Oeuvres complètes. Tome I. Correspondance 1638-1656

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N^o 308.
Christiaan Huygens à P. de Carcavy.
6 juillet 1656.

La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens.
La lettre est la réponse au No. 300. P. de Carcavy y répondit par le No. 336.

Sommaire:
point d'excuse. questions. Fermat a le même theoreme. qu'il le communique à M. Milon. que la miene est bien resolue, que j'avois envoyè ces nombres à Schoten. Traite pour les avantages dans les cartes. que je ne scay pas le jeu de la prime ny de.......les livres. l'adresse a Milon. les asymptotes de l'ellipse dans mon livre.

A Monsieur de Carcavy.

Monsieur

6 Jul. 1656.

Je ne diray pas que j'accepte les excuses qu'il vous a pleu me faire, parce que je ne reconnois aucunement qu'elles m'estoyent deues. Elles sont toutefois si legitimes, que celuy qui auroit droit d'exiger de vos lettres s'en devroit aysement contenter. J'ay veu par la solution que Monsieur de Fermat à faite de mon Probleme qu'il a la methode universelle pour trouver tout ce qui appartient à cette matiere, ce que je desirois seulement de scavoir en la proposant. la mesme raison de 30 à 31 est dans le traitè que j'ay envoyè à Monsieur Schoten il y a 2 mois: dans le mesme il y a aussi un Theoreme duquel je me sers dans toutes ces questions des partis du jeu; et je le mettray icy, parce qu'autrement je ne pourrois pas vous faire voir que je suis venu à bout des Problemes que Monsieur de Fermat à proposèz. le calcul de quelques uns d'entre iceux estant si long que je n'ay pas assez de patience pour en rechercher le dernier produict; c'est pourquoij dans ceux la apres vous avoir expliquè le dit theoreme, je me contenteray de mettre la methode par la quelle l'on y peut parvenir. Le Theoreme est cettui-cy.

Si le nombre des hazards qu'on à pour avoir b soit p, et le nombre des hazards qu'on à pour avoir c soit q: Cela vaut autant que si l'on avoit bp + cq / p + q. Par exemple si j'avois 2 hazards pour avoir ⅓ de ce qui est mis au jeu et 5 hazards pour en avoir ½. je multiplie ⅓ par 2; et ½ par 5. puis j'adjouste ensemble les produits qui sont ⅔ et 5/2; la somme est 19/6. la quelle je divise par 5 + 2, c'est 7; d'ont j'ay 19/42. Je dis qu'il m'appartient 19/42 de ce qui est mis au jeu.

La premiere des questions de Monsieur de Fermat est telle. A et B jouent à 2 dez. A gaignera en amenant 6 points. B gagnera en amenant 7 points. A poussera

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le dè la premiere fois; et puis B deux fois de suite et puis A deux fois de suite, et ainsi jusques à ce que l'un ou l'autre ait gagnè. Pour faire les partis je nommeray d ce qui est mis au jeu; Et je mettray x pour la part qui en appartient au joueur A. Or il est evident que quand A aura fait le premier coup, et B ses deux coups de suite; et encore A l'un de ses deux coups, sans que ny l'un n'y l'autre ait rencontrè, que alors A aura derechef la mesme apparence pour gaigner qu'il avoit des le commencement, et que par consequent il luy appartiendra derechef la mesme part de ce qui est mis au jeu, c'est a dire x.

Partant lors que A vient a faire le premier de ses deux coups de suite il aura , car de 36 divers coups que produisent 2 dez, il y en a 5 de 6 points, c'est a dire qui luy donnent d, ou ce qui est mis au jeu: et 31 qui luy font manquer les 6 points, et ainsi luy donnent x, le mettant en estat d'avoir encore un coup a faire devant que le tour de B soit venu. Mais valent autant par le theoreme precedent que Cecy est donc la part de A lors que A fait le premier de ses deux coups de suite. Le coup d'auparavant c'est quand B fait le dernier de ses deux coups, et parce qu'il gaigne en amenant 7 points les quels se rencontrent en 6 façons differentes, et qu'alors A perd. donques à ce coup A aura



car son tour sera venu de faire deux coups de suite, les quels hazards par le precedent Theoreme valent . Cecy est donc la part de A, lors que B fait le dernier de ses 2 coups de suite. quand donc B fait le premier de fes 2 coups, A aura ce qui vaut . Quand donc A fait le premijer coup de tous, A aura ce qui vaut . cecy est donc egal à x. Et partant x egal à 10355/22631. Le parti du joueur A est donc 10355/22631 de ce qui est mis au jeu. Et le reste 12276/22631 est le party de B. Et l'un est à

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l'autre comme 10355 à 12276, qui sont les mesmes nombres de Monsieur de Fermat.

Dans la 2^de question ou il suppose que le joueur A joue premierement 2 fois, et puis le joueur B 3 fois, et en suite le joueur A trois fois: la methode est tout a fait semblable, et j'y trouve aussi les mesme nombres que Monsieur de Fermat, mais qu'il les faut transposer. C'est a dire que le party de A est à celuy de B, comme 87451 à 72360. au lieu qu'il a mis 72360 à 87451.

La 3^me est, quand trois joueurs A, B et C parient avec toutes les 52 cartes que celuy qui aura plustost un coeur gaignera, et que l'on suppose que A prend la 1^re carte, B la 2^de C la 3^me et ainsi consecutivement jusques à ce que l'un ait gagnè.

