Vaderlandsche letteroefeningen. Jaargang 1857

Theorie der Harmonisch-evenredige Getallen, Harmonische snijding der Lijnen en der Transversalen. Handboek ten gebruike van (?) Gymnasiën, Instituten en tot zelfonderrigt, (;) door J. van Loghem, Privaat-Onderwijzer te Leyden. Te 's Gravenhage, bij de Gebroeders van Cleef. 1856. In kl. 8vo. VII en 306 bl. f 2-50.

Blijkens het Voorberigt is het doel van den Schrijver met de zamenstelling van dit werkje den jongelingen, die de

[p. 408]

beginselen der platte vlakken hebben beoefend, een geschikt middel aan de hand te geven, zich tot het hooger wiskundig onderwijs aan onze Universiteiten en Akademiën des te gereeder voor te bereiden. Voor velen toch is die overgang, bij gebrek aan de noodige kennis van de gronden van het hooger onderwijs in de wiskunde, te groot. Om hen met de voornaamste eigenschappen der vlakken nog beter bekend te maken, doch langs eenen anderen, voor hen nieuwen weg, biedt de Heer v.l. hun in deze theorie der harmonische snijdingen der lijnen en transversalen een middel aan.

Ofschoon in vele opzigten met het gevoelen van den Heer v.l. instemmende, houden wij het er voor, dat er nog andere oorzaken van meer praktischen aard bestaan, die in dit opzigt ongunstig werken op de verdere uitbreiding van de opgedane kennis in dit studievak. Het weinige verband dat velen zien in het vak hunner keuze en de wiskunde doet hen haken om hoe eerder hoe liever door een examen van de verdere studie ontheven te zijn. Anderen, hoewel met gelukkiger gevolg daarin gewerkt hebbende, ontbreekt het aanvankelijk aan tijd om daarin verder door te gaan, en deze haasten zich insgelijks om er van bevrijd te wezen. - Het meerendeel van de jongelingen zal in deze poging van den Heer v.l. eerder eene nieuwe hindernis zien om tot het doel te geraken, dan een middel om hunne vroegere studie meer vruchtbaar te doen zijn.

Wij zeggen dit echter niet om daarmede ons ongunstig oordeel over dit werk aan te vangen; integendeel doet het ons genoegen, dat de Schrijver zich tot de zamenstelling heeft verledigd, en wel te meer omdat ons gebleken is, dat hij voor die taak berekend was. Wat men hier en ginds over sommige der genoemde onderwerpen verspreid behandeld vindt, althans in onze taal, heeft de Schrijver tot een geheel verzameld, en op zijne wijze geleidelijk en duidelijk behandeld. Zoo zelfs, dat bij Rec. de vraag meermalen oprees: of het niet beter ware geweest, in sommige stellingen eenvoudig de waarheden, die zoo veelvuldig voorkomen, op te geven, en het bewijs er van aan den leerling over te laten. Met het oog op de jongelieden, die de beginselen der platte vlakken hebben doorgewerkt, en hier zal toch wel niet zonder vrucht bij mogen gedacht worden, had de S. zich die beknoptheid wel kunnen veroorloven? Beknoptheid, zonder aan de duidelijkheid te kort

[p. 409]

te doen, is eene eigenschap, die de waarde van een studieboek als het onderhavige, niet weinig verhoogt.

Om den geachten lezer nader met dit werk bekend te maken, volgt hier de hoofdzakelijke inhoud. De eerste afdeeling bevat de harmonische evenredigheden en reeksen. De tweede afdeeling handelt over de harmonische lijnen, harm. gelegene punten, en de harm. snijding eener lijn; de harm. pool en de harm. stralen; de harm. snijding van de regte lijn door den eirkel, de gelijkvormigheidspunten en stralen in verband met de harm. snijding. De derde afdeeling handelt over de theorie der transversalen, de transversaal in verband met gelijkvormigheidspunten, de collineatiepunten, collineaire lijnen en driehoeken, den vierhoek met zijne transversalen, de involutie en de enharmonische verhouding, den veelhoek met zijne transversalen, den cirkel met zijne transversalen, pool en poollijnen, in- en omgeschreven veelhoeken, de transversaal in verband met twee en meer cirkels, chordaallijn en chordaalcirkel. Dit alles wordt besloten met een aanhangsel, waarin eenige vraagstukken uit de praktische (land-) meetkunst worden opgelost zonder het gebruik van kostbare werktuigen.

