|
| |
| |
| |
Hans Ree
Borges' wiskunde
De verteller die Jorge Luis Borges opvoert in zijn verhaal Blauwe
Tijgers is een Schotse geleerde die aan het begin van de vorige eeuw
Westerse en Oosterse logica doceert aan de universiteit van Lahore. Net als
Borges zelf was hij al vanaf zijn kindertijd gefascineerd door tijgers. In de
dierentuin had hij voor andere dieren geen belangstelling, hij droomde van
tijgers, en boeken over natuurlijke historie beoordeelde hij op hun
tijgergravures.
In India leest hij over blauwe tijgers die in het deltagebied van de Ganges
gezien zouden zijn en van een collega hoort hij over een gehucht waar over
blauwe tijgers werd gepraat.
Hij gaat er heen om de tijgers te zoeken: De dorpsbewoners houden hem voor de
gek. Ze zeggen dat de tijgers er zijn en ze tonen hem de sporen, maar die kunnen
nagemaakt zijn en als hij er achteraan gaat, zijn de tijgers altijd net weg.
In een nacht gaat hij de berg op, wat de dorpsbewoners hem sterk afgeraden
hebben. In een rotsspleet vind hij steentjes met de vorm van de volle maan en,
zoals de dorpsbewoners later zeggen, van een blauw dat alleen in dromen gezien
mag worden. Het zijn er niet meer dan tien, maar als hij ze gepakt heeft en zijn
hand opent zijn het er opeens dertig of veertig. Dit zijn de echte blauwe
tijgers, waar de dorpelingen een heilige angst voor hebben.
De stenen vermenigvuldigen zich of ze veminderen in aantal, zomaar. De verteller
zoekt naar een patroon in de veranderingen, maar dat is er niet. Het kleinste
aantal stenen dat hij had was 3, het grootste 419.
Als je vijf stenen aan tien stenen kan toevoegen en het resultaat kan alles zijn,
dan gaat de rekenkunde niet meer op, denkt de verteller. Als drie en één twee of
veertien kan zijn, is de rede waanzin.
Hij droomt van de stenen, die in zijn droom ook Behemoth en Leviathan zijn,
dieren die in de Schrift beduiden dat de Heer irrationeel is. Hij kan van niets
anders meer dromen en aan niets anders denken.
Aan het eind van het verhaal gaat de verteller naar een moskee en hij vraagt God
hem van zijn last te verlossen. Dan komt er een blinde bedelaar die om een
aalmoes vraagt en de stenen aanneemt. De bedelaar | |
| |
zegt: ‘Ik weet
nog niet wat uw aalmoes is, maar de mijne is verschrikkelijk. U bent gedoemd tot
de dagen en de nachten, tot gezond verstand, tot de gebruiken, tot de wereld.’
Waar doen die blauwe stenen aan denken? In de eerste plaats natuurlijk aan een
droom. Je denkt ook aan het verhaal Argumentum ornithologicum
in de bundel De Maker, waarin Borges het bestaan van God
bewijst aan de hand van een vlucht vogels die hij ziet als hij een seconde de
ogen sluit. Hij weet niet precies hoeveel vogels hij ziet, maar als God bestaat
weet Hij het wel en alleen dan is het aantal gedefinieerd.
Borges heeft meer dan één vogel gezien en minder dan tien, maar niet vijf, zes,
zeven enz. Een getal groter dan 1 en kleiner dan 10, maar niet gelijk aan een
van de getallen tussen 1 en 10 is ondenkbaar. Dus bestaat God, want de vogels
moeten een getal hebben en alleen God kent dat getal.
Dit moet wel een van de minst overtuigende godsbewijzen uit de geschiedenis zijn,
maar daar gaat het nu niet om. Zoals die vogels die geen vast getal hebben, zijn
ook de blauwe tijgers, alleen in veel extremere vorm.
Iedereen zal wel eens dromen hebben waarin iets dat heel makkelijk zou moeten
zijn, zoals het tellen van de blauwe stenen, niet lukt. Er is een tekst die heel
belangrijk is, vlak voor je neus, maar als je gaat lezen zijn de letters
verdwenen. Een schaakstelling die je openingsrepertoire kan redden, maar het
lukt je nooit om te zien waar de stukken precies staan op het bord dat voor je
ligt.
Waar het verhaal van de blauwe tijgers een wiskundige aan doet denken is de
stelling die bekend staat als de Banach-Tarski paradox.