Il y a 13 coeurs parmy ces 52 cartes, c'est pourquoy s'il arrivoit que toutes les autres 39 fussent prises selon le dit ordre sans que personne eust rencontrè un coeur, alors ce seroit le tour du joueur A de prendre, et il auroit gagnè asseurement. Quand donc C prend la 39^me carte, au cas que jusques la personne n'ait rencontrè, il est certain que A aura 13 hazards pour avoir perdu et 1 hazard pour avoir tout ce qui est mis au jeu, que j'appelleray d comme devant. Or d'avoir cela vaut 1d/14 par nostre theoreme, d'icy je cognois que quand B prend la 38^me carte, A aura (C'est quand B manque de rencontrer un coeur, car alors c'est à C de prendre la 39^me.) lesquels hazards valent 1/105 d. Quand A prend la 37^me. A aura donc ce qui vaut 1368/1680 d. Ainsi en reculant tousjours d'une carte l'on scaura à la fin la part de A, lors qu'il prend la premiere de toutes.

Et de la mesme maniere se trouvera le party de B, et le reste sera celuy de C.

La 4^me est, quand deux joueurs jouent a la prime avec 40 cartes et que le joueur A entreprend de ramener prime, et B parie que A ne reussira pas dans les quatre premieres cartes. l'on m'a dit que d'avoir prime c'est avoir 4 cartes differentes, à scavoir une de chasque sorte. Je trouve donc que le party de A est à celuy de B comme 1000 à 8139, de sorte que l'on peut bien parier 8 contre 1, que quelqu'un n'amesnera pas prime.

La 5^me et derniere question est, quand deux joueurs jouent au piquet, et que le premier entreprend d'avoir 3 as dans ses douze premieres cartes, et l'autre parie qu'il ne les aura pas. Pour resoudre cellecy, je supposeray, qu'il prend ses 12 cartes une a une, car il n'importe aucunement. S'il arrive donc que celuy qui l'entre-

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prend ayant pris 11 cartes, ait desia rencontrè 2 as: il y aura parmy les 25 cartes qui restent encore 2 as. Et partant il aura en ce cas 2 hazards pour avoir gaignè, c'est pour avoir d et 23 hazards pour avoir o. c'est à dire pour perdre. Ce qui vaut 2/25 d.

Quand il a pris 10 cartes, s'il a rencontrè 2 as, il aura donc



les quels hazards valent 49/325 d. Mais quand il a pris 10 cartes s'il n'a encore que 1 as, Il y aura parmy les 26 restantes 3 as. c'est pourquoy alors il aura



les quels hazard valent 3/325 d. Quand il a pris 9 cartes, s'il a 2 as, il aura les quels hazards valent 1875/8775 d. Mais ayant pris 9 cartes s'il n'a encore qu' 1 as, il aura



ce qui vaut 219/8775 d. Et en fin si parmy ses 9 cartes il n'a encore aucun as, il aura



les quels hazards valent 12/8775 d.

Ainsi par cette methode en reculant tousjours d'une carte je scauray à la fin la part du joueur A, lors qu'il n'a encore pris aucune carte, et que par consequent il n'a pas encore un as. laquelle ayant ostée de d le reste sera la part du joueur B. Ce qu'il falloit trouver.

Si j'estois bien informè de l'estat de la question au jeu de la chance que Mon-

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sieur de Fermat dit estre la plus malaisée j'essayerois aussi de la resoudre. Pour celles que je viens de traiter, je vous prie Monsieur de me faire la faveur de les communiquer à Monsieur Milon. Et que je puisse scavoir si ce que Messieurs de Fermat et Pascal en auront trouvè sera conforme a ce que j'en explique. Je desire aussi fort de scavoir s'ils ne se servent pas du mesme theoreme que moy. J'ay appris par vostre lettre ce que Monsieur Pascal entend par les asymptotes de l'ellipse et du cercle, et il est vray qu'elles ont quelques unes des proprietez, qu'ont les vraijes asymptotes de l'Hyperbole, mais il y en a bien aussi qu'elles n'ont pas. Vous verrez dans mon traitè de la quadrature de l'Hyperbole ces mesmes lignes, ou elles font les costez des triangles aequiponderants au sections de l'ellipse et du cercle. et c'est en quoy il y a une fort notable ressemblance de proprietez entre elles et les asymptotes de l'Hyperbole. J'espere que vous aurez receu ces livres, parce qu'on m'asseure qu'ils sont arrivè a Paris. C'est chez Monsieur Henry¹⁾ advocat au Parlement qu'on les a adressez, ce que j'escris aussi à Monsieur Milon et en quel lieu il demeure. Je suis

Monsieur

Vostre treshumble et tresobeissant serviteur Chr. Huygens de Zuylichem.

1) François Henry, noble français, naquit le 21 août 1615 à Lyon et mourut à Paris le 7 octobre 1686. Son père était Conseiller et Secrétaire de la reine Marguerite. Elevé au collège des Jésuites à Lyon, il étudia à Orléans, et fut pendant plusieurs années avocat distingué au Parlement de Paris. S'étant démis de ses fonctions pour cause de santé, il publia, avec des commentaires, les oeuvres de Gassendi, de Paracelse, de J.B. Morin, de Baronius, etc.