Logo DBNL
Die conste vanden getale (1999)

Die conste vanden getale

(1999)–Marjolein Kool–rechtenstatus Auteursrechtelijk beschermd

Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen


Vorige Volgende

Hoofdstuk 4
De inhoud van de rekenboeken: voortgezette rekenkunde in de vorm van rekenregels en toepassingen

In hoofdstuk 1 is al opgemerkt dat het belangrijkste verschil tussen de Latijnse algorismustractaten en de abacustractaten in de volkstaal wordt gevormd door de vele toepassingen van de rekenkunde in de laatstgenoemde werken.1 Abacustractaten bevatten tientallen rekenregels waarmee vele praktische vraagstukken opgelost worden. Dat is het geval met de tractaten die in het dertiende-eeuwse Italië werden geschreven en dat gaat onverminderd voort in de Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw.

Nadat in het eerste deel van deze rekenboeken de basis van de rekenkunde is uitgelegd, wordt in het tweede deel de rekenkunde gebruikt om allerlei praktische vraagstukken op te lossen. Welke rekenregels worden aan de orde gesteld om deze vraagstukken op te lossen? Dat is de belangrijkste vraag in dit hoofdstuk.

4.1 Regel van drieën en zijn toepassingen

4.1.1a Regel van drieën voor ‘gehele’ getallen

Nadat de rekenkundige hoofdbewerkingen behandeld zijn, volgt in bijna alle rekenboeken de regel van drieën.2 Deze regel wordt gebruikt om bij drie gegeven getallen het vierde evenredige getal te berekenen. In moderne notatie weergegeven betekent dit: Als a, b en c bekende getallen zijn, dan wordt een vierde, onbekend getal d gezocht zodat a : b = c : d. Om d te vinden berekent men d = (b × c) : a.

Met de regel van drieën kunnen allerlei vraagstukken opgelost worden. Het is de basis van de toegepaste rekenkunde in de vijftiende en zestiende eeuw. Vandaar dat de meeste auteurs er veel waarde aan hechten en deze ook wel ‘de gouden regel’ noemen. Er wordt vaak veel ophef van de regel gemaakt. Van den Hoecke:

Die reghel van dryen is die
excellenste ende schoonste+
regule van alle ander regulen.+
De welcke sommighe philosophen hebben gheheeten+
de ‘gulden regule’.+3

Van Halle rijmt in een rijk versierd kader:

Regel de tri hoe ghe
onghemeeten
doet uut dry getaelen
tvierde weten.+4


illustratie
Figuur 4.1. Aankondiging van de regel van drieën.


De drie gegeven getallen moeten in de juiste volgorde worden geplaatst, waarbij het eerste en het derde getal dezelfde munt-, maat- of gewichteenheid moeten aanduiden. De laatste twee getallen worden vermenigvuldigd met elkaar en gedeeld door het eerste getal. Van der Schuere:

Den reghel van drien ... wert
alsoo ghenaemt, om dieswille+
dat op eenen reghel ghestelt+
worden drie bekende ghetallen
daer door het vierde+
Onbekende ghesocht wort. In
sulcker manieren: het tweede+
moet met het derde zijn
ghemultipliceert, ende wathet...ghemultipliceert: het tweede [getal] moet met het derde [getal] vermenigvuldigd worden.
daer van comt met t'eerste
ghedivideert... T'eerste+
ende t'derde ghetal moet
altijdt gelijcknamich zijn.+
Soo comt dan het vierde van
namen te zijn als het tweede.+5

Hier volgt een voorbeeld van een vraagstuk dat met de regel van drieën wordt opgelost. Van Halle:

Oft 9 naijsters maecten op+
eenen dach 15 paer hemden,
hoe veel soudender 6+
naijsters maeken?
naijsters hemden naijsters
9 ---- 15 ---- 66

In moderne notatie is de berekening die gemaakt wordt: (15 × 6):9 = 10.

 

In figuur 4.2 is te zien hoe Van Halle zijn berekening weergeeft.



illustratie
Figuur 4.2. 19 naaisters naaien 15 paar hemden per dag. Hoeveel paar naaien 6 naaisters?7


Verschillende auteurs behandelen afzonderlijk de situatie waarin een van de drie gegeven getallen in de regel van drieën gelijk is aan 1. Van der Gucht:

Wanneer ghi hebt inden reghel
van drien den eersten nommer
1, zo en doet anders niet dan+
dat ghi den tweeden ende den
derden nommer met elck+
anderen multipliceert...+
Exempel: als 1 voeder wijns+
cost 34 guldens, hoe diere 96
voeders?+8

Zie figuur 4.3.



illustratie
Figuur 4.3. De regel van drieën met 1 op de eerste plaats.


4.1.1b Regel van drieën voor breuken

Nadat de regel van drieën uitvoerig geoefend is in allerlei vraagstukken met ‘gehele’ getallen, wordt de regel uitgelegd voor breuken. Over het algemeen maakt men gebruik van de eigenschap dat delen door een breuk hetzelfde is als vermenigvuldigen met zijn omgekeerde. Van den Hoecke:9

⅘ gheeft ⅚. Wat gheeft 7/9?+


illustratie
Figuur 4.4. Regel van drieën met breuken.


Sommige auteurs proberen het rekenen met breuken te vermijden en werken de breuken in de regel van drieën om tot ‘gehele’ getallen. Dat wil zeggen, ze maken de eerste breuk gelijknamig met een van de andere twee getallen of met het product van de andere twee getallen, dan kunnen de noemers tegen elkaar weggestreept worden en blijven voor de berekening van de regel van drieën alleen ‘gehele’ getallen over. Zoals bijvoorbeeld in het volgende vraagstuk, waarin het eerste en het laatste getal allebei met 4 worden vermenigvuldigd.

Als ¾ ellen cost 5
schellingen, wat sullen dan
costen 52 ellen?10

Zie figuur 4.5.



illustratie
Figuur 4.5. Regel van drieën waarbij het rekenen met breuken wordt vermeden.11


Na de regel van drieën behandelen de auteurs nog zeer veel andere rekenregels. Het aantal rekenregels en de volgorde waarin ze worden behandeld verschilt per rekenboek. Er zijn regels die in bijna alle rekenboeken voorkomen, zoals bijvoorbeeld de regel van gezelschap en de wisselregel. Andere regels komen maar incidenteel voor, zoals bijvoorbeeld de regel van oorlog en de regel van was. Deze laatste twee regels worden alleen door Van der Gucht behandeld.12

De auteurs behandelen hun regels stuk voor stuk, na elkaar en ze worden niet onderling vergeleken. In de navolgende bespreking van de rekenregels is dat ter wille van de overzichtelijkheid wel gedaan. De rekenkundige inhoud van de regels is vergeleken met de werkwijze van de regel van drieën. Dat leverde drie categorieën op:

-rekenregels die rekenkundig gezien gelijk zijn aan de regel van drieën, maar die anders genoemd worden. Dat wil zeggen, de rekenwijze is dezelfde als die van de regel van drieën, maar de naam wijkt af omdat de regel genoemd is naar de context waarin hij wordt toegepast. Zo is bijvoorbeeld de regel van interest in rekenkundig opzicht de regel van drieën, maar dan toegepast op interestvraagstukken. In het navolgend overzicht zijn deze regels alfabetisch geordend op context;
-rekenregels die rekenkundig gezien variaties op of uitbreidingen van de regel van drieën zijn. In deze regels wordt de regel van drieën herhaald, omgekeerd of tegengesteld toegepast;
-rekenregels waarin de regel van drieën geen of slechts een kleine rol speelt. Deze categorie van regels wijkt in rekenkundig opzicht sterk af van de andere categorieën.

Om te beginnen volgt nu een overzicht van de rekenregels uit de eerste categorie. Deze regels dragen allemaal verschillende namen, maar beschrijven identieke rekenkundige handelingen. De auteurs behandelen deze regels alsof ze allemaal verschillend zijn, maar blijkbaar zijn ze zich toch wel bewust van de overeenkomsten. Van Varenbraken schrijft over de regel van drieën:

Sij es tfondament van alle+
dander reghelen. Want alle+
dander regelen moeten in
desen reghel comen, sal
ghesolveert oft volhendt
worden eenighe questie.+13

4.1.2 Regel voor ‘buitenlandse’ berekeningen

Van der Schuere behandelt in zijn rekenboek een regel die hij noemt Buyten-landtsche Rekeninghe. De regel wordt toegepast op allerlei vraagstukken die te maken hebben met afstanden, transportkosten, geldkoersen, prijzen, enz. Kortom, alle aspecten waar een koopman mee te maken krijgt als hij handel drijft in het buitenland. Bijvoorbeeld:

Eenen laken-cooper
t'Hantwerpen coopt 6 packen+
laken. Elcken pack 10 stucken,
het stuck 42 ellen, tot 4
guldens Brabandts d'elle. Die+
doet hy voeren naer Francfort,
betalende voor licent, vracht+
ende ander oncosten op den
Rhijn 4 ponden Vlaems voor
yeder pack. t'Selve vercoopt
hy te Francfort tot 168
Rhijnsche guldens t'stuck.+
Soo dan 10 guldens Rhijns
sijn 11 guldens Brabants ende
9 guldens Brabandts een pont
Vlaems, wat windt ofte
verliest hy?+14

Berekening in moderne notatie:

6 × 10 × 42 = 2520 ellen laken.  
2520 ellen à 4 gld. = 10080 gld. Brabants.
Onkosten: 6 × 4 ponden Vlaems = 24 × 9 =   216 gld. Brabants.
Totaal: 10296 gld. Brabants.

10296 gld. Brabants = (10296 × 10):11 = 9360 gld. Rijns.

In Frankfurt krijgt hij 168 × 60 = 10080 gld. Rijns.

Winst: 10080 - 9360 = 720 gld. Rijns.

 

In vraagstukken die worden opgelost met de regel: Buyten-landtsche Rekeninghe met Tiidt speelt ook de factor ‘tijd’ nog een rol.

4.1.3 Regel van gezelschap

Deze regel wordt toegepast in situaties waarin kooplieden samenwerken. Ieder legt een bepaald bedrag in, daarmee wordt handel gedreven en na afloop wordt de winst verdeeld onder de compagnons in evenredigheid met ieders inlegsom. Van Halle:

Dair syn 4 coeplieden die
tsaemen ingheleyt hebben:+
die ierste 30 guldens, den+
tweeden 50 guldens, den
derden 60 guldens ende den
vierden 100 guldens. Waer
mede sij tsaemen ghewonnen
hebben 3000 guldens. Nu is+
die vraeghe, hoe veel dat
elck vander winningen hebben+
sal.15

Zie figuur 4.6.



illustratie
Figuur 4.6. Vier kooplieden verdelen een winst van 3000 gulden.16


De regel van gezelschap met tijd wordt toegepast in situaties waarin de compagnons ieder gedurende een bepaalde periode deelnemen aan de samenwerking. Van der Gucht legt uit dat om te beginnen inlegsom en tijd met elkaar vermenigvuldigd moeten worden:

De reghele van ghezelschepe
metter tijd. Daer en is gheen+
differentie vander regule+
zonder tijt dan datmen hierregule zonder tijd: regel [van gezelschap] zonder tijd.
dan: behalve dan.
neemt het in-legh aldus; men+
moet multipliceren yeghelicx+
in-legh met zijnen tijd, ende+
tproduct wert gherekent voor
zijn in-legh.+17

Van Halle past het als volgt toe:

Twee ghesellen legghen
tsaemen inne. Den eenen heeft+
innegheleyt 10 ponden grote 7
maenden lanck. Den anderen+
leght inne 12 ponden grote 6
maenden lanck. Ende dair wort
mede ghewonnen 8 ponden grote.+
Nu is die vraeghe, wat een
ieghelijck vander winningen+
hebben sal.18

Zie figuur 4.7.



illustratie
Figuur 4.7. Twee kooplieden verdelen een winst van 8 pond.19


Verschillende auteurs behandelen bij de regel van gezelschap vraagstukken waarin een facteur optreedt. Dat is een commissionair, iemand die in opdracht van iemand anders handel drijft. Van tevoren wordt een bedrag afgesproken dat hij krijgt voor zijn diensten. Dat bedrag wordt toegevoegd aan het kapitaal waarmee hij gaat handelen. Naarmate hij zijn werk beter doet, zal zijn honorarium groter zijn. Als hij verliest, moet hij zijn opdrachtgever betalen.

