Raster. Nieuwe reeks. Jaargang 2002 (nrs. 97-100)

[p. 147]

Bālavat
Over de grenzen van het getal en de ‘rest’-wiskunde

Als men erkent dat elke willekeurige afmeting, zelfs wanneer die differentiale grootte bezit, deelbaar is door 2 en meer, dan glijden eerst de pragmatische en later de theoretische toepassing, maar beide onvermijdelijk, heel snel uit naar hun einde.

1:2 = 0,5:2 = 0,25:2 = 0,125 - -0

Al na zevenendertig halveringen vertoont een gewone rekenmachine op zijn scherm elf nullen achter de komma voor ze op een definitieve nul springt, die klip en klaar zegt: ‘Verder gaat het niet’.

Hier begint de ideële voorstelling van de halvering, wanneer men die niet overdraagt aan een computer, die zoals men weet tot tigmiljoenste delingen in staat is, maar die zonder twijfel alleen al vanwege de tijd niet in staat is de tot in het oneindige wijkende grootte te blijven volgen. Het vergaat de geperfectioneerde machine van de computer niet anders dan de rekenmachine: ergens raken beide ooit aan hun grenzen.

[p. 148]

Bij de computer is alleen het beeldscherm wat groter dan het display van de rekenmachine; het resultaat is hetzelfde.

Maar niet voor de geest. Hij weet dat het de computer precies zo vergaat als de rekenmachine. Als dat nu inderdaad het geval is, zou men zich voor kunnen stellen dat er in een nabije of verre toekomst nog krachtiger machines zijn dan die we nu kennen. Zelfs als er ooit een computer zou bestaan die tot het tigvoudige in staat is van wat de huidige machines presteren en als we in staat waren de tijdfactor van de berekeningsduur op een futuristische manier onder controle te krijgen, zou de laatste gedeelde grootte toch uiteindelijk nog uit de machine verdwijnen - en zou dus niet zintuiglijk tastbaar te maken zijn.

Wat we ook doen: het blijft bij het resultaat van de rekenmachine.

Hier vindt de geest een principe:



En toch (dat weten we heimelijk) kan dat niet waar zijn, want we erkennen immers dat elke willekeurige afmeting, zelfs als die een differentiale grootte bezit, deelbaar is door 2 en meer. De grootste computer kan, zoals we gezien hebben, niet zijn eigen grenzen overschrijden en hij is aan kwalitatieve en kwantitatieve grenzen gebonden.

Het vergaat hem zoals de rekenmachine: die vertoonde na de zevenendertigste deling van 1 een definitieve 0 op zijn display, hoewel we met de computer hebben bewezen dat dat niet klopt, want die rekent - zeg: ‘deelt’ - onverdroten en zonder met de kleine machine rekening te houden, door!

Wanneer op het beeldscherm van een kwantitatief tot in het oneindige reikende computer een 0 verschijnt, kan dit resultaat evenmin kloppen als dat van de rekenmachine. Maar waar zijn die getalgroottes gebleven?

[p. 149]

Ze bevinden zich aantoonbaar buiten de machine!

Zo gaat het verder en verder, van de ene machine naar de andere en, zoals gezegd, zonder acht te slaan op de tijdfactor. Hier - of ook al eerder - begint op zijn laatst de twijfel aan de door computers gegeven resultaten.

Hier is logische intelligentie nodig. De twijfel aan aantoonbare resultaten wordt geboren. De filosofie betreedt het wiskundig toneel. Daar staat ze, wel wetend dat elke waarde, aangezien die bestaat, nooit niet kan bestaan, zelfs wanneer men haar tot in het oneindige deelt, en zij vraagt zich terecht af: waar zijn de afgescheiden delen gebleven? Omdat er nog een deel is, moet ook het andere er nog zijn, of beide zijn geëlimineerd. Maar wat betekent eliminering van het zijnde? Is dat wel mogelijk?

Zo ja, wie bepaalt dan de grenzen van het delen?

De willekeur? Een bewuste wil?

Een ding is duidelijk: de wiskunde is niet ten einde gedacht.

Waar, bijvoorbeeld, blijft de tweede helft van een gedeelde grootte?

	1: 2 = 0,5
Maar zou je niet moeten zeggen:	1: 2 = 0,5 + 0,5?
En:	4: 2 = 2 + 2
Of:	10 - 7 = 3 + 7?

Ziet de toch zo slimme wiskunde de wet van de symmetrie over het hoofd?

Het antagonistisch denken beheerst de mens, en met hem ook het getal.

In de vergelijking klinkt zacht en beschroomd de klok van de juxtapositie. Maar waarom is niet elke operatie met getallen consequent doortrokken van deze aanzet?

Het getal π is transcendent en irrationeel, zo zegt men, en men beweert het getal daarom niet geometrisch te kunnen volgen. De eenzijdige logica van Lindemann kan aan de ene kant, en binnen de door hem aangenomen werkelijkheidsgraad van het axioma 1 en het euclidische parallellenaxioma kloppen.

Maar waar is de rest van π tot het getal 4? (0,858407347)

Is dit getal zonder betekenis?

Of drukken haar decimalen (transcendent en irrationeel) alleen het ontbrekende oppervlak van het kwadraat uit de diameter van de cirkel uit?

4 - 3,141592653 = 0,858407347

[p. 150]

Of dat nu nieuw is of niet, doet er niet toe; door de juistheid van de bewering wordt aangetoond dat de ‘rest’ van een procedure niet zonder betekenis is. In tegendeel:

Men kan uit de rest van een operatie in een soort proef op de som of zelfs direct concluderen tot het nagestreefde resultaat. Het oppervlak van de cirkel laat zich bijvoorbeeld ook van buitenaf bepalen.