De Polen Stefan Banach (1892-1945) en Alfred Tarski (1902-1983) behoorden tot de
grootste wiskundigen van de vorige eeuw. Hoewel Tarski een brede mathematische
belangstelling had is hij vooral als logicus beroemd geworden. Als een
mathematische logicus (en niet-mathematische logici bestaan niet meer) gevraagd
wordt wie de grootste logici waren, zal hij waarschijnlijk Aristoteles, Frege,
Gödel en Tarski noemen.
De zogenaamde Banach-Tarski paradox is geen echte paradox. Een paradox is in de
wiskunde een contradictie die over het algemeen laat zien dat sommige begrippen
te slordig gedefinieerd waren en dat het systeem moet worden aangepast om de
paradox te elimineren. Daarvan is hier geen sprake. Het gaat om een keurig
bewezen stelling die geen contradicties oplevert en het woord paradox wordt
alleen gebruikt omdat de stelling in strijd lijkt te zijn met wat het gezond
verstand mogelijk acht.
| |
| |
De Banach-Tarski paradox zegt dat het mogelijk is om een bol in een eindig aantal
stukken te verdelen (vijf stukken is in dit geval genoeg) en die stukken
vervolgens zo in elkaar te zetten dat ze twee bollen vormen die elk even groot
zijn als de oorspronkelijke bol. Er mag alleen geschoven en gekanteld worden,
natuurlijk niet gerekt of in elkaar gefrommeld, want dan zou het makkelijk zijn.
De onderlinge afstanden van alle punten van de deelstukken blijven steeds
gelijk.
De bol van Banach en Tarski kan veranderen in twee bollen van dezelfde afmeting,
en vervolgens natuurlijk in vier, in acht of in ieder aantal dat je maar wilt.
De bollen zijn als de blauwe tijgers van Borges.
De bol is slechts een speciaal geval. In het algemeen zegt de Banach-Tarski
paradox dat iedere begrensde deelverzameling van de drie-dimensionale ruimte in
iedere andere kan worden omgezet door hem in stukken te delen (een eindig aantal
stukken) en die stukken weer op een andere manier in elkaar te zetten. Een erwt
kan tot een planeet omgebouwd worden, een fiets tot een nagelschaartje, zonder
dat er een enkel ruimtepunt bijkomt of afgaat en zonder dat er iets uitgerekt of
ingekort wordt.
Hoe kan dat? De blauwe tijgers van Borges brengen zijn vertellersfiguur dicht bij
de waanzin, maar zijn lezers vast niet, want die geloven niet dat zulke stenen
die zich miraculeus vermeerderen echt kunnen bestaan. Maar als ze ook in de
wiskunde optreden, zijn ze dan niet echt een ondermijning van het redelijk
verstand?
In de eerste plaats moet bedacht worden dat wat in de wiskunde kan, nog niet in
de materiële wereld mogelijk is. De stukken waarin de bol van Banach en Tarski
wordt verdeeld zijn zo ingewikkeld dat ze in de materiële wereld niet kunnen
bestaan. Geen mes, hoe klein en scherp ook, kan zoiets snijden.
Verder wordt in het bewijs van de stelling van Banach en Tarski gebruik gemaakt
van het keuzeaxioma, een axioma uit de verzamelingenleer dat een speciale status
heeft. Simpel geformuleerd zegt het keuzeaxioma dit:
ka: Als er een collectie van verzamelingen is, kan uit elk van
die verzamelingen een element gekozen worden.
Dit axioma wordt geacht niet dezelfde intuïtieve evidentie te hebben als de
andere axioma's uit de verzamelingenleer. Sommige wiskundigen (de school van
L.E.J. Brouwer, zou je kunnen zeggen) verwerpen het, maar de meeste passen het
onbekommerd toe. Hoe dan ook, wie zoiets simpels als ka
accepteert, moet ook het bestaan van de blauwe tijgers accepteren, in de
wiskunde dan. Vreemd blijft het.
| |
| |
De wiskundeschrijver Ian Stewart probeert in zijn boek From Here to
Infinity de Banach-Tarski paradox enigszins van zijn vreemdheid te
ontdoen door een vergelijking.
Stewart introduceert hiervoor de Hyperwebster, een boek waar
alle woorden in staan. Een ‘woord’ is hier een willekeurige combinatie van de 26
letters van het alfabet. Ieder woord heeft een eindige lengte, maar omdat er
geen bovengrens aan die lengte is gesteld is de Hyperwebster zelf oneindig.
Zoals in de getallenrij ‘1, 2, 3 enzovoort’ ieder getal eindig is, maar de rij
zelf oneindig.