Van Varenbraken is de enige auteur die de regel van mediatie behandelt. Het gaat om een situatie waarin vier kooplieden gezamenlijk handeldrijven en waarbij de inleggelden zich onderling verhouden als 1:2:4:8. Van Varenbraken geeft slechts één voorbeeldvraagstuk en dat blijkt bovendien onoplosbaar te zijn.20

4.1.4 Regel van interest

Vraagstukken over enkelvoudige interest zijn in vrijwel alle rekenboeken te vinden. Stockmans:

Een coopman heeft 450 guldens.
Die stelt hy op interest
teghens 8 ten hondert int
jaer. De vraghe is, wat de+
winninge ten eynde des jaers+
wesen sal.


illustratie

21

In enkele rekenboeken wordt samengestelde interest, interest op interest, behandeld. Van der Schuere:

Soo men met 9 wint alle jare
een, in hoe langhe sullen+
3936 guldens 12 stuyvers
worden 6000 guldens, als men
alle jaren rekent winst op
winst.22

Van der Schuere berekent zijn vraagstuk als volgt:

 

3936 gld. 12 st. = 78732 stuivers

 

(78732 × 10):9 = 87480 stuivers

 

(87480 × 10):9 = 97200 stuivers

 

(97200 × 10):9 = 108.000 stuivers

 

(108.000 × 10):9 = 120.000 stuivers

= 6000 guldens

In vier jaar tijd is het kapitaal gegroeid tot 6000 gulden.



illustratie
Figuur 4.8. Renteberekening.23


4.1.5 Regel van conjunctie

Van der Schuere spreekt van Vergeliickinghe, Van den Dijcke van Reghel van conjunctie. In beide gevallen gaat het om vraagstukken waarin de waarde van het ene product uitgedrukt wordt in een ander product. Van den Dijcke:

Soo 4½ ellen root laken+
costen 5½ ellen grau, ende+
6½ ellen grau costen 7
ellen groen, ende 8⅔ ellen
groen costen 3¼ ellen swaert,+
vraghe: hoeveel ellen root
laken salmen hebben om 7+
ellen swaert laken? Facit+
14⅝ ellen root.24

Als verschillende uitdrukkingen aan elkaar gekoppeld worden, zoals in het voorgaande vraagstuk het geval is, ontstaat er een stelsel van vergelijkingen.

Deze regel wordt meestal gebruikt om (buitenlandse) munten, maten en gewichten om te rekenen. Van der Schuere:

25 ponden t'Hantwerpen doen+
27 ponden te Brugghe. Ende 6
ponden te Brugghe doen 5
ponden t'Amsterdam. Hoe veel
ponden Hantwerps doen dan 270
ponden Amsterdams? In dese
ende dierghelijcke moeten de+
ghetallen verkeert ghestelt
worden, als volght:+25


illustratie
Figuur 4.9. Omrekening van buitenlands geld.


4.1.6 Regel van mengsels

Deze regel wordt gebruikt door tappers, brouwers, herbergiers, kruideniers, goud- en zilversmeden, muntmakers, graanverkopers, kortom iedereen die in zijn beroep te maken heeft met mengsels van goederen waarvan de prijs of de samenstelling berekend moet worden. Van der Schuere:

Soo men heeft 25 riemen+
pampier tot 2 guldens, 30+
riemen tot 3 guldens ende 45
riemen tot 4 guldens, ende
men dat onder malcanderen
verdeelde, op hoe veel sal+
dan eenen riem comen te
staen?+26


illustratie
Figuur 4.10. Berekening van de waarde van een mengsel van drie papiersoorten.


Het rekenen met mengsels van edelmetalen is een hoofdstuk apart omdat daarbij gerekend wordt met allerlei kleine gewichtseenheden. De meeste auteurs beginnen met een overzicht. Van der Schuere:

Rekeninghe van silver...+
Een marck heeft 8 oneen of+
16 loot.
Een once heeft 20 engelschen.
Een engelsche heeft 32 azen
alst ghefineert is.+
Een marck heeft 12 penninghen.
Eenen penninck heeft 24
greynen.27

Voor goud geldt dan nog dat 24 karaten één marck maken en 12 greynen één karaat.

 

Na een aantal vraagstukken over goud en zilver wordt de regel van mengsels meestal afgesloten met een aantal vraagstukken Van Munteslach. Petri:

Een muntmeester muntet 8
stucken in een marck tot 10
penninghen fyn die marck.+
Ende hy gheeft het stucke+

voor 30½ stuyvers. Ende een
marck fyn sulver costet 13+
ghuldens 16 stuyvers. Hoe
veele is die winninghe ten
hondert?+28

8 stukken à 30½ stuivers = 244 stuivers.

1 marck fijn zilver bevat 12 penningen en kost 13 guldens 16 stuivers

1 marck van 10 penningen kost dus illustratie stuivers

Uit 1 marck van 230 stuivers worden 8 stukken van gezamenlijk 244 stuivers gemaakt. De winst ten hondert wordt met de regel van drieën berekend:

230 ---- 244 ---- 100 facit 106 2/23

winst ten hondert: 6 2/23

4.1.7 Regel van oorlog

Deze regel komt alleen voor bij Van der Gucht. Er wordt berekend hoeveel lansknechten, paarden, en dergelijke een heer voor een zeker bedrag gedurende een bepaalde periode kan inhuren.29

4.1.8 Ruilregel

In de zestiende eeuw was het ruilen van goederen - mangelen of barteren genoemd - nog een gangbare handelspraktijk. Volgens Jackson is schaarste van gemunt geld de reden dat deze tamelijk primitieve manier van handeldrijven nog zo lang in gebruik blijft.30 Cataneo bevestigt dit. Hij schrijft in zijn rekenboek dat op internationale markten ruilhandel het handigste en het veiligste is wegens gebrek aan internationaal betrouwbaar geld.31 Pas toen in de Nieuwe Wereld grote hoeveelheden goud werden ontdekt, kon men genoeg munten slaan en nam de ruilhandel af.

De ruilregel wordt gebruikt in vraagstukken waarin men verschillende goederen van verschillende waarde tegen elkaar wil ruilen. Van Halle:

Twee coeplieden willen
manghelen met malcanderen.+
Ende den eenen coopman heeft
een stuck fijn swert laekens
welck 43 ellen lanck is. Ende
hy en wilt die elle niet min
gheven dan 18 stuyvers. Den+
anderen coopman heeft peper.
Ende hy en willet pont niet
min geven dan 13 stuyvers. Nu+
is die vraeghe, hoeveel pont
pepers dat die ierste coopman+
hebben sal voir sijn 43 ellen+
laekens.32

Van Halle behandelt twee oplosmethodes. Bij de eerste wordt het ene product meteen in het andere omgerekend:

13 ---- 43 ---- 18 (43 × 18):13 = 59 7/13

In de tweede methode wordt eerst berekend hoeveel stuivers het laken waard is. Dat is 43 × 18 = 774 stuivers. Vervolgens wordt berekend hoeveel pond peper men voor dat bedrag kan kopen.

13 ---- 1 ---- 774 (1 × 774):13 = 59 7/13

Er bestaan verschillende variaties op deze vraagstukken, bijvoorbeeld dat de ruilhandelaars de keuze hebben uit contant betalen of betalen in natura. In het laatste geval rekent de verkoper voor zijn goederen een waarde die groter is dan het contante bedrag. Hij krijgt er immers geen geld maar goederen voor terug, die hij vervolgens maar weer moet zien kwijt te raken. Het komt ook voor dat men een termijn stelt waarbinnen betaald moet worden. Van Halle:

Als 2 willen manghelen. Den+
eenen heeft wolle ende wilt
die vercoopen 3 schellingen
grote ghereet ende in die
manghelinghe wilt hyse
vercoopen 3 schellingen 6
groten ende gheeft 6 maenden+
dach ... Die ander heeft+
metael ende wilt dat
vercoopen 10 schellingen
ghereet, in die manghelinghe
10 schellingen 10 groten.+
Vraeghe, wat termyn hy
behoert te gevene... Om+
dusdaenighe exempelen te+
solveeren, soo suldy segghen+
aldus: ‘3 schellingen oft 36
groten in 6 maent winnen 6+
groten. In hoe veel tyts
sullen winnen 10 schellingen
oft 120 groten, 10 groten?’
Multipliceerende 36 met 6+
maenden, coempt 216. Nu seght:+
‘6 gheven my 216. Wat sullen
my gheven 10 groten winninge?’+
Doet naer den reghel van
dryen ende coempt 360. Dit+
divideert met 120, coempt 3+
maenden. Soe veel termyns
soude hy moeten ghevene.+33

4.1.9 Regel van tarra

Deze regel wordt gebruikt in vraagstukken waarin het gewicht van de verpakking een rol speelt. De rekenaar moet om te beginnen goed opletten of het gewicht in het vraagstuk inclusief of exclusief de verpakking is gegeven. Van der Gucht schrijft hierover:

Zo wanneer datter in eenighe
coopmanschip tara ‘up’ wert+
ghegheven, zo moet ghij
adderen. Ende gheeftmen ‘in’,+
zo moet ghy t'zelve
subtraheren. t'Welck een+
ghebruyck onder den+
cooplieden es.34

Petri behandelt het volgende vraagstuk:

Ghecoft: twee vaten talch,+
weghende 1300, 1240 ponden.
Tara op een yeder hondert, 4
ponden. Dat is 104 ponden+

voor een centner (ofte 100+
ponden netto) ghereekent.
Ende men betaelt voor elcke
centener ... 24 schellingen+
6 groten.35

Wat moet men voor de twee vaten talch betalen?

Berekening in moderne notatie:

1300 + 1240 = 2540

24 schellingen 6 groten = 24½ schellingen

104 pond talch kost 24½ schellingen. Hoeveel kost 2540 pond?

Regel van drieën: 104 ---- 24½ ---- 2540

(24½ × 2540):104 schellingen = 29 ponden 18 schellingen 4 5/13 penningen.36

 

De regel van tarra wordt ook gebruikt in vraagstukken waarin de koper een bepaalde korting krijgt op zijn aankoop. Van der Gucht:

Een coopt 325 schaepsvachten,+
betaelt voor 2 schaepsvachten
9½ stuyvers, ende hem wert
gheschoncken int 100, 3+
schaepsvellen of vachten. De
vraghe is, wat de zelve+
costen.37

Berekening in moderne notatie:

Van de 100 hoeft hij er maar 97 te betalen.

Van de 325 hoeft hij er dus maar (97 × 325):100 = 315¼ te betalen.

Regel van drieën: 2 ---- 9½ ---- 315¼

(9½ × 315¼):2 = 74 gulden 17 7/16 stuivers.

4.1.10 Regel van taxatie

Als er een geldbedrag verdeeld moet worden onder een aantal personeelsleden, maar niet allen hetzelfde deel krijgen, wordt de regel van taxatie gebruikt. Van der Gucht:

Daer zijn 5 knechten inde
gagie van eenen prince, waer+
af den eersten heeft voor
zijn gagie 500 ponden grote+
tsjaers, den tweeden 360+
ponden, den derden 240
ponden, den vierden 120
ponden ende den vijfsten 60
ponden. Het comt zoo, dat den
prince duer zeker affairen+
die hem over-commen in die
jaerschare, en mach hemlieden+
niet meer gheven dan in als
1000 ponden grooten. De vraghe+
es, wat yeghelick daer af
hebben moet naer advenante
van zijn gaigen.+38

Zie figuur 4.11.



illustratie
Figuur 4.11. Salarisberekening van 5 knechten.39


De eerste knecht ontvangt (1000 × 500):1280 = 390⅝ ponden.

Voor de overige vier knechten wordt een vergelijkbare berekening gemaakt.

4.1.11 Regel van verzekering

Met deze regel wordt berekend voor welk bedrag een hoeveelheid goederen van een bepaalde waarde verzekerd moet worden. Van der Gucht:

Een schip goets gheladen
zijnde, ligghende in Biscayen+
ende dat goet wiltmen zenden
ter Sluus in Vlaendren, maer
omme dattet de zee passeren
moet, zo wiltmen doen
verzekeren dattet arriveren
sal ter havenen daerment
hebben wille. Twelck goet+
weerdich is in als 7634½+
ducaten. Ende men gheeft voor
de verzekerijnghe 13 ducaten
⅓ ten honderde. Vraghe, wat+
de gheheele somme vande
verzekerijnghe bedraeght.+40

Berekening in moderne notatie:

(7634½ × 40/3):100 = 1017 ducaten 70 groten 22 miten 2/5.

4.1.12 Regel van was

De regel van was is een rekenregel die gebruikt wordt om de prijs van een schijf was te berekenen. Van der Gucht behandelt deze regel:

...om dies-wille datmen t'was
vercoopt bij den 100 ofte
1000.+41

Hij is de enige auteur die deze regel aan de orde stelt. Hij berekent bijvoorbeeld:

Een schijve was weghende 6476
ponden ghewichts, waer af den
coopman het hondert niet min
gheven en wil dan 19 guldens
en half. Vraghe, hoe vele de
gheheele schijve was costen sal.+42

Berekening in moderne notatie:

(6476 × 19½):100 = 1262 guldens 32 grooten 19⅕ miten.

4.1.13 Regel van winst en verlies

Als de regel van drieën wordt toegepast op vraagstukken waarin winst of verlies een rol speelt, spreekt men van de regel van winst en verlies. Ook hier is het, net als bij de regel van tarra, van belang om inclusief en exclusief goed uit elkaar te houden. Van der Schuere:43

Wanneer gheseyt wordt: | Winst ten 100, dat is dat 100 soo
| veel winnen.
|
| Winst int 100, dat is dat hooft-somme
| ende winst maer 100 en bestrecken.
|
| Verlies ten 100, dat is dat de
| hooft-somme 100 blijft als t'verlies
| daer af is.
|
| Verlies int 100, dat is dat 100
| soo veel verliesen.

Petri behandelt het volgende vraagstuk:

Soo een last harincks costet+
12 schellingen, hoe duyr+
salmen dat moeten wederomme
vercoopen omme te winnen 8+
ten hondert?+44

Berekening in moderne notatie:

100 ---- 108 ---- 12

(12 × 108):100 = 12 96/100 schellingen.

4.1.14 Wisselregel

Er zijn zeer verschillende soorten vraagstukken waarin wisselen van geld een rol speelt:

-grote muntsoorten omrekenen in kleinere of andersom;
-geld in worpen tellen;
-buitenlandse valuta wisselen, al dan niet om winst te maken.

