Oeuvres complètes. Tome V. Correspondance 1664-1665

[p. 489]

N^o 1468.
B. Frenicle de Bessy à Christiaan Huygens.
[septembre 1665].
Appendice au No. 1467.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

A & B jouent a + & a pille a telle condition que celuy qui amene + prend tout ce qui est au jeu & celuy qui amene pille met vn escu au jeu. on demande quel est le desauantage de A, qui joue le premier¹⁾.

Cette question n'est pas assés determinée, par ce que comme il y a la moitié des coups qui se peuuent jouer, ausquels le dernier amene pille & doit mettre vn escu au jeu, il faut sauoir, ce qu'on doit faire de ce qui est au ieu, quand il y reste quelque chose, lorsqu'on veut quitter, car il pouroit ariuer qu'on ameneroit tousjours pille & que ne pouuant acheuer, on seroit de suite contraint de quitter.

Or on peut faire deus choses du reste en cas qu'il y en ayt; le plus juste seroit de le partager, & en ce cas le desauantage du 1^er ne peut jamais monter jusques a 10. sols, sauoir a 1/6 de ce qu'on met au jeu; mais si on continue de jouer long tems, il en aproche plus pres que quelque quantité donnée que ce soit; parce que son desauantage croist en continuant de jouer. Voicy le moyen de trouuer de combien le desauantage est moins que 1/6. doublés le nombre des coups que chaqu'un doit jouer, & adjoutés 1. au double; prenes la puissance de 2. dont cette somme est exposant, le triple de cette puissance est le denominateur de la fraction, & le numerateur est 1. Ainsy pour sauoir de combien le desauantage de A sera moindre que 1/6 si on ne joue que 3. coups de suite; je prens le double plus 1. de 3. qui est 7. la 7^e. puissance de 2. ou 128. dont le triple est 384. je dis donc que le desauantage de A sera 1/6 moins 1/384. si A & B ne jouent chaqu'un que 3. coups.

Autrement pour sauoir quel est ce desauantage sans parler du lixidue [?]; prenes la puissance de 2. comme deuant & ce sera le denominateur de la fraction, diuisés cette meme puissance par 6. rejettant le 2, qu'on a tousjours de reste, le quotient sera le numerateur. Ainsy supposant qu'on joue chaqu'un 4. coups; le double + 1. de 4. est 9. qui est l'exposant de 512. qui etant diuisé par 6. donne 85. on aura donc 85/512 d'escu pour le desauantage de A. & ainsy des autres.

1) C'est la question envoyée par Chr. Huygens à J. Hudde le 4 avril 1665. Consultez la Lettre N^o. 1403.

[p. 490]

Que si on ne veut point que le reste soit partagé, mais que chaqu'un reprenne la portion qu'il aura mis de ce qui reste, le desauantage de A deuiendra double de ce qu'il etoit en l'autre cas, sauoir lorsqu'on partageoit le reste; & ainsy jouant 4. coups de suite son desauantage sera 85/256 au lieu de 85/512. & ainsy des autres.

Ces desauantages font ensemble vne proportion qui se peut continuer a l'infini. de maniere qu'ayant le desauantage de A, quand on ne joue qu'un coup, qui est 1/8. les autres se trouuent multipliant par 4. les 2. termes de cette fraction et adjoutant 1. au Numerateur. On aura donc 1/8 pour 1. coup pour 2. pour 3. pour 4. pour 5. &c.

Pour Monsieur Hugens.