De woorden in de Hyperwebster staan in alfabetische volgorde. Het eerste woord is
a, dan komen aa, aaa, aaaa en zo
verder, tot na een oneindig aantal woorden het woord ab
opduikt, gevolgd door aba, abaa, abaaa en zo voort. De
woorden die wij als zinvolle woorden beschouwen maken uiteraard slechts een
miniem deel van de Hyperwebster uit, maar al die woorden staan er in, omdat
ieder woord er in staat.
Nu gaat Stewart zijn Hyperwebster in stukken delen. Het eerste stuk bestaat uit
alle woorden die met a beginnen, behalve het eerste daarvan,
a zelf. Het tweede stuk bestaat uit alle woorden die met
b beginnen, behalve b zelf. Dit stuk
begint dus met ba baa baaa en zo verder. Op deze manier
verdeelt hij de Hyperwebster in 26 stukken plus de 26 losse letters die er aan
het begin van elk stuk af zijn gehaald.
Kijk nu naar het stuk van de b-woorden. Het is makkelijk te
zien dat dit stuk een kopie is van de hele Hyperwebster, alleen is nu aan ieder
woord van de Hyperwebster een b toegevoegd. Een kopie met een
merkje, zou je kunnen zeggen. Als in de Hyperwebster de woorden banach, borges en tarski stonden, komen ze nu terug
als bbanach, bborges en btarski, op
dezelfde plek, in dezelfde volgorde en met dezelfde onderlinge afstand. Zo is
het natuurlijk ook met de c-woorden en met de andere stukken.
De Hyperwebster is in 52 stukken verdeeld; 26 losse letters en 26 stukken die elk
een kopie van de hele Hyperwebster zijn. Om de vergelijking met de bol van
Banach en Tarski te maken: de bol is uiteengevallen in 26 bollen die elk
identiek zijn aan de oorspronkelijke bol, en dan houd je nog 26 losse punten
over. Het is maar een vergelijking natuurlijk.
Eigenlijk kenden we Stewarts Hyperwebster al een beetje, want hij lijkt erg op
De Bibliotheek van Babel van Borges. De bibliotheek waar
alle boeken zijn, alle boeken die ooit geschreven zijn of ooit geschreven zullen
worden, en alle boeken die denkbaar zijn, de zinvolle boeken, maar ook de boeken
die geschreven konden zijn door een leger apen aan hun schrijfmachines.
| |
| |
De boeken in die bibliotheek bevatten alle mogelijke combinaties van 22 letters
en verder de spatie, de komma en de punt. De Hyperwebster was oneindig, doordat
er geen bovengrens gesteld werd aan de lengte van de woorden. De bibliotheek van
Babel is onmetelijk groot, maar niet oneindig, want alle boeken hebben 410
pagina's van 40 regels met ongeveer 80 lettertekens.
Borges laat het verhaal vertellen door een bibliothecaris die zich de bibliotheek
voorstelt als eindig, maar onbegrensd: een reiziger die steeds in dezelfde
richting zou gaan, komt tenslotte weer aan op hetzelfde punt van de bibliotheek
waar hij begonnen is, zoals een reiziger die de evenaar volgt.
De bibliotheek is zoals het aardoppervlak en misschien het heelal: eindig, maar
zonder grens. Zoals er voor een aards 2-dimensionaal wezen geen wereld buiten
het aardoppervlak zou zijn, zo is er voor de bewoners van de bibliotheek geen
ontsnappen mogelijk, want er is geen grens waar hij van de bibliotheek in de
buitenwereld zou kunnen stappen.
Voor een buitenwereld laat de bibliotheek trouwens ook weinig plaats. Hoe groot
is de bibliotheek ongeveer? Ieder boek heeft 410 pagina's van 40 regels met 80
tekens. In totaal 410 x 40 x 80 = 1312000 tekens, meer dan een miljoen. Voor
ieder teken zijn er 25 mogelijkheden en het totale aantal van verschillende
boeken wordt daardoor 251312000.
Hoe groot is ons heelal ongeveer? Een getal dat vaak genoemd wordt is 15 miljard
lichtjaar, de uitkomst van de vermenigvuldiging ‘ouderdom van het heelal’ x
‘snelheid van het licht’.
Van zover kan het licht of andere straling onze instrumenten bereiken. Wat verder
weg ligt is niet waarneembaar en zal het ook nooit zijn, omdat het heelal
uitdijt en alles steeds verder van elkaar verwijderd raakt.
Het is veel, 15 miljard lichtjaar, maar het is niets vergeleken bij de afmetingen
die de bibliotheek van Babel moet hebben om het enorme aantal verschillende
boeken te kunnen bevatten. Ons heelal, voor zover het waar te nemen valt, is een
speldenknop vergeleken met die bibliotheek. Sterker gezegd: vergeleken met de
bibliotheek zijn een speldenknop en het heelal ongeveer even groot.