Van Halle behandelt een vraagstuk waarin klein geld in groot geld wordt omgerekend:

Daer heeft een 450 daelders
van 30 stuyvers tstuck.+
Vraeghe, hoe veel croonen dat
dit maeken van 2 guldens
tstuck.+45

Berekening in moderne notatie:

2 guldens = 40 stuivers

(450 × 30):40 = 337 20/40 = 337½ kronen.

 

Men kende in de zestiende eeuw allerlei handige methodes om klein geld te tellen. Men telde niet munt voor munt, maar een aantal munten tegelijk, een zogeheten worp. Van der Gucht behandelt een aantal van deze handige telmanieren:

Reghel om t'zelver ghelt te+
tellen...
Den pennijnghen van 8 grooten
teltmen met 3 tot 10, waer af+
datter gaen 30 in een pont+
groote... Dobbel stuvers van
4 qrooten met 3 tot 20, facit+
de 60... een pont groote.+46
enz.

Van Halle behandelt een vraagstuk waarin een aantal worpen klein geld wordt omgerekend in groot geld:

97 worpen Stuyvers met 4,+
hoeveel ponden sijn dat?47

Eén worp van 4 stuivers is 8 groten waard.

97 × 8 = 776 groten = 3 ponden 4 schellingen 8 groten.48

 

In vrijwel alle rekenboeken komen vele vraagstukken over het wisselen van buitenlandse valuta voor. Van der Gucht:

1 coop-man van Florence leght
te Lonnen inden banck 120½+
ducaten van 42¼ stuvers
tstick, om daer vooren+
thebben angelooten van 66½
stuvers. Vraghe: hoe veel+
angelooten sal hy daer voor+
hebben te Londen?49

Berekening in moderne notatie:

(120½ × 42¼):66½ = 76 Angeloten.50

 

Geld een tijdje in wisselinge geven, kan winst opleveren.

Een coopman t Antwerpen gefft
gelt in wisselinge per
Franckfort, te 54 groten.+
Ende nae een maent hij nemet
wederomme te 54½ groten. Wie+
veel is het ghewin opt 100
jaerlijcx?+51

Berekening in moderne notatie:

In 1 maand ½ grote winst op 54 groten,

dat is (½ × 100):54 groten winst opt hondert per maand,

dus [(½ × 100):54] × 12 = 1200/108 = 11 1/9 groten opt hondert winst per jaar.52

4.2 Variaties op en uitbreidingen van de regel van drieën

De tot nu toe besproken rekenregels zijn rekenkundig gezien allemaal gelijk aan de regel van drieën. Het enige verschil is de context waarbinnen ze worden toegepast. De rekenregels die hierna aan de orde komen, zijn rekenkundige variaties op en uitbreidingen van de regel van drieën. Er is nog steeds sprake van het bekende algoritme: vermenigvuldig de laatste twee gegeven getallen en deel het product door het eerste getal, maar er zijn nu andere rekenhandelingen aan gekoppeld.

4.2.1 Tegengestelde regel van drieën

De tegengestelde regel van drieën is een regel om bij drie gegeven getallen het vierde omgekeerd evenredige getal te berekenen. In moderne notatie weergegeven betekent dit: als a, b en c bekende getallen zijn, dan wordt een vierde - onbekend - getal gezocht zodat a:c = b:d.

In de rekenboeken worden twee verschillende manieren behandeld om d te berekenen:

1.zet de drie gegeven getallen in dezelfde volgorde als bij de gewone regel van drieën, gebruikelijk is: a ---- b ---- c en bereken d = (a × b):c;
2.verwissel de getallen a en c van plaats: c ---- b ---- a en bereken d zoals dat bij de gewone regel van drieën gebruikelijk is, dat wil zeggen vermenigvuldig de laatste twee getallen uit de regel met elkaar en deel het product door het eerste getal: d = (b × a):c.

Van den Dijcke:

Als 12 metsers een huys maken+
in 27 daghen, hoe lange
sullen daer over wercken 54
metsers?+53

Berekening 1: 54 ---- 27 ---- 12 (27 × 12):54 = 6 dagen.

Berekening 2: 12 ---- 27 ---- 54 (12 × 27):54 = 6 dagen.

 

Vrijwel geen enkele auteur legt uit wanneer de tegengestelde regel van drieën moet worden gebruikt. Alleen Van Halle schrijft vaag:

Alser coempt te meer te min
ofte min te meer, dan sijnt
exempelen van deesen regule.+54

4.2.2 Omgekeerde regel van drieën

De omgekeerde regel van drieën wordt gebruikt om berekeningen die met de regel van drieën zijn uitgevoerd, te controleren. De gevonden uitkomst wordt in de regel geplaatst, daarna wordt de regel van drieën toegepast en als het goed is, is een van de oorspronkelijke gegeven getallen nu de uitkomst. Van Halle:

Die proeve vanden regele van
dryen. Stelt dat ghetal+
dwelke int maenken stont,
voeren int eerste plaetse
ende die questie inde tweede
plaetse ende dat ghetal dat
inde tweede plaetse stont,
inde derde. Werckt dan met+
den regel van drijen. Ende+
coempter int maenken te staen
dwelck inde ierste plaetse
stont, soe hebdi wel gedaen.+55

Van der Gucht werkt met een iets andere volgorde van getallen, maar het principe van de controle komt op hetzelfde neer:

Alsmen met 12 wint 8, hoe
veel sal men winnen naer
advenante met 630?+
12 ---- 8 ---- 630...
Dus vele: 420.+
De contrarie is zijn prueve.+
Aldus: alsmen met 630 wint
420, hoe veel salmen winnen
met 12?
630 ---- 420 ---- 12...
8 als vooren.+56

4.2.3 Dubbele regel van drieën

In de dubbele regel van drieën wordt de regel van drieën twee keer toegepast. Het resultaat van de eerste berekening wordt gebruikt in de tweede. In het totaal moeten er vijf getallen gegeven zijn, waarmee het zesde onbekende getal berekend wordt. Vandaar dat verschillende auteurs ook spreken van de regel van vijven. Van Halle behandelt onder andere het volgende voorbeeld:

Als 7 peerden eeten 12+
veertelen haveren in 20 dagen.
Nu is die vraeghe, hoe veel
veertelen haveren dat 14+
peerden in 15 daegen eeten
sullen.57

Eerst wordt berekend hoeveel haver 14 paarden in 20 dagen eten:

7 ---- 12 ---- 14 (12 × 14):7 = 24 veertelen.

Pas dan wordt berekend hoeveel 14 paarden in 15 dagen eten:

20 ---- 24 ---- 15 (24 × 15):20 = 18 veertelen.



illustratie
Figuur 4.12. Hoeveel haver eten 14 paarden in 15 dagen?


Net als de gewone regel van drieën wordt ook de dubbele regel van drieën in allerlei situaties ingezet. Verschillende auteurs geven de dubbele regel van drieën dan ook andere namen, gebaseerd op de situatie waarin hij wordt toegepast:

-regel van broodprijzen;
-regel van drieën met tijd;
-ruilregel met tijd;
-regel van vracht;
-regel van verlies;
-regel van winst.

Van Halle gebruikt bijvoorbeeld de regel van vracht in het volgende vraagstuk:

Voir 20 pont coemscappe te
voeren 30 mijlen moet ick+
gheven 4 gulden. Nu is die
vraeghe, hoe veel ick gheven
sal voir 50 ponden te voeren
40 mijlen veerre.+58

Berekening in moderne notatie:

20 ---- 4 ---- 50 (4 × 50):20 = 10 gulden.

30 ---- 10 ---- 40 (10 × 40):30 = 13⅓ gulden.



illustratie
Figuur 4.13. Hoe duur is het om 50 pond koopwaar over 40 mijl te vervoeren?


4.2.4 Tegengestelde dubbele regel van drieën

Ook in deze regel wordt de regel van drieën twee keer toegepast, een keer gewoon en een keer tegengesteld. Ook hier gaat het, net als bij de gewone dubbele regel van drieën, om vijf gegeven getallen waarmee het zesde onbekende getal berekend moet worden.

Van Halle:

Als 10 mayers mayen 15
bunderen lants binnen 7+
daeghen, vraeghe, in hoe veel
daegen dat 16 mayers mayen
sullen 20 bunderen lants.59

Berekening in moderne notatie:

10 ---- 7 ---- 16 (10 × 7):16 = 4⅜ dagen (de tegengestelde regel).

15 ---- 4⅜ ---- 20 (4⅜ × 20):15 = 5⅚ dagen (de gewone regel).



illustratie
Figuur 4.14. In hoeveel dagen maaien 16 maaiers 20 bunder land?


4.2.5 Bijzondere regel van drieën

Deze regel komt alleen in het rekenboek van Van der Gucht voor. Het is de gewone regel van drieën, maar de drie getallen zijn nu respectievelijk gegeven in de vorm van een optelling, een aftrekking en een vermenigvuldiging met twee breuken:

½ ende ⅓ van een elle ghelt
¾ min ⅕ van een gauden croone.+
Wat sal ghelden ofte costen
¼ van 3/7 els?+60

Berekening in moderne notatie:

½ + ⅓ = ⅚ ¾ - ⅕ = 11/20 ¼ × 3/7 = 3/28

⅚ ---- 11/20 ---- 3/28



illustratie



illustratie
Figuur 4.15. Bijzondere regel van drieën.


4.2.6 Verdeelregel

Als er iets verdeeld moet worden op basis van een bepaalde verhouding, kan de verdeelregel worden toegepast. De belangrijkste rekenhandeling is het zoeken naar een gemeenschappelijk veelvoud. Van Varenbraken schrijft hierover:

De welke es een supstyl
conste bij welcken men mach+
vinden eenen nombre van
ghetale daer men alle
ghebroken doer deelen mach.
De welcke numbre es sprutende
uut den selven ghebroken.+61

De werkwijze is dat men eerst een verdeling maakt met het gemeenschappelijk veelvoud en vervolgens door middel van de regel van drieën op evenredige wijze het gegeven getal verdeelt. Veel voorkomende toepassingen zijn erfenis- en belastingverdelingen. In het volgende vraagstuk moet een erfenis verdeeld worden in de verhouding ½:⅓:¼. Van Halle:

Dair is ghelaeten by
testamente 3 kinderen ... te
deijlen 7851 guldens, soe+
dat die ierste sal hebben ½+
deel, den tweeden ⅓, den
derden ¼. Nu is die vraeghe,
hoe veel guldens dat elck
hebben sal... Multipliceert
die deelen in malcanderen,
ghelijck als ghij hier siet:
2 3 4, coempt 24. Dit is+
een ghetal dat in 2 in 3 in 4
deelen ghedeijlt mach worden.
Maer condi ghy van u selven
eenen minderen oft meerderen
vinden die alsoe ghedeijlt
mach worden, soe neempt dien+
ende het coempt op een uut.+
Ghelijck als 12 is. Hier af 6+
is die helft ende set dat+
voir deerste kint. Maer 4 is
het deerde deel ende set dat
voir het tweede kint. Ende
drij is het vierde deel ende
set dat voir het derde kint.
Dan werct met den regel ende
is gedaen.+62

Berekening in moderne notatie voor het eerste kind:

13 ---- 7851 ---- 6 (7851 × 6):13 = 3623 7/13 gulden enz.



illustratie
Figuur 4.16. Drie kinderen verdelen een erfenis in de verhouding ½:⅓:¼.


Een vraagstuk over het afdragen van belasting aan een landsheer of vorst is bijvoorbeeld het volgende van Van der Gucht:

De 4 leden van Vlaenderen
moeten gheven den prince
12000 croonen, waer af gheven
moet Ghend ⅚, Brugghe ¾, Ipre
3/7, Tvrye ⅖. Vraghe hoe veel+
yghelicx transpoort daer af+
bedraeght.63

Tot zover de regel van drieën en zijn vele varianten. In de rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw vormt dit onderwerp de hoofdmoot. Eerst wordt de regel zelf uitvoerig geoefend in een apart hoofdstuk. Dan volgen er vele hoofdstukken waarin steeds één rekenregel centraal staat die rekenkundig gezien eigenlijk ook de regel van drieën is, maar een andere - aan de context ontleende - naam draagt. Ten slotte worden in de meeste rekenboeken ook nog enkele rekenkundige variaties op de regel van drieën behandeld en geoefend. Meer dan honderd bladzijden met oefenmateriaal over de regel van drieën en alle samenhangende regels is niet ongewoon.

De opvallend uitvoerige behandeling van dit onderwerp wordt waarschijnlijk niet zozeer veroorzaakt door de moeilijkheidsgraad van het algoritme als wel door de toepassing ervan. Hoe zet je in elke gegeven situatie de drie bekende getallen in de juiste volgorde? De enorme reeks van oefenvraagstukken in de rekenboeken dient ervoor om deze vaardigheid aan te kweken. Het gaat daarbij eigenlijk voortdurend orn de herkenning van de algemene rekenregel in de specifieke situatie, maar die abstractie wordt niet uitgesproken. Elke afzonderlijke situatie wordt als nieuw en anders dan de vorige gepresenteerd en dat geldt ook voor het bijbehorende oplosalgoritme. Toch is de laatste stap van dat algoritme telkens weer dezelfde: vermenigvuldig de laatste twee getallen met elkaar en deel door het eerste.