Eindelijk vindt men er eene zeer uitvoerige opgave van den inhoud in, die niet minder dan 41 bl. beslaat, en waar men het zakelijke van iedere paragraaf in terugvindt.

Uit deze bloote opsomming van de zaken, welke in dit werkje behandeld worden, zal de belangstellende lezer kunnen opmaken, dat er nog al het een en ander in voorkomt 't welk bij vele, doch niet bij alle beoefenaars der wiskunde als bekend mag verondersteld worden. Wij durven om die reden het genoemde werk gerust aanbevelen, overtuigd zijnde dat menigeen het niet ter zijde zal behoeven te leggen zonder er veel nut uit te hebben getrokken. Zij het dan ook, dat alle stellingen geene nieuwe waarheid doen kennen, zoo kan men uit de behandeling opmerken, hoe men dikwijls langs geheel andere wegen tot hetzelfde resultaat komt; terwijl men niet zelden verrast wordt door het schoone verband, dat er in de verschillende onderdeelen der wiskunde bestaat.

Hiervan heeft de Schrijver reeds menig voorbeeld gegeven, door de oplossing van enkele vraagstukken, die met behulp der gewone meetkunde niet altijd even eenvoudig en beknopt kunnen uitgevoerd worden.

[p. 410]

Alvorens onze aankondiging te eindigen, willen wij eenige opmerkingen niet terughouden. De eerste betreft de vier harmonisch-evenredige getallen. Deze, volgens van swinden, in zijne ‘Grondbeginselen der Meetkunde’, door wolf ingevoerde onderscheiding is voor het minst gezocht, en mist den grond waarop de harm. reeks berust. Tot meerdere juistheid had de S. in de aanm. bl. 8, bij het opgeven van den oorsprong der benaming, wel mogen zeggen, dat de snaren van gelijke dikte moeten wezen. - Eene andere, insgelijks van wolf afkomstige onderscheiding, namelijk contra harmonische evenredigheid, is niet opgenomen. De tweede betreft de harm. reeksen. Bij de uitvoerige behandeling mist de leerling, wat hij bij de theorie der andere reeksen als tweede hoofdvraag leerde kennen, namelijk de som van de termen eener reeks te vinden. Wat is hiervan de reden? vraagt hij welligt. Eene korte opheldering zou hier niet overbodig geweest zijn. De derde betreft de gevolgen op de eerste stelling van de theorie der transversalen. Zou menig leerling zich wel rekenschap kunnen geven van de verandering, welke de vergelijkingen in gevolg I en IV ondergaan, en is bovendien eene deeling zoo als in gevolg IV wel algemeen doorgaande? - Ook kwam het ons vreemd voor, de waarheden in gevolg II en III als zoodanig uit de beweerde stelling te zien afleiden; wij betwijfelen het of de leerling er wel eenig verband in zal kunnen vinden. Van eenige onjuistheden in bepalingen stippen wij aan, die van de beurtelingsche segmenten. Zonder de opheldering door eenig voorbeeld, zal de leerling moeite hebben de bedoelde segmenten uit de définitie te leeren kennen; de bijvoeging in dezelfde rigting draagt niet weinig tot die onduidelijkheid bij. Wij zouden er hier nog eenige kunnen bijvoegen, doch daar zij van minder aanbelang zijn, eindigen wij onze aankondiging met de betuiging, dat de uitvoering zoo van den druk als van de veelvuldige figuren niet minder onze goedkeuring heeft weggedragen dan het werk zelf. Wij hopen dat onze aanbeveling moge medewerken om het in veler handen te doen komen.