Oeuvres complètes. Tome II. Correspondance 1657-1659

N^o 699.
P. de Fermat à P. de Carcavy.
1659.
Appendice I au N^o. 698.

La copie se trouve à Leiden, coll. Huygens¹⁾.
La pièce a été publiée par Ch. Henry dans le Bull. di Bibliogr. T. 17.

1^ere lettre²⁾. Si la ligne spirale n'est pas esgale à la parabolique, elle sera ou plus grande, ou plus petite; soit premierement plus grande s'il est possible, et que l'excez de la spirale sur la parabole soit esgal à X, dont la moitié soit Z; soyent jnscrittes et circonscrittes à la parabole et à la spirale des figures comm'en la precedente, En sorte que la difference entre les inscrittes soit moindre que Z, et que la difference

1) Elle est de la main de P. de Carcavy.

2) Cette lettre de Fermat a rapport à la ‘Lettre de A. Dettonville à Monsieur A.D.D.S.’ (Voir la Lettre N^o. 560, note 32cδ) et spécialement aux pages 13 à 16.

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entre les circonscrittes soit aussy moindre que Z, Nous aurons cinq quantitez qui vont touiours en augmentant, scauoir l'inscritte en la parabole, la parabole, la circonscritte à la parabole, la spirale, et la circonscritte à la spirale. Car il appert que la seconde, qui est la parabole, surpasse son inscritte, et que la circonscritte à la parabole surpasse la parabole. Or il paroist qui est la quatriesme quantité, qui est la spirale, surpasse aussy la circonscritte à la parabole; Car puisque l'inscritte en la parabole, differe de la circonscritte à la mesme parabole, d'une ligne moindre que Z, (ainsi que Monsieur Destonville a demonstré) a fortiori la parabole mesme differe de sa circonscritte de moins que Z, Or par la supposition la parabole est moindre que la spirale, et la difference est 2 Z, Donc puis que la difference entre la parabole et sa circonscritte est moindre que la difference entre la mesme parabole et la spirale, la circonscritte à la parabole sera moindre que la spirale, laquelle spirale estant aussy moindre que sa circonscritte, jl paroist que ces cinq quantitez, à commencer par l'inscritte en la parabole, vont touiours en augmentant, Mais puisque l'inscritte en la parabole differe de la circonscritte d'une ligne moindre que Z, et que par la construction la circonscritte susdite à la parabole differe aussy de la circonscritte à la spirale d'une ligne moindre que Z, donc l'inscritte en la parabole differe de la circonscritte à la spirale d'une ligne moindre que 2 Z, Nous auons donc la premiere et la cinquiesme de ces cinq quantitez, qui sont la plus petite et la plus grande, qui different entre elle de moins que de 2 Z, Donc à fortiori, la seconde et la quatriesme, qui sont la parabole et la spirale, different d'une ligne moindre que 2 Z, et par consequent moindre que X, ce qui est contre la supposition, Donc la spirale n'est pas plus grande que la parabole.

Qu'elle soit, s'il est possible, moindre que la parabole, Et que l'excez soit X, ou 2 Z, Il faut faire les inscriptions et circonscriptions comm'en la precedente partie de la demonstration, Nous trouuerons icy cinq quantitez qui vont touiours en diminuant, la circonscritte a la parabole, la parabole, l'inscritte en la parabole, la spirale, et l'inscritte en la spirale, la premiere paroist euidemment plus grande que la seconde, et la seconde que la troisiesme; Or on voit aussy que la 3^e, qui est l'inscritte en la parabole, surpasse la spirale: car puisque par la demonstration de Monsieur Destonuille l'excez de la circonscritte à la parabole sur l'inscritte en la parabole est moindre que Z, a fortiori l'excez de la parabole sur son inscritte est moindre que Z, or la parabole estant plus grande que la spirale, son excez sur la dite spirale estant par la supposition 2 Z, la parabole surpasse la spirale d'une plus grande quantité que celle dont elle surpasse l'inscritte en la parabole, Et partant l'inscritte en la parabole est plus grande que la spirale; Nous auons donc cinq quantités qui vont touiours en diminuant, scauoir, la circonscritte à la parabole, la parabole, l'inscritte en la parabole, la spirale et l'inscritte en la spirale. Or la circonscritte à la parabole differe de son jnscritte de moins que Z, Et l'inscritte en la dite parabole differe aussy par la construction de l'inscritte en la spirale de moins que Z, Donc la circonscritte à la parabole, qui est la 1^re des cinq quantitez, et

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la plus grande, differe des dernieres desdites quantitez, qui est la plus petite d'une ligne moindre que 2 Z, donc a fortiori la seconde quantité differe de la quatriesme, c'est à dire la parabole de la spirale, de moins que de 2 Z, c'est à dire de moins que de X, ce qui est contre la supposition, D'ou il resulte que la spirale n'est pas plus petite que la parabole, Et partant puisqu'elle n'est ny plus petite ny plus grande, Elle est esgale, ce qu'il &c.