De auteurs delen weinig mee over de overeenkomst tussen de vele vraagstukken

en rekenregels, maar ze zijn zich er wel van bewust, zoals bijvoorbeeld blijkt uit het citaat van Van Varenbraken.64 Hun streven is echter niet om een abstracte rekenregel aan te leren, maar om hun leerlingen een passend recept te leren voor elke situatie die ze in hun (latere) beroepspraktijk kunnen tegenkomen. Al die verschillende situaties moeten dus - liefst bij elkaar gezet in logisch geordende groepjes met een overkoepelende benaming - afzonderlijk aan de orde komen. Dat levert in de rekenboeken zeer veel vraagstukken op die voor wiskundigen allemaal hetzelfde lijken, maar die voor koop- en ambachtslieden en beoefenaars van allerlei financiële en administratieve beroepen beslist niet hetzelfde zijn.

4.3 Welsche of Italiaanse praktijk

4.3.1 De betekenis

In de zestiende eeuw heeft vrijwel iedere stad en streek zijn eigen munt-, maat- en gewichtsysteem.65 Het gevolg is dat de zestiende-eeuwse koopman die een zakenreis langs verschillende steden maakt, voortdurend eenheden in andere moet omrekenen. Soms zijn de berekeningen behoorlijk complex. Met de Welsche of Italiaanse praktijk kan men dat rekenwerk vereenvoudigen. Vooral bij het toepassen van de regel van drieën zijn daartoe mogelijkheden. Gebruikelijk is om alle bedragen, maten of gewichten die in de regel voorkomen, naar dezelfde (kleinste) eenheid om te rekenen. Dat is soms omslachtig en kan grote getallen opleveren. Vaak is het mogelijk de grootheden in de regel te vereenvoudigen, of op te splitsen in handige delen, waardoor het rekenwerk simpeler wordt. Dat is wat men met de Welsche of Italiaanse praktijk wil bereiken. Het is niet één regel, maar het is een verzamelnaam van allerlei handige rekenstrategieën.

In tegenstelling tot de regel van drieën, die altijd vrijwel blindelings kan worden toegepast, is voor het toepassen van de Welsche of Italiaanse praktijk rekenkundig inzicht nodig. De rekenaar moet inzien welke regels er in een bepaalde situatie eventueel toegepast kunnen worden en daaruit de handigste kiezen.

Dit vraagt grote rekenkundige kwaliteiten. Hij moet vaardig met getallen om kunnen gaan, de rekenkundige eigenschappen van de munt-, maat- en gewichts-eenheden kennen en een groot aantal rekenstrategieën beheersen.

Deze efficiënte manier van rekenen is, zoals de naam al doet vermoeden, afkomstig uit Italië en werd vervolgens door veel Duitsers in hun rekenboeken overgenomen.66 Omdat de Duitsers de bevolking van Zuid-Frankrijk en Noord-Italië vaak Welsch noemden, heet de methode ook Welsche praktijk. In de Nederlandse rekenboeken komen beide benamingen voor, bovendien gebruikt men ook wel de aanduidingen practike of int corte.

4.3.2 Handige rekenstrategieën

Van der Gucht besteedt in zijn rekenboek uitvoerig aandacht aan de Welsche of Italiaanse praktijk. Nadat hij de hoofdbewerkingen voor gehele getallen heeft uitgelegd, kondigt hij aan:

Practijcke subtijl int werken
der zeven voorgaende specien.+67

Dan volgen voor iedere hoofdbewerking een aantal handige rekenstrategieën die ook in verschillende andere rekenboeken worden aangetroffen. Overigens is er geen enkel rekenboek waarin de hierna volgende rekenregels allemaal voorkomen. Van der Gucht en Pijck68 behandelen het grootste gedeelte.

4.3.2.1 Optellen

In plaats van een getal herhaald op te tellen, kan men dat getal ook vermenigvuldigen met het aantal termen. Pijck verwoordt dit als volgt:

In additie van gelijcke
getalen machmen gebruycken,+
om eer gedaen te hebben,+
multiplicatie voir additie.+69

Modern: a + a + ... + a = n ⋅ a.

4.3.2.2 Halveren

In plaats van een getal herhaald te halveren, kan men dat getal ook delen door de juiste macht van 2. Pijck schrijft hierover:

Wildij eenighe somme medieren
2 reysen, soo divideertse+
door 4, ende voir 3 mael te
medieren, dividertse duer 8,
voir 4 reysen duer 16, voir
5 reysen duer 32, ende alsoo
telcken een reyse voirtst den+
divideur gedobbeleert.+70

4.3.2.3 Verdubbelen

Om snel een bepaalde term uit een verdubbelingsreeks te vinden kan men gebruik maken van de volgende regel:

2m + n = 2m ⋅ 2n

Van Halle vindt bijvoorbeeld de dertigste term uit een verdubbelingsreeks door de vijftiende te kwadrateren:

Wildi nu weeten die
dertichste plaetse, soe+
multipliceert die vijftienste
plaetse in sijn selven.+71

Om snel de som van een reeks verdubbelingen te bepalen moet men nog eenmaal verdubbelen en van de uitkomst 1 aftrekken.

Modern:

n
∑ 2k = 2n + 1 - 1
k=0

Van der Gucht bepaalt bijvoorbeeld de som van een reeks van 33 verdubbelingen door van de vierendertigste verdubbeling 1 af te trekken:

Ende om de somme totale daer
af te vijnden,... zo+
multipliceert alleenlick maer
de zeventienste somme in haer
zelven ende stelt 1 min. Zo+
comt u de voorzeyde somme+
totale.72

4.3.2.4 Vermenigvuldigen

Bij een vermenigvuldiging kan men de vermenigvuldiger of het vermenigvuldigtal ontbinden in factoren.

Modern: als b = n ⋅ m dan a ⋅ b = a ⋅ n ⋅ m.

Pijck beschrijft dat vermenigvuldigen met 36 gelijk is aan vermenigvuldigen met 9, gevolgd door vermenigvuldigen met 4:

Wildij eenighe somme+
multipliceren met 36, soo+
multipliceirt de selve eerst
duer 9 ende daerna het+
product duer 4.73

Hij berekent vervolgens: 3456 × 36 = 3456 × 9 × 4.

Zie figuur 4.17.



illustratie
Figuur 4.17. 3456 × 36 = 3456 × 9 × 4.


Ook kan het soms handig zijn om van twee vermenigvuldigingen er één te maken.

Modern: als n ⋅ m = b dan a ⋅ n ⋅ m = a ⋅ b.

Van der Gucht schrijft hierover:

Desghelijcx van twee
multiplicatien muechdy een
maken.+74

Hij berekent vervolgens: 1400 × 5 × 6 = 1400 × 30.

Bij vermenigvuldigen met een getal dat eindigt op een aantal nullen, kan men de nullen eerst achterwege laten en pas later weer aan het product toevoegen. Van Varenbraken legt uit hoe men 300 met 111 kan vermenigvuldigen:

Wanneer ghij met eenighe
articulen multipliceren wilt
eenighe compositen, als+
exemplum 300 met 111, so+
slaet die 00 af ende+
multipliceert met die 3 ende
compt 333. Nu setter die 00+
voren an. So comet 33300.+75

Bij het cijferend vermenigvuldigen kan men handig gebruik maken van reeds berekende tussenproducten. Van der Gucht laat zien dat bij vermenigvuldigen met 48 het tweede tussenproduct de helft is van het eerste, bij vermenigvuldigen met 42 is het andersom:76



illustratie
Figuur 4.18. Handig vermenigvuldigen.


Rekenaars die de tafels boven de tien uit het hoofd kennen, kunnen nog veel meer vermenigvuldigingen maken zonder tussenproducten te noteren.77 Pijck geeft als voorbeeld:

Multiplicatie sonder additien.78
 34567
    12
414804

Handig vermenigvuldigen met 5:

Als a een even getal is, dan is a x 5 =a/2 x 10

Ick wil weeten hoe veel dat
is vijfmael veertien. Ick
neeme die helft van 14, te
weeten 7, ende stellen daer
voire aen een sijpher. Ende+
is ghedaen. Soe segghe ick+
dan, dat vijfmael veertien is
tseventich.79
Als a oneven is, dan is illustratie
Ghelijck 5 mael 17. Ick doen+
een wech van 17, soe blijft+
16. Daer af neeme ick de+
helft, te weten 8 ende stelle
die achter die 5. Ende is+
ghedaen. Dus dan 5 mael 17+
maect 85.80

4.3.2.5 Delen

Bij een deling kan men de deler in factoren ontbinden:

Als b = n ⋅ m dan is a:b = (a:n):m.

Wildij eenighe sommen
divideren duer 12, soo+
divideirt de selve eerst duer+
2... ende daerna divideirtse
duer 6.81

Als een deler eindigt op nullen, kan men die nullen achterwege laten en even zo-

veel cijfers van het deeltal afnemen en die als rest beschouwen. Maak dan de deling met de overige cijfers van deler en deeltal. Zo betekent bijvoorbeeld delen door 20: één cijfer van het deeltal als rest beschouwen en de overige cijfers door 2 delen. Van der Gucht berekent bijvoorbeeld:

Om... te maken... van
stuvers guldens, zo streept+
een figuere af van de somme
ter rechterhand ende de reste+
medieert. Ende alzoo werdet+
ghedaen. Exempel: om... te
maken ... van 4321 stuvers
guldens, doet aldus:82


illustratie
Figuur 4.19. Stuivers op een snelle manier omrekenen in guldens.


Pijck behandelt een handige methode voor het delen door een macht van tien:

Wilt ghy deelen met 10, met
100 oft met 1000 ende 10000+
etc., cort sooveil figuren
aff ter rechterhandt van den
nombre dividende als in uwen
divisor O zijn. Ende de reste+
ter slinckerhandtwert hout
voir gedivideirt. Ende het+
ander voir overschot oft
reste indyen daer
bediedelycke figuren zijn.+83

  10 175646 | 0 |  
1756460 100 17564 | 60 | deelen
gedivideirt 1000 1756 | 460 | van
bij 10000 175 | 6460 | de
  100000 17 | 56460 | divisor
  1000000 1 | 756460 |  

Zie figuur 4.20.

 

Pijck laat in figuur 4.20 zien, hoe hij het juiste aantal cijfers van het deeltal afcort. Omdat er in dit voorbeeld steeds sprake is van een macht van tien als deler, zijn de

quotiënten op een wijze genoteerd die frappante overeenkomsten vertoont met het moderne notatiesysteem van decimale breuken. Die overeenkomsten zijn hier echter toevallig. Ook als er sprake is van andere delers zet Pijck een verticale streep in het deeltal.

Zijn ‘toevallige’ notatiewijze van decimale breuken is overigens wel veel efficienter dan de enigszins omslachtige methode die Stevin een jaar later in zijn De Thiende voorstelt.

84

illustratie
Figuur 4.20. Handig delen.


Soms is het mogelijk om tijdens het delen alle tussenresultaten te onthouden en in één keer het quotiënt op te schrijven:

Als men wil divideren bij+
eenighe ander ijnckel
figueren, als met 3, 4, 5,+
etc. tot 11 of 12 toe, ende
voort also hooghe als u
memorie verdraghen mach, zoo+
divideert inden zin de zelve
letteren ofte ghetalen van de
somme. Ende dat ghetal zet+
recht daer onder ende de
resten addeert oock bijder
memorien, zonder die daer+
boven te stellen, zulcx+ datter onder maer en comt uwe
begheerde sommee.+85

4.3.2.6 De regel van drieën

Als a ---- b ---- c de gegeven getallen zijn in de regel van drieën dan wordt de gevraagde onbekende berekend met: (b × c):a. Soms kan die berekening handiger worden uitgevoerd. Van Halle:

Hier naer volgen 4 compendia
oft becortsels. Dat syn+
sommige manieren om int cort
te werken met den regele van
dryen.86

In plaats van (b × c):a kan men ook berekenen: (c:a) × b

Ist dat ghij het derde ghetal
divideert met het ierste ende+
den quotient...
multipliceert met het+
middelste ghetal, soe coempt
dair het selfste uut als oft
ghijt met den regel van
drijen ghewrocht hadt.+87

Van Halle behandelt het volgende voorbeeld:88

Gegeven: 23 ---- 48 ---- 69 Bereken: (69:23) × 48 = 3 × 48 = 144.

 

In plaats van (b × c):a kan men ook berekenen: (b:a) × c

Van Halle behandelt het volgende voorbeeld:89

Gegeven: 22 ---- 66 ---- 106 Bereken: (66:22) × 106 = 3 × 106 = 318.

 

Soms kunnen het eerste en het derde getal van de drie gegeven getallen door hetzelfde getal gedeeld worden.

Ist dat ierste ghetal ende
het derde eenen ghemeynen
divident toe laeten, soe
stelt die quotienten in hen
plaetsen.+90

Van Halle behandelt het volgende voorbeeld:91

Gegeven: 16 ---- 99 ---- 128 Deel 16 en 128 door 8:

2 ---- 99 ---- 16 Bereken: (99 × 16):2 = 1584:2 = 792.

 

Ook in verschillende andere rekenboeken komen regels voor om het rekenen met de regel van drieën te vergemakkelijken.92 Deze handige regels vormen de overgang naar het ‘echte’ werk. Dat is: de Welsche of Italiaanse praktijk gebruiken om zo snel en handig mogelijk vraagstukken met de regel van drieën op te lossen.