De bibliothecaris vergist zich dan ook deerlijk als hij denkt dat de catalogus
van die bibliotheek ook zelf een boek in de bibliotheek zou kunnen zijn. Een
catalogus zou op zichzelf ook al zo groot zijn dat het heelal daarmee vergeleken
een speldenknop is.
De bibliothecaris lijkt slechts een vaag idee te hebben van de werkelijke
afmetingen van zijn bibliotheek. Het valt hem niet kwalijk te ne- | |
| |
men, want hij is zeer geletterd, maar ongecijferd. Hij moet het doen met de 22
letters, de twee leestekens en de spatie waaruit de boeken bestaan. Cijfers zijn
er niet en in de hele bibliotheek is dus geen rekenboekje te vinden.
Borges wilde een nachtmerrie beschrijven met zijn Babelse bibliotheek, maar je
kan je afvragen of hij besefte wat de dimensies van zijn nachtmerrie waren. Ook
in de bibliotheek van Borges zelf waren waarschijnlijk weinig rekenboekjes.
Stewarts Hyperwebster beschikte over 26 letters. Je kan er natuurlijk de spatie
en wat leestekens aan toevoegen en onderscheid maken tussen hoofdletters en
kleine letters. Dan is ook ieder boek een ‘woord’ in de Hyperwebster. Tenminste,
ieder boek dat in het Latijnse schrift geschreven is, maar het maakt natuurlijk
geen principieel verschil als de tekens van andere schriften worden toegevoegd.
De bibliotheek van Babel was groot, maar in zekere zin kleiner dan de
Hyperwebster. Die bibliotheek kan zijn eigen catalogus niet bevatten, maar in de
Hyperwebster is die catalogus slechts een woord zoals er oneindig vele zijn. Eén
boek, de Hyperwebster, bevat alles wat in letters geschreven kan worden.
Borges besefte zelf dat zijn bibliotheek van Babel enerzijds te groot was en
anderzijds te klein. Later voegde hij een noot aan het verhaal toe waarin hij
aangaf dat één boek genoeg zou zijn, een boek van gewoon formaat met een
oneindig aantal oneindig dunne bladzijden.
Dat boek lijkt een beetje op het boek dat beschreven wordt in het verhaal Het boek van zand, maar het is toch anders. Het boek van zand
is ook oneindig, het heeft geen begin en geen einde, maar het verschil is dat je
in dat boek de blaadjes om kan slaan. Iedere bladzijde heeft een opvolger, wat
blijkt uit het feit dat er om de 2000 bladzijden een illustratie staat. Die
bladzijden tussen twee plaatjes kunnen dus geteld worden.
De wiskundige Rudy Rucker wees er in zijn boek Infinity and the
Mind op dat het boek van het zand de structuur van de gehele getallen
heeft: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3..., naar beide kanten oneindig voortzetbaar.
Het boek uit de noot bij De bibliotheek van Babel heeft de
structuur van de rationele getallen, de getallen die geschreven kunnen worden
als een breuk van twee gehele getallen. Tussen twee bladzijden van dat boek zit
steeds een oneindig aantal andere bladzijden, zoals tussen twee rationele
getallen steeds een oneindig aantal andere rationele getallen zit. Een rationeel
getal heeft geen opvolger.
Volgens Rucker beschrijft hij zelf in zijn boek White Light een
boek | |
| |
dat evenveel pagina's heeft als er reële getallen zijn.
Misschien om Borges de loef af te steken, want de reële getallen zijn in de
wiskunde van een hogere oneindigheid dan de gehele of de rationele getallen.
Je kan je afvragen hoeveel Borges wist van de wiskunde die met zijn verhalen
verbonden is. Kende hij bijvoorbeeld de Banach-Tarski paradox? Het zou goed
kunnen, want Banach en Tarski publiceerden hun stelling al in 1924 en Borges was
iemand die een scherp oog had voor zulke curiositeiten. Bovendien, veel van het
voorafgaande houdt verband met het werk van de Duitse wiskundige Georg Cantor,
iemand over wie Borges verschillende malen geschreven heeft.
Cantor, geboren in 1845 in St Petersburg en gestorven in 1918 in een
psychiatrische kliniek in Halle, was de schepper van de verzamelingenleer en hij
leerde de wiskundigen te jongleren met verschillende vormen van oneindigheid
alsof het gewone getallen waren.
De oude Grieken wisten al dat er in zekere zin evenveel kwadraten waren als
natuurlijke getallen. Immers, je kan de kwadraten op een rij zetten: 1, 4, 9, 16
enzovoort. Zo corresponderen ze met de getallen uit de rij 1, 2, 3, 4....