Maar wat is er met de uit de computer verdwenen breuken van de halveringsreeks gebeurd? Spoken die ergens ongrijpbaar rond in het oneindige?

Zijn ze er überhaupt nog - verdwenen in de verste verte en de kleinste kleinheid? Logischerwijs moet men de vraag met ‘ja’ beantwoorden, anders is de uitspraak dat elke afmeting, eenmaal voorhanden, tot in het oneindige deelbaar is, onwaar.

Zou misschien zowel het een als het ander kloppen?

Ze zijn er nog, de breuken, al zijn ze er ook niet meer.

Dat zou een wiskundige paradox zijn. Als we die toelieten, zou het hele bestaan in de werkelijkheid van zijn voorhanden-zijn twijfelachtig worden, want wie zegt ons dat wij, die met betrekking tot het Geheel zeer klein zijn, net als de verdwenen breuken in vergelijking met hun ongedeelde Geheel, überhaupt nog bestaan?

Overdenkt men echter de bewering dat 1 : 2 niet 0,5 moet zijn, maar als 0,5 + 0,5 gedefinieerd moet worden, dan ontstaat als gevolg van deze nieuwe beschouwingswijze een absoluut nieuwe visie op de werkelijkheid van een delingsproces.

Hoe verder gedeeld wordt, des te groter wordt de achterblijvende, maar niet in de beschouwing betrokken ‘rest’, en wel zodanig dat de grootte uiteindelijk, gedwongen in de consequentie van een oneindige deling, ‘achter zich’ dermate aangroeit dat ze weer opduikt in volledige omvang.

Dat laat de volgende bewering toe:

[p. 151]

Delingen vinden slechts in schijn plaats. Ze bezitten geen werkelijkheid.

Daaruit volgt:

Er bestaat slechts een enkele wiskundige grootte. Deze moet noodzakelijkerwijs onbegrensd zijn, ongeacht of ze als punt, lijn of vlak verschijnt, en eveneens ongeacht of ze statisch of dynamisch wordt waargenomen.

Dit oeraxioma is onvatbaar, onbenoembaar, maar niettemin voorhanden. Was het er niet, dan bestond er niets, helemaal niets, niet eens de waarneming dat er niets bestaat.

Gaat men ervan uit dat alle axiomatische beweringen, zoals we weten, niet bewezen hoeven te worden omdat ze dat zelf doen, dan zou men de gebruikelijke euclidische en niet-euclidische beschouwingswijze van de parallellenaxioma's kunnen laten vallen ten gunste van een algemeen axioma dat beweert en bewijst:

Elke rechte is een kromme. Elke kromme is een rechte.

Hoe dat zo?

Stellen we ons een oneindig grote cirkel voor, zo groot dat elk op de omtrek afgezette lijnstuk niet als gekromd, maar als recht verschijnt. (Op dezelfde manier gaan we te werk bij de berekening van het cirkeloppervlak op basis van de oneindige veelhoek, alleen gebruiken we hier de differentialen.)

Deze oneindig uitgestrekte cirkel zou natuurlijk een omtrek bezitten en de vraag zou onmiddellijk rijzen naar welke kant die gekromd is, dat wil zeggen: waar de buitenkant en de binnenkant van de cirkel zijn.

Aangezien, zoals gezegd, de cirkel echter zo groot is dat de vraag onbeantwoordbaar zou moeten blijven, zou men het er logischerwijs over eens kunnen worden, dat beide tegelijk mogelijk zijn, en de rechte aanduiden als een naar beide zijden gekromde lijn, wat er weer voor zou pleiten dat dit geen kromme, maar een rechte moet zijn, of beide tegelijk of geen van beide.

Daaruit volgt:

1.	Niets is met zekerheid en als definitief te beweren

[p. 152]

2.	Axioma's zijn denkmodellen, die binnen hun zelf geponeerde beweringen een begrensde juistheid en werkelijkheid bezitten
3.	Elk axioma is vervangbaar door een ‘beter’.

Om nu terug te komen op onze rechte lijn, die twee krommen is en die ons op grond van dit axiomatische feit, waarvan het tegendeel niet te bewijzen is, in de positie brengt om de euclidische en de niet-euclidische geometrie met elkaar te verbinden zonder tegenspraken, laten zich met betrekking tot de parallellenaxioma's ook de volgende beweringen afleiden:

1.	Vastgelegde axioma's scheppen geen werkelijkheid
2.	Er bestaat geen 1 als ze niet alles tot in de verste uitgestrektheid omvat
3.	Er is geen punt dat niet tegelijk een oneindig vlak is
4.	Wiskunde is een begrensde, pragmatische wetenschap zonder werkelijkheidsaanspraak, omdat ze onderworpen is aan logisch begrensde en willekeurige vaststellingen, die het transcendent-irrationele slechts met tegenzin toelaten.
5.	‘Dat betekent echter dat wiskundige uitspraken slechts met betrekking tot de eraan ten grondslag liggende axioma's waar of onwaar kunnen zijn, er bestaat geen absolute waarheid van wiskundige uitspraken.’ (citaat uit duden, ‘Rechnen und Mathematik’, editie 1994, p. 403)
6.	Wiskunde is principieel geen natuurwetenschap, maar dient uitsluitend (volgens het encyclopedische werk van de Franse onderzoekersgroep Bourbaki) pragmatische doelen.
7.	Men moet de wiskunde niet zo ernstig nemen, maar zich opgewekt van haar bedienen.

Uit: Bālavat, Mathematik. Unorthodoxe Problem lösungen (1997)

VERTALING: PIET MEEUSE