Van der Gucht schrijft:

Hier naer volght den reghel
van drien int corte, om de+
zelve te wercken duer der
practijcken alzo de
cooplieden die nu daghelicx
useren, met noch meer+
diveersche ander subtijlheden
ende behendicheden, zoomen+
hier naer bij den wercke van+
dien zien mach.93

4.3.3 Toepassingen

Wie bedreven wil raken in de Welsche of Italiaanse praktijk moet niet alleen goed op de hoogte zijn van handige rekenregels, maar tevens de rekenkundige eigenschappen van bepaalde munt-, maat- en gewichteenheden paraat hebben. Zoals het tegenwoordig belangrijk is om te weten dat 20 eurocent = ⅕ euro, zo moest men in de zestiende eeuw weten dat 4 schellingen = ⅕ pond en nog vele andere handige omrekeningen. Van der Schuere maakt bijvoorbeeld gebruik van de eigenschap dat een daalder anderhalve gulden is:

Om t'adderen guldens ende+
daelders datter guldens+
uytcomen, addeert eerst beyde
de sommen ende dan, om dies+
wille een daelder is 1½+
guldens, neemt de helft der
daelders ende adderet by
t'aggregat.+94


illustratie
Figuur 4.21. Optelling van 3789 daalders en 4578 guldens.


Wie de handige rekenregels en de vele omrekeningen kent, is in staat om vraagstukken op allerlei efficiënte manieren op te lossen. Raets behandelt in het hoofdstuk die practijcke een vraagstuk op vijf verschillende manieren:

Een elle cost 6 schellingen
8 groten. Wat costen 30
ellen?95
1.6s 8g = 6⅔s
30    
6.8    
______    
180   (6s × 30)
10   (⅓s × 30)
10   (⅓s × 30)
______    
200s = 10 pond  
2.6s 8g = 6s + 6g + 2 g = 6s + ½s + ⅓ van ½s
30    
6.8    
______    
180   (6s × 30)
15   (½s × 30)
5   (⅓s × ½s × 30)
______    
200s = 10 pond  
3.6s 8g = ⅓ pond
⅓ × 30 = 10 pond
4.6s 8g × 30
6s × 30 = 6 × 30s = 6 × 1 pond 10s
8g × 30 = 8 × 30g = 8 × 2s 6g
6 × 1 pond 6.-.-.
6 × 10s 3.-.-.
8 × 2s -.16.-.
8 × 6g -.4.-.
  _______
  10 pond
5.6s 8g × 30
(6s + ⅓s + ⅓s) × 30
6s × 30 = 6 × 1 pond 10s = 6 pond + 3 pond
⅓s × 30 = ⅓ × 30s = 10s
⅓s × 30 = ⅓ × 30s = 10s
    _______________
    10 pond

Voor rekenaars die de muntomrekeningen niet paraat hebben, geven Van Halle en Van der Schuere een Tafele van der practijcken.96 Daarin zijn allerlei bedragen omgerekend naar een grotere munteenheid. In de tabellen van Van Halle is bijvoorbeeld af te lezen:97

3 groten = ⅛ van 1/10 pond

9 schellingen 2 groten = ⅓ van ⅛ pond, enz.

Hij past het toe in vraagstukken als:

Men vraecht, oft een pont+
hollansche kaese costen 2
groten, hoe vele dat my dan
costen sullen 9206111 ponden
van den selfsten kaese.98

Uit de tabel blijkt: 2 groten = ¼ van ⅕ van ⅙ pond = 1/120 pond.

De berekening wordt: 9206111:60 = 153435 pond 1s 10 gr.

153435 pond 1s 10 gr : 2 = 76717 pond 11s 10 gr.

 

Ook in H-TSB-1578 komen tabellen met dergelijke omrekeningen voor en krijgt de leerling de raad ze uit het hoofd te leren. Van der Gucht geeft geen tabel. Zijn leerlingen moeten de handige omrekeningen kennelijk zelf maken, uit het hoofd kennen of misschien opzoeken in een tabellenboekje.99

 

De Welsche of Italiaanse praktijk is niet onmisbaar, maar kan in geschikte situaties het rekenwerk aanzienlijk verkorten. Toch behandelen veel rekenboeken dit onderwerp niet, vermoedelijk omdat het opstellen van een volledige, eenduidige leergang moeilijk is. Het zijn de vele voorbeelden die duidelijk moeten maken hoe van geval tol geval gehandeld moet worden. Waarschijnlijk werd het in de praktijk pas echt goed geleerd. Creszfelt zegt over de Welsche of Italiaanse praktijk:

Welcke alleyn wt grooten flyt
unde dagelicker oefeninge
erwasset.+100

Hij stelt in zijn rekenboek slechts enkele handige regels aan de orde en roept vervolgens flijtige scholers op om zich er verder in te bekwamen. Dat moeten ze waarschijnlijk buiten schooltijd doen, want het leerboek geeft geen verdere oefenstof.

Omdat de Welsche of Italiaanse praktijk veel tijdwinst oplevert voor rekenaars die er in thuis zijn, zullen kooplieden en beoefenaars van financiële beroepen er vermoedelijk op grote schaal gebruik van gemaakt hebben. Het is niet uitgesloten dat ze daarbij rekenden met rekenpenningen. Volgens Van Halle is de Welsche of Italiaanse praktijk vooral bij het penningrekenen erg handig. Hij licht zijn uitspraak verder niet toe. Ook zijn collega's gebruiken bij het rekenen in het cort uitsluitend de pen.

4.4 Overige rekenregels

Er komen in de rekenboeken verschillende rekenregels voor waarbij de regel van drieën niet of nauwelijks een rol speelt. Hier volgt een overzicht en bespreking.

4.4.1 Regel van ‘valse positie’

4.4.1.1 De werkwijze

De regel van ‘valse positie’, ofwel regula falsi, is een rekenregel om met behulp van twee veronderstelde waarden de juiste waarde van de onbekende te berekenen. Van Halle:

Die regule is gheheeten ‘die+
regule van valsche positien’
niet dat sy valsch is oft
valsch leert, maer om dat sy+
uyt valschen positien de+
waerheyt leert vinden ende
die questien solveren.+101

De regel wordt gebruikt in vraagstukken die men tegenwoordig met een eerste-graadsvergelijking of een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen zou oplossen. In moderne notatie ziet de aanpak er als volgt uit:

Als x de gezochte oplossing is van de eerstegraadsvergelijking f(x) = 0 en x1 en x2 zijn willekeurige veronderstelde oplossingen, dan geldt:



illustratie

Toelichting: f(x) = ax + b, uitwerking van het rechterlid levert inderdaad de juiste oplossing, namelijk x = -b/a.

 

Van Halle noteert de oplossing in een schema. De veronderstelde waarde links en het verschil - de differentie - tussen de gevonden uitkomst en de gewenste uitkomst rechts. Is er te veel, dan wordt er tussen beide een langgerekte plus geplaatst, bij te weinig een langgerekte min.

4.4.1.2 Eén onbekende

Allereerst een vraagstuk waarin de waarde van één onbekende berekend moet worden. Van Halle:

Het ghinck een jonghelinck in
eenen boomgaert daer maechden
inne waeren. Ende hy seyde:
‘God gruet u, hondert
maechdekens.’ Ende een van
haer antwoorde hem ende+
seyde: ‘Daer en isser onser
egheen hondert, maer waerder+
noch eens soo veele, half zoo+
veele ende ¼ soo veele ende 7
daer toe, soe waerder noch
maer 40 maechden.’ Vrage, hoe+
veel maechdekens dat in
deesen boomgaert waeren.102

Van Halle pakt het als volgt aan:

Als hij 8 raadt, komt hij uit op 2 × 8 + ½ × 8 + ¼ × 8 + 7 = 29.

Hij zou op 40 uit moeten komen, dus hij heeft er in dit geval 11 te weinig.

Als hij 16 raadt, komt hij op 2 × 16 + ½ × 16 + ¼ × 16 + 7 = 51.

Dan zijn er dus 11 te veel.

Deze bevindingen noteert hij in een schema. Zie figuur 4.22.



illustratie
Figuur 4.22. Regel van ‘valse positie’.


Vervolgens berekent hij: illustratie

Er waren dus 12 maagden in de boomgaard.103

4.4.1.3 Meer dan één onbekende

De regel kan ook gebruikt worden om een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen met meer dan één onbekende op te lossen. De regel die gebruikt wordt om twee onbekenden te berekenen wordt door Van Halle de regula falsi van twee positien genoemd. Worden er drie onbekenden berekend, dan spreekt hij van de regula falsi van drie positien enz. Deze namen gebruikt hij in navolging van Van den Hoecke.104 Hij hanteert dus niet de terminologie van Gemma Frisius die niet het aantal onbekenden, maar het aantal veronderstelde waarden telt. Van Halle zegt hierover:

Doctor Gemma noempt die+
regula falsi van eender
positien te wesen, soe
wanneermen daer inne maer
... eens en geraet. Ende+
van twee positien alsmen...
twee maels gheraet.105

Van der Gucht gebruikt de termen van Frisius en die van Van Halle door elkaar.106 Hoe dan ook, onder de aanduiding Regula falsi in vier positien behandelt hij het volgende vraagstuk waarin vier onbekenden voorkomen:

Vijnt vier nommers dat zy
alle tezamen zonder den
eersten maken 100, ende alle+
zonder den tweeden maken 90,
zonder den derden 80 ende
zonder den vierden 70.107

Berekening: Eerste veronderstelling: het eerste getal is 12. Dan zijn alle getallen samen: 100 + 12 = 112. En dan is het tweede getal: 112 - 90 = 22, het derde getal: 112 - 80 = 32 en het vierde getal 112 - 70 = 42. De som van deze vier getallen is echter 108 in plaats van 112, dus de eerste veronderstelling levert een tekort van 4 op. Tweede veronderstelling: het eerste getal is 16. Dan zijn de andere getallen respectievelijk 26, 36 en 46 en dat levert 8 te veel op. In figuur 4.23 is te zien hoe Van der Gucht dit noteert.



illustratie
Figuur 4.23. Regel van ‘valse positie’ om vier onbekenden te berekenen.


Zoals in figuur 4.23 is te zien, wordt het vierde getal als volgt - in moderne notatie - berekend:



illustratie

Voor de andere getallen volgt een vergelijkbare berekening.108 De vier gevonden getallen zijn uiteindelijk: 13⅓, 23⅓, 33⅓ en 43⅓.

4.4.1.4 Tweede- of meerdere-graadsvergelijkingen

Van Halle behandelt als enige een regula falsi voor vergelijkingen van de vorm f(x) = axn. Als x de gevraagde waarde is en x1 de veronderstelde waarde, komt zijn berekening in moderne notatie neer op:

x = x1 n√(f(x):f(x1)).

Een voorbeeld van een derdegraads-vergelijking:

Daer is een die heeft 5832+
cubicsche, teerlincxgewijsde+
...steenen... ende wilt
daer af eenen muer metsen+
wyens lingde die helft
meerder sy dan die brede ofte+
dicte, ende die hoochde die
helft meerder dan die lingde.
Nu is die vraege, hoe hooghe,+
hoe lanck ende hoe breet dien
muer wesen sal.109

Berekening: Stel de dikte is 2, dan is de lengte 3 en de hoogte 4½

f(x1) = 2 × 3 × 4½ = 27 maer tbehoorde 5832 te wesen

3√(5832:27) = 6

De dikte is 12, de lengte 18 en de hoogte 27.

4.4.2 Regel van abstractie

De naam van deze regel komt alleen in H-GeU-1532 voor, maar de rekenmethode wordt ook elders aangetroffen.110 De regel wordt gebruikt in vraagstukken waarin een product wordt gekocht waarvan het gewicht berekend moet worden. Bekend is alleen wat de koopman overhoudt of tekortkomt als hij een bepaalde prijs per gewichtseenheid voor het product betaalt. Deze rekenregel heeft overeenkomsten met de regel van ‘valse positie’. Van Varenbraken:

Een coopman heeft eenen sack
mit peper ghecocht. Ic en
noeme niet hoe zwaer, maer
als hij voor elc pont pepers
geeft 12 groten, ... so+
bliven hem 37 groten,...+
ende wanneer hij voor elc
pont geeft 15, ... dan
ghebreken hem 44 groten...+
Nu es die vraghe, hoe zwaer
den sack was.111

Berekening: Van Varenbraken noteert de gegevens in een schema:



illustratie

en vervolgens berekent hij:

15 - 12 = 3 noteer 3 aan de linkerkant van het schema.

44 + 37 = 81 noteer 81 aan de rechterkant van het schema.



illustratie
Figuur 4.24. Regel van abstractie om het gewicht van een zak peper te berekenen.


Tenslotte: 81:3 = 27 Ende soo veel woech den sack.

De berekening van Van Varenbraken komt hierop neer: stel het gewicht van de zak is x ponden en de koopman bezit in het totaal y groten. Dan kan men twee vergelijkingen opstellen en die van elkaar aftrekken:

y - 12x = 37

y - 15x = -44 -

3x = 81 dus x = 27

4.4.3 Regel van reeksen

4.4.3.1 Soorten reeksen

In sommige rekenboeken worden reeksen behandeld. Van Halle kondigt dat onderwerp aan met:

Als ghy enich ghetal siet
gelyck opclimmen, daer uyt
soe suldy die progressie
kinnen.+112

Vervolgens legt hij uit hoe de som bepaald kan worden van rekenkundige en meetkundige reeksen. In de meeste rekenboeken die het onderwerp reeksen behandelen, gaat het om stijgende reeksen, bestaande uit natuurlijke getallen. Van der Gucht behandelt daarnaast enkele voorbeelden van reeksen die eerst stijgen en dan weer dalen:

Daer zijn noch progressien
die elckanderen met
onghelijcke te boven gaen, in
natuerlicke overtredijnghe,+
ende gaen alzoo weder af. Als+
hier: 1 3 5 7 9 11
13 11 9 7 5 3 1.113

Van der Gucht laat deze reeks vergezeld gaan van een afbeelding, waarmee de som van de reeks voorstelbaar en controleerbaar wordt. Zie figuur 4.25. De som is 85 en er zijn 85 hokjes. De som van de reeks is te berekenen met 72 + 62 = 85. Dat is

eveneens met deze afbeelding aan te tonen. Als men het figuur een kwartslag draait, is goed te zien dat het bestaat uit 7 rijen van 7 hokjes en 6 rijen van 6 hokjes. Van der Gucht maakt hier echter geen enkele opmerking over.



illustratie
Figuur 4.25. De som bepalen van een reeks die eerst toe- en later afneemt.


