniere als bouen, sulcx waerachtelick te ouercommen mettet begheerde. Ofte soo hy dit aldus niet ghesocht en heeft al tastende, deur de voornoemde reden van 3 tot 2, maer duer lauter cracht der const, soo schijnt dat hy hem t'voornoemde in ghetalen voorghestelt heeft in deser voughen: Het sijn twee ghetalen О Н 1/4 ende H P 1/6; deelt elck alsoo, dat het minste van О H, met het meeste van H P, drievoudich sy an t'minste van H P, ende dat t'meeste van O H sulcken reden hebbe tot sijn minste, als t'meeste van H P + 1/2 tot t'minste van H P + 1/3.

* Propertionaliter.

V. Eysch.       XIII. Voorstel.

Wesende ghegheuen een ghecorte brantsne: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.

T'ghegheven. Laet A B C D een ghecorte brantsne sijn (welverstaende dat A В euewydighe sy met D C) wiens middellini E F.

T'begheerde. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden.

[p. 83]

T'werck. Men sal de ghecorte brantsne volmaken, daer an stellende t'ghebrekende A B G, daer naer salmen teckenen H, alsoo dat G H sy tot Н E, als 3 tot 2: Insghelijcx I, alsoo dat G I sy tot I F, als 3 tot 2. daer naer K,. alsoo dat I H sulcken reden hebbe tot I K, ghelijck de ghecorte brandtsne A B C D, tot de brantsne A B G, Ick seg dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T'bewys. I is swaerheyts middelpint des heels, ende H des deels, ende ghelijck t'ander deel tot dit, alsoo H I tot I K, daerom K, duer het 9^e voorstel is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. T'beslvyt. Wesende dan ghegheuen een ghecorte brantsne, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.