Cantor liet zien dat ook de rationele getallen en de algebraïsche getallen op
dezelfde manier oneindig waren als de natuurlijke getallen, maar dat er ook
hogere oneindigheden waren. Het continuüm van de reële getallen (of, in een
andere terminologie, een continu lijnstuk) kan niet op een rij worden gezet en
heeft daarom een hogere ‘machtigheid’. En daarmee houdt het niet op. Bij Cantor
vormen de verschillende oneindigheden zelf een eindeloze rij.
Cantor voerde ϰ als wiskundig symbool in. De alef, de eerste letter van het
Hebreeuwse schrift. Hij construeerde een eindeloze rij van alefs:
ϰ0 (alef nul), ϰ1, ϰ2, ϰ3, ... enzovoort, een hiërarchie van steeds hogere vormen
van oneindigheid.
Alef 0 staat voor de machtigheid van de gehele getallen, alef 1 voor die van het
continuum, maar met een eenvoudige kunstgreep was Cantor in staat om bij iedere
alef een opvolger te construeren die steeds voor een hogere vorm van
oneindigheid stond. De reeks van alefs heeft geen eind, maar hij ging volgens
Cantor wel ergens naartoe: naar God, de absolute oneindigheid die boven alle
alefs staat.
Er zijn altijd wiskundigen geweest die dit geen wiskunde meer vonden. Een
eindeloze rij van steeds hogere oneindigheden, heeft dat nog wel betekenis,
anders dan als een loos symbolenspel? Een van de stellingen van het proefschrift
van L.E.J. Brouwer uit 1908 was kort en krachtig: ‘De tweede getalklasse van
Cantor bestaat niet’. Maar Brou- | |
| |
wers inzichten overwonnen niet en
latere wiskundigen zijn in het construeren van een hiërarchie van oneindigheden
nog verder gegaan dan Cantor.
Een van de bekendste verhalen van Borges is De Alef. De alef is
een klein hoekje van een kelder waar de oneindigheid van het universum te zien
is, met alles wat er ooit gebeurd is. Borges noemde Cantor dan ook als een van
zijn inspiratiebronnen. Net als met zijn Babelse boek en zijn boek van het zand
beperkt Borges zich tot de eerste trede van Cantors ladder van oneindigheden.
Als hij technisch pedant had willen zijn, had hij het verhaal De
Alef nul moeten noemen.
Ook in zijn beschouwingen over de paradox van Achilles, die de schildpad nooit in
kon halen, verwees Borges naar Cantor en in zijn bundel Geschiedenis van de eeuwigheid gebruikte hij Cantor om Nietzsches idee
van de Ewige Wiederkehr te weerleggen.
Alweer, een erg overtuigende weerlegging is het niet. Er zijn betere
weerleggingen mogelijk. Natuurlijk geloofde Borges zelf ook niet helemaal in de
waarheid van zijn filosofische redeneringen. Filosofie was voor hem een vorm van
science-fiction. Het is dezelfde term die W.F. Hermans gebruikte, maar bij
Hermans was het een verwijt aan de filosofie. Borges genoot van het spel.
Borges gebruikte de wiskunde zoals hij de filosofie en de theologie gebruikte.
Hij pakte wat hij gebruiken kon en beoordeelde het op zijn intellectuele
amusementswaarde, niet op zijn waarheidsgehalte. Dat een gebouw van woorden of
van wiskundige symbolen de wereld naar waarheid kon beschrijven, geloofde hij
niet.
Van zijn technische kennis van de wiskunde moeten we ons waarschijnlijk niet te
veel voorstellen. Hij pakte de wiskundige snoepjes, als ze voor het grijpen
lagen. Zijn moeder Leonor Acevedo de Borges schrijft in het grote cahier dat het
Franse L'Herne in 1964 over Borges uitbracht, dat haar Georgie op school grote moeite met wiskunde had. En in
hetzelfde boek komt zijn vriend en vertaler Nestor Ibarra aan het woord in een
lang interview van vijftig bladzijden.
Ibarra is door Borges eens de mens genoemd die hem het meest intiem kende. Met de
overdrijving die alleen een intieme vriend zich kan veroorloven zegt Ibarra, als
hij het heeft over De bibliotheek van Babel en over Borges'
onvermogen om de ware dimensies van die bibliotheek tot zich door te laten
dringen: ‘Het komt er op neer dat je je afvraagt of hij wel tot 6 kon
tellen.’
|
|
Auteursrechtelijk beschermd