4.4.3.2 De som van reeksen bepalen

De som van een rekenkundige reeks wordt als volgt bepaald:

1. bij een even aantal termen is de regel: tel de eerste en de laatste term bij elkaar op en vermenigvuldig de som met de helft van het aantal termen ½n(t1 + tn).

Van den Hoecke legt dat als volgt uit:

Legt den minsten nommer op
den meesten. Ende dat product+
multipliceert met ½ der
plaetsen. Sal comen het+
gheheel inhout der
progressien.+114

Van der Gucht berekent bijvoorbeeld de som van de reeks 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 -14 - 16 - 18 - 20 als volgt:

addeert 2 tot 20 comt 22.+
Dit multipliceert ... met 5+
comt 110.115

2. bij een oneven aantal termen is de regel: tel de eerste en de laatste term bij elkaar op, deel de som door 2 en vermenigvuldig het quotiënt met het aantal termen: [(t1 + tn):2]n.116

 

Van der Gucht berekent de som van de reeks 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 als volgt: illustratie.117

Bij een oneven aantal termen gebruikt Van der Gucht ook nog de formule: vermenigvuldig de middelste term met het totaal aantal termen. De som van 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 - 15 - 17 - 19 - 21 = 11 × 11 = 121

 

Van Halle en Van der Schuere behandelen beide situaties in één keer. Van der Schuere:

Addeert t'eerste ende
t'laetste ghetal. Wat daer+
van comt, multipliceert met
half soo veel als daer
ghetallen zijn. Ofte+
multipliceert de menichte der
ghetallen met de helft van+
het eerste ende t'laetste
ghetal.118

Van der Gucht behandelt twee voorbeelden van een reeks die eerst toeneemt en dan weer afneemt. Eerst bepaalt hij de som van de reeks 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2:

Multipliceert het grootste+
ghetal met de helft vanden
zelfden ghetale.+119

Berekening: 10 × 5 = 50.

Vervolgens bepaalt hij de som van de reeks 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 - 11 - 9 - 7 - 5 - 3 - 1:

Deelt den grootsten ghetale
in twee deelen, als 13 comt
7 ende 6. Multipliceert elcx
in hem zelven ende addeert+
beede te zamen. Comt 85 het+
ghetal.+120

Berekening: 72 + 62 = 85. Zie figuur 4.25.

 

Na de rekenkundige reeksen volgen de meetkundige. Van der Gucht:

Daer zijn nu oock progressien
die elckanderen overtreden
ofte passeren tweevoudich,+
drievoudich, viervoudich,
vijfvoudich,... etc. Twelck
es dupleren/ tripleren,
quadrupleren, quintupleren,+
... etc. Gheheeten:+
‘progressie van geometrien’
ofte ‘van proporcien’ of
‘progressien progredissant’.121

De som van een meetkundige reeks wordt als volgt bepaald: vermenigvuldig de 1aatste term met de reden van de reeks, trek de eerste term ervan af en deel door de reden min 1: (rtn - t1):(r - 1).122

Van den Hoecke:

Multipliceert den lesten
nommer met sinen opganc...+
Ende het product, daer af
trect den minsten nommer.+
Ende de reste divideert met 1
min dan ghijt multipliceerdet.+
Den quocient is het gheheel
inhout der progressien.+123

Van der Gucht behandelt het volgende voorbeeld:124

De som van 3 - 9 - 27 - 81 - 243 - 729 - 2187 - 6561 = illustratie = 9840

illustratie
Figuur 4.26. De som van een meetkundige reeks met reden 3.


Petri is de enige auteur die ook reeksen van kwadraten en van derdemachten optelt. Als voorbeeld van een kwadratenreeks geeft hij:

Een coopman coopt 8 last+
rogghen in progressione
quadrature, te weeten het+
eerste last voor 1 gulden,
het tweede last voor 4 gulden,
het derde last voor 9 gulden
ende also aughmenterende in
quadratuyre. Vraeghe is, hoe+
veele het in als beloop.+125

De regel die Petri voor het bepalen van de som gebruikt, kan weergegeven worden door:



illustratie

Dat betekent hier:



illustratie

 

Vervolgens bepaalt hij ook de som van de reeks van derdemachten

n
∑ k3 = (n + 1)2 ⋅ (n/2)2
k=0

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 = (8 + 1)2 × (8/2)2 = 81 × 16 = 1296.

 

Van den Dijcke geeft de som van een reeks van acht kwadraten en van een reeks van twaalf derdemachten, zonder uitleg.126 Petri is de eerste auteur in de Nederlandse taal die beschrijft hoe hij de som van een kwadratenreeks en van een derdemachtenreeks heeft berekend. Hij legt niet uit waarom zijn aanpak correct is.

4.4.3.3 Vraagstukken met reeksen

Naast het bepalen van de som van een reeks worden er in het hoofdstuk over reeksen ook andere berekeningen gedaan. Petri behandelt hoe een willekeurige term in een rekenkundige reeks gevonden kan worden met de regel a + (n - 1)v, waarin v de constante toename is:

Daer is een progression van
14 termynen, waervan die+
eerste doet 3 ende+
daugmentatie is 2. Hoe veele+
is den lesten termyn?+127

3 + (14 - 1) × 2 = 29.

Van den Hoecke lost vergelijkbare vraagstukken op met behulp van algebra.128 Van Halle, Van der Gucht en Pijck leggen uit hoe men een willekeurige term van een meetkundige reeks kan vinden met de regel: am + n = am ⋅ an.129 Deze regel gaat alleen op als de eerste term van de reeks de reden is.

De vijftigste term van een meetkundige reeks met reden 2 en beginterm 2 berekent Van der Gucht als volgt: hij berekent eerst de zesde term, kwadrateert deze zodat hij de twaalfde term krijgt, kwadrateert tot de vierentwintigste term, kwadrateert tot de achtenveertigste term en vermenigvuldigt ten slotte met vier om de vijftigste term te krijgen.130

250 = (((26)2)2)2 × 4

Andere variaties van vraagstukken met reeksen zijn nog:

-gegeven de som van een reeks en het aantal termen, gevraagd de toename;
-gegeven de toename en de som van een reeks, gevraagd het aantal termen.

De vraagstukken waarin het rekenen met reeksen toegepast wordt, komen veelal overeen met de vraagstukken die bij verdubbelen behandeld worden. Ze zijn vaak curieus en weinig praktisch van aard:

Om te weten hoe veel de
huereclocke slaghen slaet in+
eenen dach in Ytalien, want
zy daer slaet tot 24 hueren+
op eenen dach, daer om leght
1 op 24, comt 25. Dit+
multipliceert, als vooren,+
met ½ der huere plaetsen, als+
12, comt oock 300. Zoo veel
slaghen slaet zij.131

Daer [is] een base die loopt
recht duere alle daghe 7
mijlen. Ende eenen hasewint+
loopt daer achter ende loopt
maer deersten dach 1 mijle,
dander 2, dander 3, dander 4+
ende alle daghe 1 mijle meer.+
De vraghe es, in hoe vele
daghen den hazewint den
zelven hase achterhalen zal,+
ende hoe veel mijlen dat elc
gheloopen heeft.132
Daer is een man die neempt 17+
mael Sinte Rombouts toren op+
ende af te gaene op eenen
dach, op sulker conditien dat
hij voir dierste reijse maer
1 grote hebben en sal, ende+
voir die tweede reyse 2
groten, voir die derde reijse
4 groten. Nu is die vraghe,
hoeveel die paiere bedraegen sal.+133

4.4.4 Regel om terug te rekenen

Deze regel komt alleen bij Stockmans voor. Het onbekende begingetal wordt berekend door vanaf het eindgetal via inverse bewerkingen terug te rekenen:

Een vrijster oft jongedochter
comt in een boomgaert om
appelen te plucken oft te
rapen. Ende haer ghenoegen
hebbende, so wilde sy wederom+
naer huys keeren, maer int
uutgaen so ontmoette haer een+
vande wachters, der welcker
datter dry waren, ende moeste+
de helft aenden eersten
wachter geven van allen den
appelen die sy hadde. Dwelc
sy seer geerne dede. Dit
siende de wachter gaffer haer
13 appelen wederom. Ende
voorts gaende, ontmoette haer+
den anderen, die nammer haer
9. Maer comende tot den
derden gaf sy hem de helft
vande appelen die sy noch
behouden hadde, maer hy+
aensiende haer goetheyt ende
beleeftheyt, soo gaf hy haer
8 appelen wederom. Thuys
comende so hadde sy noch 22
appelen behouden. De vrage is,
hoe veel appelen dat sy ten
eersten hadde doen sy uut den
boomgaert ginc ende den
eersten wachter ontmoete.
Facit 48 appelen.+134

Het antwoord wordt gevonden door vanaf de 22 appels, het aantal dat ze thuisbracht, terug te rekenen.

4.4.5 Regel van reizen

Deze regel wordt gebruikt om vraagstukken op te lossen waarin wordt gereisd over een bepaalde afstand, in een bepaalde richting, met een bepaalde snelheid. Eigenlijk is er in dit geval geen sprake van één oplosmethode. De vraagstukken hebben als gemeenschappelijk aspect dat erin gereisd wordt, maar verder zijn ze onderling zeer verschillend en worden ze ook op verschillende manieren opgelost. Om nog een beetje orde in het zeer gevarieerde aanbod te scheppen, onderscheidt van Halle drie soorten reisvraagstukken:

Desen reghel is dryerhande:+
Te wetene [ van malcanderen te achterhaelen.+
Te wetene [ van malcanderen te ghemoeten.+
Te wetene [ van malcanderen te overgaene.+135

Een voorbeeld van de eerste soort:

Daer is een die uyt een stat
naer Roome gaet, welke 500
mylen van daer is... Ende+
gaet alle daeghe 7 mylen. Een+
ander dit wetende, volcht hem
binnen 8 daeghen naer ende+
gaet alle daeghe 10 mylen. Nu
is die vraeghe, binnen hoe
lange den iersten vanden
achtersten achterhaelt sal
worden.+136

Berekening in moderne notatie:

10 - 7 = 3 mijl (De achtervolger haalt elke dag 3 mijl in op zijn voorganger).

8 × 7 = 56 mijl (De eerste reiziger heeft na 8 dagen een voorsprong van 56 mijl opgebouwd).

56:3 = 18⅔ dagen (Na 18⅔ = dagen is de eerste reiziger ingehaald).

4.4.6 Regel van tapijtwerk

Deze regel komt alleen voor in het rekenboek van Van der Gucht en dat van Pijck. De oppervlakte van verschillende stukken tapijt wordt bepaald en op basis daarvan wordt de prijs van het tapijt berekend:

Een stick tapijts lanck 13+
ellen ⅓ ende breet 9 ellen ½,
te 39 groten ⅙ d'elle. Vraghe,+
hoe veel ellen t'stick in
houd ende hoe veel dattet+
costen sal.137

Oppervlakte: 13⅓ × 9½ = 126⅔ vierkante ellen.

Prijs: 126⅔ × 39⅙ = 20 ponden 13 schellingen 5 groten 2⅔ miten.

4.4.7 Regel van drinkgelagen

De regel van drinkgelagen wordt gebruikt om vraagstukken op te lossen waarin een groep mensen met elkaar in een herberg of uitspanning heeft zitten drinken. Aan het eind van het gelag komt de rekening en daarvan moeten de mannen steeds een groter deel betalen dan de vrouwen, waarschijnlijk omdat ze meer gedronken hebben. De vraag is: hoeveel mannen en hoeveel vrouwen waren er in dat gezelschap aanwezig? Er bestaan varianten op dit vraagstuk, bijvoorbeeld situaties waarin ook een groep kinderen meegedronken heeft. Maar meestal is er sprake van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Van der Gucht:

16 persoonen, als mannen+
ende vrauwen, hebben t'zamen
verdroncken 7 stuvers 12
mijten. Elck man sal gheven+
30 mijten ende elcke vrauwe
18 mijten. Vraghe, hoe veel
mans ende vrauwen elcx
bezonder gheweest zijn.+138

De berekening van Van der Gucht kan men als volgt in moderne notatie weergeven:

7 stuivers 12 mijten = 348 mijten

Aantal mannen: illustratie = 5

Aantal vrouwen: 16 - 5 = 11

 

Deze berekening komt in feite hierop neer:

Stel m is het aantal mannen en v is het aantal vrouwen dat aanwezig was. Dan kan men de volgende vergelijkingen opstellen.

30m + 18v = 348

m + v = 16

Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 18

30m + 18v = 348

18m + 18v = 16 × 18 -

(30 - 18)m = 348 - 16 × 18

en daaruit volgt precies de berekening die hiervoor beschreven is:

m = illustratie = 5

Het enige verschil tussen de moderne en de zestiende-eeuwse oplosmethode is de notatiewijze.

 

Als er ook kinderen aanwezig zijn en het gezelschap dus uit meer dan twee ‘soorten’ drinkers bestaat, is de oplossing van het vraagstuk onbepaald, want de gegevens uit het vraagstuk leveren slechts twee vergelijkingen tussen de onbekenden. Omdat de onbekenden altijd positief en geheel zijn, is het aantal oplossingen wel eindig. Van der Gucht en Van den Dijcke behandelen vraagstukken met meer dan twee onbekenden, geven één oplossing en reppen niet over de andere oplossingen die ook mogelijk zijn.139 Van der Schuere behandelt een vraagstuk met drie onbekenden. Hij geeft drieëndertig verschillende oplossingen maar laat niet zien hoe hij deze berekend heeft.

180 menschen, als mans,+
vrouwen ende kinderen, hebben
verteert 156 guldens. Soo+
moet yeder man betalen 24
stuyvers, yeder vrouwe 15
stuyvers ende yeder kindt 12
stuyvers. Hoe veel hebbender
dan van elcks wel geweest?+140

Als eerst oplossing geeft Van der Schuere:

79 mans, 4 vrouwen, 97 kinderen.

In de daaropvolgende oplossingen neemt het aantal mannen met 1 af, het aantal kinderen neemt met 3 af en het aantal vrouwen neemt met 4 toe. De drieëndertigste oplossing is:

47 mans, 132 vrouwen, 1 kinderen.+

4.4.8 Regel van plus en min

Van der Schuere behandelt in het hoofdstuk Rekeninghe van Plus ende Minus vraagstukken die tegenwoordig opgelost worden door twee vergelijkingen met twee onbekenden op te stellen. Het hoofdstuk dankt zijn naam aan de symbolen + en -, die een opvallende rol spelen in de vraagstukken. Een voorbeeld:

Als 25 ponden speck costen
soo veel als 30 ponden+
vleesch + 10 stuyvers, soo+
costen 40 ponden speck soo
veel als 55 ponden vleesch
- 5 stuyvers. Wat cost dan
een pont speck ende een pont
vleesch elck bysonder?+141

Voor de oplossing van dit vraagstuk zie figuur 4.27.



illustratie
Figuur 4.27. Regel van plus en min.


Deze oplossing komt dicht in de buurt van de moderne oplossing met een stelsel van twee vergelijkingen:

Stel: V is de prijs voor 1 pond vlees

S is de prijs voor 1 pond spek

Dan wordt het vraagstuk:

25S = 30V + 10 st.

40S = 55V - 5 st.

 

De bovenste vergelijking wordt door 25 gedeeld en de onderste door 40, dan wordt het stelsel:

S = 1⅕V + ⅖ st.

S = 1⅜V - ⅛ st.

 

Trek de vergelijkingen van elkaar af, het verschil is: 7/40V = 21/40 st.

Hieruit volgt: V = 3 st. Als V = 3 wordt gesubstitueerd in een van de twee vergelijkingen, dan blijkt: S = 4 st. Van der Schuere vindt op vergelijkbare wijze dezelfde uitkomst, namelijk: 1 pond vlees kost 3 stuivers en 1 pond spek kost 4 stuivers.

4.4.9 Regula cos, algebra

4.4.9.1 Notatiesysteem

Van den Hoecke, Van Halle en Petri zijn de enige auteurs die algebra behandelen.142 Ze noemen het regel algibre of regula cos. Van Halle:

Regle cosa dat is gheseyt: een+
dinck. Want met desen regule
canmen bicans alle questien
solveeren op een maniere als+
oft al een dinck waere.143

Het woord cosa is afkomstig uit Italië, daar werd het gebruikt om de onbekende aan te duiden. In Duitsland wordt gedurende de zestiende eeuw algebra vaak coss of regel coss genoemd.144 Om de machten van de onbekenden te noteren, gebruikt me zogeheten cossische tekens. Voor een overzicht van deze cossische tekens zie figuur 4.28.145



illustratie
Figuur 4.28. Overzicht van de cossische tekens die dienen om de machten van de onbekenden weer te geven.146


Van den Hoecke is de eerste die in de Nederlandse taal schrijft over het rekenen met algebraïsche vormen en het oplossen van vergelijkingen.147 Hij gebruikt een ander notatiesysteem voor de machten van de onbekenden. Zie figuur 4.29. Het sluit mooi aan bij zijn notatiesysteem voor wortelvormen dat hij eerder in zijn rekenboek behandelt.148



illustratie
Figuur 4.29. Alternatief notatiesysteem van Van den Hoecke voor de machten van de onbekenden.


Deze notatie is veel duidelijker dan de traditionele cossische tekens maar heeft weinig navolging gekregen. Van Halle gebruikt hem wel, maar zijn hoofdstuk over algebra komt dan ook woordelijk overeen met dat van Van den Hoecke. Hij heeft het rekenboek van Van den Hoecke waarschijnlijk als bron gebruikt. Het gedeelte over vergelijkingen oplossen heeft hij echter niet overgenomen.

4.4.9.2 Hoofdbewerkingen

Nadat het notatiesysteem is uitgelegd komen de hoofdbewerkingen aan de orde. Van belang is dat de lezer let op gelijke machten en op de hoogte is van de regels betreffende het gebruik van + en -. Van den Hoecke:

Addicio in cos. Item om te+
adderen qnantiteyten oft+
ghetalen soe weet dat si
moeten sijn van gheliker
namen, als N. met N. ende
pri. met pri., se. met se.,
tercien met tercien oft 4a
met 4a, etc. Ende useert ooc+
plus ende min, als + ende -,
als ghi wilt adderen+
quantiteyten van ongheliker
namen, als pri. met se. oft N.
met se., etc. Item, als ghi
addeert + met + het product+
wert +, ende - met - wert -.
Item wilde adderen + met -
oft - met +, so trect het
minste ghetal vanden meesten
ende voer de reste sedt sulc
een teeken alst meeste ghetal
hadde.+149

Voor een voorbeeld van Substractie in cos uit het rekenboek van Van den Hoecke zie figuur 4.30.150



illustratie
Figuur 4.30. Aftrekking van twee algebraïsche vormen.


In moderne notatie:



illustratie

Bij vermenigvuldigen met algebraïsche vormen wordt eerst uiteengezet wat de exponent is van het product van twee machten:

Wat quantiteyten ghi te samen
multipliceert, so en hebdi+
maer te adderen haerlieder
ghetalen oft nommers, hier+
voerscreven. Ende de addicie+
sal maken den nommer vanden
producte die uuter
multiplicacien coemt.+151

Deze regel wordt toegelicht met een tabel.152 Zie figuur 4.31.



illustratie
Figuur 4.31. Overzicht van de exponenten van producten die ontstaan als twee machten met elkaar vermenigvuldigd worden.


Er volgen verschillende vermenigvuldigingen. Zie bijvoorbeeld figuur 4.32.153



illustratie
Figuur 4.32. Vermenigvuldiging van twee algebraïsche vormen.


De uiteenzetting over delen met algebraïsche vormen begint als volgt:

Divisio in cos. Wanneer ghi+
divideren wilt die groote
quantiteyt doer cleynder, so+
trect den nommer vander+
cleynder quantiteyt vanden
nommer vander groter
quantiteyt... Item als die
cleyne quantiteyt ghedeelt
wert doer die grote, so wert
daer een broke so dat deen
boven staen moet ende die
ander onder.+154

In moderne notatie:

als m > n xm:xn = xm - n

als m < n xm:xn = xm/xn

 

Hierna volgt net als bij vermenigvuldigen een driehoekige tabel. Opvallend is dat de gebroken vormen in deze tabel niet vereenvoudigd zijn, terwijl er wel vereenvoudigd wordt bij de voorbeelden die volgen.

Wildi divideren 306a met 57a.+155
De uitkomst is illustratie

Vervolgens worden de vier hoofdbewerkingen voor gebroken algebraïsche vormen behandeld:

Dye specien int ghebroken
inde regule cos.+156

Gebroken vormen worden zoveel mogelijk vereenvoudigd:

Abbreviacie oft minderinghe
int ghebroken in cos.+157

Voorafgaand aan optellen of aftrekken moet men eerst de vormen gelijknamig maken:

Reductio int ghebroken in cos.+158

Bij vermenigvuldigen wordt gebruikt: teller keer teller en noemer keer noemer. Bij delen wordt vermenigvuldigd met het omgekeerde van de deler. Als voorbeeld van een aftrekking berekent Van den Hoecke:

illustratie

Zie figuur 4.33.



illustratie
Figuur 4.33. Aftrekking van twee gebroken algebraïsche vormen.159


soe reduceret ende bringhet tot
eenen divisor, coemt de reductie:+


illustratie

ende


illustratie

24 3a + 32 se. - 144 pri. - 192 N./12 3a + 8 se. - 72 pri. - 48 N.
Nu trect
18 se. + 48 pri. + 24 N van
24 3a + 32 se. 144 p. - 192 N
rest+
24 3a + 14 se. - 192 pri. - 216 numerus.

Dit stelt boven den divisor commuyn,+


illustratie

voer de rest.+160

Als proef stelt Van den Hoecke de inverse bewerking voor, maar daarnaast voert hij ook controles uit door voor de onbekende een waarde te substitueren:

Wildi multipliceren+
5 pri. + 4 nu. met
4 pri. + 8 nu. ... coemt
20 se. + 56 pri. + 32 nu. ...
Om te proeven oft ghi wel
ghemultipliceert hebt, so+
neemt die eerste regule ende+
set voer elcke prime 2 nu.+
Nu: 5 pri. + 4 nu. sijn 14 nu.
ende 4 pri. + 8 nu. sijn 16 nu.
Nu multipliceert 16 met 14,
coemt 224 nu. Nu 20 se. sijn
80 nu. ende 56 pri. sijn+
112 nu. ende noch 32 nu.,
coemt ooc 224 numerus als
voren.+161

4.4.9.3 Vergelijkingen oplossen

Als men kan rekenen met algebraïsche vormen is men toe aan het volgende onderdeel van de algebra: het oplossen van vergelijkingen.

Hier naer volghet die
egaliacie oft ghelikinghe in
de regule cos met hare+
abbreviacien.+162

Van den Hoecke gebruikt geen teken voor ‘is gelijk’.

Zijn vergelijkingen zien er als volgt uit:

3 se. - 4 pri. sijn ghelijc 4 nu.
Facit 1 pri. 2 n.+163

Negatieve getallen en nul worden niet als oplossing beschouwd. Van den Hoecke onderscheidt 14 regels of types vergelijkingen, die men op moderne wijze als volgt zou kunnen weergeven:

1)ax = b
2)ax2 = b
3)ax3 = b
4)ax2 + bx = c
5)ax2 - bx = c
6)ax2 + c = bx
7)ax2 - c = bx
8)ax2 = bx + c
9)bx - c = ax2
10)bx - ax2 = c
11)c - ax2 = bx
12)c - bx = ax2
13)ax4 + bx2 = c
14)ax6 + bx3 = c

13) en 14) zijn uitbreidingen van 4). Bij 14) behandelt Van den Hoecke ook nog ax8 + bx4 = c en ax10 + bx5 = c.164

 

Uiteraard is de notatie die hier gebruikt is niet die van Van den Hoecke. Om een indruk te geven van de wijze waarop hij het oplossen van vergelijkingen beschreef, volgt hier een voorbeeld van type 4):

Als 2 se. + 3 pri. sijn
ghelijck 14 N.
Nu divideert doer die meeste
quantiteyt, als 2 se., coemt+
1½ middelproduct ende 7 voer
tminste product. Nu neemt ½+

des middelproducx, dat is ¾.
Dit multipliceert in hem
selven, coemt 9/16. Hier toe+
addeert tminste product, als
7, coemt 7 9/16. Hier uut R. Dat+
is 2¾ Hier af trect ½ des

middelproducx, als ¾. Rest 2+
voer de weerde van eender
prime...+
Tmeeste Tmiddelste Tminste
2 se. + 3 pri. sijn ghelijc 14 nu.
Facit 1 pri. 2 n.+165

Ter afronding van het voorgaande leert Van den Hoecke nog een gegeven vergelijking herleiden tot een van de 14 basisvergelijkingen.

20 N. - 2 se. sijn ghelijc
10 pri. - 28 N. Subtraheert+
20 N. - 2 se. van 10 pri. - 28 N.
coemt 2 se. + 10 pri. - 48 N..+166

Van den Hoecke vermeldt niet dat de laatste uitdrukking gelijk aan nul is. Hij schrijft:

Soe hebdy 2 se. + 10 pri.
ghelijc 48 N.+
Werct na de vierde regule
der equacie.+167

Ook vergelijkingen met breukvormen worden behandeld:168



illustratie

Vervolgens wordt er kruiselings vermenigvuldigd en ‘gedeeld door x’, met als resultaat - in moderne notatie -: 140x + 308 = 30x2.

 

Dan volgt nog die equacie inden radix in de regule cos. Van den Hoecke lost enkele eenvoudige vergelijkingen met wortelvormen op door het wegwerken van de wortel.

5 pri. sijn ghelijck R 10 pri.169

In moderne notatie: 5x = √(10x)

 

Van den Hoecke behandelt geen algemene oplosmethode voor het oplossen van

derdegraadsvergelijkingen. Dat onderwerp wordt voor het eerst in 1545 gepubliceerd door Geronimo Cardano in zijn Ars magna. Cardano had de oplossing niet zelf bedacht, maar in 1539 in vertrouwen van Niccolo Tartaglia (1500-1557) vernomen en zes jaar later zonder diens toestemming in zijn eigen boek gezet. Hij vermeldt weliswaar de herkomst, maar dit ontaardt toch in een openbaar conflict tussen Tartaglia en Ludovico Ferrari (ca. 1522-1565), een leerling van Cardano. Cardano zelf houdt zich hierbuiten. In zijn Ars magna beschrijft hij overigens ook nog hoe een vierdegraadsvergelijking opgelost kan worden door deze tot een vergelijking van de derde graad terug te brengen.170 Dit speelt zich allemaal na 1537 af, het jaar waarin het rekenboek van Van den Hoecke gedrukt werd. Een algemene oplossing van derde- en vierdegraadsvergelijkingen komt dus in dit werk niet voor.

Van den Hoecke probeert de algebraïsche technieken die hij wel tot zijn beschikking heeft, te gebruiken om allerlei vraagstukken op te lossen.

Deelt 25 in twee deelen, sulc
als si ghemultipliceert
werden met malcanderen, dat+
coemt tproduct 100.+171

Het rekenboek van Van den Hoecke bestaat voor het grootste deel uit vraagstukken ontleend aan de praktijk van koop- en ambachtslieden. Hij lost de meeste van deze vraagstukken op met de regel van drieën, maar herhaaldelijk ook met de regel van ‘valse positie’ en de regula cos. Meermalen wordt eenzelfde vraagstuk eerst op de traditionele manier opgelost en daarna algebraïsch.

4.4.10 Regel van verhoudingen

4.4.10.1 De traditionele indeling

Van den Hoecke, Van Halle en Van der Schuere zijn de enige auteurs die de leer der proportien of verhoudingen bespreken.172 Het betreft de traditionele indeling van Boethius waarin elke verhouding een aparte naam heeft.

Allereerst wordt er een tweedeling gemaakt in gelijke en ongelijke verhoudingen: - gelijke verhoudingen;

Van den Hoecke:

Proporcionis equalitas, dat
is als twee quantiteyten
malcanderen ghelijc sijn,+
als 2 teghen 2.+173

Van der Schuere:

Proportio in ghelijck, dat is
3 teghen 3.+174

- ongelijke verhoudingen.

Van den Hoecke:

Inequalitas is als si
malcanderen onghelijc sijn,+ als 2 teghen 3 oft 5 teghen 8.+175

Van der Schuere:

Proportio in onghelijck, dat
is 4 teghen 2, 5 teghen 7,
3 teghen 6, etc.+176

De ongelijke verhoudingen worden nader onderverdeeld in twee soorten:

-verhoudingen groter dan 1: maior inequalitas of groot onghelijck;
-verhoudingen kleiner dan 1: minor inequalitas of cleen onghelijck.

Elke soort wordt weer in 5 groepen ingedeeld. Figuur 4.34 bevat het overzicht van Van de Schuere.177



illustratie
Figuur 4.34. Overzicht van soorten verhoudingen.178


Na deze indeling geeft Van der Schuere van elk type verhouding een definitie en enkele voorbeelden. Over multiplex schrijft hij bijvoorbeeld:

Proportio multiplex is als
t'eerste ghetal t'ander
etlick mael in hem begrijpt.+
... 20 teghen 4 quintupla.+179

Multiplex kan men modern weergeven door n:1, waarbij n een natuurlijk getal is groter dan 1. In het navolgend overzicht is elk type verhouding in moderne notatie weergegeven en voorzien van een voorbeeld van Van der Schuere. m, n en p zijn natuurlijke getallen met 1 < p < n en 1 < m:

-multiplex n:1,
... 20 teghen 4 quintupla;180
-submultiplex 1:n,
... 2 teghen 6 Subtripla;181
-superparticularis (n + 1):n,
... 3 teghen 2 Sesquialtera;182
-subsuperparticularis n:(n + 1),
... 8 teghen 9 subsesquioctava;183
-superpartiens (n + p):n,
... 9 teghen 5 superquadripartiens quintas;184
-subsuperpartiens n:(n + p),
... 6 teghen 11 subsuperquinpartiens sextimas;185
-multiplex superparticularis (mn + 1):n,
... 37 teghen 6 sextupla sesquiseptima;186
-submultiplex subsuperparticularis n:(mn + 1),
... 6 teghen 43 subseptupla subsesquisexta;187
-multiplex superpartiens (mn + p):n,
... 44 teghen 9 quadrupla superoctipartiens nonas;188
-submultiplex subsuperpartiens n:(mn + p),
... 3 teghen 8 subdupla subsuperbipartiens tertias.189

Van den Hoecke behandelt alleen de vijf grote ongelijke verhoudingen, over de vijf kleine ongelijke verhoudingen schrijft hij:

Ghi sult weten als alle dese
proporcien sullen gekeert+
werden, so dat de cleene+
ghetalen sullen ghecompareert
werden teghen de groote+
ghetalen, so sullent
gheheeten werden ‘sub’ metten
voerscreven namen in alder+
manieren als si voren
ghenaemt sijn.190

4.4.10.2 Rekenen met verhoudingen

Van den Hoecke behandelt Addicio in proporcien.191 Uit het voorbeeld dat hij vervolgens geeft, blijkt dat hij hier onder addicio het samenstellen van twee verhoudingen verstaat, dat wil zeggen in moderne notatie: uit a:b en c:d bepaalt hij ac:bd. Van den Hoecke:

Addicio inde proporcien.+
... Wildi adderen dye
proporcie 4 teghen 3 totter
proporcie 5 teghen 4,... so
multipliceert beyde die+
eerste ghetalen vanden
proporcien, als 4 met 5,
coemt 20. ... Dan+
mutipliceret beyde de leste+
ghetalen vanden proporcien,
als 3 met 4, coemt 12. ...
So coemt de proporcie 20
teghen 12, dat is 5 teghen
3, in die addicie.+192

De verhoudingen 4:3 en 5:4 worden geaddeerd - dat wil zeggen samengesteld - tot 20:12 = 5:3.

Van den Halle behandelt van der multiplicatie vander proportien. Hij bedoelt daarmee dat de verhoudingsgetallen tot een bepaalde macht verheven worden. Bijvoorbeeld:193

3/2 ghetripleert coempt 27/8.+

Eveneens behandelt hij vander divisien der proportien. Dat houdt in dat uit de verhoudingsgetallen de n-de machtswortel getrokken wordt. Bijvoorbeeld:194

die proportie 49/64 in 2
divideren... coemt ⅞.+

4.4.10.3 Middelevenredigen

In het hoofdstuk over verhoudingen behandelen de auteurs ook het begrip mid-delevenredige. Van der Schuere onderscheidt twee soorten, arithmetische en geometrische:

Medium proportionale, dat is+
een middel-ghetal tusschen
twee andere, alsoo dat het
minste hem houdt teghen dit
ghelijck dit teghen t'meeste.+
Ende is tweederley, als
medium proportionale
arithmeticum en medium
proportionale geometrium.+195

x is een arithmetische middelevenredige tussen a en b als geldt:

x - a = b - x. Van der Schuere geeft verschillende voorbeelden.

Onder andere: één middelevenredige tussen 5 en 9 is 7;

twee middelevenredigen tussen 6 en 12 zijn 8 en 10;

drie middelevenredigen tussen 11 en 19 zijn 13, 15 en 17.

 

x is een geometrische middelevenredige tussen a en b als geldt: a:x = x:b. De geometrische middelevenredige tussen a en b wordt gevonden door √(ab):

Medium proportionale
geometrium. Om te vinden een+
middel-ghetal tusschen twee
ander, soo multipliceert de
getallen door malcanderen
ende treckt daer uyt √.+196

Voorbeelden: tussen 3 en 12 zit de middelevenredige 6;

tussen 4 en 64 zit de middelevenredige 16.

 

Om twee geometrische middelevenredigen tussen twee getallen a en b te vinden, waarbij a < b, zijn er verschillende methodes. In het navolgende schema zijn die verschillende methodes in moderne notatie weergegeven:



illustratie

Voorbelden: tussen 8 en 27 zitten 12 en 18;

tussen 4 en 108 zitten 12 en 36.

 

Methode I is handig als a en b derdemachten zijn. Bij methode II en III wordt bij de berekening van de grootste middelevenredige gebruik gemaakt van de kleinste middelevenredige.

Van der Schuere behandelt als enige een methode om drie middelevenredigen te vinden:

Om tusschen 2 ende 32 drie
middel-ghetallen te vinden.197

Eerst berekent hij één middelevenredige tussen 2 en 32, die is 8. Vervolgens berekent hij de middelevenredige tussen 2 en 8, die is 4 en die tussen 8 en 32, die is 16:

soo comt u 2. 4. 8. 16. 32.+
in proportio subdupla.+198

4.4.10.4 Verhoudingen en de regel van drieën

De regel van drieën heeft alles met verhoudingen te maken en wordt ook niet voor niets in verschillende rekenboeken reghel van proportien genoemd. Van der Schuere:

Van eenighe wordt desen
reghel oock wel ghenoemt ‘den+
reghel van proportien’, dats
ghelijckformicheyt, om dat
hy in hem vier proportionale
ghetallen begrijpende is.+
Want gelijck t'eerste ende
derde malcanderen
ghelijcformich begrijpen,
alsoo oock t'weede ende
t'vierde. Ende ghelijck+
t'eerste ende tweede
malcanderen ghelijck zijn,
alsoo oock t'derde ende
t'vierde.+199

Van der Schuere gebruikt dit verder niet in zijn vraagstukken.

Als 4 ponden boter costen 12
stuyvers, wat sullen dan costen 16 ponden?200

Hij berekent: (16 × 12):4 = 48 stuivers, in plaats van 16 meteen met 3 te verme-

nigvuldigen. De enige auteur die wel gebruik maakt van de leer der verhoudingen bij het toepassen van de regel van drieën, is Van Halle.

Weet dat die proportie veel
consticheyts innebringt inden+
reghele van dryen, welke oock
is gheheeten ‘den regele van+
proportien’, als dat voren
gheseyt is. Want soe haest+
als ghy aenmerct die
proportie, soe condi
terstonts seggen wat het
werck vanden voirscreuen
regel van 3 uyt bringhen sal.+
... Begheerdi te weetene wat+
costen sullen 15 ellen
laekens als die 5 ellen
costen 20 guldens, nu uyt die
proportie die is tusschen 15
ende 5, te weten tripla, dat
is dryvuldich, siede ghy
merkelycken, dat sy moeten+
costen 60 guldens. Want
ghelykerwys 5 drymael
bevonden is in 15, soo oock
is 20 drymael bevonden in 60.+201

Ten slotte

In het tweede deel van de rekenboeken wordt de basis van de rekenkunde uit het eerste deel toegepast om allerlei vraagstukken op te lossen. Hiertoe wordt een groot aantal rekenregels behandeld waarvan de regel van drieën de belangrijkste is. Deze regel, die dient om bij drie gegeven getallen het vierde evenredige getal te vinden, wordt in alle rekenboeken geprezen om zijn grote nut en uitvoerig geoefend.

Na de regel van drieën volgen tientallen andere rekenregels. De meeste van deze regels zijn wiskundig gezien niet anders dan die eerste regel, maar ze dragen een andere naam, die ontleend is aan de context waarin ze worden toegepast. Het zijn pasklare oplosrecepten voor de rekenkundige vraagstukken die koop- en ambachtslieden en beoefenaars van financiële en administratieve beroepen in hun praktijk kunnen tegenkomen.

Voor de meeste auteurs van de rekenboeken is niet de wiskunde, maar zijn de praktische vraagstukken die de leerling moet kunnen oplossen, het voornaamste

leerdoel. Toch zijn er enkele auteurs die hier iets aan toevoegen. Zij snijden - meestal op het eind van hun werk - onderwerpen aan die verder gaan dan de regel van drieën, zoals bijvoorbeeld de regel van ‘valse positie’, reeksen, algebra en verhoudingen. Tot deze auteurs behoren Van Varenbraken, Van den Hoecke, Petri, Van Halle, Van der Gucht, Van den Dijcke en Van der Schuere.202 De onderwerpen die zij toevoegen, zijn wiskundig gezien over het algemeen wat moeilijker en de vraagstukken die bij deze onderwerpen opgelost worden, zijn niet altijd ‘uit het leven gegrepen’.

Overigens zijn de rekenboeken van deze auteurs nogal verspreid over de zestiende eeuw verschenen. Men kan dus niet zeggen dat er sprake is van een bepaalde wiskundige ontwikkeling in de inhoud van de rekenboeken gedurende de zestiende eeuw. Vermoedelijk hadden voornoemde auteurs een bredere doelgroep op het oog dan hun collega's.

Over het algemeen kan men zeggen dat de auteurs van de rekenboeken geen directe bijdrage hebben geleverd aan de ontwikkeling van de zestiende-eeuwse wiskunde, maar ze hebben wel uitvoerig en gedetailleerd het rekenen met Hindoe-Arabische getallen en de vele toepassingen van die rekenkunde op volgende generaties overgedragen. In dat opzicht is hun bijdrage aan de wiskunde wel degelijk van groot belang.

In dit en het voorgaande hoofdstuk is uitvoerig beschreven welke rekenkundige onderwerpen in de rekenboeken voorkomen. De vragen die in het volgende hoofdstuk aan de orde komen zijn: hoe werd de rekenkunde in de rekenboeken behandeld en gepresenteerd? Welke doelgroep en doelstellingen hadden de auteurs voor ogen, sluit de gepresenteerde leerstof hierop aan en welke didactische middelen hanteerden ze - bewust of onbewust - om doelgroep en doelstellingen te bereiken?


Vorige Volgende